Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-ét giải toán cấp THCS

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
	- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2- Quận Bình Tân - NH: 2014-2015)
Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)
Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức độc lập liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Giải
Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
	Ta có: 
	Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 	
Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-Ét: 	
	Ta có: 	
b) Ta có: 
Bài tập áp dụng
 	 Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy 
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức Vi- ét ta có
Từ (1) và (2) ta có:
7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
	 	(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, n là hằng số)	(*)
 Ta có: 	 (v ì ) 	
	 (v ì)	
Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 
x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0
Tìm m để có giá trị nhỏ nhất
Giải
 D = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
Þ = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)
=4m2 - 6m + 5 = (2m - )2 + ³ 
Dấu “=” xảy ra khi m = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của (x12 + x22) = khi m = 
Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2013-2014)
 Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)
a)Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b)Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m.
Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Giải
 a)Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
	Ta có: 	
	Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 	
b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo Vi-ét: 	
	Ta có: 	
c) Ta có: = 	 = 	
Dấu "=" xảy ra khi 	
Vậy GTNN của A là khi m = 	
Ví dụ 3: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2015-2016)
 	Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)
a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm m để A = x1(x2 – 1) – x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải  a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
	Ta có: 	
Để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m thì:
 . 	
b) Khi thì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-ét: 
	Ta có: 	
 Ta có: A = x1(x2 – 1) – x2 = x1x2 – x1 – x2 = x1x2 – (x1 + x2) = m2 – 3m + 1 + 2m + 6
	 = m2 – m + 7 = 	
 Vậy A đạt GTNN là khi (nhận) 	
Ví dụ 4: (Tuyển sinh 10 NH : 2012-2013)
	Cho phương trình (x là ẩn số)
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. 
Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a) nên pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Do đó, theo Vi-ét, với mọi m, ta có: S = ; P = 
 M = = 
. Khi m = 1 ta có nhỏ nhất
 lớn nhất khi m = 1 nhỏ nhất khi m = 1
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - 2 khi m = 1
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho nghiệm x1; x2 của phương trình thoả : 10x1x2 +x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
8. TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
	- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 
Giải Ta phải có: 
(1) Û D' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 Û m < 
(2) Û m2 + 2m - 3 ¹ 0 Û (m - 1)(m + 3) ¹ 0 Û m ¹ 1; m ¹ - 3
(3) Û
* Trường hợp: x1 + x2 = 0 Û x1 = - x2 Þ m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)
* Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 Û x1.x2 = 5
Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 Û (m - 2)(m + 4) = 0
Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 
Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2012-2013)
Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m.
Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m nguyên để đạt giá trị nguyên.
Giải 
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
	Ta có: 	
	Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 	
b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo Vi-ét: 	
	Ta có: 	
c) Ta có: = 	
Để A đạt giá trị nguyên thì: m – 2 Ư(1) = {-1; 1}	
Suy ra: m = 1; m = 3
Vậy khi m = 1 hay m = 3 thì đạt giá trị nguyên.	
Ví dụ 3: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2016-2017)
Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để x13.x2 – x1.x23 = 0 (với x1, x2 là các nghiệm của phương trình trên).
Giải  a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
	Ta có: 	
 Vì nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 	
b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-ét: 
	Ta có: 	
Ta có: x13.x2 – x1.x23 = 0 
 x1x2(x12 – x22) = 0	
 x1x2(x1 – x2)(x1 + x2) = 0 	
Vậy khi m = 3; 4; 5 thì x13.x2 – x1.x23 = 0	
Ví dụ 4: Cho phương trình : . 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Hướng dẫn :
- Theo Vi-ét: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả )
Bài tập áp dụng
(TUYỂN SINH 10 - NH:2015-2016)
Cho phương trình (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b) Định m để hai nghiệm của (1) thỏa mãn 
(TUYỂN SINH 10 NH:2016-2017)
Cho phương trình: x2 – 2m x + m – 2 = 0 (1) (x là ẩn số) 
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Định m để 2 nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn:
 (1+ x1)(2 - x2) + (1+ x2)(2 - x1) = x12 + x22 + 2
9. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
	Cho phương trình:	 (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm .
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2


D
Điều kiện chung
trái dấu



P 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cùng dương
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm


S 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:
	 có 2 nghiệm trái dấu.
Giải Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 
Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Ví dụ 2: (Tuyển sinh 10 NH: 2014-2015)
Cho phương trình (1) (x là ẩn số)
Giải Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
Ta có a.c = -1 < 0 , với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.
Bài tập áp dụng 
Bài 1: Cho phương trình 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho phương trình: , (m là tham số) (1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm và .
Tính tổng và tích hai nghiệm và của phương trình (1) theo m. 
Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm , thỏa 
Bài 3: Cho phương trình: (với là tham số)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt . Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m.
Tìm m sao cho phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 1.
10. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
Ví dụ : Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0
Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Giải
a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có:
 và 
Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3	(1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3	(2)
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Bài tập áp dụng
 Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2
 11. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Ví dụ 1: Giải phương trình: =6
Giải
 ĐKXĐ: {x Î R ½ x ¹ - 1}
Đặt:(*) Þ Þ 
 u, v là nghiệm của phương trình: 	x2 - 5x + 6 = 0
D = 25 – 24 = 1 	x1 = = 3	x2 = = 2
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
Nếu: thì (*) trở thành: 	x2 - 2x + 3 = 0 có D' = 1 - 3 = - 2 < 0
 Phương trình vô nghiệm:
Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0
Suy ra: x1 = 1; x2 = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải
 Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ: 
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
u2 - 4u + 3 = 0
 Þ u = 1 và u = 3
 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
v2 – 3v + 4 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì D = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là:
(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
Bài tập áp dụng 
 Giải các hệ phương trình:
a)	 b)	
III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
	Cho phương trình: (m - 3)x2 - 2mx + m +2 = 0(1); m là tham số.
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
2. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
3. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
4. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép
5. Tìm giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm
6. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2
7. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
8. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
9. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm
10. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương
11. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
12. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm
13. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương
14. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép dương
15. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép âm
16. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm là hai số đối nhau
17. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau	
18. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1
19. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
20. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bé hơn nghiệm dương
21. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm
22. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
23. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
24. Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm
25. Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của phương trình (1) là số hữu tỷ 
26. Định m để phương trình (1) và phương trình 
(m - 3)x2 + 2x + 3m + 4 = 0 (2) có ít nhất 2 ngiệm chung
27. Tìm các giá trị của m để biểu thức A = có giá trị nhỏ nhất. Với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1).
28. Tìm m để biểu thức B = có giá trị lớn nhất(x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) )
29. Xác định m để cạnh huyền của một tam giác vuông có độ dài bằng , với số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là nghiệm của phương trình (1)
30. Xác định m để độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình (1) có độ dài bằng , với số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó 
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài đã được áp dụng trong các năm học trước dành cho khối 9 và ôn thi tuyển sinh 10. Thông qua nội dung đề tài, học sinh đã được hệ thống hóa các dạng bài tập áp dụng định lí Vi-ét và các phương pháp giải chúng .Từ đó, học sinh hiểu và nắm kỹ kiến thức hơn, đã góp phần giúp học sinh đạt kết quả tốt trong kỳ thi học kỳ 2, đặc biệt là thi tuyển sinh lớp 10. Ngoài ra, đề tài còn là tài liệu tham khảo dành cho giáo viên Toán.
Kết quả trung bình bộ môn các năm học có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Khối
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Tb trở lên
Năm học 2014-2015
 9
32,4%
34,4%
20,9%
2.3%
0
97.7%
Năm học 2015-2016
 9
30,3%
33,5%
26.2%
0
0
100%
Năm học 2016-2017
 9
37,6%
34,6%
27,8%
0
0
100%

C. KẾT LUẬN
 Việc tìm hiểu nghiên cứu ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, nhiều bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt thì mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng dạng bài tập để học sinh hiểu rõ bản chất và biết cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung những thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.Sau khi áp dụng đề tài tại trường tôi công tác tôi thấy phần lớn các em học sinh đã hiểu rõ bản chất các bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét và biết cách vận dụng khi giải bài tập . Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh trong việc học và giải các bài toán ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Qua đó các em có phương pháp giải nhất định cho từng dạng toán, tránh tình trạng định hướng giải chưa đúng, lúng túng trong trình bầy lời giải, hạn chế sai lầm khi giải bài tập. Tạo cho học sinh niềm đam mê, tích cực học tập và đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi. 
 Nghiên cứu đề tài “ Ứng dụng định lý Vi-ét giải toán cấp THCS” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. 
,ngày 8 tháng 11 năm 2017
 Người viết
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9 - NXBGD 2005
2. Vũ Dương Thuỵ - Lê Thống Nhất - Nguyễn Anh Quân - Tuyển tập đề thi môn Toán THCS - NXBGD 2005
3. Nguyễn Văn Vinh - Nguyễn Đức Đồng - 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp - NXBGD 2005
4. Tôn Thân - Hướng dẫn làm bài tập Đại Số 9 - NXBGD 1999
5. Nguyễn Đức Tuấn - Giải bằng nhiều cách các bài toán 9 - NXBTH TP HCM NXBGD 2005
6. Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Việt Hải - Vũ Dương Thuỵ - Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 9 – NXB Giáo Dục 1996
7. Phan Thế Thượng - Bùi Tuấn Kiệt - Tạ Minh Quang - Tuyển chọn 400 bài tập Toán 9 - NXB Đà Nẵng 2000
8. Sách giáo khoa Toán 9. Tập 2-NXB Giáo Dục
9. Sách bài tập Toán 9.Tập 2 - NXB Giáo Dục