Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng kiến thức ba đường cônic để giải các bài toán thực tiễn liên quan trong chương trình GDPT mới

. Trên 
cơ sở đó ta gắn hệ trục toạ độ vào sẽ tính toán ra các yếu tố của Elip theo cả hướng có 
học và không học chuyên đề. 
Giải 
+ Đưa hình ảnh nhà hát vào hệ toạ độ Oxy . 
+ Mô hình hoá hình dạng lát cắt để đặt gương Elip và thiết kế sân khấu, nguồn sáng. 
14 
+ Toạ độ hoá thực tế và tính toán. 
Chọn hệ toạ độ có tỉ lệ trên các trục là 1 đơn vị tương ứng 10m.. 
Ứng dụng của gương Elip là các tia sáng chiếu từ tiêu điểm này gặp gương sẽ phản xạ 
lại và đi qua tiêu điểm kia nên trong thiết kế này ta sẽ đặt nguồn sáng ở một tiêu điểm 
và sân khấu sẽ nằm ở tiêu điểm còn lại. 
Chiều dài nhà hát là 213m nên độ dài trục lớn là: 
1 2 2 21,3 10,65A A a a= = = . 
Chiều cao nhà hát là 46m nên độ dài trục bé là: 
1 2 2 2.4,6 4,6B B b b= = = . 
Suy ra: ( ) ( )
2 22 2 10,65 4,6 9,61c a b= − = − . 
Nếu xem tính từ cửa là vị trí 
1A thì vị trí đặt nguồn sáng là 1F và sân khấu ở vị trí 2F , 
khoảng cách 
1 1 10,65 9,61 1,04A F = − = .Tiêu cự 1 2 2 2.9,61 19,22F F c= = = . 
Vậy nguồn sáng sẽ đặt cách cửa vào 10,4m và sân khấu cách nguồn sáng 202,6m. 
Dạng 2. Biết các giả thiết, điều kiện bài toán liên quan đến đường Hypebol. Cần xác 
định ranh giới theo quỹ đạo của Hypebol hay tính toán một số yêu cầu mà phải xây 
dựng, thiết lập được phương trình Hypebol để từ đó tìm ra kết quả theo thực tiễn 
15 
Ví dụ 4. Hai thiết bị A và B được đặt tại hai vị trí dưới biển cách nhau 2 dặm dùng để 
tiếp nhận các sóng âm qua đó dự đoán quỹ đạo di chuyển của vật thể phát ra sóng đó. 
Giải sử một vật thể phát ra âm thanh mà thiết bị A luôn ghi được âm thanh đó trễ hơn 
thiết bị B là 3 giây, giả sử với môi trường nước là 25 C và độ mặn trung bình thì vận 
tốc âm thanh vào khoảng 457 /feet s . Tìm quỹ đạo mà vật thể đó chuyển ( 1 dặm 
1610m ; 1 0,31feet m ) . 
Phân tích bài toán: Giải thiết bài toán cho biết đây là các vấn đề liên qua đến 
Hypebol và quỹ đạo di chuyển của vật phát sóng là một nhánh của Hypebol, qua đó 
khi dùng kiến thức về đường cônic này ta sẽ tính toán cơ bản và dự đoán được quỹ 
đạo, khoảng cách mà vật có thể di chuyển trong lộ trình của nó. 
Giải 
+ Mô hình hoá và đưa hình ảnh hệ thống thu phát sóng vào hệ toạ độ Oxy . 
+ Toạ độ hoá thực tế và tính toán. 
Chọn hệ trục tọa độ Oxy mà Ox đi qua A và B , Oy là đường trung trực của AB . 
16 
Toạ độ tương ứng trên trục 1 đơn vị với 1m thực tế. 
Hai vị trí đặt thiết bị thu âm A, B tương ứng là các tiêu điểm ( )1 1610;0F − và 
( )2 1610;0F . Vật thể phát ra sóng âm ở vị trí ( );M x y , như vậy vật phát sóng sẽ có quỹ 
đạo là một nhánh của Hypebol có các tiêu điểm 
1 2,F F . Cần tính toán số liệu liên quan 
đến Hypebol này thì sẽ vạch ra được quỹ đạo thực tế, các khoảng cách liên quan đến 
vật thể phát sóng. 
Ta có : vận tốc âm thu được qui đổi đơn vị : 457 / 457.0,31 142 /feet s m s= . 
+ ( )1 2 2. 1610 2 1610F F AB c c= = = = . 
+ ( )1 2 1 2 3. 142 426MF MF d d m− = − = = (vì vị trí A nhận âm thanh trễ hơn vị trí B thời 
gian 3 giây). 
Suy ra : ( ) ( )
2 22 2 2
1 2 2 426 213 1610 213 2546731MF MF a a b c a− = = = = − = − = . 
Vậy quỹ đạo di chuyển của vật phát ra sóng âm là một nhánh của Hypebol có phương 
trình: 
2 2 2 2
2 2
1 1
45369 2546731
x y x y
a b
− = − = . 
Ví dụ 5. Trong một hội thi điển kinh. Ban tổ chức sẽ thiết kế một sân ném dĩa và một 
sân đẩy tạ đối diện nhau. Để đặt vòng ném thì bộ phận phụ trách tính toán đặt một lưới 
an toàn phía sân ném dĩa sao cho khoảng cách từ một vị trí ở hệ thống lưới đến mép 
ngoài các vòng ném là bằng nhau và bằng hai lần kỉ lục của ném dĩa là 74,08m (Theo 
ghi nhận của Liên đoàn điền kinh thế giới thì thành tích này thuộc về VĐV người Đức 
thiết lập từ năm 1986 ) . Hãy tính toán xem lưới an toàn được dựng theo khoảng cách 
như thế nào biết bán kính vòng ném dĩa là 2,5m và bán kính vòng đẩy tạ là 2,135m . 
Phân tích bài toán: Từ giải thiết bài toán cho ta thấy khoảng cách từ một vị trí tại lưới 
đến mép ngoài vòng ném là bằng nhau đồng thời bán kính hai vòng ném không bằng 
nhau từ đó nhận định hiệu khoảng cách từ một vị trí bất kì trên lưới đến mép ngoài các 
vòng ném là không đổi , do đó lưới an toàn sẽ nằm trên một nhánh Hypebol . 
Giải 
+ Mô hình hoá hình ảnh vòng ném dĩa và vòng đẩy tạ . 
17 
+ Toạ độ hoá thực tế và tính toán. 
Gọi 1O , 2O lần lượt là tâm các vòng ném dĩa và đẩy tạ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy mà 
Ox đi qua 1O , 2O , trục Oy là đường trung trực của 1 2O O . Toạ độ tương ứng trên trục 
là 1 đơn vị với 1m thực tế. Các tiêu điểm 1 1 2 2,F O F O  . 
Ta có 
1 2 1 2OO R R + . Gọi M là một điểm nằm trên đường đặt lưới thì: 
1 1 2 2 1 2 1 2 2,5 2,135 0,365MO R MO R MO MO R R− = − − = − = − = . Do đó đường đặt lưới 
sẽ nằm trên một nhánh của Hypebol có: 1 2
0,365
2 0,365
2
MO MO a a− = = = . Mặt 
18 
khác, 1 2 1 2
152,795
2 148,16 2,5 2,135 152,795
2
c F F O O c= = = + + = = . Suy ra 
2 2
2 2 2 152,975 0,365 23401,2174
2 2 4
b c a
= − = − = 
. 
Vậy hệ thống lưới sẽ đặt trên nhánh có tiêu điểm tại 1O của Hypebol với phương trình : 
2 2 2 2
2 2
1 1
0,133225 23401,2174
4 4
x y x y
a b
− = − = . 
Ví dụ 6. Một khu bảo tồn rừng ngập mặn được đưa và khai thác cho chương trình du 
lịch sinh thái. Để đảm bảo an toàn cho du khách tham quan, ban quản lí khu rừng đã 
bố trí bốn trạm thu âm thanh ( từ thiết bị chuyên dụng phát âm thanh mà ban quản lí 
cung cấp cho du khách tham quan khu rừng ) theo thứ tự 1 ;2 ;3 ;4 trên một trục thẳng 
cách bìa rừng 2km và trạm cứu hộ nằm trên bìa rừng . Các trạm 1 và 4 thu âm thanh 
cùng một tần số, các trạm 2 và 3 thu âm thanh cùng một tần số. Một nhóm du khách 
phát tín hiệu cần giúp đỡ và tại các trạm 1 tiếp nhận âm thanh trễ hơn trạm 4 thời gian 
6 giây. Trên một tần số khác trạm 3 tiếp nhận âm thanh nhanh hơn trạm 2 thời gian là 
14 giây và vận tốc âm thanh khi các trạm tiếp nhận là 343 /m s . Biết khoảng cách trạm 
đầu và cuối là 16km , trạm thứ hai cách trạm thứ nhất 4km , trạm thứ 3 cách trạm thứ 2 
khoảng cách 8km còn trạm cứu hộ thì cách đều trạm 2 và 3. Em hãy tính khoảng cách 
ngắn nhất từ trạm cứu hộ đến nơi cần giúp đỡ ( các số tính toán làm tròn đến hàng 
phần nghìn). 
Phân tích bài toán: Từ giải thiết bài toán cho ta thấy trạm 1 thu được tín hiệu trễ hơn 
trạm 4 thời gian 6 giây có nghĩa hiệu quãng đường từ chỗ phát tín hiệu đến các trạm 1 
và 4 là không đổi. Tương tự với hai trạm 2 và 3 cũng vậy , từ đó ta nhận định tín hiệu 
cần giúp đỡ là vị trí cắt nhau của hai nhánh thuộc các Hypebol có các tiêu điểm là các 
vị trí trạm 1; 4 và Hypebol còn lại có các tiêu điểm ở vị trí 2; 3. 
Giải 
+ Mô hình hoá hình ảnh bài toán . 
Bốn trạm thu tín hiệu ở các vị trí 1;2;3;4 và trạm cứu hộ ở vị trí A 
19 
+ Toạ độ hoá thực tế và tính toán. 
Chọn hệ trục tọa độ Oxy mà Ox đi qua các trạm. Vị trí trạm 1 và 4 là các tiêu điểm 
( )1 8;0F − , ( )2 8;0F của Hypebol ( )2H , Vị trí trạm 2 và 3 là các tiêu điểm ( )1 4;0F −
, ( )2 4;0F của Hypebol ( )1H , trục Oy là đường trung trực của 1 2F F . Toạ độ tương 
ứng trên trục là 1 đơn vị với 1km thực tế. Vị trí tín hiệu cần giúp đỡ là điểm ( )0 0;M x y 
với 0 00, 0x y là giao điểm của ( )1H và ( )2H . 
Ta có: 
* Xét Hypebol ( )2H . 
1 2 2 8 4F F c c = = = 
 ( )1 2 6. 0,343 2,058MF MF − = = 2 2,058 1,029a a = = . 
 Suy ra: ( )
22 2 2 24 1,029 14,941b c a= − = − . 
20 
Vậy ( )2H có phương trình : 
2 2 2 2
2 2
1 1
1,059 14,941
x y x y
a b
− = − = . 
* Xét Hypebol ( )1H . 
1 2 2 16 8F F c c= = = 
 ( )1 2 14. 0,343 4,802MF MF − = = 2 4,802 2,401a a = = . 
 Suy ra: ( )
22 2 2 28 2,401 58,235b c a= − = − = . 
Vậy ( )1H có phương trình : 
2 2 2 2
2 2
1 1
2,401 58,235
x y x y
a b
− = − = . 
* Do đó toạ độ giao điểm ( )0 0;M x y là nghiệm dương của hệ: 
2 2
2
2 2 2
1
4,267 2,0661,059 19,941
6,72845,262
1
2,401 58,235
x y
x x
yx y y
− = = 
= − =
* Khi đó: 
Quảng đường từ trạm cứu hộ đến chỗ cần giúp đỡ biểu thị bởi đoạn 
 ( ) ( )
2 22 2 8,728 2,066 8,480AM AN MN= + = + . 
Vậy quảng đường ngắn nhất từ trạm cứu hộ đến chỗ nhóm du khách cần giúp đỡ là 
khoảng 8,480km . 
Dạng 3. Biết các giả thiết, điều kiện bài toán liên quan đến đường Parabol ( Trong 
hình học). Cần xác định ranh giới theo quỹ đạo của Parabol hay tính toán một số yêu 
cầu mà phải xây dựng, thiết lập được phương trình Parabol để từ đó tìm ra kết quả theo 
thực tiễn 
21 
Ví dụ 7. Sao chổi / 2017 2C K ( còn gọi tắt là K2) được kính viễn vọng khảo sát PAN-
STARRS đặt tại Hawaii – Mỹ phát hiện năm 2017. Vào ngày 14/7/2022 sao chổi có 
điểm tiếp cận gần nhất với bề mặt trái đất với khoảng cách 270.000.000km ( theo Live 
Science ). Khi sao chổi chuyển động quét theo quỹ đạo là một đường Parabol . Hãy 
tính khoảng cách từ điểm gần nhất của sao chổi / 2017 2C K đến bề mặt trái đất khi nó 
ở vị trí trên trên đường thẳng đi qua tiêu điểm của quỹ đạo và vuông góc với trục đối 
xứng của quỹ đạo mà nó di chuyển biết bán kính trái đất khoảng 6400km. 
Phân tích bài toán: Quỹ đạo sao chổi là một đường Parabol có điểm tiếp cận gần nhất 
đến trái đất giúp ta xác định được tham số tiêu từ đó xây dựng được phương trình, vị 
trí của nó cụ thể trong một thời điểm cho phép ta tính toán được toạ độ theo phương 
trình từ đó ta hoàn toàn xác định khoảng cách theo yêu cầu bài toán thực tế. 
Giải 
+ Mô hình hoá hình ảnh bài toán . 
22 
+ Toạ độ hoá thực tế và tính toán. 
Chọn hệ toạ độ có trục Ox đi qua tâm trái đất và là trục đối xứng của quỹ đạo di 
chuyển, gốc toạ độ trùng với đỉnh của Parabol, tiêu điểm là tâm trái đất. Đơn vị trên 
các trục tương ứng 1 đơn vị với 100km . 
Khi đó gọi Parabol có phương trình ( )2 2 0y px p= ta có: 
+ Khoảng cách gần nhất của sao chổi đến bề mặt rái đất là 270000000km nên : 
2700000 64 2700064 5400128
2
p
p= + = = . Phương trình (P) là: 2 10800256y x= . 
+ Gọi vị trí mới của sao chổi có điểm gần nhất với trái đất là ( );M MM x y nằm trên 
đường thẳng vuông góc với trục đối xứng và đi qua tiêu điểm nên suy ra 
( ) ( ) 22700064; 10800256.2700064 5400128M M MM y P y y = = . Khoảng cách từ sao 
chổi đến tâm trái đất lúc này biểu thị bằng độ dài 5400128MMF y= = . Vậy khoảng 
cách thật từ sao chổi đến bề mặt trái đất là: 540012800 6400 540006400km− = . 
Ví dụ 8. Trong một buổi trình diễn thời trang của nhà thiết kế A nhóm phụ trách ánh 
sáng phải thiết kế một chiếc đèn phản chiếu dạng chảo Parabol và đặt một nguồn sáng 
tốt nhất trên trục gắn giữa đáy của choá đèn đồng thời yêu cầu đèn phải chiếu sáng 
được khoảng cách xa nhất có thể. Biết chiều sâu của choá đèn là 0,5m , đường kính của 
choá đèn là 0,8m . Em hãy tính toán xem nguồn sáng sẽ đặt cách đáy của chảo Parabol 
một khoảng cách bao nhiêu. 
Phân tích bài toán: Nguyên tắc hoạt động của đèn được thiết kế theo choá đèn dạng 
chảo Parabol hay có mặt cắt là một Parabol đó là nếu ánh sáng chiếu vào choá đèn đi 
qua tiêu điểm ( hoặc chiếu từ tiêu điểm) thì ánh sáng phản chiếu ra sẽ song song với 
23 
trục đối xứng cho nên trong trường hợp này ánh sáng có thể chiếu được xa nhất. Từ đó 
bài toán này cho phép ta tính toán để đặt nguồn sáng ngay tiêu điểm của Parabol sẽ 
đáp ứng được yêu cầu thực tiễn. 
Giải 
+ Mô hình hoá hình ảnh bài toán . 
+ Mặt cắt của choá đèn và toạ độ hoá . 
Xét mặt cắt qua đáy của choá đèn là một Parabol, chọn gốc toạ độ là đáy của choá dèn 
hay là đỉnh của mặt cắt, trục Ox đi qua trục để đặt nguồn sáng ( là trục đối xứng). Một 
đơn vị trên trục ứng với 0,1m . 
+ Đường kính chóa đèn là 0,8m , độ sâu của choá đèn là 0,5m nên trên hệ toạ độ điểm 
( ) ( )5;4A P . 
+ Gọi Parabol có phương trình: ( )2 2 0y px p= , khi đó: 
 điểm ( ) ( ) 2
8
5;4 4 2 .5 1,6
5
A P p p = = = . 
24 
+ Để đèn có thể chiếu được xa nhất thì nguồn sáng sẽ được đặt ở tiêu điểm và tiêu 
điểm ( );0 0,8;0
2
p
F
= 
. Vậy nguồn sáng đặt ở vị trí trên trục, cách đáy choá 0,8m thì 
sẽ thoả mãn yêu cầu thực tiễn đưa ra. 
CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài tập 1. Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời 
có quỹ đạo là một đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần 
mặt trời nhất gọi là điểm cận nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. 
Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ 
dài nửa trục lớn bằng 93.000.000 dặm (1 dặm 1610m). Tỉ số khoảng cách giữa 
điểm cận nhật và điểm viễn nhật đến mặt trời là 
59
61
 (tham khảo hình dưới). 
Tính khoảng cách từ tâm trái đất đến tâm mặt trời khi trái đất ở điểm cận nhật . 
Bài tập 2. Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có 
tiêu cự bằng 2 70 m , độ dài trục ảo bằng 2 42 m . Biết chiều cao của tháp là 
120m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là 
2
3
 khoảng 
cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp . 
Bài tập 3. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 
300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 
25 
292000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm 
hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Hãy xác định lộ trình đường đi của tàu. 
Bài tập 4. Trong một cuộc thi môtô nước đồ chơi tự động. Xem bờ là trục 
thẳng, bến xuất phát là A và bến đến là B cùng nằm trên một bờ, hai bến cách 
nhau 10m. Biết quỹ đạo đi từ A đến B là một Parabol, điểm xa nhất so với bờ 
mà môtô đi đến là 8m. Tính khoảng cách từ môtô đến bờ nếu vị trí của môtô 
nằm trên đường thẳng song song với trục đối xứng của Parabol và cách bến B 
một khoảng 2m. 
4. Kết quả. Áp dụng cho đối tượng khá ở hai nhóm lớp 10 
Nhóm Số hs Số câu hỏi 
kiểm tra 
Số điểm 5 
Trước khi học 
Số điểm 5 
sau khi học 
1 14 4 4 14 
2 16 4 3 16 
 PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận. 
 Việc mô hình hoá được bài toán thực tiễn một cách sáng tạo và sinh động, đưa 
các mô hình đó vào hệ trục toạ độ và dùng các kiến thức toán học về ba đường Cônic 
để giải các bài toán thực tiễn là một mức độ vận dụng và vận dụng cao giải quyết được 
khá nhiều khó khăn cho học sinh khi tìm lời giải cho bài toán này, việc suy luận gần 
gũi hơn và hiệu quả là rất cao. Theo đó học sinh có hứng thú hơn đối với dạng toán 
này trong các bài tập của chương trình GDPT mới. 
2. Kiến nghị. 
 Phạm vi của đề tài này đang dừng lại ở việc vận dụng kiến thức của ba đường 
Cônic để giải quyết các bài toán thực tiễn liên quan và trong quá trình nghiên cứu, vận 
dụng vào dạy học cũng còn những hạn chế nhất định trong việc khai thác, liên hệ với 
những vấn đề trong cuộc sống nên tác giả đề tài mong muốn được sự góp ý , xây dựng 
thêm để đề tài có tính liên hệ, kết nối với nhiều tình huống trong thực tiễn. 
 Xin chân thành cảm ơn!. 
26 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa Toán 10- KNTT với CS. 
2. Sách giáo viên Toán 10- KNTT với CS. 
3. Sách Bài tập Toán 10- KNTT với CS.4. 
4. Sách giáo khoa Toán 10- Cánh diều. 
5. Sách giáo viên Toán 10- Cánh diều. 
6. Sách Bài tập Toán 10- Cánh diều. 
7. Sách giáo khoa Toán 10- CTST. 
8. Sách giáo viên Toán 10- CTST. 
9. Sách Bài tập Toán 10- CTST.