Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng phương pháp ghép bảng biến thiên vào giải các bài toán liên quan đến hàm hợp trong công tác ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

1 
TRƢỜNG THPT HỒNG LĨNH 
TỔ TOÁN 
BIỆN PHÁP NÂNG CAO 
 CHẤT LƢỢNG GIÁO DỤC 
“ ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN VÀO 
GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP TRONG CÔNG 
TÁC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA “ 
NGƢỜI VIẾT : NGUYỄN XUÂN HOÀN 
 MÔN : TOÁN 
2 
1. Lý do chọn biện pháp 
 Những năm qua, các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia vẫn theo định hướng 100% trắc 
nghiệm với 50 câu trên tổng thời gian làm bài chỉ vỏn vẹn 90 phút, đòi hỏi là học sinh 
phải giải quyết các câu hỏi bao gồm cả các câu vận dụng, vận dụng cao trong thời gian 
trung bình 1,8 phút/câu. Điều này, đặt ra yêu cầu cho cả giáo viên và học sinh phải cùng 
nhau đổi mới phương pháp dạy và học để đẩy nhanh tốc độ giải quyết các bài toán, đặc 
biệt là các bài toán vận dụng, vận dụng cao. 
 Từ kinh nghiệm tổng hợp được qua các đề thi, bản thân tôi nhận thấy hàm hợp là 
một trong những dạng toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp 
THPT Quốc gia. Thông thường những bài tập này khá phức tạp và tổng hợp nhiều nội 
dung kiến thức. Qua thực tiễn nhiều năm giảng dạy khối lớp 12, tôi nhận thấy kĩ năng 
giải quyết các bài toán liên quan đến hàm hợp của học sinh còn rất hạn chế. Nhiều em có 
tâm lý lo ngại và thậm chí bỏ qua mỗi khi gặp các bài tập hàm hợp. Một số ít học sinh có 
thể giải quyết được bài toán dạng này nhưng cũng làm theo phương pháp tự luận truyền 
thống rất dài dòng, mất nhiều thời gian, phải chia bài toán thành nhiều trường hợp, xét 
nhiều hàm phụ, lập nhiều bảng biến thiên và vẽ thêm nhiều đồ thị phức tạp. 
 Vì vậy tôi mong muốn học sinh có phương pháp giải nhanh, gọn hơn phương pháp 
truyền thống. Do đó tôi đã chọn biện pháp 
“ ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN VÀO 
GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP TRONG CÔNG 
TÁC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA ” 
2. Nội dung biện pháp 
Các bước để lập được bảng biến thiên của hàm hợp g x f u x trong 
trường hợp tổng quát như sau: 
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g x f u x . 
Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm y f x . 
Bước 3: Đặt u u x và xét sự biến thiên của hàm u u x . Tìm các điểm 
 1,2,...,ix i n tại đó 0iu x hoặc iu x không xác định. 
3 
Bước 4: Tính các giá trị i iu u x với 1,2,...,i n . Trên mỗi khoảng 
 1,i iu u , 1,2,...,i n bổ sung các giá trị ju sao cho 0jf u , jf u không xác 
định và jf u không xác định. 
Bước 5: Tìm các giá trị jx để j ju x u (có thể bỏ qua nếu không cần giá 
trị cụ thể của x ) . 
Bước 6: Lập bảng biến thiên thể hiện sự tương quan giữa x , u và f u . 
Chiều biến thiên của hàm số g x f u x dựa vào bảng biến thiên của hàm 
số y f x bằng cách hoán đổi u đóng vai trò của x và f u đóng vai trò của 
 f x . 
Phương pháp này được gọi là phương pháp ghép bảng biến thiên (còn gọi 
là phương pháp ghép trục). 
Từ các bước của phương pháp ta dễ dàng nhận thấy các điểm ix và jx tìm 
được chính là nghiệm của phương trình 0g x . Chiều biến thiên của hàm 
 g x cũng chính là chiều biến thiên của hàm f u . Do đó phương pháp trên 
cho ta một phương pháp phù hợp, tính toán đơn giản không quá rườm rà để 
lập được bảng biến thiên của hàm hợp. Dựa vào bảng biến thiên, chúng ta có 
thể hoàn toàn giải quyết được các yêu cầu đặt ra trong bài toán như tìm 
khoảng đồng biến, nghịch biến; tìm cực trị của hàm số và tìm số nghiệm của 
các phương trình liên quan đến hàm hợp. 
2.1. Xét tính đơn điệu của hàm hợp 
Câu 1. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ 
Hỏi hàm số 2y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
4 
A. ; 2 . B. 0; 2 . C. 2 ;0 . D. 0; . 
Lời giải 
Chọn C 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Ta có: 22 .y x f x . 
Khi đó 0y 2. 0x f x 
2
2
0
0
0
0
x
f x
x
f x
2
2
2
0
0
2
0
0 2
x
x
x
x
x
2
2 0.
x
x
Vậy hàm số 2y f x đồng biến trên các khoảng 2 ;0 và 2 ; . 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
Đặt 2 2 0 0u x u x x . 
Ta có: 
2
2
00
2.2
xx
xx
Bảng biến thiên 
Vậy hàm số 2y f x đồng biến trên các khoảng 2 ;0 và 2 ; . 
Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. 
Hỏi hàm số 2 2g x f x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. ; 2 . B. 2; 1 . C. 
1 1
;
2 2
. D. 
1
;
2
. 
5 
Lời giải 
Chọn B 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Ta có: 22 2 . 2g x x f x x . 
Khi đó: 0g x 
 2
2 2 0
2 0
x
f x x
2
2
2
1
2 2
2 1
2 3
x
x x
x x
x x
1
1 2
1 2
1
3.
x
x
x
x
x
Ta có bảng biến thiên: 
Vậy hàm số 2 2g x f x x nghịch biến trên các khoảng 3;1 hoặc 
 1; . 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
Đặt 2 2 2 2 0 1u x x u x x . 
Ta có 
2
2
2
1 2
2 2
1 2
2 1
1
2 3
3.
x
x x
x
x x
x
x x
x
Bảng biến thiên 
 Vậy hàm số 2 2g x f x x nghịch biến trên các khoảng 3;1 hoặc 1; . 
6 
Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau: 
Hàm số 2 2 3y f x x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 
A. 2; . B. ;2 . C. 1;2 . D. ;0 . 
Lời giải 
Chọn A 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Ta có: 22 2 2 3g x x f x x 
2
2
2
2
2
1
2 2 0
2 2 3 3
2 3 0
10
2 2 0
2 3 2
2 3 0
2 3 3
1
0 2
0 1
1
2.
0
2
x
x
x x
f x x
xg x
x
x x
f x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
Vậy hàm số 2 2 3y f x x nghịch biến trên các khoảng 0;1 và 2; . 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
Bảng biến thiên của hàm số f x 
Đặt 2 2 3 2 2 0 1u x x u x x . 
7 
Ta có: 
 2
2
2
2 3 0 1
2 3 2 0
2.2 3 3
x x VN x
x x x
xx x
Bảng biến thiên: 
Vậy hàm số 2 2 3y f x x nghịch biến trên các khoảng 0;1 và 2; . 
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Biết hàm số y f x liên tục trên 
 và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 2 1y f x đồng biến trong khoảng nào dưới 
đây? 
A. ; 3 , 0; 3 . B. ; 3 , 3; . 
C. 3;0 , 3; . D. ; 3 , 0; . 
Lời giải 
Chọn C 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Xét hàm số 2 1y f x 2
2
1
1
x
y f x
x
. 
 2
0
0
1 0
x
y
f x
2
2
2
2
0
1 1
1 0
1 1
1 2
x
x
x
x
x
2
2
0
1 1
1 2
x
x
x
8 
2
2
0
1 1
1 4
x
x
x
0
3
3.
x
x
x
Bảng biến thiên 
Vậy hàm số 2 1y f x đồng biến trên các khoảng 3;0 , 3; . 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
Đặt 2
2
1 0 0
1
x
u x u x
x
. 
Ta có: 2 1 1x vô nghiệm; 2 1 0x vô nghiệm; 
2 1 1 0x x ; 2 1 2 3x x 
Bảng biến thiên: 
Vậy hàm số 2 1y f x đồng biến trên các khoảng 3;0 , 3; . 
2.2 Tìm cực trị của hàm hợp 
Câu 1. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số 
2
3xg x f e là 
A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . 
9 
Lời giải 
Chọn D 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Do y f x là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác 
định tại mọi điểm x . 
Theo đồ thị hàm số ta có được 0f x 
;0
0;4
4; .
x a
x b
x c
Mặt khác 
2 2
2 . . 3x xg x x e f e . 
2 2
2
0
0 2 . 3 0
3 0
x x
x
x
g x x e f e
f e
2
2
2
0
3 ;0
3 0;4
3 4; .
x
x
x
x
e a
e b
e c
Xét hàm số 
2
3xh x e . 
Ta có 
2
2 xh x xe ; 0 0h x x . 
Bảng biến thiên của hàm số y h x 
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình 
2
3xe a , 
2
3xe b vô nghiệm; còn 
hai đồ thị hàm số y h x và y c cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
khác 0 do đó phương trình 
2
3xe c có hai nghiệm phân biệt khác 0 . 
Vậy hàm số 
2
3xg x f e có ba điểm cực trị. 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
Đặt 
2 2
3 2 . 0 0x xu e u x e x 
Bảng biến thiên 
10 
Vậy hàm số 
2
3xg x f e có ba điểm cực trị. 
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấu f x như sau 
Hỏi hàm số 2 2y f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu? 
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . 
Lời giải 
Chọn A 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Ta có 2 22 2y x x f x x 22 2 2x f x x . 
Khi đó 
 2
2 2 0
0
2 0
x
y
f x x
2
2
2
2 2 0
2 2
2 1
2 3
x
x x
x x
x x
1
1 2
1 2
3
1.
x
x
x
x
x
Từ bảng xét dấu ta thấy 
2
0
3.
x
f x
x
Khi đó 
2
2
2
2 2
2 0
2 3
x x
f x x
x x
1 2 1 2
1
3.
x
x
x
Bảng biến thiên 
Vậy hàm số 2 2y f x x có hai điểm cực tiểu. 
11 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
Đặt 2 2 2 2 0 1u x x u x x 
Bảng biến thiên 
Vậy hàm số 2 2y f x x có hai điểm cực tiểu. 
Câu 3. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây 
Số điểm cực trị của hàm số 3 3 1g x f x x là 
A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 11. 
Lời giải 
Chọn D 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Do y f x là hàm số bậc bốn nên là hàm liên tục và có đạo hàm xác định 
x . 
Theo đồ thị hàm số ta có được 
1
2
0;1
' 0 1
1;3 .
x x
f x x
x x
Mặt khác 2 3' 3 3 ' 3 1g x x f x x 2 3' 3 3 ' 3 1 0g x x f x x 
2
3
13
3
3
2
1
1
3 3 0
3 1
' 3 1 0
3 1 1
3 1 .
x
x
x
x x x
f x x
x x
x x x
Xét hàm số 3 3 1h x x x trên . 
12 
Ta có 2
1
' 3 3, ' 0
1.
x
h x x h x
x
Từ bảng biến thiên của hàm số 3 3 1h x x x ta có 1 0;1h x x có ba 
nghiệm phân biệt, 1h x có đúng ba nghiệm phân biệt , 2 1;3h x x có đúng 
ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác nhau đồng thời khác 1 và 1 . Vì 
thế phương trình ' 0g x có đúng 11 nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn 
nên hàm số y g x có 11 cực trị. 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
Đặt 3 23 1 ' 3 3t x x t x . Cho ' 0 1t x . 
Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số 3 3 1g x f x x có 11 cực trị. 
2.3. Tìm số nghiệm của phƣơng trình 
Câu 1. (THPTQG 2019 – 2020 – mã 106) Cho hàm số f x có bảng biến thiên 
sau: 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 24 4f x x m 
có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; . 
A. 16 . B. 19 . C. 20 . D. 17 . 
13 
Lời giải 
Chọn C 
Cách 1: Phƣơng pháp tự luận truyền thống 
Phương trình đã cho tương đương với: 2 4
4
m
f x x . 
Xét hàm số 2 4y g x f x x 
Ta có: 2 24 2 4 4y g x f x x x f x x 
2
2
2 4 0
0 2 4 4 0
4 0
x
y x f x x
f x x
2
2
2
2 4 0
4 4
4 2
4 0
x
x x
x x
x x
2
2
2
2 4 0
4 4 0
4 2 0
4 0
x
x x
x x
x x
2
2
2
2 0
2 2
2 2
0
0
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
Ta có: 2 2 2 2g f , 0 0 3g f , 2 4 2g f , 
 4 0 3g f 
Bảng biến thiên 
Để phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thì đường thẳng 
4
m
y phải cắt 
đồ thị hàm số y g x tại ít nhất 3 điểm. Từ bảng biến thiên suy ra: 
3 2 12 8
4
m
m . 
Vậy 11; 10;...; 1;0;1;...;8m , suy ra có 20 số nguyên m cần tìm. 
Cách 2: Phƣơng pháp ghép bảng biến thiên 
14 
Phương trình đã cho tương đương với: 2 4
4
m
f x x . 
Xét hàm số 2 4y g x f x x . 
Đặt 2 4 2 4 0 2u x x u x x . 
Để phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thì đường thẳng 
4
m
y phải cắt 
đồ thị hàm số y f u tại ít nhất 3 điểm. Suy ra: 3 2 12 8
4
m
m . 
Vậy 11; 10;...; 1;0;1;...;8m , suy ra có 20 số nguyên m cần tìm. 
Bài tập tự luyện : 
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và 
2
2 1 3f x x x x . Hàm số 2 2y f x x đồng biến trên khoảng nào 
dưới đây? 
A. 2; 1 . B. 4; 3 C. 1;2 . D. 2;1 . 
Câu 2. Cho f x là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ 
Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 4 5y g x f x x 
A. 2 . B. 5 . C. 3 . D. 1 . 
Câu 3. Cho hàm số bậc bốn y f x . Đồ thị hàm số 'y f x như hình vẽ bên 
Số điểm cực đại của hàm số 2 2 2g x f x x là 
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau 
15 
Hàm số 3 2g x f x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 
A. 2;4 . B. 1;1 . C. 1;2 . D. 0;1 . 
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm 
2
1 2f x x x x với mọi .x 
Hàm số 2
5
4
x
g x f
x
 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 
A. ; 2 . B. 2;1 . C. 0;2 . D. 2;4 . 
Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. 
Đồ thị hàm số 2001 2019y f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 
Câu 7. Cho hàm số y f x có tập xác định là D và có đồ thị như hình vẽ 
bên dưới, đạo hàm xác định trên . Hỏi hàm số 2 1y f f x có bao nhiêu 
điểm cực trị? 
A. 13 . B. 12 . C. 15 . D. 11. 
Câu 8. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau 
Số nghiệm thuộc đoạn 
5
0;
2
 của phương trình sin 1f x là 
A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . 
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên 
16 
Số giá trị nguyên của mđể phương trình 
 2 cos 3 cos 2 10 0f x m f x m có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn 
;
3
 là 
A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 4 . 
Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị như sau: 
Số nghiệm thuộc đoạn  ; của phương trình 3 2 cos 2 0f x là 
A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 6 . 
3. Hiệu quả biện pháp: 
Sau kết quả của bài khảo sát sử dụng phương pháp truyền thống không mấy 
khả quan, bản thân tôi đã ngay lập tức đưa nội dung biện pháp vào giảng dạy cho 
học sinh lớp 12A1 trong các tiết dạy . Trong quá trình tiếp thu, ứng dụng phương 
pháp mới, các học sinh tỏ ra thực sự hứng thú, dần lấy lại sự tự tin, vượt lên nỗi 
“sợ hãi” ban đầu của bản thân. Sau đó, tôi tiếp tục cho các em học sinh làm bài 
khảo sát kiểm tra : 
Kết quả bài khảo sát kiểm tra có sự thay đổi tích cực khá lớn so với kết quả 
khảo sát trước khi áp dụng biện pháp mới 
Điểm 
Đ < 5 5 Đ < 7 7 Đ < 8 8 Đ 10 Trên TB 
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 
Lớp 12A1 
Trước khi áp 
dụng biện 
pháp 
20 58,8 7 20,5 5 14,7 2 6 14 41,2 
Lớp 12A1 sau 
khi áp dụng 
biện pháp 
4 11,7 13 38,2 9 26,4 8 23,7 30 88,2 
 Kết quả khảo sát cho thấy việc dạy biện pháp này thực sự mang lại hiệu quả 
cho học sinh. Điểm số của các em đã được cải thiện hơn rất nhiều. Các em thấy tự 
tin và biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan. Điều này tạo cho các em niềm 
đam mê, yêu thích Toán học, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận linh hoạt, vận 
17 
dụng sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên 
cứu, qua đó cũng rèn luyện tư duy trừu tượng, tư duy lô gic cho các em học sinh . 
4. Kết luận 
 Biện pháp ứng dụng phương pháp ghép bảng biến thiên vào giải các bài toán liên 
quan đến hàm hợp trong công tác ôn thi tốt nghiệp THPTQG sử dụng cách giải dựa 
vào bảng biến thiên nhằm nâng cao chất lượng dạy học. 
Biện pháp này góp phần rèn luện tính tích cực vượt khó, chủ động sáng tạo rèn 
luyện kỷ năng giải toán, giúp các em tự học, tự nghiên cứu, tự so sánh các phương 
pháp giải khác nhau. 
Biện pháp này cũng có thể là tài liệu tham khảo cho các thầy cô và học sinh ôn thi 
môn toán THPTQG.