SKKN Phát triển tư duy hàm cho học sinh bậc THPT, thông qua giải một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

ng ứng của 2 6x x 
 Với sự biến thiên của 2 6x x , Ta có sự biến thiên tương ứng của 2 6x x 
Với sự biến thiên của 2 6x x , Ta có sự biến thiên tương ứng của 2 6x x m 
 26 
 dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta có sự biến thiên tương ứng của 
hàm số 2( 6 )f x x m một cách đầy đủ trong tất cả các trường hợp của tham số 
m , giúp học sinh hiểu sâu sắc bài toán, đủ khả năng để sáng tạo các câu hỏi mới 
như: 
C hỏi Tìm 0m để hàm số 2( 6 )g x f x x m đồng biến trên 
 0; ? 
Giải: Dựa vào Bảng biến thiên tổng quát ở cách 3 ta có ngay kết quả, giá trị m 
cần tìm là 8m 
C hỏi Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 
 2( 6 )g x f x x m nghịch biến trên 
1
0;
2
? 
Giải: Từ bảng biến thiên ở cách giải 3 ta có, để hàm số 
 2( 6 )g x f x x m nghịch biến trên 
1
0;
2
 thì ta có trường hợp sau: 
3 8 3 8 3 8
39
31 25 39
8 88
2 8 8
m m m
m
u m m
Vậy giá trị mcần tìm là  3,4m 
 ài o n 2 ch m đ – H ốc gia n m Lần 2) Cho hàm 
số f x có 0 0.f Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường 
cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số 3( )g x f x x là 
A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. 
L i i i 
(Cách giải theo hư ng tư d hà ) 
Xét 3( )h x f x x 
 27 
Có 2 3' 3 ' 1h x x f x 
 2 3 3 2
1
0 3 1 0 0 1
3
h x x f x f x x
x
 ặt 3 2 23x t x t phương trình (1) trở thành: 
23
1
 0 2
3
f t t
t
Vẽ đồ thị hàm 
23
1
3
y
x
 trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y f x . 
Dựa vào đồ thị ta có: 
3 3
323 3
0 0 01
0 03 0
t b x b x b
f t
t a x at x a
Bảng biến thiên 
Dựa vào BBT ta thầy hàm số 3( )g x f x x có 5 điểm cực trị. 
 đáp án à . 
 28 
 Từ lối tư duy hàm quen thuộc cùng bảng biến thiên tổng hợp, dựa trên các điểm 
nhấn của Bảng biến thiên ta có thể sáng tạo thêm các câu hỏi sau 
C hỏi Cho 8, 1b a , tìm khoảng đồng biến của hàm số 
 3( )g x f x x 
A. ; 2 B. 2;1 C. 0;1 D. 0, 
Giải: Khi thay giá trị 1, 8a b vào bảng biến thiên ở trên ta có ngay đáp án 
là C. 
C hỏi Cho 8, 1, 8 3; 1 1b a f f , tìm 0m để hàm số 
có nhiều hơn 3 cực trị 
Giải: dựa vào bảng biến thiên ta xét các trường hợp của 0m như sau: 
Vậy để hàm số có nhiều hơn 3 điểm cực trị thì chỉ đúng với trường hợp 
0 2m . 
 Bà to n 3. Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm được cho như hình vẽ 
bên dưới và có 1 1f . 
 29 
Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số  2020;2020m để hàm 
số 22 2 2 12y f x x mx đồng biến trên khoảng 1;3 . Số phần tử của 
tập S tương ứng bằng 
A. 4029 . B. 4028. C. 4027 . D. 4033. 
Lời giải 
C ch 
 ặt 22 2 2 12y g x f x x mx 2 2g x f x x m . 
 ể hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1;3 thì xảy ra 2 trường hợp sau: 
Trƣờng hợp 1: Hàm số y g x phải đồng biến trên khoảng 1;3 và 1 0g . 
Suy ra 0, 1;3g x x  . 
 0g x g x , 1;3x 
 2 ' 2 0, 1;3 2 , 1;3
2 13 01 2 1 2 11 0
g x f x x m x m f x x x
mg f m
   
 2, 2 , 1;1
13
2
m f u u u x u
m
  
 
1;1
max 2 1 1 2 6
13
2
m f u u f
m
6m . 
Chú ý rằng trên  1;1 thì 
1 3
1 1
f u f
u
. 
 30 
Suy ra 
 
1;1
max 2 1 1 2 6f u u f
 . 
Trƣờng hợp 2: Hàm số y g x phải nghịch biến trên khoảng 1;3 và 
 1 0g . Suy ra 0, 1;3g x x  
 y g x g x đồng biến trên 1;3 . 
 2 2 0, 1;3 2 , 1;3
2 13 01 2 1 2 11 0
g x f x x m x m f x x x
mg f m
   
 2, 2 , 1;1
13
2
m f u u u x u
m
  
 
1;1
min 2
13
2
m f u u
m
. 
Mà 
 
1;1
min 2 2 1 2 1f u u
 . 
13
2
m . 
Chú ý rằng trên  1;1 thì 
 2
1
f u
u
. 
Suy ra 
 
1;1
min 2 2 1 2 1f u u
 . 
Kết hợp với điều kiện  
6 2020
2020;2020
2020 7
m
m
m
. Suy ra có 4029 
giá trị nguyên của m thỏa mãn. 
C ch 2. d ng b ng biến hi n m ng heo h ớng d hàm) 
 ặt 22 2 2 12g x f x x mx 2 2g x f x x m . 
Bảng biến thiên tổng hợp của hàm số y g x trên 1,3 có tất cả các trường hợp 
sau 
 31 
Từ bảng biến thiên ở 3 trường hợp theo tham số trên và tính chất đồ thị hàm số 
chứa dấu giá trị tuyệt đối, để hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1;3 thì 
xảy ra trường hợp 1 và trường hợp 3 
+) Với 6m , hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1;3 thì 
13
2 13 0
2
m m
+)Với 
1
2
m
 ,hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1;3 thì 
13
2 13 0
2
m m
Kết hợp với điều kiện các giá trị nguyên của tham số 
 
6 2020
2020;2020
2020 7
m
m
m
. Suy ra có 4029 giá trị 
 32 
 đáp án à A. 
 Qua hai cách giải trên ta thấy được với lối tư duy hàm, đặt tương ứng biến 
số ta có một cách nhìn tổng thể bài toán, cách giải khá rõ ràng và ít gặp sai lầm 
hơn ở các trường hợp biện luận theo trường hợp. 
 Bà to n . ( ch Minh Họa 2021) Cho hàm số f x là hàm số bậc bốn 
thoả mãn 0 0f . Hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
Hàm số 3 3g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . 
Lời giải 
 Bảng biến thiên hàm số f x 
 ặt 3 2 3 3 2
1
3 3 3 0h x f x x h x x f x f x
x
Theo phương pháp tư duy hàm ta có bảng biến thiên
 33 
 Vậy hàm số g x có 3 cực trị. 
 đáp án à . 
 Bà to n . ( ch đ hi h ngTHPT Hậu L c 2 - Thanh Hóa - 2020) 
Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị của hàm đạo hàm 'f x như hình vẽ và 
 1f b .Số giá trị nguyên của  5;5m để hàm số 
 2 4g x f x f x m có đúng 5 điểm cực trị là 
 34 
A. 8 . B. 10 . C. 9 . D. 7 . 
Lời giải 
Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x : 
Xét hàm số 2 4h x f x f x m 
, bằng phương pháp tư duy hàm ta có 
Bảng biến thiên tương ứng với các trường hợp như sau:
 35 
Từ YCBT 2 4g x h x f x f x m có 5 điểm cực trị khi: 
   5 4 ; 5;5 5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3m m m m . 
 đáp án à C. 
 Bà to n 6. ch đ hi h H ốc gia của S GD Qu ng Nam - 
2019) Cho hai hàm đa thức y f x , y g x có đồ thị là hai đường cong ở 
hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y f x có đúng một điểm cực trị là A , đồ thị 
hàm số y g x có đúng một điểm cực trị là B và 
7
4
AB . Có bao nhiêu giá trị 
nguyên của tham số m thuộc khoảng 5;5 để hàm số y f x g x m 
có đúng 5 điểm cực trị? 
 36 
A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . 
Lời giải 
 ặt h x f x g x , ta có: h x f x g x ; 
0
0h x x x ; 
1
0h x x x hoặc 
2
x x (
1 0 2
x x x ); 
 0 0 0
7
4
h x f x g x . 
Bảng biến thiên của hàm số y h x là: 
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y k x f x g x là: 
 37 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y k x f x g x m như trên ta có 
hàm số có đúng 5 điểm cực trị tương ứng với trường hợp thứ 3, tức là 
7
4
m . 
Vì m , 
7
4
m và 5;5m nên 4; 3; 2m . 
 đáp án à . 
 Bà to n . ( ch đ hi h ố nghi p H của ng H Chuyên 
Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số bậc bốn 
 4 3 2 , , , , ,f x ax bx cx dx e a b c d e R biết 
1
1
2
f
 và đồ thị hàm số 
 y f x hình vẽ. Hàm số 22 2g x f x x x đồng biến trên khoảng 
 38 
A. 2; . B. 1;1 . C. 1;2 . D. ; 1 . 
Lời giải 
Ta có 3 2 24 3 2 ; 12 6 2 .f x ax bx cx d f x ax bx c Theo giả thiết ta có 
1
0 1
0
0 0
1
2 1 4
21 0
3
d
f
c
f
a
f
f b
Suy ra 
4 3
3 2 2 2752 1; .
4 3 192
x x
f x x x f x x 
Xét hàm số 22 2h x f x x x ta có 
1
2 2 2 0 2
1
x
h x f x x h x x
x
. 
Ta có bảng biến thiên 
 39 
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x đồng biến trên 1;2 . 
 đáp án à C. 
 Bà to n . ( ch đ hi h ố nghi p H của ng Chuyên Biên 
Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số đa thức f x có đạo hàm trên . Biết 
 0 0f và đồ thị hàm số y f x như hình sau. 
Hàm số 24g x f x x đồng biến trên khoảng nào dưới đây 
A. 4; . B. 0;4 . C. ; 2 . D. 2;0 . 
Lời giải 
Xét hàm số 24h x f x x trên . 
Vì f x là hàm số đa thức nên h x cũng là hàm số đa thức và 
 0 4 0 0h f . 
Ta có 4 2h x f x x . Do đó 
1
0
2
h x f x x . 
 40 
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng 
1
2
y x , ta 
có 0 2;0;4h x x 
Suy ra bảng biến thiên của hàm số h x như sau: 
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g x h x như sau: 
Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g x đồng biến trên khoảng 0;4 . 
 đáp án à . 
 Bà to n . ( ch đ hi h H của ng Ch n H Vinh - Ngh 
An -2020) Cho hàm số f x có đạo hàm trên và 1 1f . ồ thị hàm số 
 y f x như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số 
 4 sin cos2y f x x a nghịch biến trên 0;
2
? 
 41 
A. 2 . B. 3 . C. Vô số. D. 5 . 
Lời giải 
 ặt 24 sin cos2 4 sin 1 2sing x f x x a f x x a 
Ta có bảng biến thiên của g x trên 0;
2
 theo phương pháp tư duy hàm như 
sau 
Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số y g x và yêu cầu của bài toán ta có 
3 0 3a a . Vậy có 3 giá trị nguyên dương của a thỏa mãn. 
 đáp án à B. 
 Bà to n . ( ch đ hi h ố nghi p H của ng Chuyên Long 
An - 2021) Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng biến thiên dưới đây 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
 6 5 2021y f x m có 3 điểm cực đại? 
 42 
A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 4 . 
Lời giải 
Bảng biến thiên theo phương pháp tư duy hàm: 
Suy ra hàm số 2021y f u m có ba điểm cực đại 
2017 0
2024 2017
2024 0
m
m
m
. 
Do 2023; 2022; 2021; 2020; 2019; 2018m m . 
Vậy có 6 giá trị nguyên của m để hàm số đã cho có 3 cực đại. 
 đáp án à B. 
 Bà to n 1. Cho hàm số đa thức y f x có đạo hàm trên . Biết rằng 
 0 0f , 
3 19
3
2 4
f f
 và đồ thị hàm số y f x có dạng như hình 
vẽ. 
Hàm số 24 2g x f x x giá trị lớn nhất của g x trên 
3
2;
2
 là 
A. 2 . B. 
39
2
. C. 1. D. 
29
2
. 
Lời giải 
Xét hàm số 24 2h x f x x xác định trên . 
 43 
Hàm số f x là hàm đa thức nên h x cũng là hàm đa thức và 
 0 4 0 2.0 0h f 
Khi đó 4 4 0 'h x f x x h x f x x . 
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y x , ta 
có 
3
0 3;0;
2
h x x
 
 
 
Ta có bảng biến thiên như sau: 
Vậy giá trị lớn nhất của g x trên 
3
2;
2
 là 
29
2
. 
 đáp án à . 
 Bà to n 2. ( ch đ thi thử P Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số 
 f x
liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ 
 44 
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
2
8
1
1
x
y f m
x
có giá trị lớn nhất không vượt quá 2020 ? 
A. 4029 . B. 4035 . C. 4031 . D. 4041 . 
Lờ giải 
 ặt 
2
8
1
x
t
x
. Ta có: 
2
2
2
8 8
1
x
t
x
; 0 1t x . 
BBT: 
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 
Bằng lối tư duy hàm đặt tương ứng ta có bảng biến thiên của hàm số 
2
8
1
1
x
y f m
x
 
4;4
Max Maxy h t
 Max 5 ; 5m m . 
Yêu cầu bài toán 
 45 
5 2020
5 2020
m
m
2020 5 2020
2020 5 2020
m
m
2025 2015
2015 2025
m
m
2015 2015m . 
Vậy có tất cả 4031
giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 đáp án à C. 
 Bà to n 3. ( ch đ thi thử P P Cơ ở 2 - TP.HCM - 2021) 
Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên trên đoạn  4;4 như sau: 
Có bao nhiêu giá trị của tham số  4;4m để giá trị lớn nhất của hàm số 
 3( ) 3g x f x x f m trên  1;1 bằng 11?
2
A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . 
Lờ ả 
Bằng phương pháp đặt tương ứng ta có Bảng biến thiên 
 Khi đó 
 
1;1
11 5
max ( ) 3 ( ) .
2 2
g x f m f m
Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 đáp án à . 
 46 
IV. THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI 
1. Mụ đí h nộ dun nh ệm vụ thự n h ệm sƣ phạm. 
1. . Mụ đí h thự n h ệm sƣ phạm. 
Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của phương 
pháp dùng tư duy hàm để giải quyết các bài toán về hàm số chứa dấu giá trị 
tuyệt đối 
- Kiểm tra sự phù hợp của các nội dung đã nêu trong đề tài. 
- ánh giá tính khả thi và hiệu quả của phương pháp để sửa đổi, bổ sung và 
hoàn thiện và cũng góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 
trong quá trình ôn thi TNTHPT. 
1.2. Nộ dun thự n h ệm sƣ phạm. 
Nội dung thực nghiệm là tiến hành dạy học cho học sinh theo tiến trình tư 
duy đã nêu trong Mục II, cho học sinh giải quyết các bài toán vận dụng cao đã 
nêu trong Mục III theo phương pháp mới. 
1.3. Nh ệm vụ ủa thự n h ệm sƣ phạm. 
- Kiểm tra đánh giá hiệu quả của phương pháp đã dạy. 
- Thu thập, xử lí và phân tích kết ủa của thực nghiệm sư phạm. 
- ánh giá kết quả thực nghiệm và rút ra kết luận về tính khả thi của đề tài. 
2. Đố tƣợn và thờ an thự n h ệm 
2.1. Đố tƣợng thực nghiệm 
Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm đối với 2 nhóm học sinh khá giỏi gồm 
15 học sinh lớp 12A2 – Lớp chọn khối và 15 học sinh lớp 12A5 – Lớp chọn 
khối D – Trường THPT Phan ăng Lưu. 
2.2. Thời gian thực nghiệm 
Thời gian thực nghiệm từ 15/5/2021 đến 20/03/2022 
3. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm. 
 Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy cho 2 nhóm học sinh khá giỏi ở 2 lớp 
12A2 và 12A5 chúng tôi thu được một số kết quả như sau: 
 + Số lượng học sinh hứng thú với các bài toán tăng lên rõ rệt, các em biết 
hướng khai thác bài toán hơn trước khi áp dụng phương pháp của đề tài. 
+ Số học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề nhanh hơn, linh hoạt tạo ra 
được nhiều tình huống, bài toán mới, tự tin hơn trước những bài toán vận dụng 
cao về hàm số. 
 47 
Bảng 1. Thực trạn họ s nh trƣớ à to n v n dụn ao về hàm 
số kh hƣa p dụn đề tà 
 ánh giá về khả năng tiếp nhận và xử lí các bài toán 
vận dụng cao về hàm số 
Số ý kiến Tỷ lệ % 
Bỏ qua, không biết phương hướng giải quyết, xem 
Thầy cô giải vẫn khó hiểu 
13 43 % 
 ã giải quyết được bài Toán nhưng còn tùy bài, tùy 
đối tượng, chỉ giải quyết được một số bài toán đơn 
giản 
10 33 % 
 ã giải quyết được cơ bản phần lớn các bài tập về 
dạng này 
5 16,5 % 
Tự tin giải quyết được và biết cách tạo ra câu hỏi 
mới liên quan tới bài toán 
2 7,5 % 
Bảng 2. Thực trạn họ s nh kh đứn trƣớ à to n v n dụn ao 
về hàm số sau kh p dụn đề tà 
 ánh giá về khả năng tiếp nhận và xử lí các bài toán vận 
dụng cao về hàm số 
Số ý kiến Tỷlệ % 
Bỏ qua, không biết phương hướng giải quyết 2 7,5% 
 ã giải quyết được bài Toán nhưng còn tùy bài, tùy đối 
tượng, chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản 
10 33 % 
 ã giải quyết được cơ bản phần lớn các bài tập về dạng 
này 
10 33 % 
Giải quyết đươc và biết cách tạo ra câu hỏi mới liên quan 
tới bài toán 
8 26.5 % 
 48 
PHẦN KẾT LUẬN 
 Phát triển tư duy hàm là nhiệm vụ xuyên suốt trong chương trình toán 
học phổ thông. Trong quá trình dạy học phần hàm số trong chương trình giải 
tích 12, ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia chúng tôi nhận thấy học sinh gặp 
phải nhiều khó khăn trong việc giải một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, 
cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
 ề tài đã góp phần giúp giáo viên giảng dạy một cách có hệ thống vấn 
đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua giải một số bài toán về tính đơn 
điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Góp phần phát triển tư 
duy hàm cho học sinh, giúp học sinh khắc phục được khó khăn nêu trên, học 
sinh định hướng và giải được lớp các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực 
trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Nâng cao kết quả trong kì thi 
Tốt nghiệp THPT Quốc Gia năm 2021 và hướng tới kì thi Tốt nghiệp THPT 
Quốc Gia năm 2022. 
 49 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Phương pháp dạy học môn Toán. Nguyễn Bá Kim 
[2]. Sách giáo khoa Giải tích 12. Nhà xuất bản Giáo dục 
 [3]. Tuyển tập đề thi tham khảo; đề chính thức THPT Quốc gia môn Toán năm 
học từ 201 đến nay. 
[4]. Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia, thi thử TNTHPT môn Toán các năm 
học từ 201 đến nay của các trường trên cả nước. 
[5 . Nguồn từ các trang mạng Internet.