Sáng kiến kinh nghiệm Tư duy sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương trình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

( )g x đồng biến. Do đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất x =1. 
Với x= 1 ta có y=1. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: ( x ;y)= (1;1) 
Nhận xét: 
 Như vậy phương pháp tư duy hàm số đặc trưng trong giải hệ phương trình cho 
ta thêm một lời giải rất hay, tự nhiên đối với hệ trên. Vì khi chưa được học phương 
pháp này thì các em thường trừ hai vế của hai phương trình cho nhau sau đó tiến hành 
nhân liên hợp cũng được. Nhưng tôi đánh giá cao phương pháp sử dụng hàm số đặc 
trưng hơn vì nó khiến hệ trên trở nên quá nhẹ nhàng, đơn giản hơn nhiều, vấn đề ẩn 
trong căn, ẩn ngoài căn không phải là điều đáng sợ nữa. 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
( ) ( )
( ) ( )
3
3
2 3 8 1
2 6 2
x y
x y
 − + = − 
+ = − 
Phân tích bài toán: 
 Dựa vào đặc điểm nhận dạng đã nêu ta thấy các dữ kiện ở hai phương trình có sự 
tương đồng với nhau về bậc, chúng như mảnh ghép hoàn chỉnh bị tách ra và chia sẻ 
cho cả hai phương trình trong hệ. 
 Mặt khác hai biến x,y ở cả hai vế chưa độc lập với nhau nên ta tìm cách để cô lập 
chúng, bằng việc chia cả hai vế của phương trình (1) cho 3x và chia cả hai vế của 
phương trình (2) cho x thu được hệ phương trình 
( )
( )
3
3
8
2 3 3
6
2 4
y
x
y
x
− 
− + = 
− + =
. 
 Đến đây mối liên quan giữa hai phương trình được thể hiện rõ dệt. Không cần phải 
phân tích thêm các em cũng biết phải biến đổi như thế nào để xuất hiện hình ảnh hàm 
số đặc trưng. 
Giải 
Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên ta có: 
48 
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3
8
2 3 32 3 8
62 6
2 4
yx y x
x y
y
x
− 
− + = − + = − 
−+ = − + =
Lấy phương trình (3)+(4) vế với vế ta được: 
( )
3
3 3
3 2
8 6 2 2
3 3 3 *y y y y
x x x x
− − − 
+ = − + = + 
Xét hàm số : ( ) ( )3 / 23 , 0, 3 3 0,f t t t t f t t t= +  = +  
Suy ra hàm số ( )f t đồng biến. Do đó ( )
2
* 2y xy
x
−
 = = − thay vào phương trình 
(1) ta được : 
( )( )2 3 2 2
16
2 8 2 6 8 0 1 4 4 0
2
x
x x x x x x
xx
= 
− − = − + − = − + + = = − 
 Với x= 1 suy ra y=-2 
 Với x= -2 suy ra y= 1 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt là : ( x ;y) = (1 ;-2) ; (-2 ;1) 
Nhận xét : 
 Dù tác giả có khéo léo ẩn dấu đi tính độc lập của hai biến x, y thì dựa vào đặc 
điểm nhận dạng và phương pháp làm bài dạng này ta cũng nhanh chóng biến chúng 
về dạng độc lập và xuất hiện hàm số đặc trưng. 
 Ngoài ra việc cô lập x, y được thực hiện trước ở từng phương trình, rất cần thiết 
trước khi tiến hành kết nối hai phương trình lại với nhau. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
( ) ( )
( )
3 2
2 3 2 2
3 2 1 4 8 1
4 6 5 4 2
y x x y
y x y x y y
 + − + = 
+ − + = 
 (I) 
Phân tích bài toán: 
 Quan sát hệ phương trình trên ta thấy ví dụ 2 tương tự ví dụ 1, nên cách sử lý cũng 
tương tự như ví dụ 1. Hoàn toàn có thể cô lập được x, y sang hai vế của từng phương 
trình bằng cách chia cả hai vế của phương trình (1) cho 3y và chia cả hai vế của 
phương trình (2) cho 2y 
Giải 
Do y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên ta có 
49 
( )
( )
( )
( )
( )
/2
3 2 3 2
2 3
/3
2
8 4
3 2 1 1
3 2 1 8 4
4 64 5 4 6
4 5 2
x x
y x x y y y
I
y x x y
x x
y y
+ − = − + − = − 
+ + = + + + = +
Lấy ( ) ( )
/ /
1 2+ vế với vế ta được : 3 2
3
8 6
3 6 4x x x
y y
+ + + = + 
( ) ( )
3
3 2 2
1 3 1 3.x x
y y
 + + + = + 
 ( ) ( )
2
1 3f x f
y
 + = 
Xét hàm số đặc trưng : ( ) 3 3 ,f t t t t R= + có ( )/ 23 3 0,f t t t= +  . Suy ra 
( )f t đồng biến trên (4) 
Từ (3) và (4) ta có 
2
1x
y
+ = thay vào (2) được: 
( ) ( )
23
1
4 5 1 3 1
1
x
x x x x
x
= 
+ + = + + + = − 
+ Với x = 1 ta có y= 1 
+ Với x = -1 không có giá trị của y cần tìm. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x ;y)= (1;1). 
Nhận xét: 
 Qua hai ví dụ ta nhận thấy khi sử dụng phương pháp tư duy biến đổi kết hợp các 
phương trình trong hệ để suy ra hàm số đặc trưng yêu cầu người giải toán cần phải 
quan sát kỹ trước khi hành động, xem các phương trình ban đầu chỗ nào cần phải sắp 
xếp lại vị trí các ẩn thì ta phải xắp xếp trước. 
 Mặt khác khi chia cho y, các em cần phải kiểm tra xem y có là nghiệm của hệ phương 
trình hay không. Tránh trường hợp sót nghiệm, bài toán thiếu chặt chẽ. 
 Ngoài ra việc rút x hoặc y khi tìm được mối liên hệ giữa chúng để thế vào phương 
trình còn lại, các em phải quan sát xem nên rút ẩn nào để việc tính toán tiếp theo sẽ 
đơn giản hơn. 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 1
,
2 1 2 3 2 4 2
xy y x
x y R
y x x x x x
 + = + 
+ + + + = − 
Phân tích bài toán: 
 Dựa vào các đặc điểm nhận dạng đã nêu để quan sát bài toán ta thấy ngay phương 
trình (1) chứa biến y, bậc một đơn giản nên rút y ra và thế vào phương trình (2) . Mặt 
khác 2 2x x x+ nên ta nhân liên hợp để có được mối liên hệ đơn giản giữa y và 
x sau đó mới nắp ráp vào phương trình còn lại để xuất hiện hàm số đặc trưng. 
Giải 
50 
Ta có ( ) ( )2
2
2
1 2 2
2
y x x y
x x
 + − = =
+ −
 ( )2 2 *y x x = + + 
 Thế vào phương trình (2) ta được 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 1 2 3 2 4
1 2 2 1 2 3 0
1 1 1 2 1 2 1 3
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x f x f x
+ + + + + + = −
 + + + + + + + =
 + + + + = − + − + + = −
Xét hàm số ( ) ( )21 2 ,f t t t t R= + + có ( )
2
/ 2
2
1 2 0 ,
2
t
f t t t R
t
= + + +  
+
Do đó hàm số ( )f t đồng biến trên R (4) 
Từ (3) và (4) ta có : 
1
1
2
x x x
−
+ = − = thay vào (*) được y= 1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là : ( )
1
; ;1
2
x y
− 
= 
Nhận xét: 
 Ví dụ trên khác với các ví dụ đã trình bày trước nó, giúp các em được mở rộng 
tầm mắt, không phải lúc nào các em cũng tìm cách cộng, trừ hai vế là xuất hiện hàm 
số đặc trưng mà ta phải rút x, hoặc y từ phương trình này, thế vào phương trình kia 
mới được. 
 Mặt khác, ta nhận thấy các biểu thức trong căn bậc hai đã lớn hơn không rồi nên 
không cần phải tìm điều kiện của hệ phương trình nữa. 
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau 
( )
2 2
2 2
2 5 2 5 3 3 (1)
3 3 2
x x y y y x
y y x x
 + + − − + = − − 
− + = − 
Phân tích bài toán: 
 Dựa vào đặc điểm nhận dạng đã nêu ta thấy bài toán này khó hơn bài toán trước 
vì không đơn thuần là việc rút x, y từ phương tình này thế vào phương trình kia nữa 
mà ta rút nguyên một biểu thức. Do cả hai phương trình đều chứa cụm y- 3x- 3. Mà 
phương trình (2) đơn giản hơn nên ( ) 2 22 3 3 2 2y x y x y x − − = − − − thế vào (1) để 
biến đổi làm xuất hiện hình ảnh hàm số đặc trưng. 
Giải 
Từ ( ) 2 22 3 3 2 2y x y x y x − − = − − − thế vào phương trình (1) ta được: 
 ( ) ( )
2 2 2 21 4 1 4 2 2x y y x y x+ + − − + = − − − 
51 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
1 4 1 4 1 1
1 4 1 1 4 1 3
x y y x
x x y y
 + + − − + = − − +
 + + + + = − + + −
Xét hàm số ( )  )4 , 0;f t t t t= + + + có ( )/
1
1 0, 0
2 4
f t t
t
= +  
+
 nên hàm số 
( )f t đồng biến trên  )0;+ (4) 
Từ (3) và (4) suy ra ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1f x f y x y + = − + = −
2x y
x y
= − 
 = − 
 Với x= y-2 Thế vào (2) ta tìm được 
1 3
;
2 2
x y
−
= = 
Với x = -y thế vào (2) ta tìm được 
3 3
;
4 4
x y
−
= = 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là : ( )
1 3 3 3
; ; , ;
2 2 4 4
x y
− − 
= 
. 
Nhận xét: 
 Bài toán trên giúp các em hiểu biết thêm nhiều về việc kết nối các dữ kiện giữa 
các phương trình trong hệ để xuất hiện hình ảnh hàm số đặc trưng. 
 Mặt khác các biểu thức trong căn bậc hai luôn >0 với mọi x, y nên ta không cần 
tìm điều kiện của phương trình nữa. 
 Qua mỗi một bài toán lại cho ta thêm một tiến trình tích lũy tri thức. Đến đây các 
em đã có thể hoàn toàn làm chủ được chính mình khi đứng trước dạng toán tư duy sử 
dụng phương pháp hàm số đặc trưng trong giải hệ phương trình. 
 BƯỚC 4. HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ RA ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG. 
 Với tất cả quỹ thầy cô dạy tri thức lại luôn truyền đạt hết tất cả những gì hiểu biết 
được cho học trò của mình, với mong muốn học sinh của mình phải là những người 
tài giỏi, thành công hơn cả những người thầy, người cô của các em. Bởi vậy khi hướng 
dẫn các em tìm hiểu, nghiên cứu bất kỳ một dạng toán nào, ngoài cách hướng dẫn phân 
tích nhận dạng, đưa ra lời giải tối ưu, tôi còn hướng dẫn các em tự ra đề và tự giải, tự 
mình thử thách chính mình trong mọi lĩnh vực chinh phục tri thức nói chung và phần 
kiến thức về “tư duy sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng trong giải hệ phương 
trình” nói riêng. Nên tôi đưa ra các bước soạn đề giải hệ phương trình bằng phương 
pháp hàm số đặc trưng như sau: 
Bước 1: Bắt đầu ra từ việc cho sẵn hàm số đặc trưng ( )f t từ đó cho ( ) ( )f u f v= 
Bước 2: Từ việc cho ( ) ( )f u f v= ta có thể khai triển các biểu thức, hoặc kết hợp nhân, 
chia với một đại lượng nào đó khác 0 để gây nhiễu. 
Bước 3: Dựa vào hàm đặc trưng ở bước 1, ta có ngay mối liên hệ giữa x và y. Cho x 
hoặc y một giá trị cụ thể để ra phương trình còn lại theo ý muốn. 
Chú ý: 
 Khi ra đề, các em có thể nghĩ ra nhiều tình huống xóa dấu vết thực chất của hàm 
52 
số đặc trưng bằng cách cho mỗi phương trình của hệ một vài thông tin, manh mối liên 
quan đến hàm số đặc trưng, những manh mối đó giống như những mảnh ghép vụn vỡ, 
được phân chia rải rác đến toàn bộ các phương tình trong hệ. Nhiệm vụ của người 
giải là phải tìm ra được các mảnh ghép đó và ghép chúng lại thành một bức tranh 
hoàn chỉnh chính là hàm số đặc trưng bị ẩn giấu đi. 
 Ngoài ra các em có thể sử dụng đặc điểm nhận dạng để ra đề theo ý muốn. 
Ví dụ: 
Bước 1: Cho hàm đặc trưng ( ) 3 3f t t t= + 
Thì ta có thể cho phương trình (1) dạng : ( ) ( ) ( ) ( )
33
2 3 2 3 1x y x y x x− + − = + . 
Bước 2 : Nếu khai triển (1) ta được : 3 3 2 28 3 12 6 6 3 0x x x x y x y xy x y− − − − + + − = 
Bước 3 : Giả sử cho trước một giá trị của x= 1, kết hợp với mối liên hệ giữa x ,y ở 
bước 1 : 2y x x= − để ra tiếp phương trình thứ hai của hệ. Có thể ra phương trình 
(2) như sau : ( )2 6 3x x y x+ = − 
Như vậy qua vài bước tính toán đơn giản ta đã có một hệ phương trình giải bằng 
phương pháp hàm số đặc trưng: 
( )
3 3 2 28 3 12 6 6
2 6 3
3 0 x x x x y x y xy x y
x x y x
− − − − + + − = 
+ = − 
 Nhận xét: 
 Ví dụ trên chỉ là một ví dụ đơn giản về cách ra đề, trên thực tế ta có thể ra 
nhiều dạng cồng kềnh hơn nữa thách thức người giải toán . 
 Việc hướng dẫn học sinh cách ra đề nhằm mục đích khi giải hệ phương trình mà 
ta thấy việc tìm trực tiếp hàm số đặc trưng quá khó khăn thì đây cũng giống như một 
vũ khí bí mật để các em có thế bình tĩnh quan sát lại đề bài và nhận diện hàm số đặc 
trưng ẩn chứa trong đó. 
 Ngoài ra việc tự ra đề cho mình và tự giải không chỉ giúp các em hiểu một cách 
sâu sắc bản chất của việc giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số mà còn giúp 
các em đột phá trong tư duy. 
 Như vậy qua việc yêu cầu học sinh tự ra đề và tự làm các en học sinh sẽ hiểu thực 
chất việc ra đề là che giấu đi bản chất thật sự của nó. Qua vài phép biến đổi, người 
ra đề đã xóa đi phần nào các dấu vết, manh mối mà học sinh phải tìm ra manh mối 
đó. 
3. Khả năng áp dụng sáng kiến 
 Sáng kiến này đã và đang được tôi và các đồng nghiệp cùng chuyên môn áp dụng 
vào ôn thi học sinh giỏi toán 12, học sinh lớp 11 nằm trong nguồn ôn thi học sinh giỏi 
cấp tỉnh rất hiệu quả. 
 Mặc dù tôi đã rất cố gắng để hoàn thành sáng kiến một cách nhanh nhất, thống kê 
đầy đủ các dạng toán thường gặp, từ dạng phổ biến đến hiếm gặp, từ dễ đến khó và rất 
khó trong các đề thi học sinh giỏi. Đồng thời tôi tham khảo ý kiến các đồng nghiệp về 
cách chỉnh sửa nội dung, hình thức và trao đổi với các em đội tuyển ôn thi học sinh 
giỏi nhưng tôi vẫn mong các bạn đọc góp ý trân thành để sáng kiến của tôi hoàn thiện 
hơn. Bởi “ những điều mình biết chỉ như một giọt nước, những điều mình chưa biết 
mênh mông như đại dương”. 
53 
II. Những thông tin cần được bảo mật: Không. 
III. Các điều kiện cần để áp dụng sáng kiến: 
 + Về phía nhà trường: Ban giám hiệu khuyến khích sử dụng các cơ sở vật chất 
của nhà trường phục vụ cho việc học tập sáng tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi. 
 + Về phía giáo viên: Tổ trưởng tổ chuyên môn phân công các giáo viên ôn thi 
học sinh giỏi theo các khối. Có kiến thức chuyên môn sâu, có lòng nhiệt huyết, ham 
học hỏi. 
 + Về phía học sinh: Sáng kiến này cho các em học sinh khá, giỏi ôn thi học sinh 
giỏi, ôn thi THPT quốc gia, những em đam mê tự học toán, đặc biệt là các em có đam 
mê giải hệ phương trình. 
54 
Minh chứng 2 : Bài tập tự luyện. 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 
( )
2 22 2 4 23 3
23
2 2 2 22 2
2
10 9 20 11
2
5 3 12 4 4 1
) )
1 2 3
2 1 2 12 1 2 2 2
) )
1 2 3 5 5
5 10 5
) )
1 1 410 5 5
2
)
x y x yx x x y y
a b
xy y yx y
x x y yx y x y x
c d
x xy y x y x y x
x xy y yx y
e f
x yx y
xy
g
 − − + = −+ + = + + 
− = − = − 
 + + − = +− + + − + = − 
− = − − + − = 
 + = ++ + − = 
+ + + =− + + = 
( )( )
2
2 2
2
1
2 9 1
2 4 1 3 9 1 11
)
1
6 9 1 3 02 2 0
xy y
x x y yx x
h
x y xy
x
+ + = + + + + = − −
 + − + + =+ − = 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 
( )( )
( )
( )
2 23 2
3 2 3 2 2
32
2 2 2
3 1 3 1 112 5 3 10 6 3
) )
6 13 10 14 7 6
2 3 1 3 12 2
) )
2 3 3 2 22 3 2 3 2 5
x y xyx y x x y x y
a b
x x x y y x y xy x y
x x y yxy y x
c d
x yy x x x y x x
 − − =+ + = − − + + − − 
− + = + + + + + = + 
 + = + ++ = + 
− + − =+ + + + = + − 
Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 
( )2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
 − + − = 
 − − = − 
Bài 4: Giải hệ phương trình sau: 
( ) ( )
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
y x y x x y y
y x y x y x y
 − − + = + − − 
− + + = − − − − 
Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 
a) 
2 2
2 2
2 2 2 2 1
2 2 2
x x x y y y
x y x y
 + + + = + + + 
+ − + = 
 b) 
( )
6 2 3 2
2
3 4 3 6
2 1 8 7
x x y y y
y x x y x
 + − = + + 
− + + + + = 
Bài 6: Giải hệ phương trình sau: 
( )( )3 2 6 4 2 2
2
2
1 2 4 1 1
) )
4 5 8 6 3 1
x xy y y x x y y
a b
x y x y
 + = + + + + + = 
+ + + = − = 
55 
Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 
3 3 2 2 2
2
7 3 3 12 7 2 0
6 19 2 3 4 3 5 14
x y x y xy y x y
x y x y
 − + + − + − − = 
+ + = + + + 
Bài 8: Giải hệ phương trình sau: 
( ) ( )
3 3 2
2
3 6 3 4 0
1 1 6 6 7 12
x y x x y
x y x y x x
 − + + − + = 
+ + + + + = + + 
Bài 9: Giải hệ phương trình sau: 
( )( ) ( )( )2 22 2
2 2
5 5 52 1 2
) )
3 7 8 2 0 5 3 7 0
x x y yx x y y
a b
x xy x x y xy x
 + + + + =+ + + + = 
 − − + = + − − + = 
Minh chứng 3: Các tài liệu tham khảo. 
1. Tư duy logic tìm tòi lời giải hệ phương trình . TS Mai Xuân Vinh (chủ biên) – Nhà 
xuất bản ĐH Quốc Gia Hà Nội. 
2. Phương pháp hàm số chinh phục giải toán phương trình- Hệ phương trình, bất phương 
trình – Bất đẳng thức, GTLN – GTNN. Tác giả Nguyễn Đình Thành Công - Nhà xuất 
bản ĐH Quốc Gia Hà Nội. 
3. Trang web http/hocmai.com 
4. Các đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh các tỉnh trong cả nước. 
5. Các video bài giảng giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số của thầy Đặng 
Thành Nam, thầy Đoàn Trí Dũng.