Sáng kiến kinh nghiệm Tạo hứng thú cho học sinh khi dạy học phép biến hình và ứng dụng vào giải các bài toán trong mặt phẳng tọa độ

ượt là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C 
34 
của tam giác ABC. Biết rằng đường tròn đi qua ba điểm Q, R, S là 
044222 yxyx và H(1; -14) . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ABC. 
Hướng dẫn giải: Đường tròn đi qua ba điểm Q, R, S trùng với đường tròn đi 
qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC. Do đó đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC là ảnh của đường tròn đi qua ba điểm Q, R, S qua phép vị tự tâm H 
tỷ số k=2. 
Ví dụ 4.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm 
H(1;-14). Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2 2 2 20 97 0x y x y 
. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm là các chân đường cao hạ từ các 
đỉnh của tam giác ABC. 
Hướng dẫn giải: Gọi các điểm Q, R, S lần lượt là chân các đường cao của 
tam giác ABC kẻ từ A, B, C. Đường tròn đi qua ba điểm Q, R, S trùng với đường 
tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC. Do đó đường tròn đi 
qua ba điểm Q, R, S là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép vị tự 
tâm H tỷ số k=
1
2
 . 
Chú ý: 
 „„Nếu gọi M‟, N‟, P‟lần lượt là điểm đối xứng 
với H qua các điểm M, N, P; gọi Q‟, R‟, S‟ lần lượt 
là các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng 
BC, CA, AB thì sáu điểm này cùng thuộc đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC‟‟. 
Do đó ta có thể đưa ra bài toán sau 
Ví dụ 4.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 
tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Lấy Q‟,R‟, 
S‟ lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng BC, CA, AB. Biết 
rằng đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương 
trình là: 044222 yxyx . Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 
Q‟,R‟, S‟. 
Hướng dẫn giải: Đường tròn đi qua ba điểm Q‟,R‟, S‟trùng với đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC nên nó là ảnh của đường tròn đi qua ba trung điểm của ba 
đoạn thẳng HA, HB, HC qua phép vị tự tâm G tỷ số k=-2. 
Ví dụ 4.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm 
H(1;-14). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AB; M‟, N‟, 
P‟lần lượt là điểm đối xứng với H qua các điểm M, N, P. Biết rằng đường tròn đi 
j
P' N'
M'
S'
R'
Q'
S
R
Q
P
N
M CB
A
35 
qua ba điểm M‟, N‟, P‟ là 2 2 2 20 97 0x y x y . Viết phương trình đường tròn 
đi qua ba điểm là các chân đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác ABC. 
Hướng dẫn giải; Đường tròn đi qua ba điểm M‟,N‟, P‟ trùng với đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn đi qua ba điểm Q, R, S trùng với đường tròn 
đi qua ba điểm I, E, F là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép vị 
tự tâm H tỷ số k=
1
2
Sau đây là một số bài toán khai thác mối liên hệ giữa các điểm trọng tâm, 
trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và các trung điểm của các cạnh trong tam 
giác. 
Ví dụ 4.7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H
1
3;
4
 , 
tâm đường tròn ngoại tiếp 
29
0;
8
I
 , trung điểm BC là M
5
;3
2
 . Xác định tọa độ 
các đỉnh A, B, C biết hoành độ của B lớn hơn hoành độ của C. 
Lời giải : Gọi G là trọng tâm tam giác ABC theo bài toán 2 ta có 1
3
IG IH 
hay G là ảnh của H qua 
1
;
3
I
V
 nên ta có 
1
0 3 0 1
3 7
1;
29 1 1 29 7 3
8 3 4 8 3
G
G
x
G
y
 Do G là trọng tâm tam giác ABC nên A là ảnh của M qua phép vị tự tâm M tỷ số 
k=3 nên 
5 5
3 1 2
2 2
2;1
7
3 3 3 1
3
A
A
x
A
y
B, C thuộc đường tròn tâm I bán kính IA có phương trình 
2
2 29 697
8 64
x y
 . 
Mặt khác, đường thẳng BC đi qua M
5
;3
2
 và nhận 
5
5;
4
AH
 làm véc tơ pháp 
tuyến nên có phương trình 4 7 0x y 
36 
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ 2
2
4 7 0
29 697
8 64
x y
x y
Giải hệ phương trình và kết hợp giả thiết hoành độ của B lớn hơn hoành độ của C 
ta được B(3 ;5) và C(2 ;1). 
Ví dụ 4.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC biết B(0;1), 
C(1;0) và trực tâm H(2;1). Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Hướng dẫn giải: 
Cách 1: + Lập phương trình cạnh AB 
 + Lập phương trình cạnh AC 
 + Từ đó xác định tọa độ của điểm A 
 + Rồi lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Cách 2: Nhận xét rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với đường 
tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua BC. Do đó 
+ Lập phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm H, B, C là : 
 111 22 yx 
 (C) có tâm I(1;1) và R= 1 
+ Phương trình đường tròn (C‟) ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với BC 
nên có tâm I‟ đối xứng với I qua BC và R‟ = R = 1 
 Phương trình (C‟) là x
2
 + y
2
 = 1 
Nhận xét: Ta thấy học sinh thường giải theo cách 1 nhưng người giáo viên 
phải hướng cho học sinh biết giải theo cách 2 để không những giải nhanh bài toán 
trên mà còn giải được nhanh bài toán sau mà giải theo cách 1 sẽ vô cùng phức 
tạp. 
Ví dụ 4.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết cạnh BC có 
phương trình 2x + y - 4 = 0 và đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là (C) 
086622 yxyx với H là trực tâm của tam giác ABC. Lập phương trình 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Hướng dẫn giải: Gọi (C‟) là đường tròn noại tiếp tam giác ABC thì (C‟) đối 
xứng với (C) qua BC nên (C‟) có tâm I‟ đối xứng với I qua BC và R‟ = R = 10 
Vậy phương trình (C‟) là 1011 22 yx . 
Ví dụ 4.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết cạnh BC 
có phương trình 2x + y - 4 = 0 và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (C) 
37 
2 2 2 2 8 0x y x y với H là trực tâm của tam giác ABC. Lập phương trình 
đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. 
Hướng dẫn giải: Ta có (C) là đường tròn noại tiếp tam giác ABC thì đường 
tròn ngoại tiếp tam giác HBC đối xứng với (C) qua BC nên có tâm I‟ đối xứng với 
I qua BC và R‟ = R = 10 . Do đó, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 
HBC là 
2 2
3 3 10x y 
Ví dụ 4.11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3). 
Tâm đường tròn ngoại tiếp I(2;0) và A(3;4). Viết phương trình đường thẳng BC. 
Hướng dẫn giải: 
Gọi A‟ là điểm đối xứng với A qua I thì A‟ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ABC. Gọi M là giao của BC và A‟H, ta có M là trung điểm của A‟H. 
A(3;4) nên A‟(1;-4) mà M là trung điểm A‟H nên 
1
1;
2
M
Vậy BC là đường thẳng qua M và nhận AH =(-2;-1) làm véc tơ pháp tuyến 
nên có phương trình 4x+2y-3=0. 
Tương tự ta có thể giải cho bài toán sau 
Ví dụ 4.12 (ĐH D-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC 
có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0). Xác định tọa 
độ đỉnh C biết C có hoành độ dương. 
Hướng dẫn giải: Tương tự bài 5.5 ta sẽ viết được phương trình cạnh BC là 
y=3 nên C là giao của đường thẳng BC và đường tròn tâm I bán kính IA= 74 . 
Tọa độ điểm C là ngiệm của hệ 
2 22 74
3
x y
y
Do C có hoành độ dương nên 2 65;3C 
Bài toán 5 : 
Cho góc xOy và một điểm M 
nằm trong góc đó. Hãy dựng đoạn 
thẳng AB qua M với A thuộc tia Ox, 
B thuộc tia oy sao cho MA = k MB 
Hướng dẫn giải: 
O
b
B
M
A
y
x
38 
 a. Phân tích: Giả sử đã dựng được đoạn thẳng AB thoả mãn điều kiện bài 
toán 
Khi đó ta có MA = k MB và A, M, B thẳng hàng nên MA k MB 
Từ đó suy ra A là ảnh của B qua phép vị tự tâm M tỉ số - k nên ta sẽ chọn 
phép vị tự để dựng hình. 
Ta có cách dựng: 
 Dựng b là ảnh của Oy qua phép vị tự tâm M tỉ số - k, b cắt Ox tại A thì A là 
điểm cần dựng. 
 Nối A với M kéo dài cắt Oy tại B cần dựng. 
Chú ý: 
*Trong trường hợp k=1 thì M là trung điểm của AB ta có thể giải như bài 
toán trên với k=1 hoặc sử dụng phép đối xứng tâm M đó chính là cơ sở để 
một số sách đưa ra lời giải : 
Gọi N là điểm đối xứng với O 
qua tâm M, kẻ đường thẳng qua N 
song song với Oy sẽ cắt Ox tại A, 
kẻ đường thẳng qua N song song 
với Ox sẽ cắt Oy tại B thì AB là 
đoạn cần dựng. 
Như vậy nếu biết phân tích bài toán trên theo hướng ứng dụng phép biến hình 
thì sẽ đưa ra được lời giải một cách tự nhiên và học sinh cũng dễ tiếp nhận. 
Ta thấy có các quy trình riêng cho từng dạng toán. Tuy nhiên tuân thủ theo 
quy trình chung là sự gợi ý định hướng bổ ích cho việc tìm tòi lời giải các bài toán. 
*Bên cạnh đó việc nắm được các bài toán cơ bản và sử dụng vào giải các 
bài toán liên quan cũng như mở rộng bài toán là hết sức quan trọng đối với việc 
học toán của học sinh. Sau đây tôi xin đưa một số ví dụ được lấy từ các bài toán cơ 
bản về ứng dụng của phép biến hình. 
Ví dụ 5.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1 x – y + 1 =0 
d 2 2x + y – 1 = 0 và điểm P(2;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm P 
và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho P là trung điểm 
của AB. 
j
y
x
M
N
B
A
O
39 
Hướng dẫn giải:Ta có B là ảnh của A qua phép đối xứng tâm P mà A thuộc d
1 nên B thuộc ; d 1 ‟ là ảnh của d 1 qua phép đối xứng tâm P. 
d 1 có phương trình x – y + 1 =0 nên d 1 ‟ có phương trình x – y – 3 = 0 
Vậy tọa độ B là nghiệm của hệ 
012
03
yx
yx
 )
3
5
;
3
4
( B 
Đường thẳng d chính là đường thẳng BP có phương trình x + 4y – 6 = 0 
Ví dụ 5.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 
d 1 x – y + 1 =0 d 2 2 x + y – 1 = 0 và điểm P(2;1). Viết phương trình đường 
thẳng d đi qua điểm P và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao 
cho PB = 2 PA . 
Hướng dẫn giải: Vận dụng bài toán 3 ta có B là ảnh của A qua phép vị tự tâm 
P tỉ số k=-2. Mà A thuộc đường thẳng d 1 nên B thuộc đường thẳng d 1 ‟ là ảnh của 
đường thẳng d 1 qua phép vị tự tâm P tỉ số k=-2. 
Dễ dàng tìm được d 1 ‟ có phương trình x – y – 5 = 0 . Khi đó B là giao điểm 
của d 1 ‟ và d 2 nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình 
012
05
yx
yx
 B(2;-3). 
Vậy đường thẳng d đi qua hai điểm B và P nên có phương trình y – 1 = 0 
 Nhận xét: Trong bài toán này ta có thể thay số 2 bằng số dương bất kỳ ta sẽ 
có một số bài toán với cách giải tương tự. 
Ví dụ 5.3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai đường thẳng d 1 : 3x-y-5=0, 
d 2 : x+y-4=0 và điểm M(1;1). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d 
đi qua M cắt d 1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho 2MA -3MB =0 . 
40 
Ví dụ 5.4 Trong mp Oxy cho 2 đường tròn 
 13: 221 yxC và 256:
22
2 yxC 
Gọi A là một giao điểm của 1C và 2C 
với y A > 0. Viết phương trình đường 
thẳng đi qua A và cắt 1C và 2C theo 2 
dây cung có độ dài bằng nhau. 
Hướng dẫn giải: 
Toạ độ A là nghiệm của hệ 
25)6(
13
22
22
yx
yx
 A(2;3) 
Giả sử d đi qua A cắt 21 , CC lần lượt tại B và C sao cho AB = AC 
Vậy phép đối xứng tâm A biến B thành C, mà B 1C nên C thuộc '1C là ảnh của 
 1C qua phép đối xứng tâm A. Điểm C cần tìm là giao điểm của '1C và 2C Ta có 
 '1C là đường tròn tâm O‟ đối xứng với O qua A và có bán kính R = 13 nên có 
phương trình: 1364 22 yx . 
Vậy điểm C (khác A) là giao điểm '1C và 2C nên toạ độ là nghiệmcủa hệ 
phương trình 
13)6()4(
13)6(
22
22
yx
yx
 )
5
24
;
5
37
(C . 
Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AC có phương trình : x – 3y + 7 = 0. 
Chú ý: *Bài tập này ta có thể sử dụng phép CBVA 
 :1 mà B 1C nên C 
thuộc '1C là ảnh của 1C qua 1 AV . Từ đó ta có thể mở rộng bài toán trên là viết 
phương trình đường thẳng đi qua A và cắt 21 , CC lần lượt tại B và C sao cho AC 
= k AB (k > 0) . 
(Ta sử dụng phép CBV kA 
 : , mà B 1C nên thuộc '1C là ảnh của 1C qua 
phép vị tự tâm A tỉ số -k. Điểm C cần tìm là giao điểm của '1C và 2C ). 
* Trong bài toán trên ta có thể thay đổi giả thiết " Viết phương trình đường 
thẳng d đi qua điểm A là một trong hai giao điểm của 21 , CC " bằng giả thiết 
" Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng l có phương 
trình x - 3y - 1 = 0" thì chúng ta có thể sử dụng phép tịnh tiến như sau: 
I
C
B
A
O'
O
41 
Giả sử dựng được đường thẳng d cắt 21 , CC lần lượt theo hai dây cung bằng 
nhau AB = CD. Do d // l nên suy ra phương của đường thẳng d xác định. Từ đó 
định hướng sử dụng phép tịnh tiến. 
Gọi tọa độ H' và K' lần lượt là hình chiếu của tâm các đường tròn 21 , CC lên 
đường thẳng l . Khi đó ta có ' ' IJH K HK , trong đó J(thuộc KK' ) là ảnh của I 
qua phép tịnh tiến theo véc tơ ' 'H K . Từ đó ta có các bước thực hiện: 
- Tìm tọa độ H' và K' lần lượt là hình chiếu của tâm các đường tròn 21 , CC 
lên đường thẳng l. 
- Tìm điểm J sao cho IJ ' 'H K với I là tâm của 1C 
- Tìm tọa độ C,D là giao của 2C và đường tròn tâm J bán kính R thì đường 
thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua C và song song với l. 
j
l
d
K'H'
KH DC
JI
B
A
42 
III. KẾT LUẬN. 
Nhiều người hiểu sai việc dạy Toán ở bậc phổ thông là dạy kiến thức toán 
học, học sinh chỉ cần học thuộc công thức để áp dụng, mà quên mất rằng học toán 
là học suy luận logic. Việc chỉ dạy các công thức toán học một cách hình thức cùng 
với thi trắc nghiệm đã và đang góp phần cho ra đời những thế hệ học sinh mất thói 
quen tư duy một cách độc lập. Rất nhiều giảng viên lâu năm ở các trường đại học 
trong nhiều chuyên ngành khác nhau đều có nhận xét là sinh viên mới vào trường 
hiện nay không làm được các bài tập hay đề thi cần đến suy luận mà sinh viên 
nhiều năm trước đây có thể giải được một cách dễ dàng. Đây có lẽ cũng là lý do 
mà các trường công an thi đánh giá năng lực bằng hình thức thi tự luận để có thể 
chọn được sinh viên tốt hơn. Bởi về mặt bản chất, học gì cũng phải trả lời được 
câu hỏi tại sao ra được kết quả cuối cùng như vậy, hiểu bản chất vấn đề. Nhưng 
hiện, một số các học sinh quá chú trọng vào mẹo mực và luyện thi. Nếu các thầy 
cũng dạy theo hướng như vậy thì sẽ giảm ý nghĩa của việc dạy học môn toán. 
Chương trình sách giao khoa mới hướng đến phát triển nhiều năng lực của người 
học trong đó rất coi trọng ứng dụng của toán học trong đời sống nên giáo viên cần 
có sự đầu tư vào từng tiết dạy kích thích học sinh hứng thú học tập thay vì chỉ dạy 
đối phó thi cử khiến học sinh dễ nhàm chán trong các tiết học. 
Hệ thống các bài toán giải được nhờ sử dụng các phép biến hình ở trường phổ 
thông là khá phong phú. Các ví dụ trên đây chỉ là một số bài toán điển hình về 
phương pháp dẫn dắt để đi đến lời giải và mở rộng bài toán. Trong thực tiễn dạy 
học Giáo viên cũng như Học sinh thường ít chú tâm tới các bài toán đã nêu trên. 
Tuy nhiên chúng ta có hẳn một nửa chương trình hình học lớp 11 để khai thác ứng 
dụng của phép biến hình qua đó củng cố thêm kiến thức về hình học trong mặt 
phẳng và cung cấp thêm một số công cụ để giúp giải quyết nhanh một số bài toán 
dạng này. Ta cũng thấy rằng một số kết quả các bài toán ứng dụng của phép biến 
hình có thể khai thác để vận dụng vào giải một số lớp các bài toán thực tế. Ngoài ra 
ta cũng có thể chuyển nội dung bài toán ứng dụng phép biến hình sang bài toán 
thực tế trong mặt phẳng làm phong phú thêm hệ thống các bài toán dạng này. Qua 
thực tiễn dạy học tôi thấy đã tạo cho học sinh thực sự hứng thú, tích cực chủ động 
chiếm lĩnh tri thức, phát trển tư duy hàm. Đồng thời các em đã nắm được các kiến 
thức cơ bản và có thói quen tự nghiên cứu, phát hiện giải quyết vấn đề nghĩa là 
bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học góp phần vào công cuộc đổi mới 
phương pháp dạy học ở trường phổ thông.