SKKN Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng đại trà trong kỳ thi TN THPT Quốc gia

trị của đồ thị hàm số là: 
 4 2 20;2 , 1; , 1;B CA m m B m m y C m m y với 
2
22 2 2 13 3 2 1 3 4 1 3
2
C BBC BC m m y y m m m 
Giải theo phương pháp trắc nghiệm:Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng 
cách 
0
2
a
b
BC m
 của hai điểm cực tiểu (hoặc hai điểm cực đại): 
2 2 12 0 4 4 1 0 .
2
oam b m m m 
 Chú ý: 
 Các điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc các trục tọa độ: 
2 4 0
0
b ac
ab
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 4 2 22 1y x m x m có ba điểm cực trị và 5CTy . 
A. 3m . B. 1m . C. 1m . D. 1 3m . 
Lời giải 
Giải theo tự luận: 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 35 
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi: 
1 00
1
2 1 0. 0
ma
m
ma b
  
 (1) 
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 
 20; , 1; 2 1 , 1; 2 1A m B m m C m m 
Do 1 0a nên 2 1CTy m . 
Khi đó 5 2 1 5 3CTy m m (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 1 3m 
Giải theo phương pháp trắc nghiệm: 
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi: 
1 00
1
2 1 0. 0
ma
m
ma b
  
Do 1 0a nên 
2
2 1 5 3
4
CT
b
y c m m
a
 . Suy ra 1 3m 
Ví dụ 4: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 2 22 1 1y x m x có 
ba điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất? 
A. 1m . B. 1m . C. 0m . D. 3m . 
Lời giải 
Giải theo tự luận: 
Ta có 3 2 2 24 4 1 4 1y x m x x x m . 
2
0
0
1
x
y
x m
. 
Ta có 1 0a nên 
2
2 21 1 1CT CTx m y m . 
Do 
2
2 21 1 1 1 0 max 0CT CTm m y y khi 0m . 
Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một 
tam giác thỏa mãn: là tam giác cân hoặc là tam giác đều, hoặc có góc 
BAC .... 
 Tìm điều kiệu để hàm số có ba cực trị. 
 Tìm ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 36 
 Ép điều kiện và tìm tham số. 
 Các dạng câu hỏi thường gặp : 
 Điểm 00; y là trọng tâm tam giác ABC
2
03 3
2
b
y c
a
 . 
 Điểm 00; y là trực tâm tam giác ABC
3
0
8
4
a b
y c
ab
 . 
 Điểm 00; y là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC
3
0
8
4
a b
y c
ab
 . 
Do đó 
3
3
8
cos *
8
b a
BAC
b a
 và 
5
332
ABC
b
S
a
2
4 2
b b
a a
 Tam giác ABC vuông tại A 3cos 0 8BAC b a 
hoặc ABC vuông cân tại A 2 2 2BC AB AC 
4 4 3 3
3
2 2
2
2 0 1 0 1 0 8
16 2 16 2 2 8 8
b b b b b b b b
b a
a a a a a a a a
 Tam giác ABC đều 3
1
cos 24
2
BAC b a . 
hoặc ABC đều 2 2BC AB 
4 4 3 3
2 2
2 3
0 3 0 3 0
16 2 16 2 2 8 8
b b b b b b b b
a a a a a a a a
 BAC , ta có: 
3
3 3
8 8
cos tan
8 2
b a a
b a b
Đặc biệt: Tam giác ABC có một góc bằng 120 
31cos 3 8
2
BAC b a 
 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 
3 8
8
b a
R
ab
 . 
 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 37 
2
2
4 2 3
2
4 2
4 16 2
16 2 2
b b
a a b
r
b b b a a ab
a a a
2
32
4 16
b
b
a
a
. 
 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: 
 2 2
2 2
0
4 4
x y c y c
b a b a
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số 4 2 22 1y x m x có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một 
tam giác vuông cân 
A. 1m B. 1m C. 0m D. 1m hoặc 1m 
Lời giải 
Giải theo tự luận: Hàm số có 3 cực trị 2 24 0y x x m có 3 nghiệm phân 
biệt 0m , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là 
 4 40,1 ; ,1 , ,1A B m m C m m . Do y là hàm chẵn nên YCBT 
. 0 1AB AC m 
Giải theo phương pháp trắc nghiệm: 
(Sử dụng công thức giải nhanh) 
Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân (tam giác luôn cân): 
3
3 2 28 0 8 2 0 1 1a b m m m 
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 42 2f x x mx m m có điểm cực đại và 
điểm cực tiểu lập thành tam giác đều. 
A. 
3
1
9
m B. 1m C. 3 3m D. 3m 
Lời giải 
Giải theo tự luận 
 3 24 4 4f x x mx x x m . Ta có: 20 0f x x x m  . 
Để hàm số có CĐ, CT 0f x có 3 nghiệm phân biệt m > 0 
 3 nghiệm là: 1 2 3; 0 ;x m x x m 3 điểm CĐ, CT là: 
 4 2 4 4 2, 2 ; 0, 2 ; , 2A m m m m B m m C m m m m 
 4 ; 2AB BC m m AC m . 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 38 
Để A, B, C lập thành tam giác đều 
thì AB BC AC 4 32 3m m m m 
Cách 2: (Sử dụng công thức giải nhanh) 
Điều kiện có 3 cực trị là 0 1. 2 0 0ab m m 
Khi đó tam giác ABC đều 
33 324 2 24.1 3b a m m . 
Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2
1
3 1 2 1
4
y x m x m . Tìm m để đồ thị mC có ba 
điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm trùng với gốc tọa. 
A. 
1
4
m . B. 
2
3
m . C. 
2
3
m hoặc 
2
3
m . D.
1
3
m . 
Lời giải 
Giải theo tự luận 
Điều kiện đồ thị hàm số có 3 cực trị là: 
3 1 1
0
4 3
m
ab m
 (*). 
Áp dụng công thức 3 điểm cực trị ; ; 0; ; ;
2 4 2 4
b b
B A c C
a a a a
 ta có: 
 2 240;2 2 , 2 3 1 ; 9 , 2 3 1 ; 91 4 1mA m B m m mC m m 
Suy ra 2
4
0; 6 2
3
G m m
 là trọng tâm của ABC 
Do 2
4 2
6 2 0
3 3
G O m m m
 (L) hoặc 
1
3
m (N). 
Suy ra 
1
3
m đáp án D. 
Giải theo phương pháp trắc nghiệm (Sử dụng công thức giải nhanh) 
+)Điều kiện đồ thị hàm số có 3 cực trị là: 
3 1 1
0
4 3
m
ab m
 (*). 
+) 0;0O là trọng tâm tam 
giác ABC
2 2
2
03 3 0 3 6 0
2 2
b b
y c c ac b
a a
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 39 
2 2
1
1 3
6. .2 1 3 1 0 9 3 2 0
24
3
m
m m m m
m
 . 
Kết hợp điều kiện (*) ta có 
1
3
m 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Dạng 1: Dùng dấu hiệu 1 va dấu hiệu 2 tính cực trị của các hàm số sau: 
Bài 1: 
a.
2
21
x
y
x
b. ( 2)y x x 
c.
2
2
2 3 1
4 3
x x
y
x x
d.
2 4
x
y
x
e. 4 3 23 4 24 48 3y x x x x 
f.
ln
x
y
x
g.
2sin 3 cosy x x 
h.
2(4 )my x x 
Bài 2: Cho hàm số 
3( ) 3y x m x 
 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=0. 
Bài 3: Cho hàm số 
2 3 25 2 9
3
y a x ax x b tìm a,b để hàm số có các cực trị đều 
là các số dương, trong đó 0
5
9
x
 là 1điểm cực đại. 
Bài 4: Cho hàm số 
3 2 2 23 3( 1) ( 1)y x mx m x m 
 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=1. 
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
Bài 1: Cho hàm số 3 2( 2) 3 5y m x x mx 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT. 
Bài 2: Cho hàm số 3 23 2y x mx 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT. 
Bài 3: Cho hàm số 3 2 2
1
( 3) 4( 3)
3
y x m x m x m m 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn : 1 21 1y y 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 39 
Bài 4: Cho hàm số 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x a x a a x 
 Tìm a để hàm số có cực trị 1 2,x x thỏa mãn 1 2 1y y . 
Bài 5: Cho hàm số 3 23 (2 1) 3y mx mx m x m 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT. CMR đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT qua 1 
điểm cố định. 
Bài 6: Cho hàm số 3 2
1
1
3
y x mx mx 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT. Sao cho khoảng cách 2 cực trị nhỏ nhất. 
Bài 7: Cho hàm số 3 2
1
1
3
y x mx mx 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT tại 
1 2,x x sao cho 1 2 8x x 
Bài 8: Cho hàm số y x m x m m x m m3 2 23( 1) 2( 3 2) ( 1) 
 Viết phương trình đường thẳng qua 2 cực trị. 
Bài 9: Cho hàm số y mx x x m3 2 2 8 
 CMR pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị luôn đi qua điểm cố định. 
Bài 10: Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 (1 ) 1 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm trên đt (d):y=-4x. 
Bài 11: Cho hàm số y x x m3 2
3
2
 Tìm m có đt qua 2 cực trị tạo với đt (d): x
1 1
y
4 4
 1 góc 45 độ. 
Bài 12: Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 (1 ) 1 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT đối xứng qua đt (d):y=x+2. 
Bài 13: Cho hàm số y mx mx x m3 23 3 3 2 
 Tìm m để hàm số luôn có cực trị và đx qua đt (d): x
1 1
y
4 4
Bài 14: Cho hàm số y mx x x m3 2 2 8 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT và đt qua 2 cực trị luôn đi qua 1 điểm cố định. 
Bài 15: Cho hàm số y x x mx3 23 2 
 Tìm m để hàm số có 2CĐ,CT nằm về 2 phía của đt (d):y=x. 
Bài 16: Cho hàm số y x x mx3 23 2 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 40 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT và đt qua 2 cực trị tạo với 2 trục tọa độ một 
tam giác cân. 
Bài 17: Cho hàm số y x mx m m x3 2 2
1
( 1) 1
3
 Tìm m để hàm số có cực trị ( ;1) . 
Dạng 3: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 
Bài 1: Cho hàm số y x m x m m x m m3 2 23( 1) 2( 3 2) ( 1) 
 Viết phương trình đường thẳng qua 2 cực trị. 
Bài 2: Cho hàm số y mx x x m3 2 2 8 
 CMR pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị luôn đi qua điểm cố định. 
Bài 3: Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 (1 ) 1 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm trên đt (d):y=-4x. 
Bài 4: Cho hàm số y x x m3 2
3
2
 Tìm m có đt qua 2 cực trị tạo với đt (d): x
1 1
y
4 4
 1 góc 45 độ. 
Bài 5: Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 (1 ) 1 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT đối xứng qua đt (d):y=x+2. 
Bài 6: Cho hàm số y mx mx x m3 23 3 3 2 
 Tìm m để hàm số luôn có cực trị và đx qua đt (d): x
1 1
y
4 4
Bài 7: Cho hàm số y mx x x m3 2 2 8 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT và đt qua 2 cực trị luôn đi qua 1 điểm cố định. 
Bài 8: Cho hàm số y x x mx3 23 2 
 Tìm m để hàm số có 2CĐ,CT nằm về 2 phía của đt (d):y=x. 
Bài 9: Cho hàm số y x x mx3 23 2 
 Tìm m để hàm số có CĐ, CT và đt qua 2 cực trị tạo với 2 trục tọa độ một 
tam giác cân. 
Bài 10: Cho hàm số y x mx m m x3 2 2
1
( 1) 1
3
 Tìm m để hàm số có cực trị ( ;1) . 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 41 
 Bài 11. Cho hàm số ( )y f x có đồ thị như hình vẽ. 
Hỏi hàm số ( )y f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 
Bài 12. Cho hàm số ( )y f x có đồ thị như hình vẽ sau: 
1. Hàm số ( )y f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
2. Hàm số ( )y f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
3. Hàm số ( )y f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
Bài 13. Cho hàm số ( )y f x . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới 
1. Tìm m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị. 
2. Tìm m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị. 
3. Tìm m để hàm số g x f x m có 3 điểm cực trị. 
Bài 14. Cho hàm số .y f x Đồ thị hàm số y f x như 
hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 3 .g x f x 
 A. 2. B. 3. 
 C. 4. D. 5. 
Bài 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số 'y f x như 
hình vẽ bên dưới 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 42 
Số điểm cực trị của hàm số 2017 2018 2022g x f x x là 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Bài 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ 
bên dưới. 
Hàm số 
3
2 2
3
x
g x f x x x đạt cực đại tại 
 A. 1x . B. 0x . C. 1x . D. 2x . 
Bài 17. Cho hàm số y f x có đạo hàm 1 3f x x x với mọi .x 
Hàm số y f x đạt cực đại tại 
 A. 0.x B. 1.x C. 2.x D. 3.x 
Bài 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm 
2
1 1 2 1f x x x x với 
mọi .x Hàm số g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị ? 
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Bài 19. Cho hàm số y f x có đạo hàm 2 21 2 5f x x x x mx với mọi 
.x Có bao nhiêu số nguyên 10m để hàm số g x f x có 5 điểm cực 
trị ? 
 A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. 
Bài 20. Cho hàm số y f x có đạo hàm 
32 52 21 3 4 3f x x x m m x với mọi .x Có bao nhiêu số nguyên 
m để hàm số g x f x có 3 điểm cực trị ? 
 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 43 
VI. HIỆU QUẢ CỦA SKKN 
 SKKN này đã được thực hiện trong các buổi giảng dạy, ôn thi TN năm học 
2020-2021 tại 3 lớp 12C1, 12C5 và 12C6. Trong quá trình học, bước đầu học sinh thấy 
khó khăn nhưng qua vài ví dụ học sinh nhận thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều 
phương pháp khác nhau. Trong đó việc ứng dụng phương pháp trên, tạo cho học sinh 
niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh 
hoạt, sáng tạo kiến thức đã học, giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy, phát huy 
tính tích cực sáng tạo trong học toán và hơn nữa giúp học sinh hệ thống kiến thức 
và phương pháp giải để học sinh tự tin hơn khi bước vào các kỳ thi. 
Kết quả sau khi áp dung đề tài: 
Lớp Số HS 
Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12C1 44 0 0% 7 15,9% 31 70,5% 6 13,6% 
12C5 41 1 2,5% 34 82.9% 6 14,6% 0 0% 
12C6 37 3 8,1% 32 86.5% 2 5,4% 0 % 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 44 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
 Với lượng kiến thức nhất định về cực trị của hàm số người học sẽ có cái 
nhìn sâu sắc hơn khi giải toán; đồng thời, tìm được phương pháp giải phù hợp với 
các bài toán về các nội dung này. 
 Đối với học sinh có học lực trung bình trở xuống thì một số dạng toán về 
cực trị của hàm số là tương đối khó. Vì vậy, đề tài này nhằm cung cấp thêm cho 
các em một phương pháp tiếp cận lời giải bài toán, giúp các em có cách nhìn nhận 
bài toán theo nhiều hướng khác nhau từ đó phát triển được tuy duy sáng tạo của 
học sinh. 
 Là giáo viên dạy ôn thi TN nhiều năm liền, tôi nhận thấy chuyên đề đã áp 
dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, 
góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; giúp học sinh giải quyết một số dạng 
toán về cực trị của hàm số tốt hơn, góp phần tích cực vào việc ôn thi TN THPT 
Quốc gia 
 Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá 
trình giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan, các vấn đề tôi nêu ra rất mong 
được sự góp ý của các thầy cô giáo, để bài viết được hoàn thiện hơn và áp dụng 
thiết thực vào quá trình giảng dạy. Xin trân trọng cảm ơn! 
“Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số” 
GV: Nguyễn Thị Minh Tần - THPT Đô Lương 3 
 45 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. 
Giải tích 12, NXB Giáo dục. 
2. Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Thu Nga, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn 
Tuất. Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục. 
3. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, 
Đặng Hùng Thắng. Sách giáo viên Giải tích 12, NXB Giáo dục. 
4. Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức Tài, Nguyễn 
Khắc Minh. Hướng đãn ôn tập kì thi THPT Quốc Gia năm học 2019-2020 môn 
Toán, NXB Giáo dục. 
5. Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức Tài, Nguyễn 
Khắc Minh, Hướng đãn ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia năm học 2020-2021 
môn Toán, NXB Giáo dục. 
6. Phan Huy Khải, Phạm Văn Thạo. Ôn luyện thi tốt nghiệp THPT năm 2021 môn 
Toán, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. 
7. Nguyễn Thế Thạch, Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chương, Nguyễn Trung Hiếu, 
Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Quý Sửu. Hướng dẫn thực hiện 
chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán lớp 12, NXB Giáo dục. 
8. Nhóm Diễn đàn giáo viên Toán 
 Nhóm Toán THPT: 
Nhóm Word và biên soạn tài liệu Toán 
9. Các đề thi minh hoạ, đề thi thử THPT trên cả nước