Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng hệ thống bài tập “Đường tròn” theo định hướng phát triển năng lực học sinh lớp 10 THPT

hệ số góc k, nhưng cách giải đó không tổng quát vì HS sẽ gặp khó khăn khi làm bài 6. GV nên hướng dẫn HS viết phương trình theo véc tơ pháp tuyến (VTPT) hoặc véc tơ chỉ phương (VTCP).
Bài 6. Viết PTTT với đường tròn (C): x2 + (y – 1)2 = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2.
ĐS: 
Bài 7. Cho đường tròn đường tròn x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0, điểm A(-1 ; 2).
a. Chứng minh rằng điểm A nằm ngoài đường tròn.
b. Kẻ tiếp tuyến AT với đường tròn, T là tiếp điểm. Tính độ dài AT. 
c. Viết PTTT AT kẻ từ A với đường tròn. 
d. Gọi T ,T là các tiếp điểm của tiếp tuyến qua A, tính đoạn TT. 
Hướng dẫn
a. do đó A nằm ngoài đường tròn.
b.
c. Phương trình d qua A(-1 ; 2) có dạng a(x+1) + b(y – 2) = 0 
hay ax + by + a – 2b = 0
 d tiếp xúc (C) 
 +) b = 0 PTTT là x = - 1.
 +) thì PTTT là 4x – 3y + 10 = 0.
d. suy ra TH = suy ra TT = 
Bài 8. Cho hai đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và (C’): (x - 2)2 + (y – 3)2 = 4. 
Viết phương trình tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn.
Hướng dẫn 
 (C) có tâm O, R = 1. (C’) có tâm I(2 ; 3), bán kính R’ = 2
 PTTT chung D có dạng : ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) thỏa mãn các điều kiện:
 Từ (2) thế vào (1) và bình phương:
 Vậy có 2 PTTT cần tìm là: y – 1 = 0 và 12x + 5y - 13 = 0.
2.3.2.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I(2; -1) và tiếp xúc ngoài với đường tròn: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9

Đường tròn trên có tâm K(5;3), bán kính r = 3
Đường tròn (I; R) cần tìm tiếp xúc ngoài với (K) khi và chỉ khi IK = R + r
Mà 
Vậy PT đường tròn (I) là .
Bài 2. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục và có tâm nằm trên đường thẳng 2x – y – 3 = 0
Hướng dẫn
Gọi I(h ; k) là tâm và R là bán kính đường tròn. Ta có (I) tiếp xúc với Ox, Oy nên: 
Mặt khác . Do đó: 
PT đường tròn cần tìm là: .

CÂU HỎI ĐÚNG-SAI TỔNG HỢP PHẦN NHẬN BIẾT VÀ THÔNG HIỂU
Thí sinh ghi dấu X vào cột được chọn tương ứng với mệnh đề bên trái
CÂU HỎI
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Cho không phải là phương trình đường tròn.


b)
Cho là phương trình đường tròn có tâm , bán kính .


c)
Cho là phương trình đường tròn có tâm , bán kính .


d)
 là phương trình đường tròn có tâm , bán kính 


Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Phương trình đường tròn có tâm và có bán kính là là 


b)
Phương trình đường tròn có tâm và tiếp xúc với đường thẳng là 


c)
Phương trình đường tròn có tâm và đi qua điểm là 


d)
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm là 


Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
 có tâm và bán kính , khi đó là: .


b)
 có tâm và đi qua , khi đó là: .


c)
 có đường kính với , khi đó là: .


d)
 có tâm và tiếp xúc với đường thẳng , khi đó là: .


Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Cho , khi đó có tâm và bán kính .


b)
Cho , khi đó có tâm và bán kính .


c)
Cho , khi đó có tâm và bán kính .


d)
Cho , khi đó có tâm và bán kính .


Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Phương trình có tâm và bán kính là: 


b)
Phương trình có tâm và đi qua là: 


c)
Phương trình nhận làm đường kính với là: 


d)
Phương trình đi qua ba điểm: là: 


Cho đường tròn có tâm và tiếp xúc với đường thẳng . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)



b)
Đường kính của đường tròn có độ dài bằng 


c)
Phương trình đường tròn là 


d)
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ lớn hơn 0


Đường tròn đi qua và tiếp xúc với hai trục tọa độ và . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Đường tròn đi qua điểm 


b)
Đường tròn đi qua điểm 


c)
Có 2 đường tròn thỏa mãn


d)
Tổng bán kính các đường tròn thỏa mãn bằng 5


Đường tròn đi qua hai điểm có tâm thuộc . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Tâm của đường tròn là 


b)
Điểm nằm bên trong đường tròn 


c)
Đường kính của đường tròn bằng 


d)
Đường tròn đi qua điểm 


Đường tròn đi qua hai điểm và tiếp xúc . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Có hai đường tròn thỏa mãn


b)
Tổng đường kính của các đường tròn bằng: 


c)
Điểm nằm bên trong các đường tròn 


d)
Điểm nằm trên ít nhất một đường tròn 


Cho đường tròn có phương trình và hai điểm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Điểm thuộc đường tròn


b)
Điểm nằm trong đường tròn


c)
 phương trình tiếp tuyến của tại điểm .


d)
Qua kẻ được hai tiếp tuyến với có phương trình là: ; .


Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
 không là phương trình đường tròn.


b)
 không là phương trình đường tròn.


c)
 là phương trình đường tròn tâm , bán kính .


d)
 là phương trình đường tròn tâm , bán kính .



Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Phương trình , có tâm , bán kính .


b)
Phương trình có tâm và đi qua điểm là: 


c)
Phương trình có tâm và tiếp xúc với đường thẳng là: 


d)
Phương trình có đường kính với là: 


Đường tròn đi qua ba điểm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Đường kính của đường tròn bằng 


b)
Hoành độ của tâm đường tròn bằng 


c)
Đường tròn đi qua điểm 


d)
Gọi là tâm của đường tròn khi đó độ dài đoạn 


Đường tròn đi qua điểm và tiếp xúc với đường thẳng tại . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Đường kính của đường tròn bằng: 


b)
Tâm của đường tròn có tung độ bằng 


c)
Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng 4


d)
Điểm nằm bên trong đường tròn 


Đường tròn có tâm thuộc và đi qua hai điểm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Tọa độ tâm 


b)
Đường kính của đường tròn bằng 


c)
Đường tròn đi qua điểm 


d)
Độ dài đoạn 


Đường tròn đi qua và có tâm nằm trên trục hoành. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Phương trình đường tròn có dạng 


b)
Đường tròn đi qua điểm 


c)
Gọi là tâm của đường tròn khi đó: 


d)
Điểm nằm bên trong đường tròn 


Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Phương trình (C) có đường kính với là: 


b)
Phương trình (C) có tâm và tiếp xúc với đường thẳng là: 


c)
Phương trình (C) đi qua là: 


d)
Phương trình có tâm và đi qua là: 



Cho ; và điểm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Điểm 


b)
Đường kính của đường tròn bằng 


c)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm có vectơ pháp tuyến là 


d)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm đi qua điểm 


Cho ; đường thẳng . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
 có tâm 


b)
Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng 


c)
Có hai tiếp tuyến đường tròn song song với đường thẳng 


d)
Điểm nằm trên một tiếp tuyến đường tròn song song với đường thẳng 


Cho ; điểm ; các đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn đi qua . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
 có bán kính .


b)
Gọi là tâm của đường tròn , khi đó 


c)
Có hai đường thẳng 


d)
Các đường thẳng vuông góc với nhau


Cho đi qua và tiếp xúc với tại . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Đường tròn có đường kính bằng 


b)
Đường tròn đi qua điểm 


c)
Điểm nằm bên trong đường tròn 


d)
Khoảng cách từ tâm đường tròn đến trục bằng 


Cho tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm thuộc đường thẳng . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Có hai đường tròn thỏa mãn


b)
Tổng bán kính các đường tròn bằng 


c)
Điểm nằm ngoài các đường tròn 


d)
Các đường tròn nằm trên cùng nữa mặt phẳng bờ 


Cho đi qua và tiếp xúc với đường thẳng tại . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Đường thẳng qua và vuông góc với là: 


b)
Hoành độ tâm của đường tròn bằng 


c)
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 


d)
Điểm nằm ngoài các đường tròn 


Cho và . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
 có tâm .


b)
Điểm nằm trên đường thẳng 


c)
Đường thẳng song song với có véctơ pháp tuyến bằng 


d)
Có hai đường thẳng tiếp tuyến với đường tròn mà song song với 



Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng tại và có bán kính . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Hoành độ tâm đường tròn bé hơn 


b)
Tung độ tâm đường tròn lớn hơn 


c)
Tổng hoành độ các đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 


d)
Các đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán nằm ngược phía đường thẳng 


Đường tròn đi qua điểm và tiếp xúc với 2 đường thẳng và . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Hoành độ tâm đường tròn bé hơn 


b)
Tung độ tâm đường tròn lớn hơn 


c)
Tổng tung độ các đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 


d)
Trong các đường tròn , có đường tròn đi qua qua điểm 


Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
 không phải là phương trình đường tròn


b)
 là phương trình đường tròn tâm là điểm .


c)
 không phải là phương trình đường tròn


d)
 là phương trình đường tròn có tâm và bán kính 


Trong mặt phẳng tọa độ , cho . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Độ dài đoạn 


b)
Đường tròn đi qua 3 điểm có tâm 


c)
Đường tròn đi qua 3 điểm cũng đi qua điểm 


d)
Độ dài đoạn với 


Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường tròn : . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Đường tròn có tâm 


b)
Đường tròn có bán kính .


c)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm là: 


d)
Có 2 phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết vuông góc với .


Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường tròn : . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng
Sai
a)
Đường tròn có tâm 


b)
Đường tròn có bán kính 


c)
Có 2 tiếp tuyến đường tròn song song với đường thẳng 


d)
Tiếp tuyến đường tròn , song song với đường thẳng đi qua điểm 


2.3.3. Câu hỏi mức độ vận dụng.
2.3.3.1. Phương trình đường tròn
Bài 1. Viết phương trình đường tròn qua A(5; 3) và tiếp xúc đường thẳng 
d : x + 3y + 2 = 0 tại điểm T(1; -1)
Hướng dẫn
Phương trình đường tròn: 
(C ) qua A(5; 3): 10a + 6b + c = - 34
(C ) qua T(1; -1): 2a – 2b + c = - 2
Tâm I (- a; - b) thuộc đường thẳng vuông góc với d: x + 3y + 2 =0 tại T (1; -1) có PT 
Giải hệ ta được: a = b = - 2, c = - 2.
Vậy phương trình đường tròn 
Nhận xét: Một lần nữa ta thấy hiệu quả của tính chất bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến.
Bài 2. Cho d: x – 7y + 10 = 0, (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và A(1 ; -2). 
Lập phương trình (C1) đi qua giao điểm của d và (C) và A.
Hướng dẫn
Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ 
Vậy có 2 giao điểm .
Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm là:
 hay .
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn . CMR điểm nằm trong (C). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.
Hướng dẫn
+ (C) có tâm .
+ nên điểm M nằm trong (C).
+ cân tại I có M là trung điểm AB nên do đó PT .
2.3.3.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm và đường thẳng . Lập phương trình đường tròn có tâm I sao cho cắt d theo dây cung ? Viết phương trình các tiếp tuyến của tại A và tại B 
Hướng dẫn

Kẻ 
Vậy phương trình là 
Hay .
A, B là giao điểm của và d nên .
 là véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại A nên có PT: 
 hay .
Tương tự có tiếp tuyến tại B là .
2.3.3.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
 Cho đường tròn (x - 3)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(1 ; 1)
a. CMR M nằm trong đường tròn.
b. Kẻ dây cung AB qua M và vuông góc với IM. Tính độ dài AB.
Hướng dẫn
a. .
b. Cách 1. Phương trình đường thẳng AB qua M và nhận IM là véc tơ pháp tuyến là: . .
Cách 2. Toạ độ A, B thoả mãn hệ: 
Vậy .
2.3.4. Câu hỏi mức độ vận dụng cao:
2.3.4.1. Phương trình đường tròn
Bài 1. 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,cho hai điểm . Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và có khoảng cách từ tâm của đến điểm B bằng 5.
Hướng dẫn
 do đó 
Với PT đường tròn là 
Với PT đường tròn là 
Bài 2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn . Viết phương trình đường thẳng qua cắt (C ) tại B, C sao cho . 
Hướng dẫn
Gọi H là trung điểm BC, (C ) có tâm 
Lập PT đường thẳng qua (7; 3) có cách I một đoạn bằng 4. 
 .
.
Vậy phương trình là .
Bài 3. Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn . Viết phương trình đường thẳng qua cắt (C ) tại B, C sao cho . 
Hướng dẫn

Gọi H là trung điểm BC.(C ) có tâm 
Có 
Lập PT đường thẳng qua (7; 3) có cách I một đoạn bằng 4. 
 .
.
Vậy phương trình là .

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
Hướng dẫn
 (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Î Oy Þ M(0;m)
 Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
 Vậy Vì MI là phân giác của 
(1) Û = 300 Û MI = 2R Û
(2) Û = 600 Û MI = R Û Vô nghiệm
 Vậy có hai điểm M1(0;) và M2(0;-).
2.3.4.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
 Tìm m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm
Để hệ có hai nghiệm thì (Cm) phải tiếp xúc với d1, d2
Nhận xét: Đây là bài toán khéo léo chuyển về sự tương giao của đường thẳng và đường tròn.
2.3.4.3. Các bài toán về vị trí tương đối, tương giao
Bài 1Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho đường tròn và đường thẳng . Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn qua d. Tìm toạ độ các giao điểm của và .
Hướng dẫn
+ Đường tròn có tâm 
+ Đường thẳng qua I và vuông góc với 
+ H là giao điểm của d và .
+ I’ đối xứng với I qua H nên do đó 
+ Tọa độ giao điểm là H nghiệm của hệ phương trình 
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho đường tròn và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
Hướng dẫn
+ 
+ 
+ tiếp xúc với M
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho đường tròn và hai đường thẳng . 
Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn biết đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng và tâm K thuộc đường tròn .
Hướng dẫn
Gọi 
+ (1)
+ đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng 
 (2)
Từ (2) ta có 
Với thay vào (1) ta có: 
Với thay vào (1) ta có vô nghiệm.
Vậy .
Bài4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn:
 và cùng đi qua 
M(1; 0).
Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho: MA= 2MB.
Hướng dẫn
+) Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1), I’(-2; 0) và , đường thẳng d qua M có phương trình 
.
+) Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: 
 , 
Dễ thấy nên chọn .
Kiểm tra điều kiện rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN PHẦN VẬN DỤNG
Câu 1.	Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình đường tròn tâm và tiếp xúc với đường thẳng .
Trả lời: 
Câu 2.	Viết phương trình đường tròn đi qua và tiếp xúc với 2 trục tọa độ.
Trả lời: 
Câu 3.	Viết phương trình đường tròn trong trường hợp sau: (C) có tâm nằm trên đường thẳng và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình và .
Trả lời: 
Câu 4.	Tìm để phương trình là một phương trình đường tròn.
Trả lời: 
Câu 5.	Cho đường tròn .
Tìm để qua điểm chỉ có một tiếp tuyến với .
Trả lời: 
Câu 6.	Cho đường tròn . Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn và song song với đường thẳng .
Trả lời: 
Câu 7.	Trong mặt phẳng toạ độ , cho hai điểm và . Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm và khoảng cách từ tâm của đường tròn đến điểm bằng 5 .
Trả lời: