SKKN Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua khai thác bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai của Đại số 10

 phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai có nhiều điều kiện để khai thác. 
Hệ thống được cơ sở lí luận về mô hình hóa toán học, các bước của quá trình 
mô hình hóa. Hệ thống được các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
và hàm số bậc hai, đưa ra được hệ thống các bài toán thực tiễn của hai chủ đề trên 
và định hướng cho học sinh giải thông qua phương pháp dạy học mô hình hoá. 
Đề tài đã đánh giá được thực trạng dạy học mô hình hóa hiện nay còn chưa 
được phổ biến trong nhà trường phổ thông. Giáo viên có quan tâm đến dạy học mô 
hình hóa, nhưng chưa chủ động áp dụng vào các bài giảng. 
II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 
Thứ nhất, đề tài đã sử dụng cách tiếp cận hoàn toàn mới đó là khai thác kiến 
thức của hàm số bậc hai, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải các bài toán 
thực tiễn theo hướng mô hình hoá nhằm mục đích phát triển năng lực mô hình hoá 
cho HS. 
Thứ hai, đề tài đã trình bày quan điểm phát triển năng lực mô hình hóa cho 
HS thông qua khai thác bài toán thực tiễn áp dụng kiến thức hàm số bậc hai và bất 
phương trình bậc nhất hai ẩn. Khẳng định phát triển năng lực mô hình hóa toán học 
cho HS là một vấn đề cần thiết và quan trọng trong dạy học. Đặc biệt phát triển 
năng lực mô hình hóa toán học phù hợp với xu thế phát triển năng lực của chương 
trình đổi mới giáo dục phổ thông. 
Thức ba, đề tài cũng đã đề xuất được quy trình các bước phát triển năng lực 
mô hình hóa toán học cho HS thông qua dạy học giải các bài toán liên quan đến hệ 
bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai trong thực tế. 
Thứ tư, đề tài đã góp phần phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho HS. 
Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 10, 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ôn thi 
HS giỏi và kỳ thi đánh giá năng lực của các trường Đại học năm học 2022 - 2023. 
III. HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 
Ý tưởng khai thác bài toán thực tiễn trong đề tài nhằm góp phần phát triển 
năng lực tư duy mô hình hoá toán học cho học sinh cũng có thể mở rộng ra cho các 
chủ đề khác của môn Toán cũng như các môn khoa học tự nhiên khác. 
IV. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT 
1. Đối với nhà trường 
Tạo mọi điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian để giáo viên thực 
hiện đổi mới về phương pháp giảng dạy. 
 49 
Tạo cho giáo viên quyền tự chủ xây dựng, thiết kế kế hoạch dạy phù hợp với 
nội dung chương trình, đối tượng HS mà giáo viên trực tiếp giảng dạy. 
2. Đối với giáo viên 
Cần tăng cường cho học sinh các hoạt động tìm tòi trong các giờ học, liên 
tưởng, liên hệ với cuộc sống hàng ngày và thực tiễn xung quanh nhà trường, lớp 
học, gia đình và xã hội để các em thấy rõ hơn ý nghĩa của những tri thức và hứng 
thú hơn trong học tập, quan tâm nhiều đến phát triển năng lực mô hình hóa toán 
học cho bản thân. Đánh giá nâng cao kết quả học tập của học sinh thông qua việc 
vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học. 
Cuối cùng, mặc dù tôi đã rất tâm huyết và dành nhiều thời gian đầu tư 
nghiên cứu khi thực hiện đề tài này, tuy nhiên trong khuôn khổ số trang cho phép 
không thể đưa được nhiều ví dụ minh hoạ thêm cho mỗi biện pháp cũng như không 
đưa được nhiều các bài tập luyện tập đi kèm. Dù đã có nhiều cố gắng nhưng đề tài 
không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của hội đồng khoa học 
các cấp, các đồng nghiệp và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn. 
 Xin chân thành cảm ơn! 
Hưng Nguyên, tháng 4 năm 2023 
Tác giả 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Thị Tân An (2012), “Sự cần thiết của mô hình hoá trong dạy học 
toán”, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. 
[2] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông (chương 
trình tổng thể). 
[3] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2022), Sách giáo khoa Toán 10 tập 1 (Bộ sách Kết 
nối tri thức với cuộc sống), Nhà xuất bản Giáo dục. 
[4] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2022), Sách giáo khoa Toán 10 tập 2 (Bộ sách Kết 
nối tri thức với cuộc sống), Nhà xuất bản Giáo dục. 
[5] Các bài tập trên nhóm Strong team VD-VDC. 
[6] Lê Thị Hoài Châu (2014), "Mô hình hóa trong dạy học đạo hàm", Tạp chí Khoa 
học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. 
[7] G.Polya (2009), Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Việt Nam. 
[8] Nguyễn Danh Nam (2015), “Quy trình mô hình hoá trong dạy học toán ở 
trường phổ thông”, Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia, Hà Nội. 
[9] Đỗ Thị Thanh (2020), "Dạy học giải bài toán xác suất nhằm phát triển năng lực 
mô hình hóa toán học cho sinh viên khối ngành Kĩ thuật Trường Đại học Công 
nghiệp Hà Nội", Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt kì 1 tháng 5, tr.131-137. 
PHỤ LỤC 
Phụ lục 1. Một số hình ảnh triển khai đề tài 
Phụ lục 2. Phiếu khảo sát thực trạng dạy học phát triển năng lực 
mô hình hoá Toán học 
(Dành cho giáo viên) 
Thầy (cô) vui lòng cho ý kiến về các vấn đề sau: 
Câu hỏi 1: Các thầy (cô) đánh giá về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc dạy 
học theo hướng tăng cường khai thác mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn? 
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
Câu hỏi 2: Các thầy (cô) đánh giá về mức độ quan trọng của việc đưa mô hình hoá 
toán học nhằm phát triển năng lực cho học sinh? 
Không quan trọng Quan trọng Rất quan trọng 
Câu hỏi 3: Các thầy (cô) đánh giá về mức độ thường xuyên của việc đưa mô hình 
hoá toán học nhằm phát triển năng lực cho học sinh? 
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
Xin chân thành cảm ơn thầy (cô)! 
Kết quả khảo sát 09 giáo viên tại trường THPT Nguyễn Trường Tộ 
TT Câu hỏi Các ý kiến 
1 Câu hỏi 1 
Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
5 4 0 
2 Câu hỏi 3 6 3 0 
3 Câu hỏi 2 
Không quan trọng Quan trọng Rất quan trọng 
0 4 5 
Phụ lục 3. Phiếu điều tra thực trạng mô hình hoá toán học với học sinh trong 
dạy học Toán ở trường THPT 
(Dành cho học sinh) 
Các em vui lòng cho ý kiến về các vấn đề sau: 
Câu hỏi 1: Học sinh mong muốn được biết thêm những ứng dụng thực tế của Toán 
học như thế nào? 
Không muốn Bình thường Rất muốn biết 
Câu hỏi 2: Em hãy đánh giá về mức độ thường xuyên đưa các bài toán mô hình 
hoá có yếu tố toán học trong thực tiến cuẩ giáo viên hiện nay? 
Không bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
Xin chân thành cảm ơn các em! 
Kết quả khảo sát 83 học sinh tại trường THPT Nguyễn Trường Tộ 
TT Câu hỏi Các ý kiến 
1 Câu hỏi 1 Không muốn Bình thường Rất muốn biết 5 24 54 
2 Câu hỏi 2 Không bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 0 83 0 
Phụ lục 4. Phiếu điều tra tính khả thi của các giải pháp trong đề tài đối với 
giáo viên và học sinh 
Thầy(Cô) và các em vui lòng cho ý kiến về các vấn đề sau: 
Đánh dấu X vào 1 trong 4 mức độ của thang đánh giá mỗi giải pháp 
TT Các giải pháp 
Thang đánh giá các giải pháp 
Không 
khả thi 
Ít khả 
thi 
Khả 
thi 
Rất 
khả thi 
1 Hệ thống các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai. 
2 
Tìm hiểu quan hệ giữa khai thác hệ bất 
phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc 
hai với phát triển năng lực mô hình hoá. 
3 
Các bước thiết lập mô hình hoá các bài 
toán đại số 10 trong bài hệ bất phương 
trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai. 
4 Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng mô hình đồ thị đồ thị hàm số bậc hai. 
5 Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng mô hình hàm số bậc hai. 
6 Bài toán thực tế sử dụng mô hình toán học hàm số bậc hai trong môn Vật lý lớp 10. 
7 Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Phụ lục 5. Phiếu điều tra tính cấp thiết của các giải pháp trong đề tài đối với 
giáo viên và học sinh 
Thầy(Cô) và các em vui lòng cho ý kiến về các vấn đề sau: 
Đánh dấu X vào 1 trong 4 mức độ của thang đánh giá mỗi giải pháp 
TT Các giải pháp 
Thang đánh giá các giải pháp 
Không 
cấp 
thiết 
Ít cấp 
thiết 
Cấp 
thiết 
Rất 
cấp 
thiết 
1 Hệ thống các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai. 
2 
Tìm hiểu quan hệ giữa khai thác hệ bất 
phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc 
hai với phát triển năng lực mô hình hoá. 
3 
Các bước thiết lập mô hình hoá các bài 
toán đại số 10 trong bài hệ bất phương 
trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai. 
4 Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng mô hình đồ thị đồ thị hàm số bậc hai. 
5 Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng mô hình hàm số bậc hai. 
6 Bài toán thực tế sử dụng mô hình toán học hàm số bậc hai trong môn Vật lý lớp 10. 
7 Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Phụ lục 6. Đề kiểm tra 45 phút của lớp TN và ĐC 
Câu 1. Một công ty kinh doanh xe đạp bán được 4.500 chiếc xe một tháng với giá 
là 5.000.000 VND/chiếc. Công ty đã thực hiện một số nghiên cứu và nhận thấy 
rằng mỗi lần giảm 200.000 VND/chiếc thì bán thêm được 300 chiếc xe mỗi tháng. 
Doanh số cao nhất trong một tháng của công ty đạt được sau khi giảm giá thành 
trên một chiếc xe là bao nhiêu? 
Câu 2. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 190kg chất 
A và 13 kg chất .B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 5 triệu đồng, có thể chiết 
xuất được 25 kg chất A và 0, 5 kg chất .B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 4 
triệu đồng, có thể chiết xuất được 10kg chất Avà 2, 5 kg chất .B Hỏi phải dùng 
bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chỉ phí mua nguyên liệu là ít nhất? Biết rằng 
cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 12 tấn nguyên liệu loại I 
và không quá 8 tấn nguyên liệu loại II. 
Phụ lục 7. Một số bài tập trắc nghiệm tương tự 
Câu 1: Khi một quả bóng được ném lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. 
Biết quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth
, trong đó t là thời gian, kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao của quả 
bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m . Sau đó 1 giây, nó 
đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá nó lên, nó ở độ cao 6 m . Sau bao lâu thì 
quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên? 
 A. 2,59 giây. B. 2,58 giây. C. 2,57 giây. D.2,56 giây. 
Câu 2: Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. 
Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m . Trên thành cổng, tại vị trí có 
độ cao 43 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất 
của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m . Giả sử các số liệu trên 
chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch. 
A. 185,6 (m). B. 197,5 (m). C. 210 (m). D.175,6 (m). 
Câu 3: Có một cái cổng hình Parabol. Người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng 
BC là 10 m . Từ một điểm M trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới 
mặt đất là 18MK m và khoảng cách tới chân cổng gần nhất là 1BK m . 
Chiều cao AH c ủa cổng là 
A. 16 m . B. 20 m . C. 50 m . D. 72 m . 
Câu 4: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe máy các loại. Hiện nay 
doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Hon đa Lead 2020 
Smartkey bản đen mờ với chi phí mua vào một chiếc là 37 triệu đồng và bán ra là 
41 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một 
tháng là 60 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang 
ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 
triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm 20 
chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực 
hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất. 
A. 39 triệu đồng. B. 39,5 triệu đồng. C. 40 triệu đồng.D. 40,5 triệu đồng. 
Câu 5: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc /v km h phụ thuộc vào thời 
gian t h có đồ thị của hàm số vận tốc như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 
một giờ từ khi vật bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần parabol có đỉnh 
 2;9I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là 
một đoạn thẳng song song với trục hoảnh. Tính vận tốc của vật tại thời điểm 2t . 
A. 41
4
v . B. 19v . C. 9v . D. 31
4
v . 
Câu 6: Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán hàng khuyến mại hàng 
hóa cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B 
Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê 
với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn 
hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Gọi ,x y lần lượt là số xe loại A và 
loại B cần phải thuê để chi phí nguyên liệu thấp nhất. Tính 2 3 .M x y 
A. 2.M B. 2.M C. 3.M D. 3.M 
Câu 7: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và .II Một tấn sản 
phẩm I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm II lãi 1, 6 triệu đồng. Muốn sản xuất 
1 tấn sản phẩm I phải dùng máy 
1
M trong 3 giờ và máy 
2
M trong 1 giờ. Muốn 
sản xuất 1 tấn sản phẩm II phải dùng máy 
1
M trong 1 giờ và máy 
2
M trong 1 
giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy 
1
M 
làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy 
2
M chỉ làm việc một ngày không 
quá 4 giờ. Gọi x là số tấn sản phẩm I sản xuất trong một ngày, y là số tấn sản 
phẩm II sản xuất trong một ngày. Giá trị lớn nhất của 2 1, 6L x y bằng 
A. 6L . B. 6, 8.L C. 7.L D. 7, 8L . 
Câu 8: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 30 g hương 
liệu, 13 lít nước và 180 g đường để pha chế nước ổi và nước nho.Để pha chế 1 lít 
nước ổi cần 5 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu; Để pha chế 1 lít nước nho 
cần 25 g đường, 1 lít nước và 3 g hương liệu. Mỗi lít nước ổi nhận được 35 điểm 
thưởng, mỗi lít nước nho nhận được 70 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít 
nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? 
A. 5 lít nước ổi và 4 lít nước nho. B. 5 lít nước ổi và 5 lít nước nho. 
C. 6 lít nước ổi và 6 lít nước nho. D. 4 lít nước ổi và 6 lít nước nho. 
Câu 9: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Thành và Công. Xưởng sản xuất loại 
sản phẩm I và II . Mỗi sản phẩm I bán lãi 600 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán 
lãi 500 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Thành phải làm việc 
trong 4 giờ, Công phải làm việc trong 2 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II 
thì Thành phải làm việc trong 3 giờ, Công phải làm việc trong 5 giờ. Một người 
không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Thành 
không thể làm việc quá 200 giờ và Công không thể làm việc quá 240 giờ. Số tiền 
lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là. 
A. 32 triệu đồng. B. 31 triệu đồng. C. 30 triệu đồng. D. 33 triệu đồng. 
Câu 10: Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 190kg 
chất A và 13 kg chất .B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 5 triệu đồng, có thể 
chiết xuất được 25 kg chất A và 0, 5 kg chất .B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 
4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10kg chất Avà 2, 5 kg chất .B Hỏi phải dùng 
bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chỉ phí mua nguyên liệu là ít nhất? Biết rằng 
cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 12 tấn nguyên liệu loại I 
và không quá 8 tấn nguyên liệu loại II. 
A. 92 triệu đồng. B. 54 triệu đồng.C. 46 triệu đồng. D. 38 triệu đồng.