Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7

đề tài tôi cho học sinh làm bài toán thực nghiệm như sau :
*Đề kiểm tra lần 1:
	Tìm x, y, z biết :
a. và x . y = 54
	b. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95.
	c. và 2x + 3y – 5z = 10
* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2017 – 2018 : 
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 - 4 điểm
Đối tượng 2
5 - 7 điểm
Đối tượng 3
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
34
15
44,1
13
38,3
6
17,6

* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2018 – 2019 : 
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 - 4 điểm
Đối tượng 2
5 - 7 điểm
Đối tượng 3
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
30
12
40
13
43,3
5
16,7
	Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức so với hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán.
DẠNG 2 : Chứng minh tỷ lệ thức :
Bài toán 1 : Cho tỷ lệ thức . Hãy chứng minh :
	Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống hóa kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm hướng giải cụ thể.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng minh phần a.
	Đặt = k	 a = b.k
	 c = d.k
Ta có : 
* Hướng thứ hai : Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :
	Từ : (Hoán vị trung tỷ)
	 (Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
	 (Hoán vị trung tỷ).
	Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức :
	Từ 
	Xét tích : 	(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
	(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
	(a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)
	 	 (Đpcm)
	Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, đề trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài , qua đó để học sinh tự giải các bài tập phần b của bài 1.
Bài toán 2 : Cho Hãy chứng minh :
	Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về lũy thừa và kiến thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức :
	Nếu : và hướng cho các em trình bày lời giải của bài toán phần c.
Giải :
Từ : (Hoán vị trung tỷ)
	Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời giải phần a,b và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng minh tỷ lệ thức.
Bài toán 3 : (Dành cho học sinh khá giỏi)
Cho . Hãy chứng minh 
	Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có hướng giải phù hợp.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi vế phải ta có lời giải sau :
Từ b2 = ac . Thay vào vế trái ta có :
	 (Đpcm)
* Hướng thứ hai : Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta có lời giải sau :
 Vì cần có a2 ; b2 nên ta nhân từng vế của với chính bản thân nó ta có : 
	(1)
mà 	 (2)
	Từ (1) và (2) (Đpcm)
* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 2 :
	Cho tỷ lệ thức : hãy chứng minh :
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2016 – 2017 : 
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 - 4 điểm
Đối tượng 2
5 - 7 điểm
Đối tượng 3
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
34
16
47,1
14
41,2
4
11,7
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2017 – 2018 : 
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 - 4 điểm
Đối tượng 2
5 - 7 điểm
Đối tượng 3
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
30
11
36,7
14
46,7
5
16,6
Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môn toán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch.
DẠNG 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch :
Bài toán 1 : 
	Ba kho A,B,C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm số gạo đó, xuất ở kho B đi số gạo đó, xuất ở kho C đi số gạo đó. Khi đó số gạo ở 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu. Biết rằng kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ. 
	Để giải bài toán này tôi lại cho học sinh đọc kĩ đề bài , tóm tắt, phân tích kĩ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau : 
Giải : 
 Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x,y,z (tạ) gạo (x,y,z > 0)
	Số gạo lúc sau ở kho A là : x + x = x.
	Số gạo lúc sau ở kho B là : y - y = y
	Số gạo lúc sau ở kho C là : z - z = z.
	Theo bài ra ta có : x = y = z (1) và y – x = 20
	Chia cả ba tỷ số của (1) cho BCNN (8;5) = 40 ta có :
	 	x = 35 . 2 = 70 (tạ).
	y = 45 . 2 = 90 (tạ).
	z = 56 . 2 = 112 (tạ)
	Vậy số gạo lúc đầu ở ba kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
	Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự. 
	Chẳng hạn : 
	Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau : 
	1. Tổng số gạo ở ba kho là 272 tạ
	2. Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ.
	3. Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ.
	Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số .
 DẠNG 4 : Chuyển động :
Bài toán 1 : 
	Một người dự kiến đi ô tô từ khu công nghiệp Tân Trường về Thanh Hà trong một thời gian dự định. Thực tế thời gian đi phải giảm vận tốc so với dự định nên đến Thái bình muộn hơn thời gian dự định là 30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu.
	Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kĩ đề bài. Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của chuyển động trên một đoạn đường. Chú ý rằng : Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là đại lượng tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức : và các em đã có hướng đi tìm t1 ; t2.
Giải : 
	Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định ; v2 là vận tốc thực đi, t2 là thời gian thực đi.
	v1, v2 cùng đơn vị; t1, t2 cùng đơn vị (v1, v2 , t1, t2 > 0)
Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Do đó :
	 mà v2 = v1.
 (theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
 t1 = 30 . 3 = 90 phút.
 Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút.
* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 4 của đề tài : 
Bài toán 1 : 
	Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bài toán 2 : 
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự định đến B lúc 11h45’. Sau khi đi được quãng đường thì người đó xe đó đi với vận tốc 30 km/h nên đến B lúc 12h.
Hỏi xe đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu ?
* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2017 - 2018: 
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 - 4 điểm
Đối tượng 2
5 - 7 điểm
Đối tượng 3
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
34
15
44,1
14
41,2
5
14,7

* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2018 - 2019 : 
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 - 4 điểm
Đối tượng 2
5 - 7 điểm
Đối tượng 3
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
30
12
40
13
43,4
5
16,6

* DẠNG 5 : hình học : 
Bài toán : 
	Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng nếu cộng lần lượt hai đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5,7,8.
	Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức. Tôi đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng trong tam giác. Bằng kiến thức của hình học, các em đã có hướng đi và lời giải của bài toán. 
Giải : 
	Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c (a,b,c > 0) và ba đường cao tương ứng là (> 0)
	Theo bài ra ta có : = 5 : 7 : 8 (do vai trò của như nhau) 
	Ta có công thức : 
	 (1)
	Ta đặt 
	 = 5k
	 = 7k
	 = 8k
	= 20k 
	Mà 	 = 5k = 5k.
	 	= 7k = 3k.
	 = 8k = 2k.
	Thay vào (1) ta có :
	 	a.3k = b.2k = c. 5k.
	 	3a = 2b = 5c.
	Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6.
5. Một số sai sót của học sinh cần khắc phục:
- Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh tiếp thu được các nội dung trên nhờ cụ thể hóa phương pháp, phân dạng được bài tập nên học sinh biết cách vận dụng vào bài tập.
- Tuy nhiên cũng còn nhiều sai sót, thiếu chính xác cần tiếp tục uốn nắn, rèn kĩ năng.
- Sau đây là vài ví dụ minh họa : 
VD1 : Tìm x,y,z biết : 
	3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
Lời giải của học sinh : 
	Ta có : 	3x = 5y = 8z 
Những sai sót và cách khắc phục : 
Sai sót : Từ 3x = 5y = 8z
	Các em nên việc tìm x,y,z sai.
Cách khắc phục : 
	Ta có BCNN (3;5;8) = 120.
	Từ 3x = 5y = 8z 
Lời giải đúng 
	Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3,5,8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau :
	Ta có BCNN (3,5,8) = 120
	Từ 3x = 5y = 8z 
	Hay 
	 (Tương tự như trên ta có ...)
	Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
VD2 : Cho tỷ lệ thức hãy chứng minh : 
Lời giải của học sinh : 
	Từ 
	Do đó các em không đi đến được yêu cầu của bài toán.
Những sai sót và cách khắc phục : 
Sai sót : Học sinh chưa sử dụng đúng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức, chưa biết sử dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách khắc phục : 
Từ (hoán vị trung tỉ).
Áp dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để đi đến đpcm.
Lời giải đúng : 
Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :
	Từ : (Hoán vị trung tỷ)
	 (Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
	 (Hoán vị trung tỷ).
	Ngoài hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức :
	Từ 
	Xét tích : 	(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
	(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
	(a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)
	 (Đpcm)
	Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tùy theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có những biện pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách vận dụng giải bài tập.
PHẦN 3. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KẾT LUẬN 
1. Kết quả:
	Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy các em làm bài tập toán với một phong cách nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc biệt là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau . Từ đó tìm được phương án tối ưu để giải toán.
	Phương pháp phân hóa bài tập theo dạng đã giúp học sinh tìm tòi lời giải dễ dàng hơn và hệ thống được kiến thức , rèn luyện khả năng tư duy tóan học linh họat hơn góp phần nâng cao hiệu qủa giảng dậy của giáo viên .
	Và điều dễ thấy nhất là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.
	Dưới đây là một ví dụ : Tôi cho một số bài toán để kiểm nghiệm như sau:
Đề Kiểm tra khảo sát chất lượng
 (sau khi thực hiện đề tài):
Câu 1 : Tìm x,y,z biết :
	3x = 2y ; 7y = 5z và x – y + z = 32.
Câu 2 : Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b + d) (b,d ¹ 0) thì 
Câu 3 : Tổng các lập phương của ba số nguyên là 1009. Biết rằng số thứ nhất và số thứ hai tỷ lệ với 2 và 3. Tỷ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 4/9 . Tìm ba số đó.
Đáp án : 
Câu 1 : Từ 3x = 2y 3x.7 = 2y . 7 hay 21x = 14y.
	 7y = 5z 7y . 2 = 5z . 2 hay 14 y = 10z.
	 21x = 14y = 10z.
	 	x = 2.10 = 20.
	y = 2.15 = 30.
	z = 2.21 = 42.
	Vậy x = 20, y = 30, z = 42.
Câu 2 : 	Từ 2bd = c(b + d) 
	2bd = bc + dc
	 (a + c) d = bc + cd.
	 ad + cd = bc + cd
	 ad = bc.
	 (Vì b,d ¹ 0)
Câu 3:
 Gọi 3 số cần tìm là x, y, z 
Theo bài ta có 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy 3 số nguyên đó là 4,6,9
Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi (qua bảng dưới đây)
Năm học 2017 - 2018
TỔNG SỐ
ĐỐI TƯỢNG 1
ĐỐI TƯƠNG 2
ĐỐI TƯỢNG 3
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
34
15
44,1
15
44,1
4
11,8
Năm học 2018 - 2019
TỔNG SỐ
ĐỐI TƯỢNG 1
ĐỐI TƯƠNG 2
ĐỐI TƯỢNG 3
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
30
12
40
13
43,3
5
16,7
 Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.
	Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và 2.
	Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.
Qua một số bài tập trên thì tôi thấy như sau : 
- Trước khi viết đề tài này thì tôi đã lấy một số bài toán trên để bồi dưỡng cho một số học sinh khá, giỏi của trường thì kết quả đạt rất tốt.
- Tôi mong rằng đây sẽ là một tài liệu để tôi và đồng nghiệp tham khảo khi dạy phần tỷ lệ thức – tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sao cho có một kết quả tốt nhất.
2. Kết luận:
	Căn cứ vào bảng đầu tiên , tôi thấy trước khi thực hiện chuyên đề này học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm bài như thế nào mặc dù rất dễ. Sau khi được học và giới thiệu chuyên đề trên thì số em hiểu được cách giải bài toán tỷ lệ thức tăng lên rất rõ rệt. Điều đó chứng tỏ việc phân dạng các bài tập tỷ lệ thức là không thể thiếu được trong môi trường toán THCS .
Theo tôi muốn cho học sinh nâng cao vốn kiến thức của mình, phát huy tính độc lập sáng tạo trong học tập thì chúng ta – những người thầy cần dạy cho các em cách nghiên cứu , tìm tòi kiến thức . Chúng ta cần sớm hướng dẫn các em cách nghiên cứu, cách học tập theo phương pháp “chuyên đề” . Có như vậy thì sau này các em mới hiểu sâu sắc nội dung đã học, lưu giữ kiến thức mãi mãi. Và quan trọng hơn là giúp các em biết được khi gặp dạng toán này thì phải dùng phương pháp này đề giải, khi gặp dạng toán kia thì phải dùng phương pháp kia để giải. 
	Do thời gian có hạn , chuyên đề tôi viết chỉ trong chương trình đại số 7, nên không mở rộng được nhiều và không sao tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong sự góp ý của các đồng chí , đồng nghiệp và nhất là ban duyệt đề tài bổ sung những phần nào còn thiếu sót hoặc chưa hoàn chỉnh của chuyên đề. Để chuyên đề tôi viết được hoàn thiện hơn và việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy có hiệu quả hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa, sách bài tập toán 7 
- Sách giáo viên Toán 7
- Sách nâng cao và phát triển năng lực toán 7 tập 1.
- Một số đề thi học sinh giỏi toán 7
- Internet
MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
1
Thông tin chung về sáng kiến
1

Phần 1: Tóm tắt sáng kiến
3
2
Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
3
3
Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
3
4
Nội dung sáng kiến
3
5
Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến
4
6
Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng mở rộng sáng kiến
4

Phần 2: Mô tả sáng kiến.
5
7
Hoàn cảnh nảy sinh vấn đề.
5
8
Cơ sở lí luận
5
9
Quá trình thực hiện đề tài:
6
10
Các biện pháp thực hiện :
9
11
Dạng 1 : Tìm x,y,z.
9
12
Dạng 2 : Chứng minh tỷ lệ thức.
16
13
Dạng 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch.
19
14
Dạng 4 : Chuyển động
20
15
Dạng 5 : Hình học.
22
16
Một số sai xót của học sinh cần khắc phục:
23

Phần 3: Kết quả thực hiện và kết luận
25
17
Kết quả
25
18
Kết luận 
27
19
Tài liệu tham khảo
28
20
Mục lục
29