SKKN Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - Xác suất

 4 điểm, kết hợp với điểm tổng kết thì có thể đủ điều kiện để tốt nghiệp. 
Suy nghĩ đó đúng hay không, hãy phát biểu bài toán và giải quyết bài toán đó. 
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề thi THPT môn Toán hiện tại, mỗi 
câu đúng điểm tính như thế nào, xác suất đúng mỗi câu bao nhiêu, từ đó xây dựng 
bài toán. 
39 
Ví dụ 4.1. (Bài toán điểm thi trắc nghiệm) Bạn Lộc tham gia kì thi tốt nghiệp 
THPT. Đề thi môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời 
trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Điểm tổng 
kết lớp 12 của Lộc là 7,0. Để đậu tốt nghiệp, Lộc cần có điểm trung bình các bài thi 
là 4.2. Tính xác suất để bạn Lộc thi môn Toán đạt 4,2 điểm biết Lộc không thích học 
và không học Toán. 
Lời giải: 
- Để đạt được 4,2 điểm thì học sinh cần trả lời đúng 4,2 ∶ 0,2 = 21 câu và sai 
50 − 21 = 29 câu. 
- Xác suất trả lời đúng mỗi câu là 0,25 nên xác suất để bạn Lộc đạt 4,2 là: 
(0,25)21. (0,75)29 ≈ 5,4. 10−17(0,000000000000000054) 
Nhìn vào kết quả để thấy được xác suất đậu tốt nghiệp của ban Lộc là một 
con số rất rất nhỏ. Vì vậy, qua ví dụ này, giáo viên nhấn mạnh vào con số rất nhỏ 
đó, chấn chỉnh ý thức học tập cho học sinh. 
Ví dụ trên đã cho thấy một mặt ứng dụng của xác suất trong thực tế. Tìm hiểu 
kỹ hơn, chúng ta thấy xác suất còn có nhiều ứng dụng khác trong đời sống. 
Tình huống 2. Có một đoàn thanh tra về trường để kiểm tra chất lượng học 
Toán và Tiếng Anh tại một trường THPT và đề xuất vào một lớp để khảo sát. Biết 
số lượng học sinh giỏi các môn của hai lớp khá nhất, hiệu trưởng nên mới đoàn thanh 
tra vào lớp nào để thu được kết quả khả quan hơn. 
Giáo viên gợi ý bài toán đặt ra cần tính đại lượng nào? Muốn tính đại lượng 
đó thì cần biết những số liệu nào của học sinh hai lớp. 
Ví dụ 4.2. Lớp 11𝐴 có 45 học sinh, lớp 11𝐴1 có 43 học sinh. Số lượng học 
sinh giỏi Toán và Tiếng Anh của hai lớp được cho bằng bảng sau. Có một đoàn thanh 
tra kiểm tra chất lượng về môn Toán và Tiếng Anh tại trường. Hiệu trưởng nên mời 
vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất. 
Lớp 
 Môn 
 𝟏𝟏𝑨 𝟏𝟏𝑨𝟏 
Toán 25 22 
Tiếng Anh 15 18 
Toán và Tiếng Anh 12 5 
Lời giải: 
- Gọi T là biến cố học sinh giỏi Toán, A là biến cố học sinh giỏi Tiếng Anh. 
- Xác suất để chọn được một học sinh giỏi Toán hoặc Tiếng Anh ở lớp 11𝐴 là: 
40 
𝑃(𝑇 ∪ 𝐴) = 𝑃(𝑇) + 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝑇 ∩ 𝐴) =
25
45
+
15
45
−
12
45
=
28
45
= 0,6(2) 
- Xác suất để chọn được một học sinh giỏi Toán hoặc Tiếng Anh ở lớp 
11𝐴1 là: 
𝑃(𝑇 ∪ 𝐴) = 𝑃(𝑇) + 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝑇 ∩ 𝐴) =
22
43
+
18
43
−
5
43
=
35
43
≈ 0,814 
- Vậy nên chọn lớp 11𝐴1. 
Tình huống 3. Một mạch điện tử được lắp từ các linh kiện điện tử. Giữa mắc 
nối tiếp và mắc song song, cách mắc nào khả năng hư hỏng ít hơn. 
Ví dụ 4.3. Có 3 linh kiện điện tử xác suất hỏng tại cùng một thời điểm tương 
ứng là 0,01; 0,015; 0,025. Tìm xác suất để dòng điện chạy qua mạch trong trường hợp: 
a) Mắc nối tiếp; 
b) Mắc song song; 
 Ở đây học sinh phải hiểu được bản chất của dòng điện đi qua mạch 
mắc nối tiếp thì tất cả các linh kiện điện tử phải không hỏng, còn dòng điện muốn 
đi qua mạch mắc song song thì chỉ cần ít nhất một linh kiện điện tử không hỏng. 
Lời giải: 
- Gọi 𝐴𝑖 là biến cố “Linh kiện thứ 𝑖 tốt” (𝑖 = 1,2,3). 
- Gọi 𝐴 là biến cố “Dòng điện chạy qua mạch mắc nối tiếp”. 
- Gọi 𝐵 là biến cố “Dòng điện chạy qua mạch mắc song song”. 
- Ta có: 𝐴 = 𝐴1𝐴2𝐴3, �̅� = 𝐴1̅̅ ̅. 𝐴2̅̅ ̅. 𝐴3̅̅ ̅. 
a) Vì các biến cố 𝐴𝑖 là độc lập nên xác suất của biến cố 𝐴 là: 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1). 𝑃(𝐴2). 𝑃(𝐴3) 
= (1 − 0,01)(1 − 0,015)(1 − 0,025) ≈ 0,951 
b) Vì các biến cố 𝐴𝑖 là độc lập nên các biến cố 𝐴�̅� độc lập. Xác suất của biến 
cố 𝐵 là: 
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴1̅̅ ̅). 𝑃(𝐴2̅̅ ̅). 𝑃(𝐴3̅̅ ̅) 
= 1 − 0,01.0,015.0,025 = 0,99999625. 
Tình huống 4. Một cặp vợ chồng muốn sinh 3 người con. Họ muốn biết khả 
năng sinh được cả trai và gái là bao nhiêu, khả năng sinh được 2 và 1 gái,  là bao 
nhiêu để có kế hoạch sinh hợp lý. Thiết lập bài toán xác suất trong trường hợp này 
như thế nào? 
Ví dụ 4.4. Một cặp vợ chồng dự kiến sinh 3 người con. 
a) Nếu họ muốn sinh 2 người con trai và 1 người con gái thì khả năng thực 
hiện mong muốn đó là bao nhiêu? 
41 
b) Tìm xác suất để trong 3 lần sinh họ có được cả trai và gái. 
 Ở đây học sinh phải nắm được mỗi lần sinh là một sự kiện độc lập và 
có hai khả năng xảy ra: trai hay gái với xác suất bằng nhau và bằng 
1
2
 . 
Lời giải: 
- Số khả năng xảy ra trong 3 lần sinh là: 2.2.2 = 8. 
a) Có 3 trường hợp sinh 2 trai, 1 gái là: TTG, TGT, GTT. 
- Xác suất để cặp vợ chồng thực hiện được mong muốn là: 𝑃 =
3
8
 . 
b) Xác suất sinh 1 trai, 2 gái là: 𝑃 =
3
8
. 
- Xác suất sinh có cả trai và gái là: 𝑃 =
3
8
+
3
8
= 
3
4
. 
Tình huống 5. Dịch bệnh Covid – 19 là vấn đề đang được toàn thế giới quan 
tâm trong những năm gần đây. Đã có nhiều bài toán trong các đề thi đã đề cập đến 
nhiều vấn đề xung quanh tình hình đó như đề thi vào 10 Nghệ An năm học 2020 – 
2021, đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2021 – 2022. Qua đó học sinh thấy 
được rằng toán học không xa rời thực tiễn, nó gần gũi với cuộc sống hàng ngày của 
mỗi con người. 
Ví dụ 4.5. (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An năm học 2021 – 2022) 
Trong quá trình truy vết lịch sử tiếp xúc của bệnh nhân Covid – 19 ở một 
trường học, trung tâm y tế xác định được 3 giáo viên và một số học sinh có sự liên 
quan đến bệnh nhân đó. Người ta chọn ngẫu nhiên 10 người trong số các giáo viên 
và học sinh liên quan để làm xét nghiệm gộp. Biết rằng xác suất để trong 10 người 
được chọn có 3 giáo viên bằng 6 lần xác suất trong 10 người được chọn đều là học 
sinh. Tính xác suất để trong 10 người được chọn làm xét nghiệm có nhiều nhất 2 
giáo viên. 
Lời giải: 
- Gọi số học sinh liên quan đến bệnh nhân Covid – 19 là 𝑛(𝑛 ≥ 10). 
- Ta có: 𝑛(Ω) = 𝐶𝑛+3
10 . 
- Xác suất để chọn 10 người trong đó có 3 giáo viên bằng: 
𝐶3
3. 𝐶𝑛
7
𝐶𝑛+3
10 =
𝐶𝑛
7
𝐶𝑛+3
10 
- Xác suất để chọn 10 người đều là học sinh là: 
𝐶𝑛
10
𝐶𝑛+3
10 
- Theo bài ra ta có: 
42 
𝐶𝑛
7
𝐶𝑛+3
10 = 6.
𝐶𝑛
10
𝐶𝑛+3
10 
 ⇔ 𝐶𝑛
7 = 6. 𝐶𝑛
10 
⇔
𝑛!
7! (𝑛 − 7)!
= 6.
𝑛!
10! (𝑛 − 10)!
⇔
1
(𝑛 − 7)(𝑛 − 8)(𝑛 − 9)
=
6
8.9.10
⇔ (𝑛 − 7)(𝑛 − 8)(𝑛 − 9) = 120 = 6.5.4 
⇒ 𝑛 = 13. 
- Vậy xác suất để trong 10 người được chọn có nhiều nhất 2 giáo viên là: 
𝑃 = 1 −
𝐶13
7
𝐶13
10 = 
11
14
Các ví dụ trên phần nào giúp học sinh thấy được ứng dụng của toán học trong 
thực tiễn, là công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết nhiều tình huống trong cuộc 
sống hàng ngày. Từ đó, học sinh sẽ có động lực khám phá thêm thêm các ứng dụng 
khác của toán học trong thực tiễn, góp phần phát triển năng lực vận dụng kiến thức 
toán học vào thực tiễn. 
C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI. 
1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm 
- Nhằm mục đích phát triển năng lực học sinh nói chung và giúp học sinh học 
tập tốt phần kiến thức chủ đề Tổ hợp - Xác suất nói riêng, bản thân tôi thấy sáng 
kiến kinh nghiệm này là một tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo và các em học sinh. 
- Trong quá trình giảng dạy phần kiến thức về Tổ hợp - Xác suất, các giáo 
viên cần nâng cao tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học 
sinh có khả năng phân tích, suy luận để giải quyết vấn đề và phát hiện những bài 
toán mới từ các bài toán đã có và tạo ra các bài toán mới từ phương pháp giải loại 
toán đó. Đặc biệt, người giáo viên phải giảng dạy cho học sinh cần nắm chắc bản 
chất của vấn đề trong mỗi bài toán, từ đó biết vận dụng, liên hệ giữa các kiến thức 
mới với các kiến thức đã học với thực tiễn cuộc sống. Từ đó giúp các em giải quyết 
các bài toán tổ hợp, xác suất một cách linh động, hơn nữa cho các em sáng tạo ra các 
bài toán mới từ các phương pháp giải, các bài cơ bản đã có. Điều này sẽ nâng cao 
năng lực tự học của các em. 
- Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng giảng dạy cho hầu hết các đối 
tượng học sinh ở các mức độ khác nhau. Tuy nhiên, nội dung chủ yếu của sáng kiến 
kinh nghiệm này hướng đến các học sinh có học lực khá, giỏi, các học sinh có khả 
năng vận dụng kiến thức đã học để giải toán. 
2. Thực nghiệm sư phạm 
43 
Trong năm học 2021 – 2022 tôi đã tiến hành tìm hiểu và triển khai SKKN này 
trong việc giảng dạy chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh lớp 11 tại trường THPT 
Nghi Lộc 3. Nội dung của đề tài được lồng ghép ngay từ các tiết dạy lí thuyết, tiết 
luyện tập, tiết ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi theo từng mức độ khác nhau. 
Năm học vừa qua, tôi đã thực nghiệm đề tài này tại lớp 11A, 11D2 và chọn 
lớp 11A1, 11D3 có lực học tương đương làm nhóm đối chứng tại trường THPT Nghi 
Lộc 3. Với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong nhóm chuyên môn, sau khi thực 
nghiệm đề tài chúng tôi đã tiến hành kiểm tra đánh giá hiệu quả của đề tài. Kết quả 
thu được qua bài kiểm tra về năng lực phân tích bài toán, năng lực giải, năng lực 
phát triển bài toán của học sinh như sau: 
Thông qua các phiếu điều tra thăm dò ý kiến của học sinh, tôi thu được kết 
quả là hầu hết các em thích thú hơn khi được học mà có áp dụng đề tài và các em 
cảm thấy tự tin hơn khi giải toán, biết suy luận theo các hướng khác nhau trước một 
bài toán để giải quyết vấn đề, đồng thời cũng biết cách tìm ra bản chất trong các bài 
toán đã cho để có thế sáng tạo ra bài toán mới. 
Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy: 
mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các quan 
điểm đã được khẳng định. Thực hiện các biện pháp đó sẽ góp phần phát triển các 
năng lực toán học nói chung và đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận toán học. Đặc 
biệt là dạy chủ đề Tổ hợp - Xác suất theo định hướng phát triển năng lực đã góp 
phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường Trung học 
phổ thông và hơn thế nữa đã rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; 
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập và linh hoạt hơn trong 
cách xử lý công việc sau này. 
Lớp Sĩ số Phân tích được Giải được Phát triển 
bài toán 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
11A(TN) 45 40 80 38 84,4 19 42,2 
11A1 43 32 74,4 27 62,8 2 0,05 
11D2(TN) 44 25 56,8 20 45,5 2 0,05 
11D3 43 12 27,9 5 11,6 0 0 
44 
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN 
Sau một thời gian đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh trường THPT Nghi 
Lộc 3, tôi thu được những kết quả tích cực sau: 
- Đề tài góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề lý luận về dạy học phát triển năng 
lực học sinh đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh THPT. 
- Đề tài đã đề ra các giải pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 
thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất; phân tích các phương pháp giải bài tập 
Tổ hợp - Xác suất và cách tạo ra bài toán mới từ phương pháp giải, đưa ra các ví dụ 
có tác dụng rèn luyện năng lực phân tích, suy luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng 
lực phân chia trường hợp, năng lực tính toán, năng lực sử dụng máy tính và năng lực 
giải các bài toán thực tiễn. 
- Đề tài tạo cho học sinh có thói quen phân tích bài toán, tổng quát bài toán và 
tìm ra dấu hiệu bản chất của các bài toán, biết được bài toán trong các đề thi do đâu 
mà có và người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào. Với cách làm đó, các em dễ có cái 
nhìn tổng quan hơn trước một bài toán hay trước khi giải quyết một vấn đề, tránh 
tính trạng học sinh lao ngay vào bài toán mà không có sự dự liệu hay phân tích một 
cách khoa học từ trước. 
- Đề tài củng cố các phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng 
dạy và học, giúp các em không còn lúng túng trước một bài toán được đặt ra. 
- Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh sẽ thấy được sự liên hệ giữa 
các phần kiến thức toán học với nhau, giữa các kiến thức toán và các môn học khác, 
giữa toán học và thực tiễn; qua đó sẽ nắm vững các kiến thức mà các em được học, 
điều này sẽ tạo hứng thú và yêu thích môn toán hơn. Hơn nữa, nó cũng là phương 
pháp tốt cho các em phát huy năng lực tự học. 
- Trên cơ sở nghiên cứu lý luận, tổng kết kinh nghiệm và thông qua dạy thử 
nghiệm có thể khẳng định được tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã 
đề xuất. 
2. Kiến nghị và đề xuất 
- Đề tài này chỉ mới khai thác một phần chủ đề Tổ hợp - Xác suất theo định 
hướng phát triển năng lực. Tuy nhiên, thông qua cách làm này, nếu chúng ta tiếp tục 
nghiên cứu, tìm hiểu các năng lực có thể rèn luyện cho học sinh qua học chủ đề Tổ 
hợp - Xác suất, sẽ đem lại hiệu quả tốt cho việc dạy học và giáo dục học sinh. 
- Từ một bài toán nếu có thể phân tích, dẫn dắt để giải được các bài toán và 
tạo bài mới từ phương pháp giải bài toán đó hay tích hợp các phương pháp luôn có 
tác dụng lớn đối với học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi. Kinh nghiệm cho thấy 
học sinh hứng thú tìm hiểu các vấn đề đơn giản từ đó xây dựng lên mảng kiến thức 
lớn hơn nhiều so với việc giải quyết các bài toán khó. Vì thế trong quá trình giảng 
45 
dạy giáo viên cần nâng cao tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh để các 
em phát huy tối đa năng lực tự học. Cần hướng dẫn cho học sinh cách thức sáng tạo 
ra các vấn đề mới từ các vấn đề đã biết. Quy lạ về quen, từ dễ đến khó sẽ hiệu quả 
hơn là cho các em “cày” những bài toán khó ngay từ đầu. Bởi vì hiện tượng học sinh 
giỏi không giải được bài toán cơ bản đã không còn là chuyện lạ. 
- Trong chương trình sách giáo khoa Toán THPT lượng bài tập tổ hợp, xác 
suất đòi hỏi khả năng tư duy của học sinh còn ít, chủ yếu tập trung vào các bài tập 
cơ bản, chỉ áp dụng công thức nên chưa phát huy được khả năng tư duy của học sinh. 
Vì vậy tôi nghĩ rằng người giáo viên cần khai thác từ các bài tập cơ bản, khai thác 
từ phương pháp giải để tạo ra các dạng toán mới đòi hỏi khả năng tư duy của học 
sinh nhằm phát triển năng lực và gây hứng thú cho người học trong quá trình dạy và 
học toán sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. 
- Mặc dù đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song đề tài này chắc chắn còn nhiều 
thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp 
để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 
46 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao), Bộ Giáo dục. 
2. Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao), Bộ Giáo dục. 
3. Sách giáo khoa Hình học 10 (cơ bản và nâng cao), Bộ Giáo dục 
4. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, NXB ĐHSP Hà Nội 
5. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định 
hướng phát triển năng lực học sinh. 
6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An và các tỉnh khác. 
7. Đề thi thử THPT của các trường THPT trên cả nước. 
8. Nguồn tài liệu internet. 
9. Dự thảo chương trình tổng thể môn Toán, Bộ Giáo dục, 2018.