Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT

cực trị là 1; 19A d , 1;13B d và 
 2;8C d . 
Gọi 21g x mx nx k là parabol đi qua các điểm ' 1; 19A , ' 1;13B và 
 ' 2;8C , khi đó: 
1
1
1
1 19 19 7
1 13 13 16
2 8 4 2 8 4
g m n k m
g m n k n
g m n k k
. 
 21 7 16 4g x x x 
27 16 4g x x x d . 
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 
4 3 2 2 4 3 23 8 6 24 7 16 4 3 8 8 4 0x x x x d x x d x x x x . 
1
2
3
1
2
x
x
x
x
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi f x và g x là: 
2 2
4 3 2
1 1
2948
d 3 8 8 4 d
405
S f x g x x x x x x x dvdt
 . 
Chọn D. 
Bài toán 4. [THANH HOÁ – LẦN 2 – 2022] Cho hàm số 
 4 3 2f x x ax bx cx d , , ,a b c d thỏa mãn 
1
min '' ''
4
f x f
 và hàm 
số 
2
.
1
f x
g x
x
 Biết đồ thị hàm số y g x có ba điểm cực trị là 
 ; ( ) , 0; (0) , 1; (1)A m g m B g C g . Gọi y h x là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua 
ba điểm ,A C và 2; 5D b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 
 y f x và 2 1 ( ) 1y x h x x bằng 
A. 
64
.
15
 B.
44
15
. C. 
56
.
15
 D. 
46
.
15
 Bài giải 
Ta có 
2 2
3 2 2 3' 4 3 2 '' 12 6 2 12 2
4 4
a a
f x x ax bx c f x x ax b x b
Suy ra min '' '' 1
4
a
f x f a
. 
33 
Ta có: 
2
2
2
1 ' 2 .
'
1
x f x x f x
g x
x
. 
 Vì hàm số g x đạt cực trị tại các điểm 0;1 , suy ra 
0
' 0 ' 1 0
1
c
g g
d b
Xét 0 0x thỏa mãn 
 0 02
0 0 0 0 0 2
0 0
'
' 0 1 ' 2 0
1 2
f x f x
g x x f x x f x
x x
hay 
 3 20 20 0 0
0 0 0
0 0
' 4 3 2 3
2
2 2 2
f x x x bx
g x x x b
x x
Suy ra ,A C và 2; 5D b thuộc 2
3
( ) : 2
2
P y h x x x b . 
Xét phương trình: 
 2 4 3 2
1
1 1 0 2 2 4 0 1
2
f x x h x x x x x x x . 
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x và là
1
4 3 2
1
1 44
2 2 4 .
2 15
S x x x x dx
Bài toán 5.[ĐỀ THI THỬ SỞ GDĐT HÒA BÌNH 2022-2023] Cho hai hàm số 
 4 3 2 3f x ax bx cx x và 3 2( )g x mx nx x với , , , , .a b c m n Biết hàm số 
( ) ( )y f x g x có ba điểm cực trị là 2 , 1 ,1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai 
đường y f x và y g x bằng 
A. 
5
6
. B. 
9
2
. C. 
37
6
. D.
16
3
Bài giải. 
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
( ) ( ) 3 ( )
( ) ( ) 4 .
4 3( ) 2( ) 4
y f x g x ax bx cx cx x mx nx x
ax b m x c n x x
y ax b m x c n x
Vì hàm số có ba điểm cực trị là -1,1,2 suy ra 
( 1) 0, (1) 0, (2) 0
4 3( ) 2( ) 4 0
4 3( ) 2( ) 4 0
32 12( ) 4( ) 4 0
1
2
4
3
1
y y y
a b m c n
a b m c n
a b m c n
a
b m
c n
34 
3 2
2
( ) 4 3 2 3
( ) 3 2 1
f x ax bx cx
g x mx nx
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )y f x và ( )y g x là: 
3 2( ) ( ) 2 4 2 4y f x g x x x x 
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x và y g x 
bằng 
1 2
3 2 2 3 2 2
1 1
37
| (2 4 4) | | (2 4 4) | ( )
6
S x x x dx x x x dx dvdt
Chọn C. 
Bài toán 6. [ĐỀ THI THỬ SỞ GD HÀ TĨNH– 2023] 
Cho hàm số bậc ba 3 2f x ax bx cx d 
Có đồ thị như hình vẽ. 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x và 
 ( )g x f x bx c bằng 
A.
145
2
. B.
125
2
. C.
25
2
. D.
29
2
. 
 Bài giải 
 3 2 2( ) 3 2
( ) 6 2
f x ax bx cx d f x ax bx c
f x ax b
Ta thấy đồ thị hàm đi qua các điểm (-2;0), (3;-5), hàm số đạt cực trị tại -1, 3 ta 
có hệ phương trình: 
8 4 2 0
27 9 3 5
3 2 0
27 6 0
1
5
3
5
9
5
2
5
a b c d
a b c d
a b c
a b c
a
b
c
d
2
13 9 12
( ) ( ) 0
45 5 5
x
f x g x x x
x
35 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x và 
 ( )g x f x bx c bằng 
4
2
1
3 9 12 25
( ) ( )
5 5 5 2
S x x dx dvdt
Chọn C. 
Bài tâp. 
Bài 1. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn 
4( ) ( ) 5 6 3,f x xf x x x x  . Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
hai đường y f x và y f x thuộc khoảng 
 A.(27;28). B.(26;27). C.(28;29). D.(29;30). 
 [ĐỀ THI THỬ SỞ GD NINH BÌNH 2023] 
Bài 2. Cho hàm số 3 24f x x ax bx c có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm có 
hoành độ là -3; -1; 1. F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và g(x) là hàm số 
bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của hàm số F(x).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x và y g x bằng 
 A.
128
15
. B. 
64
15
. C.16 . D. 64 . 
Bài 3. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi 
1 2,x x lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn 2 1 2x x và 1 23 0.f x f x và đồ thị 
luôn đi qua 0 0( ; ( ))M x f x trong đó 0 1 1x x ( )g x là hàm số bậc hai có đồ thị qua 2 
điểm cực trị và M. 01 1x x . Tính tỉ số 
1
2
S
S
 ( 1S và 2S lần lượt là diện tích hai hình 
phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm ( ), ( )f x g x như hình vẽ ). 
A.
5
32
 B. 
6
35
. C. 
7
33
. D. 
4
29
. 
Bài 4. Cho hàm số 4 2y f x ax bx c có đồ thị ,C Biết 1 0f . Tiếp 
tuyến d tại điểm có hoành độ 1x của C cắt C tại 2 điểm có hoành độ lần 
lượt là 0 và 2, Gọi 1 2;S S là diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong hình vẽ). 
Tính 2S , biết 1
401
.
2022
S 
36 
A. 
12431
2022
. B.
5614
1011
 C. 
2005
2022
. D. 
2807
1011
. 
Bài 5. Hình phằng H được giới hạn bởi đồ thị C của hàm đa thức bậc ba và 
parabol P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ 
có diện tích bằng 
A.
37
12
 B. 
7
12
. C. 
11
12
. D. 
5
12
. 
4.Thực nghiệm sư phạm. 
4.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm. 
Kiểm tra tính hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm. 
4.2.Nội dung thực nghiệm. 
Thực hiện theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm 
4.3.Tổ chức thực nghiệm. 
4.3.1.Địa điểm và đối tượng thực nghiệm. 
- Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại Trường THPT Quỳnh Lưu 4, 
Quỳnh Lưu, Nghệ An. 
- Đối tượng thực nghiệm các lớp 12A5, 12A7, 12A10 năm học 2021-2022. 
4.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm. 
Thời gian thực nghiệm từ 15/3/2021 đến 15/5/2022 với số tiết dạy là 12 tiết 
trong đó có hai bài kiểm tra phần lớn các tiết dạy được dạy trong các tiết học tự 
chọn, luyện tập, ôn thi tốt nghiệp THPT. 
37 
4.3.3.Tổ chức thực nghiệm. 
+) Lớp dạy thực nghiêm: 
- Dạy theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm, tuy nhiên có một số bài tập tương 
tự mới cập nhật năm 2023. 
- Quan sát các hoạt động của học sinh xem có phát huy được tính tích cực tự 
giác và có phát triển được khả năng tư duy sáng tạo hay không. 
- Tiến hành hai bài kiểm tra trước và sau khi thực nghiệm. 
+) Lớp đối chứng 12A5, 12A7, 12A10 Trường THPT Quỳnh Lưu 4. 
4.3.4. Kết quả thực nghiệm: 
 Kết quả thực nghiệm được thể hiện rõ qua bài kiểm tra số 2. 
 Dựa vào kết quả thi THPT của học sinh năm 2022 
Đề số 2.( Sau khi thực hiện đề tài ) 
Bài 1. Cho 
2
2
1
( 1) 2f x xdx . Tính tích phân 
5
2
( ) ?I f x dx 
 A. 2 B. 1 C. -1 D. 4. 
Bài 2. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên , thỏa mãn 
9
1
( )
4
f x
dx
x
Và 
2
0
(sin ) os 2f x c xdx
Tính 
3
0
( )I f x dx 
 A.I = 10 B. I = 6 C. I = 4 D. I = 2. 
Bài 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  0;1 và thỏa mãn: 
 
1 1
22
0 0
1
( ) , (1) 0, ( ) 7.
3
x f x dx f f x dx Tính 
1
0
( ) .f x dx 
 A.
7
5
I . B. 1I . C. 
7
4
I . D. 4I . 
(thời gian làm bài 45 phút) 
“Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó” 
Bảng 3.Kết quả bài kiểm tra số 2 (Sau khi dạy chuyên đề) 
Đơn vị lớp 
Số lượng học 
sinh được 
khảo sát 
Số học sinh 
không làm 
được 
Số học sinh 
làm được 
Số học sinh 
không đủ thời 
gian làm 
12A5 20 0 18 2 
12A7 20 0 17 3 
12A10 20 0 18 2 
( )f x
38 
- Học sinh được chủ động, bình tĩnh không bị ngợp hay băn khoăn gì khi gặp 
dạng toán này. 
- Đa số học sinh có hứng thú trong phương pháp giải dạng toán này và đạt 
kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. 
- Học sinh đã giải được hầu hết các bài tập giáo viên đưa ra và các bài toán 
về tích phân hàm ẩn trong các đề thi tốt nghiệp THPT. 
5. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất. 
 5.1.Mục đích khảo sát: Đánh giá về sự cấp thiết và tính khả thi của đề tài. 
 5.2.Nội dung và phương pháp khảo sát 
 5.2.1.Nội dung khảo sát 
Các giải pháp được đề xuất có thực sự cần thiết đối với vấn đề nghiên cứu hay 
không? 
Các giải pháp được đề xuất có khả thi đối với vấn đề nghiên cứu hay không? 
 5.2.2.Phương pháp khảo sát 
Phương pháp được sử dụng để khảo sát là Trao đổi bằng bảng hỏi; với 
thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ 1 đến 4): 
Sử dụng Googleforms theo địa chỉ link 
Không cấp thiết; Ít cấp thiết; Cấp thiết và Rất cấp thiết. 
Không khả thi; Ít khả thi; Khả thi và Rất khả thi. 
5.3. Đối tượng khảo sát 
Bảng 4. Tổng hợp các đối tượng khảo sát 
TT Đối tượng Số lượng 
1 Giáo viên 15 
2 Học sinh THPT 81 
 Σ 96 
 5.4.Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và khả thi của giải pháp đã đề xuất 
Chúng tôi sử dụng phần mềm microsoft Excel 2010 để tính điểm trung bình X 
Giá trị khoảng cách = (Maximum – Minimum)/4 =(4-1)/4 = 0.75 
Chúng ta sẽ có đoạn giá trị: 
39 
+ 1.00 – 1.75: Không cấp thiết + 1.76 – 2.51: Ít cấp thiết 
+ 2.52 – 3.27: Cấp thiết + 3.28 – 4.00: Rất cấp thiết 
+ 1.00 – 1.75: Không khả thi + 1.76 – 2.51: Ít khả thi 
+ 2.52 – 3.27: Khả thi + 3.28 – 4.00: Rất khả thi 
5.4.1. Kết quả của sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
Link khảo sát: 
-Q1fMIH85qV2R0o/edit các biểu đồ 
40 
Bảng 5. Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
TT Các giải pháp 
Các thông số 
X Mức 
1 
Các hàm số có biến x thay đổi nhưng hàm 
số không thay đổi ta chọn hàm đại diện là 
hàm hằng và đặt f(x) = a (trong đó a là 
hằng số ). 
3.35 Rất cấp thiết 
2 
Nếu bài toán chỉ cho một giả thiết và hàm 
số thay đổi khi biến x thay đổi thì ta chọn 
hàm đại diện là hàm bậc nhất có một tham 
số f(x) = ax 
3.43 
Rất cấp thiết 
3 
Nếu bài toán cho hai giả thiết và hàm số 
thay đổi khi biến x thay đổi thì ta chọn hàm 
đại diên là hàm bậc nhất có hai tham số 
thường ta chọn f(x) = ax + b 
3.55 Rất cấp thiết 
4 
- Nếu hàm số cho ba giả thiết trở lên thì ta 
chọn hàm đại diện là hàm bậc hai trở lên. 
- Quan sát số mũ của x ở hai vế để lựa chọn 
hàm đại diện sau đó sử dụng phép đồng 
nhất thức. 
3.73 Rất cấp thiết 
5 
Vận dụng phương pháp tìm hàm đại diện 
vào giải các bài toán tìm diện tích hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số. 
3.59 Rất cấp thiết 
 Điểm trung bình chung 3.53 Rất cấp thiết 
Từ số liệu thu được ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét sau 
Giá trị trung bình chung của đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
là rất cấp thiết, đặc biệt giải pháp 4 được đánh giá cao nhất 3.73.Thực tế cho thấy 
giải pháp thứ 4 này được áp dụng vào nhiều dạng bài tập với các giả thiết cho khác 
nhau và khi áp dụng giải pháp thứ 4 thì bài toán trở nên nhẹ nhàng quen thuộc với 
học sinh hơn. 
Nhìn chung cho thấy kết quả này học sinh đã thấy rõ một số giải pháp sử 
dụng hàm đại diện vào tính tích phân hàm ẩn là rất cấp thiết. 
41 
5.4.2. Kết quả khảo sát tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất 
Link khảo sát: 
Q1fMIH85qV2R0o/edit 
Bảng 6. Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất 
TT Các giải pháp 
Các thông số 
X Mức 
1 
Các hàm số có biến x thay đổi nhưng hàm 
số không thay đổi ta chọn hàm đại diện là 
hàm hằng và đặt f(x) = a ( trong đó a là 
hằng số ). 
3.38 Rất khả thi 
2 
Nếu bài toán chỉ cho một giả thiết và hàm 
số thay đổi khi biến x thay đổi thì ta chọn 
hàm đại diện là hàm bậc nhất có một tham 
3.49 Rất khả thi 
42 
số f(x) = ax 
3 
Nếu bài toán cho hai giả thiết và hàm số 
thay đổi khi biến x thay đổi thì ta chọn 
hàm đại diên là hàm bậc nhất có hai tham 
số thường ta chọn f(x) = ax + b 
3.58 Rất khả thi 
4 
- Nếu hàm số cho ba giả thiết trở lên thì ta 
chọn hàm đại diện là hàm bậc hai trở lên. 
- Quan sát số mũ của x ở hai vế để lựa 
chọn hàm đại diện sau đó sử dụng phép 
đồng nhất thức. 
3.72 Rất khả thi 
5 
Vận dụng phương pháp tìm hàm đại diện 
vào giải các bài toán tìm diện tích hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số. 
3.61 Rất khả thi 
 Điểm trung bình chung 3.56 Rất khả thi 
Từ số liệu thu được ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét sau: Như vậy, qua 
khảo sát trên chúng tôi nhận thấy giáo viên và học sinh đã nhận thấy tính khả thi 
của các giải pháp đã đề xuất, trong đó có năm giải pháp đạt mức rất khả thi, đặc 
biệt giải pháp 4 được đánh giá cao nhất 3.72. Nói chung các giải pháp này đã được 
triển khai, áp dụng tại trường THPT Quỳnh Lưu 4 trong năm học 2021 - 2022 có 
tính khả thi cao, có khả năng áp dụng trọng phạm vi rộng và dễ thực thi cho tất cả 
các trường THPT. Đặc biệt là đề tài gởi mở các vấn đề liên quan để GV và HS tiếp 
tục nghiên cứu, nhằm nâng cao mức độ hiểu biết về các phương pháp tính tích 
phân hàm ẩn. 
 PHẦN III . KẾT LUẬN: 
1. Kết luận. 
Như vậy căn cứ vào quá trình giảng dạy, kết quả thực nghiệm, kết quả tốt 
nghiệp THPT, kết quả của việc khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của đề tài tôi 
thấy đây là một đề tài thiết thực và bổ ích, đạt hiệu quả rõ rệt. 
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã luôn cố gắng tìm tòi bổ sung và cập nhật 
các đề thi thử, đề minh họa của Bộ giáo dục, các bài tập từ dễ đến khó được xây 
dựng một cách logic chặt chẽ. Bên cạnh đó còn phải luôn trăn trở để có những định 
hướng đúng đắn để học sinh tiếp thu và vận dụng vào trong các bài tập từ đó hình 
thành cho các em năng lực tư duy, năng lực mở rộng và phát triển từ bài toán tính 
tích phân hàm ẩn đơn giản đến bài toán nâng cao về tính diện tích các hình phẳng. 
Qua quá trình nghiên cứu đề tài tôi nhận thấy: 
Đối với bản thân: Bản thân tôi phần nào được rèn luyện năng lực chuyên 
môn, được tiếp xúc và cọ xát với học sinh thông qua lời giải bằng phương pháp lựa 
43 
chon hàm đại diện vào tính tích phân hàm ẩn và từ đó rút ra được nhiều kinh 
nghiệm hơn trong việc giải toán tích phân hàm ẩn. 
Đối với học sinh: Các em được trang bị thêm một phương pháp tính tích phân 
hàm ẩn, các em sẽ chủ động hơn khi tiếp xúc với các bài toán tính tích phân hàm 
ẩn và các bài toán về tính diện tích hình phẳng. Đặc biệt hơn là phát triển cho các 
em tư duy tương tự hóa và tổng quát hóa. 
Đối với lĩnh vực toán học: Đề tài này được xem như là một phương pháp mới 
trong việc giải các bài toán tích phân hàm ẩn. 
 2. Kiến nghị: 
- Đề tài này có khả năng áp dụng cho khối 12 ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi 
bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh. 
- Dù đã cố gắng tuy nhiên không thể tránh khỏi những sai sót. Để đề tài được 
hoàn thiện hơn và được áp dụng trong giảng dạy tôi mong nhận được những góp ý 
chia sẻ của quý thầy cô đồng nghiệp. 
Xin chân thành cảm ơn! 
44 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học sư phạm. 
2. G. Polya, Toán học và những suy luận có lí, NXB Giáo dục. 
3. Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán, 
NXB Giáo dục 1992. 
4. Đặng Việt Đông (Chủ biên) chuyên đề các dạng tích phân hàm ẩn điển hình 
mức độ VD -VDC 
5. BGD - ĐT, Đề minh họa môn Toán năm 2017,2018, 2019, 2020, 2021 và 
2022,2023 
6. Đề thi thử THPT QG năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 và 2022,2023 của 
các trường THPT chuyên và không chuyên - Violet đề thi. 
7. Lê Bá Hạo, ngân hàng câu hỏi tích phân ứng dụng tính diện tích hình phẳng, 
CLB Giáo viên trẻ TP Huế