SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 8 sử dụng định lý bezout để giải tốt hơn các bài toán về tìm đa thức dư cũng như tìm đa thức bị chia trong bài toán chia đa thức

y a=12 là giá trị cần tìm. 
+ Ví dụ 6: Tìm hằng số a sao cho khi chia đa thức f(x) = 3x6- 4x4 +5ax2-7 khi chia cho đa thức g(x) = x2-3 thì được dư là 20
Giải
	Ở bài này thoạt nhìn chúng ta thấy để giải quyết được bài này chúng ta phải thực hiện phương pháp thực hiện phép chia thông thường, tuy nhiên nếu chúng ta hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ thì chúng ta vẫn có thể dùng định lý BEZOUT để giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.
	Đặt x2= t bài toán trở về: Tìm hằng số a sao cho khi chia đa thức f(t) = 3t3-4t2 +5at-7 khi chia cho đa thức g(t) = t-3 thì được dư là 20
	Do f(t) = 3t3-4t2 +5t-7 khi chia cho đa thức g(t) = t-3 thì được dư là 20 nên ta có f(3) =20 f(3)= 3.33-4.32 +5a.3-7= 81-36+ 15a-7=20
	 18+15a=0
	 a=-18/15
	Vậy a=-18/15 là giá trị cần tìm.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm số dư của các phép chia sau:
a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);	 b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);
c) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3); d ) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);
e) (x4 - x - 14) : (x - 2). f) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
Bài 2: Tìm các hằng số a sao cho:
a) 10x2 - 7x + a chia hết cho 2x - 3;
b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 dư 4;
c) ax5 + 5x4 - 9 chia hết cho x - 1.
d) 7x8-31x4+ 2x2-6 chia cho x2+4 dư 2018
 2.2.3. Dạng toán tìm hai hằng số của đa thức bị chia khi biết đa thức chia và đa thức dư trong bài toán chia đa thức cho một đa thức bậc hai có hai nghiệm.
+Ví dụ 1: Tìm các hằng số a, b sao cho khi chia đa thức f(x)= x4- ax3+b chia hết cho đa thức g(x)= x2-4
Cách 1: Sử dụng định nghĩa phép chia hết là phép chia có đa thức dư là đa thức 0 ( Đa thức 0 là đa thức có tất cả các hệ số bằng 0). Ta thực hiện phép chia như sau:
 x4- ax3 + b x2-4
 x4 -4x2 x2 –ax +4
 -ax3+ 4x2 +b
 -ax3 +4ax
 4x2-4ax+b
 4x2 -16
 -2ax+b+16
	Vì phép chia là phép chia hết nên đa thức dư phải là đa thức 0 nghĩa là
 -2a=0 và b+16=0a=0 và b=-16
	Vậy với a=0 và b=-16 thì đa thức f(x) = x4- ax3+b chia hết cho đa thức g(x)= x2-4
	Cách 2: Sử dụng định lý BEZOUT
	Vì g(x)=x2-4=(x-2)(x+2) nên g(x) có hai nghiệm là x=2 và x=-2
	Gọi đa thức thương là Q(x) khi đó ta có:
 f(x)=g(x). Q(x) hay f(x) = x4- ax3+b = (x-2)(x+2).Q(x)
	-Xét tại x=2 ta có: f(2)= 24-a.23+b= (2-2)(2+2). Q(2)
	 f(2)=16-a.8+b= 0.4. Q(2)=0
	-8a+b=-16 (1)
-Xét tại x=-2 ta có: f(-2)= (-2)4-a.(-2)3+b= (-2-2)(-2+2). Q(-2)
 f(-2)= 16+8a+b= -4.0. Q(-2)=0
 8a+b=-16 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) cho nhau ta được:
 -8a+b +8a+ b=-16 +(-16)
	2b=-32
	b=-16
	Thay b=-16 vào (1) ta có:
	-8a+(-16)=-16
	-8a=0
	a=0
	Vậy với a=0 và b=-16 thì đa thức f(x) = x4- ax3+b chia hết cho đa thức g(x)= x2-4. 
	Ví dụ 2: Xác định các hằng số a, b sao cho đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2.	
GIẢI
Trước tiên với bài này chúng ta phải tìm nghiệm của đa thức x2 - x – 2 bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử như sau:
x2 - x – 2= x2 + x -2x – 2= x(x+1)-2(x+1)=(x+1)(x-2) Vậy đa thức chia có hai nghiệm là x=-1; x=2.
	Gọi đa thức thương là Q(x) khi đó ta có:
	x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b= (x+1)(x-2). Q(x)
Tại x=-1 ta được:
(-1)4-3.(-1)3+2(-1)2-a.(-1)+b=(-1+1)(-1-2). Q(-1)
1+3+2+a+b= 0.(-3).Q(-1)
 6+ a+b=0
a+b=-6 (1)
Tại x=2 ta được:
24-3.23+2.22-a.2+b=(2+1)(2-2).Q(2)
16-24+8-2a+b=3.0. Q(2)
-2a+b=0 (2)
Trừ vế với vế của (1) và (2) cho nhau ta được:
3a=-6 
a=-2
Thay a=-2 vào (1) ta được -2+b=-6 b=-4.
Vậy với a=-2; b=-4 thì cho đa thức f(x)= x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2.	
Nhận xét: Với bài toán trên khi làm phương pháp 2 người ta còn gọi đó là phương pháp xét giá trị riêng. Cụ thể như bài này chúng ta đã xét giá trị riêng của đa thức tại x=-2 và x=2. Với phương pháp này chúng ta sẽ giúp học sinh tính toán dễ dàng hơn cũng như dễ tiếp thu hơn phương pháp 1. Tuy nhiên phương pháp này có một hạn chế đó là chúng ta chỉ sử dụng tốt khi đa thức chia có nghiệm cũng như học sinh phải biết phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nghiệm của đa thức, nhưng cũng có những bài toán chúng ta không thể làm được theo phương pháp 1 và chúng ta chỉ làm được theo phương pháp 2. Để làm dõ điều này chúng ta cùng nghiên cứu ví dụ 3 như sau:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng đa thức f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho đa thức g(x) = x2 – x.
GIẢI
Ở bài này nếu chúng ta thực hiện theo phương pháp 1 thì gần như không thể bởi đa thức bị chia là một đa thức bậc cao nên việc thực hiện phép chia là vô cùng khó khăn do đó chúng ta chỉ hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp 2 như sau:
Đa thức chia g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1
Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 là nghiệm của đa thức f(x) đa thức f(x) chứa thừa số x
Ta có: f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 là nghiệm của đa thức f(x), do đó đa thức f(x) chứa thừa số x – 1, mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó đa thức f(x) chia hết cho x(x – 1)
hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x
Ví dụ 4: Tìm các hằng số a và b sao cho đa thức 2x3 + ax + b chia cho x+1 dư -6, chia cho x - 1 dư 20.
GIẢI
Vì đa thức f(x)= 2x3 + ax + b khi chia cho đa thức x+1 dư -6 nên theo định lý BEZOUT ta có: f(-1)=-6 f(-1)= 2.(-1)3+a.(-1)+b=-6 -a+b=-4 (1)
Vì đa thức f(x)= 2x3 + ax + b khi chia cho đa thức x-1 dư 21 nên theo định lý BEZOUT ta có: f(1)=21f(1)= 2.(1)3+a.(1)+b=20 a+b=18 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) cho nhau ta được: -a+b+a+b=-4+18
2b=14
b=7
Thay b=7 vào (1) ta được –a+7=-4 a=11
Vậy với a=11; b=7 thì đa thức 2x3 + ax + b chia cho x+1 dư -6, chia cho x - 1 dư 20.
Ví dụ 5: Tìm các hằng số a, b sao cho đa thức f(x)= x4- 3x3 – 3x2 + ax + b chia cho x2 + x – 2 thì được đa thức dư là 2x – 3.
Phương pháp 1: Sử dụng cách chia thông thường
x4- 3x3 – 3x2 + ax + b x2 + x – 2
x4+x3 – 2x2 x2- 4x+3
 -4x3 – x2 + ax + b 
 -4x3 -4x2 +8x
 3x2+(a-8)x +b
 3x2+3x -6
 (a-11)x+b+6
	Theo phép chia thì sau phép chia ta thu được đa thức dư là: (a-11)x+b+6. Theo đề ra thì đa thức dư là 2x-3 nên: a-11=2 đồng thời b+6=-3 do đó a=13; 
b=-9
	Vậy với a=13; b=-9 thì đa thức f(x)= x4- 3x3 – 3x2 + ax + b chia cho đa thức x2 + x – 2 sẽ được đa thức dư là 2x – 3.
	Phương pháp 2: Sử dụng định lý BEZOUT
	Vì đa thức f(x)= x4- 3x3 – 3x2 + ax + b chia cho đa thức x2 + x – 2 thì được đa thức dư là 2x – 3 nên đa thức g(x)=f(x) –(2x-3) sẽ chia hết cho đa thức x2 + x – 2, hay g(x)=f(x) –(2x-3) = x4- 3x3 – 3x2 + ax + b-(2x-3) chia hết cho đa thức x2 + x – 2.
	Vì x2 + x – 2= (x-1)(x+2) nên nếu gọi đa thức thương là Q(x) thì:
g(x)= f(x) –(2x-3) = x4- 3x3 – 3x2 + ax + b-(2x-3) = (x-1)(x+2).Q(x)
 g(x)= x4- 3x3 – 3x2+ (a-2)x +b+3= (x-1)(x+2).Q(x)
Tại x=1 thay vào ta được:
g(1)= 14- 3.13 – 3.12+ (a-2).1 +b+3= (1-1)(1+2).Q(1)
g(1)=1-3-3+a-2+b+3= 0.3. Q(1)
-4+a+b=0
a+b=4 (1)
Tại x=-2 thay vào ta được:
g(-2)= (-2)4- 3.(-2)3 – 3.(-2)2+ (a-2).(-2) +b+3= (-2-1)(-2+2).Q(-2)
g(-2)= 16+24 -12 -2a+4+b+3= -3.0.Q(-2)
27-2a+b=0
-2a+b=-35 (2)
Trừ vế với vế của (1) và (2) cho nhau ta được -3a=-39 a=13
Thay a=13 vào (1) ta được 13+b=4 b=-9
Vậy với a=13; b=-9 thì đa thức f(x)= x4- 3x3 – 3x2 + ax + b chia cho đa thức x2 + x – 2 sẽ được đa thức dư là 2x – 3.
+ Ví dụ 6:
Đa thức f(x) có bậc là 3 khi chia cho x - 1 thì dư 2011 và khi chia cho x - 2 có dư là 2012. Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho (x - 1)(x - 2)
GIẢI
	Vì đa thức (x-1)(x-2) có bậc là 2 nên đa thức dư có dạng: r(x) = ax + b
Ta có f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b (*)
	Vì f(x) khi chia cho x - 1 thì dư 2011 nên theo định lý BEZOUT thì f(1)=2011 thay vào (*) ta được f(1)=(1-1)(1-2)Q(1)+a.1+b= 2001 a+b=2011(1)
	Vì f(x) khi chia cho x - 21 thì dư 2012 nên theo định lý BEZOUT thì f(2)=2012 thay vào (*) ta được f(2)=(12-1)(2-2)Q(2)+a.2+b= 2001 
 2a+b=2012 (2)
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được a=1 
	Thay a=1 vào (1) ta được 1+b=2011 b=2010
 Vậy đa thức dư trong phép chia f(x) cho (x - 1)(x - 2) là đa thức :
 r(x) = x + 2010.
Bài tập tự luyện:
1. Tìm a, b, c biết: 
 x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho x2 – 9 
6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 chia hết cho x2 – x -12 
3. x4 – 3x3 – 3x2 + ax + b chia hết cho x2 – 3x + 2
4. x4 + x3 – x2 + ax + b chia hết cho x2 + x – 6
5. ax4 + bx3 + 1 chia hết cho ( x – 1 )2 
x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 4x + 3 
x4 – x3 – ax2 + x + b ) chia cho x2 – 5x – 4 thì dư là 5x – 2
x5 + x4 – 9x3 + ax2 + bx + c chai hết cho ( x – 2 )( x + 2)( x + 3)
9. 2x4 + ax2 + bx + c chia hết cho x – 2 và khi chia cho x2 – 1 tthì dư x
2. Tìm đa thức dư trong phép chia sau:
1. x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 – 1
2. x100 + x99 + x98 + x97 + ... + x2 + x + 1 chia cho x2 – 1 
x2 + x9 + x1996 chia cho x2 – 1 
Nhận xét chung: Ở dạng toán này thực tế có nhiều phương pháp để giải như phương pháp sử dụng phép chia, phương pháp sử dụng định lý BEZOUT, phương pháp hệ số bất định...vv. Tuy nhiên không có một phương pháp nào là đa năng, vấn đề quan trọng nhất của người giáo viên là phải định hướng cho học sinh tìm và áp dụng các phương pháp sao cho phù hợp, hiệu quả. Đồng thời, thường ở các bài toán có tính chất phân loại học sinh khá, giỏi trong quá trình học và làm bài tập học sinh phải biết vận dụng linh hoạt phối hợp nhiều phương pháp với nhau một cách khoa học mới có thể giải quyết được bài toán một cách hợp lý, chính xác. Đối với phương pháp sử dụng định lý BEZOUT khi học sinh hiểu được sẽ thấy hứng thú học hơn, các em sẽ tự tìm tìm tòi các phương pháp giải toán hơn từ đó giúp các em học tốt hơn môn toán.
2.3. Những ưu, nhược điểm của giải pháp mới
2.3.1. Ưu điểm 
- Nhanh chóng tìm được số dư của một đa thức cho một đa thức bậc nhất, một hằng số của đa thức bị chia khi biết đa thức chia và đa thức dư trong bài toán chia đa thức cho một nhị thức.
- Giải quyết bài toán nhanh gọn với những đa thức bậc cao.
- Thể hiện tính ưu việt so với phương pháp chia thông thường.
2.3.1. Nhược điểm 
- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 8 có 4 tiết ( 3 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác hết các bài tập về phép chia đa thức. Các em học sinh chưa được luyện tập nhiều ở dạng bài tập này.
- Khó tiếp cận đối với học sinh trung bình, yếu.
2.4. Đánh giá về sáng kiến được tạo ra
 Sau một thời gian đưa ra tổ thảo luận, góp ý đồng thời đề tài của tôi đã được các đồng chí trong tổ trực tiếp áp dụng, thật vui mừng khi vào thời điểm này không khí giờ học toán đã thay đổi. Các em hăng say phát biểu, xây dựng bài nhiều hơn. Các em đã thi đua nhau học tập, học bài và làm bài tập, mặc dù kết quả học tập chưa được như mong muốn. Nhưng sự tự tin và niềm đam mê đã thể hiện rõ trong ánh mắt và việc làm của các em. Đồng thời các đồng chí trong tổ đã tiến hành cho các em làm lại bài khảo sát, với phần kiểm tra kiến thức được thay đổi phù hợp với kiến thức hiện tại đã học của các em. 
 Kết quả cụ thể như sau: 
Lớp
Sĩ Số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8/5
42
11
26,2
14
33,3
15
35,7
2
4,8
8/6
44
12
27,3
14
31,8
16
36,4
2
4,5
 Kết quả này chứng tỏ rằng: Việc vận dụng những kinh nghiệm nêu trên, trong thời gian chưa dài nhưng kết quả tương đối khả quan mặc dù kết quả chưa hoàn toàn như mong muốn của bản thân nhưng dù sao cũng cải thiện rất nhiều về chất lượng học tập, số học sinh khá giỏi tăng lên, số học sinh yếu kém được giảm đi. Đặc biệt là kiến thức của các em đã được khắc sâu hơn, các em có thể tự tin vận dụng kiến thức đã học vào giải toán. Tôi tin rằng tinh thần, thái độ học tập môn Toán của học sinh sẽ được duy trì và phát huy trong những môn học khác. 
PHẦN KẾT LUẬN
	Đứng trước bất kì một công việc cho dù khó khăn đến đâu, nhưng nếu chúng ta có niềm tin vào bản thân mình, chúng ta có sự đam mê thì hoàn toàn có thể vượt qua những trở ngại đó để đạt đến sự thành công. Vì vậy, xây dựng niềm tin trong học sinh và kích thích niềm đam mê học tập của các em cũng như xây dựng và hệ thống lại kiến thức cho học sinh là nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên trong từng tiết dạy. Qua đề tài này, tôi rút ra cho bản thân một vài kinh nghiệm và đưa ra một số đề xuất như sau: 
1. Bài học kinh nghiệm
 Việc giáo viên hướng dẫn học sinh các phương pháp để giải toán còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như kinh nghiệm, kỹ năng truyền đạt, khả năng tiếp thu kiến thức của từng học sinh  Khi giảng dạy đại số 8 và nghiên cứu nội dung chương trình đại số 8 tôi đã thường xuyên củng cố, khắc sâu kiến thức cho các em. Tuy nhiên kết quả đạt được chỉ ở mức khá do:
 - Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học.
 - Nhiều em rỗng kiến thức từ dưới.
 - Môn toán đòi hỏi ở khả năng phân tích và tư duy cao mà lứa tuổi các em những khả năng này còn nhiều hạn chế.
 Từ những nguyên nhân trên người giáo viên cần:
 - Thường xuyên trau rồi kiến thức, phương pháp dạy học để tạo được hứng thú học tập cho học sinh, tìm thêm nhiều phương pháp, cách giải mới và hay giúp các em học tập dễ dàng hơn, yêu thích môn học hơn.
 - Cần quan tâm đến mọi học sinh trong lớp, có kế hoạch dạy bù những lỗ hổng kiến thức cho các em học sinh yếu kém, tạo cho các em niềm tin vững vàng và hứng thú khi học toán, tránh gây cho các em có cảm giác học toán là nặng nề và khô khan.
 2. Kiến nghị, đề xuất
 Để cho học sinh học tập có kết quả cao, tôi có một số ý kiến đề xuất sau:
 - Giáo viên phải nghiên cứu sâu sắc rõ ràng về nội dung bài dạy,tích cực tìm tòi các phương pháp hay, kiến thức mới, tìm hiểu phân loại đối tượng học sinh để có kế hoạch giảng dạy thích hợp, từ đó dự kiến những việc cần hướng dẫn học sinh. Đặc biệt giáo viên phải nghiên cứu nắm vững nội dung sách giáo khoa, đưa ra phương pháp truyền thụ hiệu quả nhất, giáo viên phải thường xuyên rút kinh nghiệm qua mỗi bài giảng, xem xét bài nào chỗ nào học sinh hiểu nhanh, tốt nhất, chỗ nào chưa thành công để rút kinh nghiệm tìm phương pháp khác có hiệu quả hơn.
 - Xây dựng nề nếp học tập cho học sinh có thói quen chuẩn bị sách vở đồ dùng học tập, nếu bài tập về nhà chưa giải được phải hỏi bạn và phải báo cáo với thầy cô trước khi vào lớp.
 - Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp học tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng.
Chắc chắn những kinh nghiệm tôi trình bày chỉ là một phần rất nhỏ trong vô số biện pháp nghiệp vụ sư phạm mà các đồng nghiệp đang áp dụng. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để cá nhân tôi ngày càng hoàn thiện hơn kĩ năng sư phạm của bản thân.
 	Tôi xin chân thành cảm ơn !
.
HỘI ĐỒNG CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN TẠI CƠ QUAN, ĐƠN VỊ NƠI TÁC GIẢ CÔNG TÁC
Phước Thiền, ngày 18 tháng 9 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến của tôi tự viết, không sao chép của người khác.
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
Nguyễn Thị Thu Hằng
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT
Tên sách
Tác giả
NXB
1
Sách giáo khoa Toán 8
Nhóm tác giả
NXB Giáo dục
2
Sách giáo viên toán 8
Nhóm tác giả
NXB Giáo dục
3
Sách bài tập Toán 8
Nhóm tác giả
NXB Giáo dục
4
Bài tập nâng cao và phát triển một số chuyên đề Toán 8
Bùi Văn Tuyên
NXB Giáo dục
5
Nâng cao Đại số 8
Võ Đại Mau
NXB Hà Nội
6
500 bài toán chọn lọc 8
Nhóm tác giả
NXB ĐH Sư Phạm
7
Nâng Cao phát triển Đại số 8
Vũ Hữu Bình
NXB Giáo dục
8
23 chuyên đề giải các bài toán sơ cấp
 Nhóm Cự Môn
NXB Báo văn nghệ
9
Một số đề thi HSG lớp 8 ở một số địa phương
Sưu tầm