Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

guyên hàm từng phần. (Các dạng toán cụ thể sẽ được đề cập trong đề tài).
Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho bài toán.
Bước 3: Dựa vào bảng để tìm ra kết quả cho nguyên hàm.
Bước 4: Tìm ra phương án đúng và kiểm tra lại để chắc chắn câu trả lời của mình.
	Tuy nhiên, để làm dạng bài nguyên hàm từng phần hiệu quả nhất, học sinh cần phải nắm các tính chất của nguyên hàm và công thức tính nguyên hàm của hàm số thường gặp và luyện tập thường xuyên dạng bài này để đạt được kết quả tốt nhất.
2.2. Hệ thống hóa các dạng sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần 
2.2.1. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác 
Dạng: ; hoặc ; hoặc trong đó là đa thức
Phương pháp tự luận thông thường
Đặt ; hoặc hoặc . Cụ thể nếu sử dụng nguyên hàm từng phần 
Đặt . Khi đó: 
Và nếu tiếp tục sử dụng nguyên hàm từng phần ta có:
Hoàn toàn tương tự
Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn) 
Dựa trên công thức tính nguyên hàm ta suy ra cách lập bảng để tính nguyên hàm từng phần một cách đơn giản hơn mà những đối tượng học sinh năng lực Trung bình – yếu vẫn làm được:
	Từ công thức tính nguyên hàm ta đễ thấy đối với những cặp theo mũi tên kẻ xiết thì đan xen dấu bắt đầu từ “+” à “-” à“+”. và đối với dạng này khi đặt là hàm đa thức bằng u ta tính đạo hàm của đa thức tới khi nào bằng 0 thì dừng quá trình. Theo cách lấy như vậy cũng cho ta được kết quả: 
Ví dụ 1: (BT4b – SGK giải tích 12 – trang 101). 
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: 
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường
Đặt 
Do đó: (1)
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 
Đặt 
Khi đó: (2)
Thay (2) vào (1) ta được: .
Cách 2: Sử dụng bảng
	Dựa vào bảng ta có kết quả 
Nhận xét: Rõ ràng đối với phương pháp sử dụng bảng sẽ chiếm lợi thế hơn trong cách thi trắc nghiệm như hiện nay và các học sinh đặc biệt là những học sinh học lực Trung bình – yếu thấy dễ tiếp thu hơn nhiều.
Ví dụ 2: Cho bài toán: “Gọi là một nguyên hàm của hàm số với sao cho . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. .	B. .	C. .	D. .”
Hãy xét xem các hướng làm sau đúng hay sai? Chỉ ra chỗ sai (nếu có)? Hãy cho kết quả đúng?
Hướng 1: 
Đặt Do đó: (1)
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 
Đặt . Khi đó: (2)
Thay (2) vào (1) ta được: .
Mặt khác: 
Do đó chọn B.
Hướng 2: 
Dựa vào bảng ta có .
Mặt khác 
Do đó chọn D.
Phân tích: Rõ ràng ta thấy rằng theo “Hướng 1” thì phát hiện được lỗi sai (khoanh đỏ) bằng việc lần theo từng bước của bài giải là khá khó khăn đồng thời tiếp tục chỉnh sửa sai sót và làm lại là mất nhiều thời gian.
Trong khi đó nếu theo dõi bảng của “Hướng 2” thì ta dễ dàng tìm ra lỗi sai (khoanh đỏ) và hoàn toàn có thể sửa ngay trên bảng
Từ đó có kết quả .
Mặt khác. 
Do đó chọn A.
Nhận xét: Qua ví dụ trên cho ta thấy rằng cách sử dụng bảng dễ dàng phát hiện ra sai sót nhanh hơn và sửa lỗi cũng hiệu quả hơn nhiều. Điều đó cũng làm cho chúng ta thấy được một “lợi thế” không nhỏ của cách lập bảng để tính nguyên hàm từng phần trong khâu kiểm tra lại bài làm của mình – một bước cực kì quan trọng trong quá trình làm bài.
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm 
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường
Đặt . Do đó: (1)
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 
Đặt .
 (2)
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 
Đặt 
 (3)
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 
Đặt . 
 (4)
Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 
Đặt 
 (5)
Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta có: 
Cách 2: Sử dụng bảng
	Dựa vào bảng ta có kết quả 
Nhận xét: Đối chiếu hai phương pháp làm ở trên ta càng thấy rõ nếu chúng ta làm theo phương pháp tự luận thông thường với 5 lần sử dụng nguyên hàm từng phần thì quả thực là rất dài dòng, làm cho học sinh dễ rối gây ra chán nản và dẫn đến tình trạng các em “bỏ qua”, không kể đến việc thay các vào tính toán dễ sai đồng thời khó rà soát lại cũng như việc mất khá nhiều thời gian để đưa ra kết quả cuối cùng. Qua đây ta càng thấy rõ được lợi thế của cách dùng bảng vừa ngắn gọn, dễ hiểu, dễ kiểm tra lại vừa tiết kiệm thời gian đồng thời tạo hứng thú học cho học sinh.
2.2.2. Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác 
Dạng: hoặc trong đó 
Phương pháp tự luận thông thường: Đặt hoặc ; . Sau đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1 đã nêu ở trên đến khi xuất hiện giống với nguyên hàm ban đầu thì dừng lại.
Lưu ý đối với dạng toán này có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác – mũ hoặc ngược lại đều được nhưng phải thống nhất theo cùng thứ tự khi phải sử dụng nguyên hàm từng phần của tất cả các lần sử dụng, nếu không sẽ xảy ra trường hợp đi vòng .
Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như trong dạng 1 nhưng đến khi xuất hiện tích của hàng ngang giống với nguyên hàm cần tính ban đầu (không kể dấu và hệ số) thì dừng lại và cách lấy kết quả dựa vào sơ đồ sau
Khi đó 
(Trong đó , với ) . Từ đó chuyển vế rút ra kết quả nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm 
Giải:
Sử dụng bảng
Dựa vào bảng ta có: 
Ví dụ 2: Biết là một nguyên hàm của hàm số và với Khi đó có giá trị là
A.	B. 	C. 	D. 
Giải:
Ta có: 
Tính bằng cách sử dụng bảng
Dựa vào bảng ta có 
 (2)
Thay (2) vào (1) ta được 
.
Kết hợp với giả thiết của bài toán ta có Chọn đáp án A.
Lưu ý: Giả thiết của bài toán cũng chính là với Nói cách khác phương pháp nguyên hàm từng phần theo bảng cũng hoàn toàn sử dụng được trong tích phân từng phần.
2.2.3. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức là hàm số lôgarit
Dạng: hoặc trong đó là đa thức
Phương pháp tự luận thông thường: Đặt hoặc ; . Sau đó sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như trong dạng 1 đã nêu ở trên.
Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn): Ta cũng lập bảng hoàn toàn tương tự như trong dạng 1 nhưng cần lưu ý ở dạng nguyên hàm này khi ta đã ưu tiên đặt hoặc thì khi lấy đạo hàm của u sẽ không thể bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh cột lấy đạo hàm và cột lấy nguyên hàm theo nguyên tắc với , trong đó ta cần chọn là hàm lôgarit hoặc hàm đa thức (nếu không còn hàm lôgarit). Cách lấy kết quả dựa vào bảng sau
Trong đó ; ; ; (tích các cặp số theo hàng ngang ở trong mỗi khung hình chữ nhật nhỏ luôn bằng nhau). Và ưu tiên đưa về các là hàm lôgarit hoặc hàm đa thức (nếu không còn hàm lôgarit) và tiếp tục làm cho tới khi đạo hàm về bằng .
Khi đó: .
Ví dụ 1: Tính 
Giải: Đặt 
Sử dụng bảng 
Dựa vào bảng ta có .
Phân tích: Ở bước chuyển đổi cặp ngoài việc đưa về thì ta cũng có thể đưa về miễn sao ở vị trí càng nhanh chóng đưa về càng tốt (trừ trường hợp đang còn hàm logarit thì u phải ưu tiên là hàm logarit, trường hợp này được đề cập đến trong Ví dụ 3).
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm 
Giải:
Sử dụng bảng
Dựa vào bảng ta có .
Phân tích: Ở đây khi lấy nguyên hàm lần 1 của ta đã sử dụng định lí 1 ở cơ sở lí thuyết với là hằng số mà ta đã linh động sao cho xuất hiện nhằm khi nhân ngang với lượng dễ cho ra kết quả “đẹp” và thuận lợi hơn trong cách giải. Nếu không thêm bớt ngay ở bước đó thì bài giải sẽ dài hơn. Cụ thể
Dựa vào bảng ta có .
Bài toán tổng quát: Tính , với được làm như sau
Dựa vào bảng ta có .
Ví dụ 3: Biết , với . Tổng bằng
A.	.	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Sử dụng bảng
Dựa vào bảng ta có 
.
Kết hợp với giả thiết ta có 
Vậy chọn đáp án B.
Lưu ý: Ở bài toán này cho ta thấy rõ rằng một khi đang có mặt hàm lôgarit thì ta phải để hàm lôgarit ở cột “” và tiếp tục lấy đạo hàm.
Ví dụ 4: (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104 câu 42) Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. 	B. 
C. 	D. 
Giải: 
Từ là một nguyên hàm của hàm số suy ra hay .
Bài toán đưa về tính . Ta có bảng 
Dựa vào bảng ta có:. Do đó chọn đáp án A.
4. Đánh giá tính hiệu quả của đề tài
 Trong năm học 2019 – 2020, để kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài, tôi đã thực nghiệm tại lớp 12A2 và lấy lớp 12A5 làm đối chứng. Với năng lực học của 2 lớp là tương đương nhau. Sau khi ôn tập lí thuyết và phương pháp tính nguyên hàm từng phần cơ bản, với lớp thực nghiệm 12A2, tôi tiến hành hướng dẫn cụ thể từng bước làm bài, cách lập bảng và hệ thống hóa các loại bảng thường sử dụng trong cách tính nguyên hàm từng phần, học sinh hai lớp làm Bài kiểm tra gồm 20 câu trong 45 phút (Phụ lục – trang 22), kết quả làm bài của lớp 12A2 cao hơn lớp đối chứng 12A1 là 1.25 điểm. Riêng đối với học sinh 12A8 (Học lực trung bình – yếu) tôi chỉ ra những ví dụ và bài tập đơn giản (Chủ yếu là dạng 1 và dạng 2; ngoài ra sử dụng nguyên hàm từng phần không quá 2 lần) thì đa số các em làm được và hứng thú học tập hơn nhiều.
Điểm trung bình kiểm tra phần nguyên hàm từng phần
lớp 12A2 (thực nghiệm) và 12A5 (đối chứng)
Lớp
Điểm kiểm tra trung bình 
12A2(44 HS)
7.5
12A5 (38 HS)
6.25
 
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Tóm tắt quá trình nghiên cứu
 Căn cứ vào đề thi THPT quốc gia môn Toán và kết quả bài kiểm tra của học sinh, tôi đã nghiên cứu phương pháp giúp học sinh làm tốt bài toán tính nguyên hàm từng phần. Các tài liệu liên quan đến đề tài được tập hợp và nghiên cứu nhằm đưa ra cơ sở khoa học. Các thông tin về khó khăn học sinh gặp phải khi làm loại nguyên hàm này được thu thập thông qua bảng hỏi và trao đổi với đồng nghiệp. Các dạng bài được liệt kê theo nhóm, kèm theo bài tập để học sinh thực hành và ghi nhớ. Tính hiệu quả của đề tài được đánh giá bằng phương pháp quan sát sự tiến bộ của học sinh, cũng như so sánh kết quả học tập với lớp đối chứng. 	 
2. Ý nghĩa của đề tài
 Đề tài mang lại những lợi ích cho các giáo viên Toán và cho các em học sinh.
2.1. Đối với giáo viên Toán 
 Đề tài đã giúp giáo viên nhìn nhận được những khó khăn học sinh gặp phải khi làm bài tập nguyên hàm từng phần. Bên cạnh đó, giáo viên có thể sử dụng đề tài như một tư liệu trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán cho học sinh. 
2.2. Đối với học sinh
 Các em học sinh được chia sẻ những khó khăn khi làm bài. Hơn nữa, với việc nắm được các bước làm dạng bài nguyên hàm từng phần, ghi nhớ các dạng toán và loại bảng một cách hệ thống và luyện tập các bài tập trắc nghiệm đúng định dạng đề thi THPT quốc gia đi kèm, các em học sinh có thể làm tốt phần nguyên hàm từng phần. Qua việc củng cố một cách hệ thống, các em cũng sẽ nắm chắc hơn các phần đã học để nâng cao điểm số của mình. 
3. Những hạn chế của đề tài
- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.
- Nếu giáo viên chỉ dạy cho HS phương pháp bảng mà không nắm công thức nguyên hàm từng phần thì HS chưa nắm được toàn diện loại kiến thức này. Chính vì thế bản thân tôi kiến nghị giải cả hai phương pháp đối với “nguyên hàm từng phần một lần” còn ưu tiên phương pháp bảng cho những “nguyên hàm từng phần hai lần trở lên”.
- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách quan về trình bày và thời gian thực hiện.
- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết quả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực.
4. Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu
 Đề tài nên được mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng các lớp đối chứng và thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực. Cần có thêm những bài luyện tập tổng hợp khác để học sinh luyện tập. Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể tự học. 
PHỤ LỤC
BÀI KIỂM TRA
Câu 1:	Nguyên hàm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 2:	, khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3:	Biếtvới . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4:	Biết , khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5:	Nguyên hàm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 6:	Biết , với . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7:	Biết , với . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8:	Biết , khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9:	Cho là một nguyên hàm của hàm số ( là hằng số). Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10:	Nguyên hàm của hàm số thỏa mãn là
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 11:	Nguyên hàm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 12:	Biết có một nguyên hàm là với Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13:	Cho là một nguyên hàm của . Tính 
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 14:	Nguyên hàm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 15:	Biết với . Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 16:	Biết . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 17:	Biết với Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 18:	Biết . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19:	Biết với Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 20:	Biết với Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. 
Đáp án:
1.B
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7.D
8.B
9.B
10.B
11.A
12.B
13A
14.D
15.D
16.C
17.B
18.A
19.B
20.B

B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác 
1. Tìm .
A. .	B. .
C. .	D. .
2. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .
C. .	D. .
3. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .
C. .	D. .
4. Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. .	B. .	
C. .	D. .
5. Cho . Tính 
A. .	B. .
C. .	D. .
6. Tính . Chọn kết quả đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
7. Biết với Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
8. Biết với Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
9. Cho hàm số thỏa mãn và . Tất cả các nguyên hàm của là
A. .	B. 	
C. .	D. .
10. Cho biết là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của .
A. .	B. .
C. .	D. 
Đáp án:
1.B
2.A
3.D
4.A
5.D
6.C
7.B
8.C
9.D
10.C
II. Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác
1. Nguyên hàm là
A. .	B. .
C. .	D. .
2. Biết . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
3. Biết , với . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
4. Biết , với . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
5. Nguyên hàm với bằng
A. .	B. .
C. .	D. .
Đáp án:
1.C
2.A
3.A
4.B
5.D
III. Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức là hàm số lôgarit
1. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .
C. .	D. .
2. Họ nguyên hàm của hàm số là:
A. .	B. .	
C. .	D. .
3. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .
C. .	D. .
4. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .
C. .	D. .
5. Biết , với Khi đó tích bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
6. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. 	 B. .
C. 	D. .
7. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Trong đó , là các phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
8. Biết với Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
9. Biết rằng kết quả tích phân với , , là các số nguyên. Khi đó giá trị bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
10. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. .	B. .
C. .	D. 
Đáp án:
1.D
2.C
3.A
4.A
5.D
6.D
7.D
8.C
9.A
10.C
PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN
Đọc bài tập sau và làm những yêu cầu bên dưới
Bài tập 4 SGK trang 101 sách giải tích 12 hiện hành (Ban cơ bản). Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) ;	b) ;
c) ;	d) 
Câu hỏi 1: Em nhận xét như thế nào về bài tập trên?
 Rất dễ Dễ Trung bình Khó	 Rất khó
 Câu hỏi 2: Em hãy nêu những khó khăn em gặp phải khi làm dạng toán tính nguyên hàm từng phần?
 Em đã làm bài tập sau như thế nào và làm trong thời gian bao lâu (theo dõi và ghi rõ .phút)? 
Biết với . Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. 
(Riêng lớp 12aA8 tôi đã thay bởi: Biết với . Khi đó tổng bằng
A. .	B. .	C. .	D. )
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích 12.
2. Đề thi THPT quốc gia môn Toán các năm từ 2016 đến 2019; Đề thi thử các năm. 
3. “Phương pháp tính nguyên hàm từng phần” trên một số website.