Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng đúng kí hiệu toán học vào dạy – học môn Toán THCS

góc hạ từ A đến đường kính BC. D là giao điểm của hai đoạn thẳng PO và AB.
a. Chứng minh: 4DP.DO = BH.BC
b. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH. 
Bài 5:
GT
P ngoài (O; R) PA OA tại A; 
PBOB tại B ; A, B (O; R) ; 
Đường kính BC = 2R
AH BC tại H ; PO AB = ;
CPAH = 
KL
a. 4DP.DO = BH.BC
b. EH = EA


 Đối với lớp 6, lớp 7, các kí hiệu toán học, chủ yếu dành cho việc dạy – học lý thuyết, còn sử dụng trong giải bài tập có chăng cũng chỉ là bài tập đơn giản có yêu cầu rõ ràng ở mức độ từ thấp đến cao, việc trình bày không mấy khó khăn. Do đó trong quá trình dạy học giáo viên chúng ta cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, hướng dẫn học sinh thường xuyên sử dụng kí hiệu toán học. Nhằm giúp học sinh tập làm quen dần với kí hiệu, thấy được tác dụng của kí hiệu toán học, và đó là điều kiện là cơ sở để từng bước tiếp cận với công nghệ tin học. 
Đối với lớp 8, lớp 9, kí hiệu toán học được xem như là một “cẩm nang” luôn đồng hành trên suốt chặng đường của người học sinh. Ngoài tác dụng hỗ trợ cho giáo viên và học sinh trong việc dạy – học lý thuyết, kí hiệu toán học còn giúp chúng ta trong biến đổi ccông thức, biến bài toán có nội dung ngôn ngữ dài dòng phức tạp thành bài toán đơn giản, có yêu cầu nhẹ nhàng, dễ trình bày hơn. Chính vì vậy mà trong quá trình dạy học, bất kì bài học nào, dù là lý thuyết hay bài tập, giáo viên chúng ta nhất thiết phải, nghiên cứu, tìm tòi triêt để các kí hiệu toán học có thể hỗ trợ cho bài dạy. Phát hiện, khai thác và tận dụng tối đa lợi thế của kí hiệu toán học, giúp học sinh nhận thấy hiệu quả bài học thật sự nhờ sử dụng kí hiệu toán học. 
2.2.2.3. Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng kí hiệu toán học trong dạy – học lý thuyết cũng như giải bài tập. 
Sử dụng kí hiệu toán học trong giảng dạy - học lý thuyết nói chung và giải bài tập nói riêng đem lại hiệu quả sát thực. Với giáo viên giảm bớt được khâu nói nhiều, viết nhiều, làm việc nhiều. Dễ dàng cô đọng kiến thức, làm bất trọng tâm nội dung bài dạy. Với học sinh giảm bớt được việc ghi chép bài nhiều, Có thêm quỹ thời gian dành cho nghiên cứu kiến thức trọng tâm. Khắc sâu được kiến thức thông qua việc giải nhiều bài tập áp dụng. Có cơ sở để từng bước tiếp cận công nghệ tin học. Tuy nhiên sử dụng kí hiệu toán học một máy móc, tùy tiện, ngẫu hứng, không cân nhắc thì hiệu quả dạy – học sẽ diễn ra khó lường, khó có thể thu hồi một khi điều đó đã thấm nhuần trong tiềm thức của học sinh. Sau đây là một số minh hoạ đơn giản thông thường về sai lầm khi sử dụng kí hiệu toán học không hợp lý.
Sử dụng đúng kí hiệu, trình bày bài khoa học
Sử dụng kí hiệu vừa đúng vừa sai. Trình bày bày không khoa học.
Bài 1: 1.1/ a.Ta có (2x – 3)(x + 1) = 0 
Vậy phương trình có tập nghiệm :
S = 
 1.1. b. (2x – 3)(x2 + 1) = 0 
Cách 1: (2x – 3)(x2 + 1) = 0 
Cách 2: Vì x2 + 1> 0 (x)
Nên (2x – 3)(x2 + 1) = 0 2x – 3 = 0 
x = 
1.2.a : (2x – 3)(x + 1) > 0 
Kết luận : x > hoặc x < -1 
1.2.b. 0 
1.3.a. (2x – 3)(x + 1) 0 
1.3.b. (2x – 3)(x2 + 1) 0 
Câu này có nhiều các trình bày, tuy nhiên giá trị cần tìm chỉ có 1 mà thôi. 
Bài 1: 1.1
1.1.a. Ta có: có (2x – 3)(x + 1) = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm:S =
1.1.b. (2x – 3)(x2 + 1) = 0 
Cách 1: (2x – 3)(x2 + 1) = 0 
Cách 2: (2x – 3)(x2 + 1) = 0 
Rõ ràng cả hai cách trình bày ở trên đều có sự nhậm lẫn khi sử dụng kí hiệu ( cách 1: sử dụng kí hiệu theo cảm tính, tuỳ tiện, ngẫu hứng. Cách 2: chưa hiểu hết về ý nghĩa của kí hiệu “ ” . Cách giải trên đồng nghĩa với “Một tích bằng 0 khi và chỉ khi có một thừa số bằng 0 hoặc một thừa số khác 0”. Ấy vậy mà một số ít giáo viên đã sử dụng cách đó trong giải phương trình tích. 
1.2.a : (2x – 3)(x + 1) > 0 
Vậy x > và x> -1
1.2.a:Cách giải bị sai vì thiểu trường hợp và khi kết luận nghiệm sai. 
1.2.b. 0 
Với bài này học sinh thường mắc những sai lầm:
- Như câu 1.1.a: Thiếu trường hợp.
- Cả tử và mẫu đều dùng chung kí hiệu “ ;”
- Kết luận nghiệm : hoặc hoặc trả lời rời rạc.
1.3.a. (2x – 3)(x + 1) 0 
Với bài này, học sinh thường nhầm lẫn dấu ngoặc vuông như giải phương trình tích, dẫn đến kết luận điều kiện sẽ thiếu . 
1.3.b. (2x – 3)(x2 + 1) 0 
- Sai giống như trên, có thể thừa điều kiện này mà lại thiếu điều kiện kia ( do vướng đa thức x2 + 1)
Bài 2: Cho phương trình: 
(m-1)x2 + 2(m-1)x – m = 0 (*) (ẩn số là x) 
a. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
a. Phương trình (*) có nghiệm kép
b. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt đều âm 
Bài 3: Cho Hàm số 
y = ( m2 – 6m + 9)x + 2m – 3. Xác định m để hàm số đồng biến? 
 Hàm số y = ( m2 – 6m + 9)x + 2m – 3 đồng biến ( m2 – 6m + 9) > 0 
(m -3)2 > 0 m – 3 m 
Bài 2: Cơ bản là sai theo lối dùng từ trong lập luận 
a. Để phương trình (*) có nghiệm kép 
b. Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt đều âm 
- Rõ ràng cách dùng từ phối hợp với kí hiệu không phù hợp “Nếu dùng từ để phải đi đôi với từ thì” Điều kiện cần tìm nên đi với từ là” ( đối với loại bài tìm tham số để hàm số thoả mãn điều kiện).
Bài 3: Để hàm số y = ( m2 – 6m + 9)x + 2m – 3 đồng biến ( m2 – 6m + 9) > 0 (m -3)2 > 0 m – 3 > 0 m > 3 
- Sai: Kĩ năng lập luận “ từ và kí hiệu” 
- Sai: do biến đổi bất phương trình có luỹ thừa bậc chẵn. 
Bài 4: Giải phương trình và bất phương trình cơ bản ( với m > 0)
a) = m m = 
 b) > m 
 c) m 
 d. (m -3)2 > 0 m – 3 m 
e.(m -3)2 < 0 (Bất ph/ trình vô nghiệm )
Bài 5: Thay chữ số thích hợp vào dấu * để số A = chia hết cho cả 5 và 9 
Giải: Đặt chữ số * hàng đợn vị là a, hàng nghìn là b, ta có A = 
A 5 .
 Khi a = 0 hoặc a = 5 , A 9 
Vậy A = 12346560 hoặc A = 12341565
Hay (a; b) 
Bài 4:Với các dạng bài tập này, học sinh thường mắc những sai lầm cần chú ý như sau: 
a) = m x = hoặc x = m2 
( Sai vì mất nghiệm âm hoặc tính toán bị sai)
 b) > m x > 
c) m x < 
( Sai vì chưa nắm vững tính chất của luỹ thừa bậc chẵn trong biến đổi bất phương trình hoặc chưa nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối ) 
d.(m -3)2 > 0 m – 3 > 0 m > 3 
e.(m -3)2 < 0 m – 3 < 0 m < 3 
( Sai vì chưa nắm vững tính chất của luỹ thừa bậc chẵn, chưa nắm vững cách xét dấu của một tích ) 
Bài 5
Sai: Hiểu hai dấu * là một , tìm được một giá trị của dấu * thì thay luôn cả hai dâu. 
Sai: Thường kết luận nghiệm bị sai hoặc chưa chưa thật gãy gọn.
Trả lời giá trị của b mà quên bẵng giá trị của a. 
Bài 6: Tìm số tự nhiên là bội của 12, 15, 18 lớn hơn 60 và nhỏ hơn 400.
Sau khi lập luận rút được: 
Bài 7: Dùng kí hiệu viết quan hệ giữa các tập hợp số, giữa phần tử và tập hợp ( đại số và sô học) 
Cho tập hợp A = 
Cách viết đúng ( đã nêu ở phần sử dụng kí hiệu)
Bài 8: Tìm x số nguyên x để 
P = có giá trị nguyên. 
Ta có P = = 2 + .
P Z Z ( với x 9)
x 
 
Bài 6: Sai do sử dụng kí hiệu
Học sinh thường hay kết luận như sau:
1) x 
- Sai: Thừa số 60, do đọc không kĩ yêu cầu đề bài
 2) x = 
Sai : Do chưa hiểu kĩ quan hệ giữa phần tử và tập hợp. Chưa đọc kĩ yêu cầu đề bài (thừa số 60)
3) x = 
- Sai: do viết ẩu, viết tắt cho nhanh. 
Bài 7: Với quan hệ giữa hai tập hợp số thông thường, giữa phần tử và tập hợp số không mấy khó khăn. Tuy nhiên do vội vàng thiếu cẩn thận nên vẫn thường bị nhẫm lẫn giữa kí hiệu thuộc () và kí hiệu con ( ). Dẫn đến kết quả bài làm không chính xác. 
 A xA A A 
Bài 8: Đây là bài toán thông thường, đơn giản, học sinh có thể giải đúng nhưng kết luận vẫn hay sai : 
- Sai do dùng kí hiệu quan hệ giữa phần tử và tập hợp 
 Z = 
x = 
- Kí hiệu “ ” không chỉ dùng trong môn đại số, số học mà còn được sử dụng thường xuyên, liên tục trong phân môn hình học của cả cấp học. Tuy đơn giản nhưng học sinh và ngay cả giáo viên chúng ta lại rất hay nhầm lẫn giữa giao “” và vuông góc “”, giữa thuộc “”và con “”. Phải chăng đó là lỗi chủ quan, xem nhẹ vai trò ý nghĩa của kí hiệu toán học. Chính vì sự tuỳ tiện khi sử dụng kí hiệu toán học dẫn đến hiệu quả bài làm thường không như dự tính. Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ điểm thường nhầm lẫn trong sử dụng kí hiệu toán học trong môn hình học
 Sử dụng đúng kí hiệu 
 Nhầm lẫn khi sử dụng kí hiệu 
Ví dụ 2.2.2.3.1 
ABC cân tại A 
Ví dụ 2.2.2.3.2 Bài 70/sgk toán 7
GT
ABC( AB=AC). M thuộc tia đối của BC, N thuộc tia đối của CB ; 
BM = CN . 
*BHAM(HAM); CKAN(KAN) 
HBCK= 
* và BM = CN = BC

KL
a.AMN cân 
b. BH = CK 
c. AH = AK 
d. OBC là t/giác gì ? vì sao?
e.; Dạng OBC 

Ví dụ 2.2.2.3.3
Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC. D là giao điểm của hai đoạn thẳng PO và AB.
a. Chứng minh: 4DP.DO = BH.BC
b.Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH. 
GT
 P ngoài (O; R) PA OA tại A; 
PBOB tại B ; A, B (O; R) ; 
Đường kính BC = 2R
AH BC tại H ; PO AB = ;
CPAH = 

KL
a. 4DP.DO = BH.BC
b. EH = EA

Ví dụ 2.2.2.3.1 
- Sai: Kĩ năng lập luận “ từ và kí hiệu”
Để ABC cân tại A 
Ví dụ 2.2.2.3.2 Một số sai lầm khi sử dụng kí hiệu thay ngôn ngữ .
Cả hai ví dụ: 
Mtia đối của BC ( dùng theo ý lười viết bài) 
Ntia đối của CB ( dùng theo ý lười viết bài) 
- BHAM = H (Sai: do dùng kí hiệu tuỳ tiện. Mặc dầu hai đường thẳng vuông góc cũng là cắt nhau, mà cắt nhau là giao nhau , nhưng vuông góc ngoài tiêu chí cắt còn có thêm điều kiện về số đo góc. 
- HBCK = O ( Sai: vì O không phải là tập hợp).
Nói tới hai đường thẳng giao nhau là cắt nhau và ngược lại cắt nhau là giao nhau. Tuy nhiên về ngôn ngữ là đúng , còn về kí hiệu là phải tuân thủ theo định nghĩa giao của hai tập hợp 
Khi dùng kí hiệu “” thì dùng từ đi kèm là “tại” hoặc “ ở ” hay dùng kí hiệu “” và số đo độ của góc . 
Khi dùng từ “cắt” hoặc từ”giao” thì dùng từ đi kèm là “tại” hoặc “ ở ”
Khi dùng kí hiệu “” thì dùng tập hợp 
Ví dụ 2.2.2.3.3
- Sai do sử dụng kí hiệu quan hệ giữa hai tập hợp chưa chính xác 
PA, PB (O; R ) = A; B 
- Sai do sử dụng kí hiệu không đồng bộ , không thống nhất, chưa chính xác.
PO cắt AB = ; CP AH tại E
Trong quá trình dạy học, dự giờ giáo viên chấm bài đánh giá kết quả học tập của học sinh bản thân bắt gặp rất nhiều lỗi sai lầm khi sử dụng kí hiệu toán học thay thế ngôn ngữ và ngược lại, không thể liệt kê hết . Xin được nêu một vài lỗi thường ngày sử dụng như trên Hy vọng là giáo viên đứng lớp, chúng ta cần nhanh chóng khắc phục sai lầm, giúp học sinh cố gắng tránh, và không bao giờ vấp phải sai lầm tương tự như đã nêu. 
Ưu điểm: Với cách dạy học sử dụng kí hiệu toán học thay thế ngôn ngữ và dùng ngôn ngữ để diễn tả kí hiệu toán học rất phù hợp với nhu cầu người học, đáp ứng mọi đối tượng học sinh trong một lớp và trong cả cấp học. Giúp giáo viên giảm bớt được khâu nói nhiều, viết nhiều, làm việc nhiều. Dễ dàng cô đọng kiến thức, làm bất trọng tâm nội dung bài dạy. Với học sinh giảm bớt được việc ghi chép bài nhiều, Có thêm quỹ thời gian dành cho nghiên cứu kiến thức trọng tâm. Khắc sâu được kiến thức thông qua việc giải nhiều bài tập áp dụng. Có cơ sở để từng bước tiếp cận công nghệ tin học. Tạo cho không khí lớp học sôi nổi, phù hợp đổi mới phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh. Thu hút, lôi cuốn được nhiều học sinh trở lại với niềm yêu thích bộ môn Toán. 
Hạn chế: Vẫn còn nhiều học sinh lạm dụng kí hiệu toán học, không hiểu ý nghĩa bản chất của kí hiệu toán học nhưng vẫn sử dụng. Sử dụng kí hiệu một cách tuỳ tiện, ngẫu hứng dẫn đến hiệu quả bài làm thiếu chính xác, không như mong muốn.
Tạo cơ hội cho học sinh biếng học nhác chép bài. Không biết học bài cũ, dư quỹ thời gian gây nhiễu trong lớp. Nề nếp lớp học không như mong muốn. 
2.2.2.4 Phần ứng dụng thực tế- tích hợp –liên môn 
 Thực tế cho thấy, kí hiệu toán học không chỉ có tác dụng riêng cho môn Toán mà còn hỗ trợ được cho tấp cả các bộ môn khoa học tự nhiên (Vật lý, Hoá học, Sinh học) một số bộ môn khoa học khác( Địa lý, Mĩ thuật, Văn học, Thể dục, ...) Cũng nhờ có sự tác động hỗ trợ qua lại của các bộ môn khoa học khác mà Toán học có cơ sở lập luận chặt chẽ, logic hơn. 
- Trong đời sống thực tế luôn cần có toán học, chính đời sống thực tế đã làm phát sinh toán học ( Nhiều đề tài khoa học, máy móc sản xuất ) được ra đời từ thực tế cuộc sống. Ngược lại Toán học đã cải thiện, tu bổ độ chính xác về các số liệu cho các đề tài khoa học). Công nghệ khoa học phát triển, đời sống thực tế ngày càng cao, đất nước được phồn vinh. 
3. Hiệu quả giải pháp 
- Thời gian áp dụng thử giải pháp này là năm học 2016 -2017
- Trong thời gian áp dụng thử các giải pháp thực hiện đề tài này để giáo dục đạo đức học sinh cá biệt và kết quả đạt được như sau:
Năm học 2015 - 2016:
Lớp

Sĩ số
Số học sinh chưa biết đọc tên kí hiệu
Số học sinh biết đọc tên và ý nghĩa một số kí hiệu 
Số học sinh biết cách vận dụng kí hiệu trong giải toán 
Số lương. 
 %
Số lượng
%
Số lượng
%
6A2
31
20
66,7
11
33,3
5
9,6
8A1
30
17
56,7
13
43,3
10
33,3
8A5
36
25
69,4
11
30,6
7
19,4
Bảng 3.1
* Kết quả thu được sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy:
 Năm học 2016 - 2017:
Lớp

Sĩ số
Số học sinh chưa biết đọc tên kí hiệu
Số học sinh biết đọc tên và ý nghĩa một số kí hiệu 
Số học sinh biết cách vận dụng kí hiệu trong giải toán 
Số lương. 
 %
Số lượng
%
Số lượng
%
6A2
31
5
9,6
26
90,4
20
64,5
8A1
30
1
3,3
29
96,7
24
80
8A5
36
7
19,4
29
80,6
18
50
Bảng 3.2
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị
4.1 Kết luận
Đề tại là một vài kinh nghiệm nhỏ trao đổi về cách sử dụng kí hiệu toán học thay ngôn ngữ trong dạy – học giải bài tập. Phần nào đã giúp giáo viên và học sinh cải thiện được cách dạy – học. Giúp các em không những biết cách giải bài tập mà còn tự tin hơn khi sử dụng kí hiệu trong giải toán, khơi dậy sự đam mê nghiên cứu tác dụng của kí hiệu toán học trong học tập và trong đời sống thực tế
4.2 Đề xuất
1. Đối với nhà trường
 Tổ chức các chuyên cho giáo viên về kỹ năng vận dụng các kí hiệu toán học thay ngôn ngữ trong dạy – học giải bài tập.
2. Đối với giáo viên
Thường xuyên bồi dưỡng về chuyên môn, nghiệp vụ, không ngừng nghiên cứu, học hỏi những kinh nghiệm từ các nguồn tài liệu toán học để hướng dẫn học sinh sử dụng kí hiệu đúng cách.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Xuân Bình, Tài liệu dạy học theo các chủ đề tự chọn ở trường THCS ( Toán 7,8,9 ) – NXB GD 2010
2. Trần Khánh Hưng, Giáo trình: Phương pháp dạy- học toán ĐHSP - Huế 2002
3. Vụ giáo dục phổ thông, Hướng dẫn học : Toán 6 tập một ( Thử nghiệm) 
4. Lê Văn Tiến, Phương pháp dạy học môn toán – NXD ĐHSP TP.HCM 2011
Xác nhận, đánh giá, xếp loại của đơn vị: 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, đóng dấu)
 Đất Đỏ, ngày. tháng . năm 20
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác. 
Người viết
Châu Trần Duyên Anh