Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng kĩ thuật dạy học tích cực phát triển năng lực hợp tác và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác”

m)
2 sin 57, 07sin
BC R R
BAC
  

 02 2 .sin 2.3.sin 80,8 5,92
sin
AC R AC R ABC
ABC
Nhận xét: Qua 3 cách: đo trực tiếp bằng các dụng cụ, dùng phần mềm Geogebra và 
dùng định lí sin ta thấy các kết quả xấp xỉ nhau, có sai số nhưng không đáng kể. Như 
vậy ta thấy rằng định lí sin hoàn toàn phù hợp với các kết quả đo. 
Kết quả thực hiện NV2: 
Khi thực hiện nhiệm vụ xác định bán kính của chiếc đĩa hình tròn bị vỡ, lúc đầu các 
thành viên trong nhóm đã tìm cách dựng lại hình tròn ban đầu của chiếc đĩa nhưng 
không thành công và thay đổi cách giải quyết. Sau thời gian thảo luận, nhóm nhận 
thấy bán kính của chiếc đĩa vỡ cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp một 
tam giác bất kỳ nội tiếp đường tròn đó, và nếu lấy 3 điểm tùy ý trên cung tròn của 
mảnh vỡ thì dễ dàng đo được độ dài ba cạnh của tam giác tạo bởi 3 điểm đó, từ đó 
sẽ tính được bán kính theo công thức của định lí sin trong tam giác hoặc công thức 
diện tích . .
4
a b cS
R
 . 
11. Phụ lục 11: Phiếu đánh giá báo cáo sản phẩm hoạt động trải nghiệm. 
 103 
PHIẾU ĐÁNH GIÁ BÁO CÁO SẢN PHẨM 
Phiếu đánh giá số 1: Đánh giá bài báo cáo sản phẩm (Dành cho giáo viên đánh 
giá sản phẩm các nhóm) 
Tiêu chí Điểm tối 
đa 
Điểm 
Nhóm 1 
Điểm 
Nhóm 2 
Điểm 
Nhóm 3 
Điểm 
Nhóm 
4 
Báo cáo rõ ràng, sản 
phẩm hoạt động đúng 
nguyên lý, đạt yêu cầu 
4 
Sản phẩm thiết kế rõ 
ràng, đẹp, sáng tạo, khả 
thi 
4 
Trình bày báo cáo rõ 
ràng, logic, sinh động 
2 
Tổng điểm 10 
Phiếu đánh giá số 2: Đánh giá sản phẩm giác kế (Dành cho giáo viên đánh giá 
nhóm 1, 2) 
Tiêu chí Điểm tối đa Điểm 
Nhóm 1 
Điểm 
Nhóm 2 
Tạo ra được giác kế 4 
Giác kế có thể sử dụng dễ dàng 2 
Hình thức đẹp, khoa học 2 
Chi phí tiết kiệm 2 
Tổng điểm 10 
 Phiếu đánh giá số 3: Đánh giá kết quả của việc thực hiện kiểm tra định lý sin, 
cosin và ứng dụng giải bài toán thực tế (Dành cho giáo viên đánh giá nhóm 3, 4) 
Tiêu chí Điểm tối đa Nhóm 3 Nhóm 4 
Đo đạc ít sai số 3 
Sử dụng được định lý sin 
(cosin) để kiểm tra độ chính 
xác 
3 
Giải quyết được bài toán 
vận dụng 
3 
Có sự sáng tạo khi giải 
quyết nhiệm vụ 
1 
Tổng điểm 10 
 104 
Bảng kiểm đánh giá các nhóm sau các hoạt động trải nghiệm của các nhóm: 
12. Phụ lục 12: Kết quả khảo sát nội dung 1 và 2 từ google form 
Kết quả nội dung 1: Các giải pháp được đề xuất trong đề tài có mức độ cấp thiết 
như thế nào đối với việc tổ chức dạy chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” SGK 
Toán 10 - KNTT? 
 Khảo sát giáo viên 
 105 
 106 
 Khảo sát học sinh: 
 107 
Nội dung 2: Các giải pháp được đề xuất trong đề tài có mức độ khả thi như thế nào 
đối với việc tổ chức dạy việc tổ chức dạy chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác” 
SGK Toán 10 - KNTT? 
 Khảo sát giáo viên: 
 108 
 109 
 Khảo sát học sinh: 
 110 
 13. Phụ lục 13: Thực nghiệm sư phạm 
13.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm 
Chúng tôi chọn thực nghiệm 3 bài: 
Bài thứ nhất: Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 0180 . 
Bài thứ hai: Hệ thức lượng trong tam giác. 
Bài thứ ba: Ôn tập chương 3. 
 111 
Thực hiện một bài dạy theo hai phương pháp khác nhau: ở lớp thực nghiệm (TN) sẽ 
được học theo giáo án đã thiết kế (có sử dụng các giải pháp đã nêu), còn lớp đối 
chứng (ĐC) thì học theo giáo án thông thường. 
- Về nội dung đánh giá định tính, chúng tôi tiến hành phát phiếu tự đánh giá (có 
hướng dẫn) cho học sinh để các em tiến hành tự đánh giá theo bảng kiểm, bảng hỏi 
trên cơ sở các em tổ chức hoạt động nhóm, thông qua việc giao nhiệm vụ và theo 
dõi tiến trình, mức độ tham gia của các thành viên trong nhóm và của chính bản thân 
các em. 
 - Về nội dung kiểm tra, đánh giá định lượng để kiểm chứng tính khả thi của đề tài, 
chúng tôi tiến hành thực hiện 2 bài kiểm tra thường xuyên dưới hình thức tự luận kết 
hợp trắc nghiệm (tự luận 30%, trắc nghiệm 70%) với nội dung giống nhau của các 
lớp thực nghiệm và đối chứng vào các thời điểm như sau: 
+ Lần kiểm tra thứ nhất: tiến hành kiểm tra ngay sau khi dạy học thực nghiệm. 
+ Lần kiểm tra thứ hai: tiến hành vào thời điểm cuối học kỳ 1 
Bài kiểm tra lần 1: 
Câu 1. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? 
 A. O Osin 0 cos 0 0 . B. O Osin 90 cos 90 1 . 
 C. O Osin180 cos180 1 . D. O O 3 1sin 60 cos 60
2
 . 
Câu 2. Giá trị O Ocos 45 sin 45 bằng bao nhiêu? 
 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . 
Câu 3. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây 
A. tan 45 tan 60  . B. cos45 sin 45  . 
C. cos35 cos10  . D. sin 60 sin80  . 
Câu 4. cos bằng bao nhiêu nếu 1cot
2
 ? 
 A. 1
3
 . B. 5
2
. C. 5
5
 . D. 5
5
 . 
Câu 5. Cho tam giác ABC . Trung tuyến AM có độ dài : 
 A. 2 2 21 2 2
2
b c a . B. 2 2 23 2 2a b c . 
 C. 2 2 22 2b c a . D. 2 2 2b c a . 
 112 
Câu 6. Cho tam giác ABC có hình vẽ như sau: 
Cạnh BC của tam giác được tính bởi công thức: 
A. 2 025 100 2.5.10.sin105BC . B. 2 025 100 2.5.10.cos105BC . 
C. 05.10.sin105BC . D. 05.10.cos105BC . 
Câu 7. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 2 và 1. 
 A. 3 . B. 6
2
. C. 2
2
. D. 3
2
. 
Câu 8. Cho tam giác ABC bất kỳ có ; ;BC a AC b AB c . Công thức nào sau đây 
là nội dung định lí côsin trong tam giác. 
A. 2 2 2 2 cosc a b ab C . B. 2 2 2 cosc a b ab C . 
C. 2 2 2 cosc a b ab C . D. 2 2 2 2 cosc a b ab C . 
Câu 9. Cho tam giác ,ABC I là trung điểm AC . Đẳng thức nào dưới đây sai? 
 A. 2 2 2 2 . .cosAB BC BA BC BA B . B. 
2 2 2
2
2
4
BA BC AC
BI
 . 
 C. sin
sin
BC A
AC B
 . D. . .
4ABC
AB BC CAS
R 
 . 
Câu 10. Tam giác ABC có các cạnh , ,a b c và các góc tương ứng là , ,A B C , bán kính 
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp lần lượt là ,R r và S là diện tích tam giác. Hỏi hệ thức 
nào sau đây sai? 
A. .S p r . B. sin
2
Aa
R
 . 
C. 2 2 2 2 .cosa b c bc A . D. 1 .sin
2
S ab C . 
Câu 11. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? 
 A. cos45 sin135  . B. cos30 sin120  . 
 C. sin 60 cos120  . D. cos45 sin 45  . 
Câu 12. Cho tam giác ABC có 6, 4, 5.BC CA AB Tính độ lớn góc A? 
 A.  060, 2A . B.  030,3A . 
 113 
 C.  0120, 4A . D.  092,02A . 
Câu 13. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 2 
và 1. 
 A. 1 2 3 .
2
 B. 1 2 3 .
2
 C. 2 .
1 2 3 
. D. 1 2 3 .
2
Câu 14. Tam giác ABC có 84S là diện tích tam giác; các cạnh 13; 14; 15a b c . 
Hỏi độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác là cặp số nào? 
A. 65 ;8
2
. B. 65 ; 4
8
. C. 65 ;8
8
. D. 65 ; 4
2
. 
Câu 15. Cho ABC có 60 , 6, 8.B a c  Độ dài cạnh b bằng: 
A. 10 B. 39 C. 52. D. 7 . 
2. Tự luận. 
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và 2AB a . Tính bán kính đường tròn 
nội tiếp tam giác ABC . 
Bài 2. Một nhân viên kiểm lâm đang đi trên đường nghiêng một góc 5 so với đường 
thẳng đứng để hướng về tháp quan sát cao 100feet. Góc độ cao từ chân lên đỉnh tháp 
là 40 . Tính khoảng cách từ nhân viên kiểm lâm đến chân tháp vào thời điểm đó. 
 Bài kiểm tra lần 2. 
Câu 1. Cho là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? 
 A. tan 0 . B. cot 0 . C. sin 0 . D. cos 0 . 
Câu 2. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? 
 A. Osin 180 sin . B. Osin 180 sin . 
 C. Osin 180 cos . D. Osin 180 cos . 
 114 
Câu 3. Cho và  là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, 
đẳng thức nào sai? 
A. cos cos  . B. tan tan  . C. cot cot  . D. sin sin  . 
Câu 4. Biết 1cos
3
 . Giá trị đúng của biểu thức 2 2sin 3cosP là: 
 A. 4
3
. B. 1
3
. C. 10
9
. D. 11
9
. 
Câu 5. Tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là 7BC , 15AC , 12AB . Độ dài 
đường trung tuyến BN bằng 
 A. 161
2
. B. 161
4
. C. 418
2
. D. 611
4
. 
Câu 6. Cho tam giác ABC có hình vẽ như sau: 
Diện tích tam giác được tính bởi công thức: 
A. 05.10.cos105S . B. 01 .5.10.sin105
2
S . 
C. 01 .5.10.cos105
2
S . D. 05.10.sin105S . 
Câu 7. Cho tam giác ABC có 6, 8, 2 13AB AC BC . Số đo góc A là 
 A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . 
Câu 8. Cho tam giác ABC tùy ý, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
, .ABC BC a Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. 2 cos .a R A B. 2 tan .a R A C. sin .a R A D. 
2 sin .a R A 
Câu 9. Cho tam giác ABC tùy ý có , , .AB c AC b BC a Độ dài trung tuyến cm ứng 
với cạnh c của tam giác ABC bằng biểu thức nào sau đây? 
A. 
 2 2 22 2 .
4c
b a cm B. 
 2 2 22 2 .
4c
c a bm 
C. 
2 2 2
2
2
.
4c
b a c
m
 D. 
 2 2 22 2 .
4c
b c am 
 115 
Câu 10. Cho tam giác ABC có ba cạnh BC a , AC b , AB c . Chọn mệnh đề đúng 
trong các mệnh đề sau. 
A. 2 2 2 2 .sina b c bc A . B. 2 2 2 2 .cosa b c bc A . 
C. 2 2 2 2 .sina b c bc A D. 2 2 2 2 .cosa b c bc A . 
Câu 11. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? 
A. 3sin150
2
 . B. 3cos150
2
 . C. 1tan150
3
 .D. cot150 3 . 
Câu 12. Tam giác ABC có , ,AB c BC a CA b . Các cạnh , ,a b c liên hệ với nhau 
bởi đẳng thức 2 2 2 2( ) ( )b b a c a c . Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu độ ? 
A. 090 . B. 030 . C. 045 . D. 060 . 
Câu 13. Cho tam giác ABC bất kỳ có 2a ; 6b ; 3 1c . Tính bán kính R của 
đường tròn ngoại tiếp tam giác 
A. 2 . B. 12 23
23
. C. 2 3
3
. D. 3 . 
Câu 14. Cho tam giác ABC có 9AB , 10BC , 11CA . Gọi M là trung điểm BC và 
N là trung điểm AM . Tính độ dài BN . 
 A. 5 . B. 34 . C. 6 . D. 4 2 . 
Câu 15. Cho tam giác ABC có 060 , 8 , 5 .BAC AC cm AB cm Tính độ dài cạnh BC 
của tam giác .ABC 
A. 49. B. 97. C. 7. D. 61. 
2. TỰ LUẬN. 
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , AC b 
, AB c . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho 
góc 30BAM  . Tính tỉ số MB
MC
. 
Bài 2. Một bác nông dân có mảnh vườn hình 
tứ giác có một góc vuông với kích thước 4 
cạnh là 35 , 45 ,52 , 20m m m m (như hình vẽ). Hãy 
tính diện tích của mảnh vườn đó (làm tròn đến 
hàng phần chục). 
35m
45m
52m
20m
60°
30°
B
A C
M
 116 
13.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm 
- Lớp được chọn thực nghiệm sư phạm trong năm học 2022 – 2023 là học sinh tại 
3 lớp của trường THPT Quỳnh Lưu 1: Lớp 10A01, 10A3, 10D1 với tổng số học sinh 
là 136 học sinh. 
- Lớp đối chứng là 3 lớp: 10A1 (có điểm chuẩn đầu vào lớp 10 bình quân môn Toán 
cao hơn lớp 10A01 là 0,34 điểm); lớp 10A2 (có trình độ tương đương lớp 10A3); 
lớp 10D01(có điểm chuẩn đầu vào bình quân môn Toán cao hơn lớp 10D1 là 0,86 
điểm); tổng số học sinh là 137 học sinh. 
- Về giáo viên giảng dạy: Lựa chọn cùng một giáo viên dạy ở cùng một cặp lớp thực 
nghiệm và đối chứng. 
13.3. Kết quả thực nghiệm 
 13.3.1 Phân tích kết quả của các cặp lớp thực nghiệm 
Lần kiểm tra thứ nhất: 
 Cặp 1 Cặp 2 Cặp 3 
Điểm 
Lớp TN 
10A01 
(SS:46) 
Lớp ĐC 
10A1 
(SS: 46) 
Lớp TN 
10A3 
(SS:44) 
Lớp ĐC 
10A2 
(SS: 46) 
LớpTN 
10D1 
(SS:46) 
Lớp ĐC 
10D01 
(SS:45) 
SL TL% SL TL
% 
SL TL
% 
SL TL
% 
SL TL
% 
SL TL
% 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
3 1 2,3 1 2,3 2 4,6 3 6,1 1 2,3 1 2,3 
4 2 4,3 2 4,3 4 9 6 13,1 4 8,6 4 8,8 
5 2 4,3 3 6,5 5 11,4 6 13,1 6 13,1 5 11,1 
6 2 4,3 3 6,5 6 13,6 7 15,4 8 17,3 5 11,1 
7 5 10,9 5 10,9 14 31,8 12 26,1 11 24 10 22 
8 11 24 10 21,6 10 22,8 9 19,6 9 19,5 12 26,5 
9 15 32,6 15 32,6 2 4,5 3 6,6 5 10,9 5 11,1 
10 7 15,3 7 15,3 1 2,3 0 0 2 4,3 3 6,6 
 117 
Điểm 
TB 
8,1 8,0 7,4 7,1 7,5 7,7 
Lần kiểm tra thứ hai: 
 Cặp 1 Cặp 2 Cặp 3 
Điểm 
Lớp TN 
10A01 
(SS:46) 
Lớp ĐC 
10A1 
(SS: 46) 
Lớp TN 
10A3 
(SS:44) 
Lớp ĐC 
10A2 
(SS: 46) 
LớpTN 
10D1 
(SS:46) 
Lớp ĐC 
10D01 
(SS:45) 
SL TL% SL TL
% 
SL TL% SL TL
% 
SL TL
% 
SL TL
% 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
3 0 0 1 2,2 1 2,2 2 4,3 1 2,2 1 2,2 
4 2 4,3 2 4,3 4 9 6 13 3 6,5 3 6,7 
5 3 6,5 4 8,7 5 11,4 6 13 6 13 5 11,1 
6 2 4,3 3 6,5 7 16 8 17,4 6 13 5 11,1 
7 4 8,7 11 24 8 18,1 13 28,3 9 19,6 13 28,9 
8 13 28,3 8 17,4 14 31,9 8 17,4 13 28,3 10 22,2 
9 16 34,8 10 21,8 3 6,9 3 6,5 6 13 5 11,1 
10 6 13 6 13,1 2 4,5 0 0 2 4,3 3 6,7 
Điểm 
TB 
8,3 8,0 7,5 7,0 7,6 7,6 
 Chúng ta có thể quan sát sự chênh lệch điểm trung bình kiểm tra qua hai lần kiểm 
tra như sau: 
 118 
Dựa vào bảng số liệu thống kê và biểu đồ so sánh ta thấy rằng: 
 + Ở cặp 1 mặc dù điểm bình quân đầu vào của lớp 10A1 cao hơn lớp 10A01 0,34 
điểm nhưng ở lần kiểm tra 1 điểm bình quân của lớp 10A01 cao hơn 0,2 điểm. Mức 
điểm từ 8 đến 9 điểm lớp 10A01 là 56,6% trong khi đó ở lớp 10A1 là 39,2%. Sang 
lần kiểm tra thứ 2 thì lớp 10A01 đã cao hơn 0,3 điểm. Điều này chứng tỏ rằng khi 
được học theo các kĩ thuật dạy học tích cực thì HS được hoạt động, được làm việc 
và được trải nghiệm nhiều hơn nên các em khắc sâu, nhớ được kiến thức lâu hơn so 
với áp dụng phương pháp dạy học truyền thống đồng thời khả năng vận dụng giải 
quyết những bài toán gắn với thực tiễn cũng tốt hơn (mức điểm từ 8 -9 chủ yếu là 
những bài tập ứng dụng thực tiễn). 
+ Ở cặp 2 thì điểm bình quân đầu vào của 2 lớp 10A3, 10A2 là tương đương nhau. 
Nhưng kết quả kiểm tra lần đầu của của lớp thực nghiệm 10A3 lại cao hơn so với 
lớp đối chứng là 0,3 điểm. Đồng thời số học sinh đạt mức điểm từ 8 đến 9 tại lớp 
10A3 là 27,3%, còn ở lớp 10A2 là 26,2%. Ở lần kiểm tra thứ 2 thì tỉ lệ chênh lệch 
giữa 2 lớp là 0,4 điểm, mức điểm từ 8 đến 9 ở lớp 10A3 là 38,8 và ở lớp 10A2 là 
23,9%. Điều này cho thấy khi áp dụng các kĩ thuật dạy học tích cực thì HS sẽ nhớ 
được kiến thức lâu hơn, đồng thời biết vận dụng kiến thức để giải quyết những bài 
tập ở mức vận dụng, vận dụng cao cũng tốt hơn. 
+ Ở cặp 3 là cặp lớp mà có điểm bình quân chênh lệch đầu vào nhiều nhất (0,87 
điểm) nhưng ở lần kiểm tra 1 thì kết quả chênh lệch giữa lớp thực nghiệm và đối 
chứng chỉ còn 0,2 điểm. Sau lần kiểm tra thứ 2 thì lớp đối chứng và lớp thực nghiệm 
bằng nhau. Đây là cặp lớp đối chứng học khối D, mặc dù điểm đầu vào chênh lệch 
khá nhiều nhưng do được dạy theo kĩ thuật mới nên các em ở lớp thực nghiệm có sự 
hào hứng, thích thú hơn trong quá trình học và trước mỗi bài học để thực hiện tốt 
được các nhiệm vụ mà giáo viên giao thì các em phải đọc và tìm hiểu trước bài. Với 
7,4 7,5
8
7,1
7,7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 10 A01 -
10A1
10A3 - 10A2 10D1 -
10D01
Đ
iể
m
 tr
un
g 
bì
nh
8,1 
So sánh điểm TB lần kiểm tra 1
Lớp TN Lớp ĐC
7,5 7,6
8
7,1
7,6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 10 A01 -
10A1
10A3 -
10A2
10D1 -
10D01
Đ
iể
m
 tr
un
g 
bì
nh
8,3
So sánh điểm TB lần kiểm tra 2
Lớp TN Lớp ĐC
 119 
đặc thù là lớp nhiều nữ, các em lại có ý thức học tốt cùng với sự hiệu quả của các kĩ 
thuật dạy học mới giúp các em có được sự tiến bộ vượt bậc nên đã rút ngắn dần sự 
chênh lệch điểm bình quân giữa 2 lớp, ở lần kiểm tra thứ nhất và sang lần kiểm tra 
thứ 2 thì hai lớp đã có điểm bình quân bằng nhau. Còn ở lớp đối chứng (10D01) các 
em có nền tảng kiến thức tốt cùng với sự chăm chỉ nên kết quả của lớp ở lần 1 vẫn 
cao, nhưng do học theo phương pháp truyền thống nên các em không được cọ xát, 
trải nghiệm để tìm ra kiến thức mà chủ yếu là vận dụng kiến thức để giải các dạng 
bài tập do đó sau lần kiểm tra 2 (cách 2 tháng) thì các em đã quên đi một số kiến 
thức khiến kết quả thấp hơn so với lần 1.