SKKN Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua tính chất biến thiên và cực trị của hàm số

 ) 0f có 3 nghiệm bội lẻ là x 0, x 1 nên số điểm cực trị của hàm 
số 2(x )y f là 3.Chọn C. 
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như 
hình vẽ dưới (chỉ đạt cực trị tại 3 điểm và cũng chỉ có 3 điểm chung 
với trục hoành). Số điểm cực trị của hàm số 
2
g x f x là 
A. 5. B. 4. 
C. 3. D. 6. 
Lời giải: Ta có: 2g x f x . f x . Cho 
0
0
0
f x
g x
f x
(1)
(2).
Dựa vào đồ thị trên, ta có: 
1
2
(1) 0
x x
x
x x
 (các nghiệm đều là nghiệm bội lẻ). 
2
(2) 3
0
x
x
x
(trong đó 0x nghiệm kép,hai nghiệm kia là nghiệm đơn). 
Vậy phương trình 0g x có 5 nghiệm bội lẻ. 
Do vậy số điểm cực trị của hàm số 
2
g x f x là 5. 
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ℝ và có 
đúng 2 điểm cực trị 1, 1x x có đồ thị như hình vẽ sau: 
Hỏi hàm số 3 23 6 9 1 2020y f x x x có bao nhiêu điểm 
cực trị? 
40 
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 
Lời giải:Do hàm số y f x có đúng hai điểm cực trị 1, 1x x nên phương trình 
 0f x có hai nghiệm bội lẻ phân biệt 1, 1x x . 
Ta có: 2 3 2' 3 3 12 9 ' 6 9 1y x x f x x x . 
2
3 2
0
3 2 2
1
33 12 9 0
0 6 9 1 1 1;0
6 9 1 1 3 0.
x
xx x
y x x x x x
x x x x x
. 
Vì 0y có các nghiệm lẻ là 0 , 1x x x và 3x nên hàm số 
 3 23 6 9 1 2020y f x x x có tất cả 4 điểm cực trị. Chọn C. 
Ví dụ 4. Biết rằng hàm số f x xác định, liên tục trên ℝ có đồ 
thị được cho như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số 
 5 3 1 20y f f x là 
A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. 
Nhận xét: Qua các ví dụ này, nhận thấy rằng, việc sử dụng tính chất “đổi dấu” của đạo 
hàm khi qua các điểm cực tiểu được thay bởi tính chất “nghiệm bội lẻ, nghiệm đơn” 
của f’(x) giúp HS thuận lợi cho những bài hàm ẩn. 
41 
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 
- Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và hiệu 
quả của đề tài. 
3.2. Đối tượng thực nghiệm 
- Tại trường THPT Diễn Châu 4, Diễn Châu, Nghệ an chúng tôi chọn các lớp 12A2 để 
thực nghiệm và lấy lớp 12A9 để đối chứng. 
- Lấy ý kiến của giáo viên trong nhóm Toán của trường qua phiếu điều tra. 
3.3. Tiến hành thực nghiệm 
3.3.1. Dạy thực nghiệm 
 Chúng tôi tiến hành dạy thực nghiệm dạy học tích cực hai tiết học về nội dung: “ Sự 
biến thiên và cực trị của hàm số” 
Lớp dạy: 12A2 - Trường THPT Diễn Châu 4. 
I. Mục tiêu 
1.Về kiến thức. Học sinh nắm được khái niệm đồng biến, nghịch biến, tính đơn điệu 
và cực trị của hàm số; quy tắc xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số. 
2. Về kĩ năng. Học sinh biết cách xét dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xét khi nào 
hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số vào 
giải một số dạng toán. Sử dụng thành thạo quy tắc I và quy tắc II để tìm cực trị của hàm 
số. 
3. Thái độ: 
 -Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập tư duy. 
 -Say sưa, hứng thú học tập, tìm tòi. 
 -Bồi dưỡng tinh thần trách nhiệm, kiên trì, vượt khó. 
4. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh. 
-Phát triển năng lực hoạt động nhóm, khả năng diễn thuyết độc lập. 
-Phát triển các năng lực tư duy cá nhân như: So sánh, phân tích, tổng hợp. 
-Phát triển các năng lực hợp tác theo nhóm, theo cặp. 
-Năng lực giải quyết vấn đề. 
-Năng lực sử dụng công nghệ thông tin. 
II. Chuẩn bị các phương tiện dạy học 
Thực tiễn: Học sinh đã được học về tính chất biến thiên của hàm số. 
Phương tiện: Chuẩn bị dụng cụ dạy học như thước kẻ, phấn màu, máy chiếu. 
III. Phương pháp dạy học: Chủ yếu vận dụng phương pháp dạy học tích cực vấn đáp 
gợi mở, đan xen hoạt động nhóm. 
42 
( GV chia lớp thành 04 nhóm cố định theo vị trí từng cặp 3 bàn một liên tục theo dãy). 
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động: 
Tiết 1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 
1. Mục tiêu 
Về kiến thức : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số . 
Về kỹ năng : Biết cách áp dụng định lí và định lí mở rộng về tính đồng biến, nghịch 
biến của hàm số. 
2. Tiến trình 
a) Các tình huống học tập: 
Hoạt động 1. Kiểm tra bài cũ. 
Hoạt động 2.Học sinh xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số dựa vào định lí và 
định lí mở rộng. 
Hoạt động 3. Học sinh hoạt động theo từng nhóm tiến hành giải bài tập về tính đồng 
biến, nghịch biến của hàm số . 
Hoạt động 4. Vận dụng. 
Hoạt động 5. Hoạt động củng cố. 
b) Tiến trình bài học. 
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số, kiểm tra tác phong học đường. 
2. Kiểm tra bài cũ: 
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. 
Phát biểu định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số? 
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 22 6 6 7y x x x . 
Hoạt động 2: Xét tính đơn điệu của hàm đa thức 
Hoạt động của giáo viên và học 
sinh 
Nội dung 
GV: Hàm số đồng biến trên khi 
nào? 
HS: Hàm số ( )y f x đồng biến trên 
 ' '( ) 0,y f x x  
GV: Gọi học sinh trình bày 
GV: Gọi một học sinh khác nhận xét 
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 
số m thuộc đoạn  20;2 để hàm số 
3 2 3 1y x x mx đồng biến trên ℝ ? 
Lời giải: 
Tập xác định D= ℝ. 
Ta có 23 2 3y x x m . Hàm số đồng biến trên 
23 2 3 0,
' 0 1
1 9 0
0 9
x x m x
m m
a
  
 Do m là số nguyên thuộc đoạn  20;2 nên có 
1; 2m m . 
43 
 GV: Hàm số đã cho nghịch biến 
trên 
 2;3 khi nào? 
GV: Cho học sinh hoạt động theo 
nhóm. 
 GV: Gọi đại diện của một nhóm lên 
trình bày. 
Nêu nhận xét và sửa sai (nếu có). 
Ví dụ 2. Tìm giá trị m để hàm số 
3 2 1y x x mx nghịch biến trên đoạn 
 2;3 . 
Lời giải. 
Tập xác định D = ℝ. 
Ta có 23 2y x x m 20 3 2 0 y x x m 
(1) 
Để hàm số nghịch biến trên đoạn  2;3 thì 
phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 
1 22 3x x . Điều này xảy ra khi và chỉ khi 
0 1 3 0
3 2 0 3 16 0 33
3 3 0 3 33 0
m
f m m
f m
Vậy với 33m thì hàm số đã cho nghịch 
biến trên đoạn  2;3 . 
Hoạt động 3. Xét tính đơn điệu của hàm ( )
ax b
y c o
cx d
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung 
GV: Cho học sinh hoạt động theo 
nhóm. 
GV: Gọi đại diện của một nhóm lên 
trình bày. 
Nêu nhận xét và sửa sai (nếu có). 
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
tham số m để hàm số 
2
5
x
y
x m
 đồng biến 
trên khoảng ; 10 ? 
Lời giải. 
Tập xác định \{ 5 }D m . 
Ta có 
2
5 2
5
m
y
x m
 . 
Hàm số đồng biến trên khoảng 
0, ; 10
; 10
5 ; 10
y x
m
  
2
25 2 0
255 10 52
m m
m
m
m
 / 
Do m là số nguyên nên 1;2m . 
Hoạt động 4. Vận dụng 
44 
Hoạt động của giáo viên và học 
sinh 
Nội dung 
GV: Tổ chức lớp cho học sinh 
thành 4 nhóm. 
HS:Thực hiện phân nhóm, đọc đề, 
phân công nhiệm vụ cho các thành 
viên cùng giải quyết bài tập. 
GV: Quan sát, hướng dẫn gợi ý nếu 
cần thiết. 
GV: Tổ chức cho học sinh trình 
bày theo nhóm, nhận xét, sau đó 
giáo viên nhận xét và cho điểm. 
HS: Các nhóm cử đại diện lên trình 
bày, trả lời câu hỏi từ các nhóm 
khác, rút kinh nghiệm. 
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 
số m để hàm số 5 25 5( 1) 8y x x m x 
nghịch biến trên khoảng (−∞; 1)/ 
A.2. B. 0. C. 4. D.1 
Đặt 5 2( ) 5 5( 1) 8f x x x m x . 
Ta có hàm số đã cho nghịch biến trên ;1 
'( ) ( ) 0
;1
( ) 0
f x f x
x
f x
  
/ 
'( ) 0
;1
( ) 0
f x
x
f x
 
 vì lim ( )
x
f x
 . 
 4'( ) 5 10 5( 1) 0, ;1
(1) 5 17 0
f x x x m x
f m
  
. 
 4 2 1, ;1
17
5
m x x x
m
  
4
3( ;1)
3
( 2 1) 1
2 2
17
5
m max x x
m
3
3 17
1 3.
52 2
mm m  Chọn đáp án D. 
Hoạt động 5 : Hoạt động củng cố 
Gv hệ thống lại các nội dung trọng tâm. 
Tiết 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
1.Mục tiêu 
Kiến thức: 
 -Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. 
 -Mô tả được các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị. 
Kĩ năng: 
45 
 -Sử dụng thành thạo các quy tắc tìm cực trị. 
 -Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ 
thống. 
2. Tiến trình 
a) Các tình huống học tập: 
Hoạt động 1. Kiểm tra bài cũ. 
Hoạt động 2.Một số nội dung trọng tâm. 
Hoạt động 3. Áp dụng tìm cực trị của hàm số. 
Hoạt động 4. Áp dụng vào bài toán tham số, 
 Hoạt động 5. Hoạt động củng cố. 
b) Tiến trình bài học. 
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số, kiểm tra tác phong học đường. 
2. Kiểm tra bài cũ: 
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. 
Phát biểu quy tắc 1 và quy tắc 2 về cực trị của hàm số ? 
Tìm số điểm cực đại của hàm số 4 28 7f x x x . 
3.Bài mới 
Hoạt động 2. Một số nội dung trọng tâm. 
Phương pháp: Sử dụng quy tắc I để tìm cực trị. 
Hoạt động 3. Áp dụng tìm cực trị của hàm số. 
Ví dụ 1: Số cực trị của hàm số 3 3 3 2f x x x là 
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. 
Hoạt động của giáo viên 
và học sinh 
Nội dung 
GV: Tổ chức lớp cho học 
sinh thành 4 nhóm. 
HS:Thực hiện phân nhóm, 
đọc đề, phân công nhiệm vụ 
cho các thành viên cùng giải 
quyết bài tập. 
GV: Quan sát, hướng dẫn 
gợi ý nếu cần thiết. 
GV: Tổ chức cho học sinh 
trình bày theo nhóm, nhận 
Lời giải 
Hàm số đã cho xác định trên ℝ 
Ta có: 
2
2
33
1
.
3 2
x
f x
x x
Từ đó: 
2
3
1
11 0
0 1
13 2 0
2
x
xx
f x x
xx x
x
( f x không xác định tại điểm 1x và 2x ). 
Bảng biến thiên: 
46 
xét, sau đó giáo viên nhận 
xét và cho điểm. 
HS: Các nhóm cử đại diện 
lên trình bày, trả lời câu hỏi 
từ các nhóm khác, rút kinh 
nghiệm. 
GV: 
Nhận xét: Trong ví dụ này, 
tại điểm x=1, f’(x) không 
xác định nhưng hàm số vẫn 
đạt cực trị tại điểm đó. 
Vậy hàm số có hai cực trị là 31 4f và 1 0.f 
Chọn A. 
Ví dụ 2. Tìm số điểm cực trị của hàm số: 3 22 1f x x x x 
Hoạt động của 
giáo viên và học 
sinh 
Nội dung 
GV: Cho học sinh 
thảo luận trình bày 
lời giải 
HS: Tập trung thảo 
luận trình bày lời 
giải 
GV: Gọi học sinh 
lên bảng trình bày 
Lời giải: 
Ta có 
2
2
2
3 4 1, 0
3 4
3 4 1, 0.
x x xx
f x x x
x x x x
Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0. 
 Ta có 
0
1
1
0
3
2 7
.
3
x
f x x
x x
Bảng xét dấu 
Vậy hàm số có bốn điểm cực trị. 
Hoạt động 4. Áp dụng vào bài toán tham số 
47 
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số 3 2 2
1
4 3
3
y x mx m x đạt cực đại tại điểm x = 3. 
A. 1.m B. 5.m C. 5.m D. 1.m 
Hoạt động của giáo viên và 
học sinh 
Nội dung 
GV: Gọi hai học sinh lên bảng áp 
dụng quy tắc II giải hai bài toán 
trên. 
HS: Thảo luận trình bày lời giải. 
Ta có 2 22 4 2 2 .y x mx m y x m 
Hàm số đạt cực đại tại 
'(3) 0
3 5
"(3) 0
y
x m
y
Chọn C. 
Ví dụ 5. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 4 1y mx x đạt cực đại tại 
điểm x = 2. 
Hoạt động của giáo viên và 
học sinh 
Nội dung 
GV: Tổ chức lớp cho học sinh 
thành 4 nhóm. 
HS:Thực hiện phân nhóm, đọc 
đề, phân công nhiệm vụ cho các 
thành viên cùng giải quyết bài 
tập. 
GV: Quan sát, hướng dẫn gợi ý 
nếu cần thiết. 
HS: Các nhóm cử đại diện lên 
trình bày, trả lời câu hỏi từ các 
nhóm khác, rút kinh nghiệm. 
Lời giải. 
 Hàm số đã cho xác định khi 2 4 1 0mx x 
Ta có: 
2 2 3
2 4
' , ''
4 1 ( 4 1)
mx m
y y
mx x mx x
Hàm số đạt cực đại tại x=2 
4 7 0
2 2 0 1
4 0
m
m m
m
 Hoạt động 5. Hoạt động cũng cố. 
 Nêu các dạng toán chúng ta đã học và đặc điểm từng dạng để áp dụng? 
3.3.2.Xử lí kết quả thực nghiệm. 
3.3.2.1. Làm bài kiểm tra 15 phút 
 Chúng tôi cho học sinh hai lớp 12A2, 12A9 làm bài kiểm 15 phút theo hình thức 
trắc nghiệm sau khi đã học xong các nội dung về sự biến thiên và cực trị của hàm số. 
Đề kiểm tra 
Câu 1 (7 điểm). Cho hàm số 3 2 2
3
6
2
y x x m x m ( m là tham số). 
48 
a. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số khi m =1. 
b. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. 
Câu 2 (3 điểm). Cho hàm số 4 3 2 2| 3 4 12 |y x x x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
tham số m để hàm số có đúng 5 điểm cực trị? 
3.3.2.2. Kết quả kiểm tra ở lớp 12A2 và 12A9 
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12A2 44 30 68,18 14 31,82 0 0 0 0 0 0 
12A9 43 15 34,88 20 46,51 8 18,61 0 0 0 0 
3.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
 Sau kết quả thực nghiệm chúng tôi có những kết luận sau: 
Với lớp được học thực nghiệm có kết quả bài kiểm tra tốt hơn, số lượng học 
sinh khá giỏi nhiều hơn, mức độ hiểu bài tốt hơn. 
- Nếu có thời gian và được thực hành một cách bài bản theo nội dung mà sáng 
kiến đưa ra có thể tạo cho các em một logic sáng tạo hiệu quả, gây hứng thú cho 
học sinh khi học về tính chất biến thiên và cực trị của hàm số. 
- Đối với giáo viên nếu tiếp cận được hệ thống kiến thức này có thể có thêm 
hướng dạy mới và phương pháp dạy hiệu quả hơn. 
49 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận 
Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy 
chúng tôi rút ra một số kêt luận sau: 
- Trong các nhiệm vụ môn Toán ở trường THPT thì nhiệm vụ dạy học rèn luyện 
kỹ năng giải toán cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng để thực hiện các nhiệm vụ 
khác. Để rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh cần có một hệ thống bài tập 
được sắp xếp và phát triển một cách tự nhiên, hợp lí làm sao khi dạy và học cả giáo 
viên và học sinh đều cảm thấy nhẹ nhàng. 
- Giáo viên cần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là dạy 
học tích cực trong đó kiến thức được tạo thành một khối và được sắp xếp từ dễ đến khó, 
tạo hưng phấn cho người học qua mỗi nhiệm vụ học tập. 
- Đề tài đã xây dựng được một hệ thống bài tập từ sách giáo khoa đến các bài tập 
nâng cao, các bài tập được trích từ các kì thi tốt nghiệp THPT và đề thi thử của các 
trường. Hệ thống bài tập được nâng dần cho các đối tượng học sinh vận dụng và vận 
dụng cao và có thể áp dụng được cho giáo viên ôn thi tốt nghiệp THPT. 
- Tính hiệu quả của đề tài đã được kiểm chứng ở phần thực nghiệm sư phạm. Trên 
thực tế đề tài đã được chính tác giả áp dụng cho học sinh tại trường THPT nơi công tác 
năm học 2021-2022 và đạt kết quả cao ở kì thi tốt nghiệp THPT đối với học sinh lớp 
12. 
- Bản thân cũng đã cố gắng tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm nhưng cũng không 
tránh khỏi thiếu sót, để đề tài ngày càng hoàn thiện và vận dụng dạy học có hiệu quả 
hơn, rất mong được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và bạn bè đồng 
nghiệp. Xin chân thành cảm ơn. 
2. Kiến nghị 
- Tổ bộ môn nên đưa nội dung đã xây dựng trong đề tài này vào sinh hoạt 
chuyên môn để nâng cao hiệu quả quá trình giảng dạy của các thành viên. 
- Giáo viên cần quan tâm hơn đến phương pháp đã nêu trong đề tài để phục vụ 
trong quá trình dạy học, đáp ứng được các yêu cầu đổi mới theo phương pháp dạy học 
tích cực nhằm phát triển kỉ năng giải toán cho học sinh. 
50 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sách giáo khoa giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt 
Nam. 
[2] Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Nghệ an các năm 2019, 2020, 2021, 2022. 
[3] Đề thi tốt nghiệp THPT các năm 2019, 2020, 2021, 2022. 
[4] Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2023. 
[5] Nhóm biên soạn Toán THPT, Tuyển chọn các câu hàm số vận dụng – vận dụng 
cao. 
[6] Nguyễn Công Định, Bài toán vận dụng – vận dụng cao tính đơn điệu của hàm số. 
[7] Nguyễn Phú Khánh, Luyện thi cấp tốc môn toán, Nhà xuất bản đại học Quốc gia Hà 
nội. 
[8] Vũ Tuấn (Chủ biên), Bài tập giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục. 
i 
PHỤ LỤC ẢNH MINH HỌA THỰC NGHIỆM