SKKN Bồi dưỡng phẩm chất chăm chỉ; Phát triển năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề trong việc sử dụng phương pháp ghép trục một số bài toán liên quan đến hàm hợp cho học sinh khối 12

 là
A. 5.	B. 3.	C. 7.	D. 11.
GQVĐ: 
Gợi mở cho học sinh có thấy quen thuộc bài toán này chưa? 
Nếu lựa chọn phương pháp ghép trục thì bài toán có được GQ không?
Giải: (phương pháp ghép trục)
Dựa vào đồ thị đã cho và BBT của 
Ta có BBT hàm số như sau:
Gọi là các điểm cực trị của hàm số khi đó 
Và ta cũng có ; . Suy ra có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 3. [Đề thi TNTHPT - 2020]. Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số là
8.	B. 3.	C. 4.	D. 11.
Giải: (phương pháp ghép trục)
Xét hàm số . Ta có BBT
Đặt 
BBT của hàm số :
Từ hai BBT trên ta có BBT của hàm số 
Vậy hàm số ban đầu có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 4. [CHUYÊN KHTN HÀ NỘI LẦN 3-2020] Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.	B. 7.	C. 4.	D. 3.
Nhận xét: Thông qua tương tác chúng tôi thấy nhiều học sinh đã tự GQVĐ lựa chọn “Phương pháp ghép trục” để GQ và đưa ra kết quả đúng.
Lời giải: (Phương pháp ghép trục)
Từ đồ thị hàm số ta có BBT của hàm số như sau
Đặt . Ta có BBT của hàm số :
Ta có BBT của hàm số 
Từ BBT trên ta thấy hàm số có điểm cực trị.
Ví dụ 5. [Thi thử TNTHPT 2020- LCT]. Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên R. Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Thông qua việc tương tác trong nhóm kín lớp 12A4 và trực tiếp đến từng học sinh đặt câu hỏi, chúng tôi thấy đã dần dần hình thành và phát triển năng lực GQVĐ cho học sinh.
Lời giải: Phương pháp ghép trục 
Từ đồ thị của hàm số 
Đặt ta có BBT của hàm số như sau
Từ tương ứng hàng thứ 2 (lật ngược lại từ nhỏ đến lớn) và hàng thứ 3 của BBT trên ta có bảng xét dấu của :
Đặt 
Hàm số trở thành hàm số:
Ta có BBT của hàm số 
Từ BBT trên hàm số có điểm cực trị
Ví dụ 6. [Thi thử TNTHPT 2021- LHT]. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số cực trị của hàm số trên đoạn là
A. 12.	B. 11.	C. 9.	D. 10.
Lời giải: Phương pháp ghép trục
Đặt , . Khi đó ta có BBT của hàm 
Dựa vào BBT ta có có 9 cực trị.
Nhận xét: Từ 6 ví dụ trên chúng tôi tương tác rất tỉ mỉ, tháo gỡ khó khăn và từng bước khơi dậy cho học sinh tính hứng thú, đã phần nào phát huy được tính tích cực, tự giác phần đông của lớp. Kết hợp việc động viên các em thông qua con điểm quá trình chúng tôi cũng thấy vui và tiếp tục triển khai đề tài.
2.1.2. Dạng 2. Cho hàm số biết đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của (hoặc ) tìm số nghiệm phương trình .
Gợi mở tiếp cận dạng khác sau khi học sinh khá thành thạo dạng 1:
Yêu cầu học sinh nêu phương pháp giải?
Bài toán có dựa vào BBT không?
Nếu sử dụng bảng ghép trục thì bài toán có được GQ? Từ đó hãy nêu khó khăn? Hướng khắc phục khó khăn đó?
GQVĐ: Các em hãy sử dụng bảng ghép trục và tương giao mọi vấn đề về dạng toán sẽ được GQ triệt để và nhanh gọn.
Ví dụ 1. (MH-BGD-L1 2021) Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn 
A. 3.	B. 4.	C. 2.	D. 6.
Tương tác:
Cho học sinh gửi hướng tiếp cận cách giải.
Nêu khó khăn, từng bước tương tác để học sinh có thể vận dụng phương pháp ghép trục và GQ ví dụ trên.
Giải: Phương pháp ghép trục
Ta có 
Đặt 
BBT của hàm số :
Ta có BBT sau 
Từ bảng trên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Ví dụ 2. (SỞ BÌNH DƯƠNG-L1 2021) Cho phương trình có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới. Hỏi phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 8.	B. 6.	C. 9.	D. 11. 
Tương tác:
Cho học sinh gửi hình ảnh lời giải hoặc hướng giải cũng như vướng mắc khi tìm lời giải ví dụ này.
Nêu khó khăn, từng bước tương tác để học sinh có thể vận dụng phương pháp ghép trục và GQ ví dụ trên.
Gợi mở cho các em xem cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu , từ đó tìm cách biểu diễn lên bảng ghép trục.
Giải: Phương pháp ghép trục
Đặt . BBT của hàm số :
Phương trình trở thành:
Từ đồ thị hàm số và BBT của hàm số ta có BBT của hàm hợp như sau:
Từ BBT ta thấy phương trình có 5 nghiệm và phương trình có 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm
Nhận xét: 
Một số em đã rất vui, thích thú khi tự tìm ra cách giải theo phương pháp ghép trục để giải ví dụ này.
Chúng tôi phân công với học sinh làm được bài hướng dẫn cho các em trong nhóm giải toán phần này thấy học sinh bắt đầu phát triển thêm năng lực hợp tác. Các em trong nhóm rất tích cực hỏi các em làm được dù có những câu ngớ ngẩn.
Ví dụ 3. [THI THỬ LẦN 2021 – HÀM NGHI]. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc khoảng của phương trình là
A. 8.	B. 5.	C. 3.	D. 6.
Giải: phương pháp ghép trục
Đặt ;
BBT của 
BBT của hàm số 
Số nghiệm thuộc khoảng của phương trình là 6.
Ví dụ 4. [THI THỬ LẦN 1-2020 – VQ]. Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên R. Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số có số điểm cực trị là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: Phương pháp ghép trục
Bảng BBT hàm số 
Đặt , khi đó cực trị của hàm số là .
Đặt 
BBT của hàm số :
Ta ghép bảng BBT như sau:
Từ bảng trên ta thấy hàm số có điểm cực trị.
Ví dụ 5 [CHUYÊN VINH LẦN 1-2020]. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên.
Xác định số nghiệm của phương trình , biết .
A. 6.	B. 9.	C. 10.	D. 11.
Lời giải. (Phương pháp ghép trục)
 Theo bài ra ta có bảng biến thiên tổng hợp:
Từ BBT phương trình đã cho có 10 nghiệm. 
2.2. Sử dụng phương pháp “ghép trục”để phát triển các bài toán khác nhau từ bài toán “gốc” nhằm tạo hứng thú trong học tập
Bài toán 1 (Bài toán gốc 1). [Đề thi TNTHPT - 2020]. Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số là
8.	B. 3.	C. 4.	D. 11.
Giải: (Phương pháp ghép trục)
Đặt . BBT của hàm số 
Ta có BBT của hàm số 
Vậy hàm số ban đầu có 3 điểm cực trị.
Từ bài toán trên nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh, giáo viên có thể biến đổi để hình thành những bài toán khác nhau như sau:
Tương tác:
Chúng tôi đã giao riêng cho các em học sinh thành thạo các ví dụ trên làm ví dụ này trước. Thấy các em không gặp khó khăn gì nữa.
Từ các em khá này chúng tôi phân công hướng dẫn và tự giải đáp các câu hỏi của các em trên nhóm chung toàn bộ lớp. Thấy các em đã phát triển được năng lực GQVĐ và thêm cho các em trong lớp một năng lực mới đó là năng lực hợp tác.
Bài 1. (Phát triển từ bài toán 1). Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số là:
A. 8.	B. 7.	C. 4.	D. 11. 
Giải : Phương pháp ghép trục
Đặt . Ta có BBT 
Ta có BBT của hàm số 
Vậy hàm số ban đầu có 7 điểm cực trị.
Bài 2: (Phát triển từ bài toán 1). Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số là:
A. 8.	B. 7.	C. 4.	D. 15.
Tương tác:
Cứ như vậy trên nhóm bây giờ chúng tôi chỉ cần soạn các bài toán tương tự và phát triển thêm bài toán gốc thấy toàn bộ học sinh rất hứng thú.
Giải: Phương pháp ghép trục
Đặt , 
Tương tự các bước giải bài 1. Khi đó ta có bảng BBT của hàm số
Vậy hàm số có 15 điểm cực trị.
Bài 3. (Phát triển từ bài 1). Cho hàm số . Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 2022 để có 13 điểm cực trị.
A. 2018.	B. 2022.	C. 2020.	D. 2017. 
Giải: Phương pháp ghép trục
Đặt .
Tương tự các bước giải bài 1. Khi đó ta có bảng BBT của hàm số như sau:
Do nên từ bảng ghép trục trên hàm số có 13 điểm cực trị khi.
Kết hợp bài ra ta được . Vậy có 2017 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 4. (Phát triển từ bài toán 1) Cho hàm số . Có bao nhiêu số nguyên của m để hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất.
	A. 1.	B. 2.	C. 4. 	D. 3. 
Giải. Phương pháp ghép trục
Đặt 
Từ hai BBT trên ta có BBT của hàm số 
Vậy hàm số ban đầu có nhiều điểm cực trị nhất khi số 0 ở 4 vị trí.
	Nghĩa là . 
Do m nguyên nên có 3 giá trị m thỏa mãn ().
Bài toán 2 (bài toán gốc 2). Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
5.	B. 7.	C. 4.	D. 3.
Lời giải: Phương pháp ghép trục
Đặt . Từ đồ thị hàm số ta có BBT của hàm số như sau: 
Từ tương ứng hàng thứ 2 (lật ngược lại từ nhỏ đến lớn) và hàng thứ 3 của BBT trên ta có bảng xét dấu của 
Đặt . Ta có BBT:
Hàm số trở thành hàm số:
Từ BBT của hàm số và BBT của hàm số ta có bảng ghép trục như sau:
Từ bảng trên ta thấy hàm số có điểm cực trị.
Từ bài toán trên ta phát triển thành nhiều bài toán khác nhau nhưng có cùng dạng như bài toán trên.
Bài 1. (Phát triển từ bài toán 2). Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số có số điểm cực trị là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: Phương pháp ghép trục
Từ đồ thị hàm số ta có 
Chọn ta có nên;
Chọn ta có nên ;
Chọn ta có nên ;
Ta có BBT của 
Đặt . BBT của hàm số 
Ta ghép bảng BBT như sau:
Từ bảng trên ta thấy hàm số có điểm cực trị.
Bài 2. (Phát triển từ bài toán 2). Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên .Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số có số điểm cực trị là:
A. 7.	B. 2.	C. 4.	D. 5. 
Giải: Phương pháp ghép trục. Tương tự bài trên ta có.
Đặt . Ta ghép bảng BBT như sau:
Từ bảng trên ta thấy hàm số có điểm cực trị.
Bài 3. (Phát triển từ bài toán 2). Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số có số điểm cực trị là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: Phương pháp ghép trục
Đặt , khi đó cực trị của hàm số là .
Đặt . Ta ghép bảng BBT như sau:
Từ bảng trên ta thấy hàm số có điểm cực trị.
3. Hiệu quả mang lại của sáng kiến:
- Qua quá trình tương tác thực nghiệm được tiến hành như sau: Tương tác thử nghiệm thông qua nhóm có internet ở nhóm lớp 12A4 là đối tượng học sinh trung bình, khá.
- Kết quả thực nghiệm: Phần lớn các em học sinh khá sau khi tiếp cận đề tài đã có khả năng định hướng tốt, vận dụng giải quyết được các ví dụ, bài tập đã đưa ra trong đề tài.
- Bảng đánh giá kết quả đạt được sau khi tương tác thử nghiệm:
+) Đề kiểm tra đánh giá: (phần phụ lục). Thời gian làm bài 20 phút.
+) Kết quả sẽ đạt như sau:
Số học sinh đánh giá
Số học sinh làm được câu 1
Số học sinh làm được câu 2
Số học sinh làm được câu 1 và câu 2
45
41
37
21
+) Kết luận:
- Phần lớn các em đã hình thành tính cách chăm chỉ, phát triển được năng lực tự học, các em khá thì phát triển thêm năng lực GQVĐ trong chủ đề trên. Ngoài ra các em đã khơi dậy thêm năng lực hợp tác thông qua nhóm học tập.
- Vậy qua kết quả trên ta nhận thấy khi vận dụng đề tài vào giảng dạy thì học sinh đã giải quyết được các dạng toán trong đề tài tốt hơn. Đã tạo cho học sinh cách giải quyết mới ngắn gọn và tổng quát hơn cách giải truyền thống.
- Qua việc từ nghiên cứu rồi từng bước tìm ra giải pháp khi thực hiện đề tài chúng tôi trình bày chưa được như mong muốn do thời gian hạn hẹp. Rất mong được sự quan tâm, chia sẻ của các đồng nghiệp.
4. Khả năng ứng dụng và triển khai:
- Sáng kiến được áp dụng trong việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh khối 12 trong các trường THPT để thi HSG cũng như thi THPT QG.
- Đề tài có thể tiếp tục nghiên cứu để phát triển theo hướng tổng quát các dạng toán thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT QG.
5. Ý nghĩa của sáng kiến:
- Sáng kiến góp phần bồi dưỡng phẩm chất chăm chỉ, phát triển năng lực tự học, năng lực GQVĐ cho học sinh THPT.
- Sáng kiến được áp dụng cho đối tượng là học sinh trung bình, khá và giỏi của lớp 12.
- Sáng kiến góp phần rèn luyện tư duy và kỹ năng giải các bài toán về hàm số ở mức vận dụng, vận dụng cao trong đề thi THPT QG và thi học sinh giỏi.
PHẦN III: KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm
Qua quá trình nghiên cứu, triển khai và áp dụng sáng kiến vào dạy học chúng tôi nhận thấy:
- Trong quá trình tương tác thông qua mạng internet đã tìm được giải pháp nhỏ nhằm hình thành, bồi dưỡng phẩm chất chăm chỉ, từ đó phát triển được một số năng lực như: tự học, hợp tác, GQVĐ...
- Trong quá trình dạy học: Việc hệ thống hóa kiến thức, tìm ra cách giải mới nhằm giúp học sinh dễ tiếp cận và giải quyết các bài toán một cách tổng quát là rất cần thiết vì sẽ tạo hứng thú học tập cho học sinh.
- Để quá trình dạy học mang lại hiệu quả cần phải dành nhiều thời gian tìm hiểu các đề thi, các tài liệu tổng hợp nghiên cứu các dạng toán, đưa ra các định hướng giải cho mỗi dạng toán, đồng thời xây dựng hệ thống bài tập tương ứng với mỗi dạng để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng cho học sinh.
- Qua quá trình thử nghiệm nhận thấy đề tài có ý nghĩa trong việc góp phần định hướng giải một số dạng toán về hàm số (hàm hợp) trong kỳ thi THPT QG cho học sinh.
- Thông qua tương tác chúng tôi nhận thấy sự thích thú, sự năng động, tích cực, chủ động từ phía học sinh. Được sự quan tâm của giáo viên học sinh cảm thấy không bị bỏ rơi khi gặp khó khăn!
2. Những kiến nghị, đề xuất
Để đề tài thực sự mang lại hiệu quả tôi xin kiến nghị và đề xuất một số nội dung sau:
- Tạo điều kiện cho các giáo viên toán trong các trường THPT tiếp cận với đề tài và áp dụng đề tài trong quá trình dạy học.
- Đề tài là tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập, tự học.
- Mong muốn nhận được sự phản hồi và góp ý của giáo viên và học sinh để tiếp tục mở rộng, phát triển và hoàn thiện đề tài.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 - Các đề thi thử các sở, các trường THPT, đề thi tham khảo của bộ, đề thi tốt nghiệp THPT QG các năm 2020, 2021, 2022, 2023.
- Các phương pháp giải “ Phương pháp ghép trục” trên các diễn đàn toán học, trên các nhóm Toán lớn của cả nước.
- Một số bài toán trên mạng internet. 
Luyện thi trắc nghiệm (Kết nối tri thức với cuộc sống).
Tham khảo trên mạng internet một số đề tài về việc bồi dưỡng phẩm chất, phát triển năng lực cho học sinh.
Phần phụ lục 1
Đề kiểm tra đánh giá
Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
A. 7.	B. 10.	C. 6.	D. 8.
Câu 2. Cho hàm số liên tục và xác định và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.	B. 7.	C. 9.	D. 11.
II. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hàm số liên tục trên. Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình là
A. 5.	B. 6.	C. 3.	D. 4.
Bài 3. Cho hàm số có đồ thị như hình sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
A. 1.	B. 2.	C. 3.	D. 4.
Bài 4. Cho hàm số xác định và liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ dưới:
Số giá trị nguyên của tham số m phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn để là:
A. 4.	B. 8.	C. 6.	D. 5.
Bài 5. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 8 nghiệm phân biệt
A. 5.	B. 4.	C. 3.	D. 6. 
Bài 6. Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt . Số điểm cực trị của hàm số là
A. 2.	B. 8.	C. 10.	D. 6.
Bài 7. Cho hàm số xác định liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
A. 4.	B. 3.	C. 5.	D. 6. 
Bài 8. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm?
A. 8.	B. 7.	C. 9. 	D. 6.
Bài 9. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.
	Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao cho phương trình có nghiệm?
4.	B. 2.	C. 5.	D. 3.
Bài 10. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. 5.	B. 3.	C. 7.	D. 11.
Phần phụ lục 2
Phụ lục về khảo sát phẩm chất chăm chỉ:
Phụ lục về khảo sát năng lực tự học:
Phụ lục về khảo sát năng lực GQVĐ, phương pháp ghép trục:
...Hết..