Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hằng đẳng thức hướng dẫn học sinh rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

 dụng nó vào việc giải bài tập. 
5.1.2 Các giải pháp thực hiện: 
Bài tập toán chiếm một phần quan trọng trong nội dung chương trình môn toán ở 
trường phổ thông. Thời lượng dành cho luyện tập giải toán chiếm khoảng 50%. Bài tập toán 
rất đa dạng phong phú. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là một trong những phần 
kiến thức trọng tâm của lớp 9. Nó kết hợp với các phương pháp khác tạo nên sự lôgíc chặt 
chẽ của toán học. Nhiều dạng các bài toán hay như: Rút gọn biểu thức, giải phương trình, 
chứng minh đẳng thức, tìm GTLN,GTNN của biểu thức,mà cách giải của nó phải sử dụng 
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai để giải. 
Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành 
giải toán... nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích 
hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là 
phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. 
Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng đẳng thức đã 
học ở lớp 8 ( theo thứ tự ): 
1) Bình phương một tổng: (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 
2) Bình phương một hiệu: (a - b )2 = a2 - 2ab + b2 
3) Hiệu hai bình phương: a2 – b2 = ( a + b ).( a – b ) 
4) Lập phương một tổng: (a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
5) Lập phương một hiệu: (a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
6) Tổng hai lập phương: a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) 
7) Hiệu hai lập phương: a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) 
Biết vận dụng nó để đưa ra một số hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 viết dưới dạng 
có dấu căn: 
2
2
2 2
3 3
33
1) 2
2) 2 1 1
3) .
4) ( ).
5)1 1 (1 ). 1
6) ( )
7) ( 1)
a ab b a b
a a a
a b a b a b a b
a a b b a b a b a ab b
a a a a a a
a b b a ab a b
a a a a
4 
Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa 
căn thức bậc hai. 
Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính: 
A/ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC HIỆN RÚT GỌN BIỂU THỨC SỐ 
CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 
Đối với những bài toán yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậc hai thì không nói gì, 
nhưng có những câu hỏi đưa ra lại có những biểu thức chứa căn chồng căn. Gặp trường hợp 
này đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức trong căn về lũy thừa bậc chẵn (thường 
viết dưới dạng bình phương ) để khai phương. Muốn làm được điều đó, cần phải biết vận 
dụng thành thạo hằng đẳng thức (bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu). Sau 
đây tôi đưa ra một vài ví dụ đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng 
vào bài toán. 
 1.VÍ DỤ: 
Ví dụ 1: Rút gọn: ) 4 2 3 4 2 3a 
Nhận xét: Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức: 4 2 3 dưới dạng 
bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn. Để làm được điều này ta 
làm các bước sau: 
Bước 1: Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2 
 ( bài toán đã cho 2 3 ) 
Bước 2: Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 -> hai số đó là: 3 và 1 
Bước 3: Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2, rồi viết chúng dưới 
dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới 
dấu căn lớn ) 
Chú ý: 
+ Khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trị dương ( số bị 
trừ lớn hơn số trừ ) để khi khai phương, khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt đối. 
Áp dụng các bước trên vào ví dụ, ta có lời giải sau: 
 Giải 
2 2 2 2
2 2
4 2 3 4 2 3 3 2 3.1 1 3 2 3.1 1
3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 2 3
Ví dụ 2: Chứng minh 
5 
) 9 4 5 5 2
) 23 8 7 7 4
a
b
Nhận xét: Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số đều khác 2 
( 4 5 & 8 7 ), vì vậy ta phải biến đổi chúng như sau (dùng phương pháp đưa thừa số vào 
trong dấu căn ): 
Bước 1: 
) 9 4 5 9 2.2 5 9 2. 4.5 9 2. 20
) 23 8 7 23 2.4 7 23 2. 16.7 23 2. 112
a
b
Bước 2: 
a) Tìm hai số biết tổng bằng 9, tích bằng 20 -> hai số đó là: 5 và 4 
b) Tìm hai số biết tổng bằng 23, tích bằng 112 - > hai số đó là: 16 và 7 
Bước 3: Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình phương 
một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn ) 
Giải 
2
2
) 9 4 5 5 5 2 5.4 4 5 5 4 5 5 2 5 2
) 23 8 7 7 16 2 16.7 7 7 16 7 7 4 7 7 4
a VT VP
b VT VP
Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức 
2 3 2 3 6 
Nhận xét: Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số là 1( 3 ) vì 
vậy ta phải biến đổichúng như sau: Nhân cả tử và mẫu cho 2 
Bước 1: 
 2 2 3 2 2 3 4 2 3 4 2 3
2 3 2 3
2 2 2 2
Bước 2: Tìm hai số biết tổng bằng 4, tích bằng 3 -> hai số đó là 3 và 1 
Bước 3: Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng bình phương 
một tổng hoặc một hiệu (Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn) 
 Giải 
2 2
2 2 3 2 2 3 3 2 3.1 1 3 2 3.1 1
2 3 2 3
2 2 2 2
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3
6
2 2 2 2 2 2
VT
VT VP
6 
Ba ví dụ lấy phía trên là ba trường hợp mà chúng ta thường gặp. Tùy theo từng loại bài, ta 
có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhưng cơ bản là biết vận theo ba bước ở trên là ta có 
thể giải quyết được rất nhiều bài dạng như vậy. 
1. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Rút gọn biểu thức 
2
11 6 2 3 2 11 2.3 2 3 2 9 2 9.2 2 3 2
9 2 3 2 3 2 3 2 2 2
Bài 2: Rút gọn biểu thức: 
2
15 6 6 33 12 6 15 2.3 6 33 2.6 6
9 2. 9.6 6 33 2. 36.6 9 6 33 2. 216
2 2 2
3 6 24 2. 24.9 9 3 6 24 9
3 6 24 3 6 2 6 6
Bài 3: Tính 
2 2
7 2 10 7 2 10 5 2 5.2 2 5 2 5.2 2
5 2 5 2 5 2 5 2 2 2
B/ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA BIẾN CÓ 
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 
* Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức số thì bài toán rút gọn biểu thức chứa biến 
có căn thức bậc hai là trọng tâm trong việc biến đổi biểu thức chứa căn. Đối với phần này để 
rút gọn được học sinh phải nắm chắc các hằng đẳng thức học ở lớp 8.Từ đó vận dụng những 
hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 viết dưới dạng có dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn 
bậc hai. 
2
2
2 2
3 3
33
1) 2
2) 2 1 1
3) .
4) ( ).
5)1 1 (1 ). 1
6) ( )
7) ( 1)
a ab b a b
a a a
a b a b a b a b
a a b b a b a b a ab b
a a a a a a
a b b a ab a b
a a a a
1. VÍ DỤ: 
7 
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau: 
2
1 1
1 ( 0; 1)
11
a a a
a a a
aa
Nhận xét đề bài: Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau: 
3
3
2
2
1 1 1 . 1
1 1 1 . 1
a a a a a a
a a a a
tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3; 5 lớp 9. Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái: 
Giải 
2
2
2
1 1
11
1 . 1 1
.
1 1 . 1
1
1 2 .
1
a a a
VT a
aa
a a a a
a
a a a
a a
a
Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt: 
2
1 2 1a a a tương tự hđt số 2 lớp 9. Tiếp tục 
biến đổi ta được kết quả: 
2
2
1
1 . 1
1
VT a VP đpcm
a
Ví dụ 2: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết: 
1 1 1
:
1 2 1
a
M
a a a a a
Với a > 0 và a 1 
Nhận xét: 
2
( 1)
2 1 1
a a a a
a a a
có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9. Áp dụng vào bài toán : 
Giải 
2
1 1 1 1 1 1
: :
1 2 1 11 1
a a
M
a a a a a aa a a
2
2
11 1 1
: .
11 11
1 1
1 1 0
aa a a
M
aa a a aa
a
M Vi a
a a
8 
Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau 
1
) :
a b b a
c a b
ab a b Với a, b > 0; a b 
) 1 . 1 1
1 1
a a a a
d a
a a
 Với a 0 và a 1 
Nhận xét: Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 : 
 1
a b b a ab a b
a a a a
 Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8: 
 Giải 
2 21
) : .
ab a ba b b a
c VT a b a b a b VP
ab a b ab
(đpcm) 
 1 1
) 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1
a a a aa a a a
d VT
a a a a
2
21 . 1 1 1 a a a a VP (đpcm) 
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho biểu thức: 
1 2 2 5
42 2
x x x
P
xx x
với x 0; x 4 
a) Rút gọn P 
b) Tìm x để P = 2 
Nhận xét: Bài toán cho có hằng đẳng thức: 
 4 2 . 2x x x và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P 
 Giải 
9 
1 2 2 5 1 2 2 5
)
4 42 2 2 2
1 2 2 2 2 5
4
2 2 2 4 2 5
4
3 23 6 3
4 2 2 2
3
) 2 2 3 2 2 4 16
2
x x x x x x
a P
x xx x x x
x x x x x
P
x
x x x x x x
P
x
x xx x x
P
x x x x
x
b P x x x x
x
Bài 2: Cho biểu thức: 
1 1 1 2
: ( 0; 4 ; 1)
1 2 1
a a
Q a a a
a a a a
a) Rút gọn Q 
b) Tìm giá trị của a để Q dương 
Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8 
Giải 
1 1 1 2
) :
1 2 1
1 1 1 2 2
:
1 2 1
2 1 21 41 1
: .
3 31 2 1 1
2
) 0 0 3 0( 0) 2 0 2 4
3
a a
a Q
a a a a
a a a a a a
Q
a a a a
a a aa a
Q
aa a a a a a
a
b Q vi a a a a a
a
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và a b ) 
2
2 2
)
2 2 2 2
) 1
a b a b b b
a
b aa b a b a b
a a b b a b
b ab
a ba b
Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi dấu. Áp dụng 
vào bài toán, biến đổi vế trái: 
10 
 Giải 
2 2
2 2
)
2 2 2 2 2( ) 2( )
4 ( 2 ) ( 2 ) 4
2 2
44 4 2
2 2
a b a b b a b a b b
a VT
b a a ba b a b a b a b
a b a b b a ab b a ab b b
a b a b
b a bab b b
VP
a b a b a b a b
2
2
2
2
2
)
1 1
2 . 1
a a b b a b
b VT ab
a ba b
a b a ab b a b
ab
a b a b a b
a ab b a b VP
a b a b
Bài 4: Cho biểu thức: 
2
4a b ab a b b a
A
a b ab
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa 
b) Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a 
Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau: 
2
2
( )
a ab b a b
a b b a ab a b
 Áp dụng vào bài toán ta có lời giải: 
Giải 
2
2
2
4
) : ; 0 ;
4 2 4
)
2
2
a b ab a b b a
A
a b ab
a ÐK a b a b
a b ab ab a ba b b a a ab b ab
b A
a b ab a b ab
a ba ab b
A a b a b
a b a b
A a b a b a b a b b
Biểu thức A không phụ thuộc vào a. 
Bài 5: Cho biểu thức: 
11 
3
3
2 1 1
( 0 ; 1)
1 11
x x x
B x x x
x x xx
a) Rút gọn B 
b) Tìm x để B = 3 
Nhận xét: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau: 
3
3
1 1 1
1 1 1
x x x x
x x x x
 Áp dụng vào bài toán ta có: 
Giải 
3
3
2 1 1
)
1 11
x x x
a B x
x x xx
2 1 (1 )(1 1)
( 1)( 1) 1 1
x x x x
B x
x x x x x x
2 1 1
1
1 1
x x x
B x x x
x x x
2
2 1
1 2
1 1
1
1 1
1 1
) 3 1 3 4 16
x x x
B x x
x x x
x x
B x x
x x x
b B x x x
 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH 
Bài 1: Rút gọn 
4
( ; 0 ; )
a b a b b
a b a b
a ba b a b
Nhận xét: bài toán cho có hằng đẳng thức: 
 a b a b a b . Áp dụng vào bài toán ta có: 
 Giải 
12 
2 2
4
4
22 2 4 2 2
2
a b a b b
a ba b a b
a b a b b
a b a b
a ba ab b a ab b b a b
a ba b a b a b a b
Bài 2: Cho biểu thức 
1 1 1
. 1
1 1
A
aa a
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của A khi a = 1/4 
Nhận xét: Sau khi quy đồng ta có hđt sau: 
 1 1 1a a a . Áp dụng vào bài toán ta có lời giải: 
 Giải 
: 0 ; 1
1 11 1 1 1
) . 1 .
1 1 1 1
1 1 1 2 1 2
.
1 1
1 2 2 2
) : 4
14 1
24
ÐK a a
a a a
a A
a aa a a a
a a a a a
A
a a a a a
b Khi a ta co A
a
Bài 3: Rút gọn biểu thức 
1 1 2
:
11 1
a
K
aa a a a
Nhận xét: Bài toán cho có hđt: 1 1 1a a a . Áp dụng vào bài toán ta có 
Giải 
2
: 0 ; 1
1 1 2 1 1 2
: :
11 1 1 11 1 1
11 1 2 1 1 1
: .
1 11 1 1 1
ÐK a a
a a
K
aa a a a a aa a a a
aa a a a a
K
a a a aa a a a a a
13 
Bài 4: Cho biểu thức: Q= 
4
2
2
1
2
2
 x
x
xx
a/ Rút gọn biểu thức Q. 
b/ Tìm x để Q=
5
6
. 
c/Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q có giá trị nguyên. 
Bài 5: Cho biểu thức: A= 
2
1
:)
1
1
11
2
(
 x
xxx
x
xx
x
a/ Tìm tập xác định của biểu thức A 
b/ Rút gọn biểu thức A 
c/Chứng minh rằng A> 0 với mọi x 1 
d/Tìm x để A đạt GTLN, tìm GTLN đó 
DÙNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI RÚT GỌN 
Bài 101/19 sbt: Tìm điều kiện và rút gọn 
4 4 4 4A x x x x 
Trước tiên ta làm sao cho xuất hiện hệ số ( thừa số ) 2 trước căn nhỏ 
: 4
4 4 4 4 2.2 4 2.2 4
ÐK x
A x x x x x x x x
 Sau khi đưa được hệ số của căn nhỏ là 2, ta còn lại hai thừa số đó là 2 và 4x . Vậy 2 và 
4x là hai số a & b của hđt: ( a + b )2 hoặc ( a - b )2. Vì số còn lại là x và trong dấu căn 
nhỏ là x – 4, nên ta bớt đi 4 để có x – 4 = 
2
4x ta được a2 và thêm vào 4 để có 22 ta 
được b2 thế là ta có một hđt dạng: ( a + b )2 hoặc ( a - b)2 
 Giải 
A x 4 x 4 x 4 x 4 
ĐKXĐ: x ≥ 4 
2 2
A x 4 2 x 4 2 
x 4 2 x 4 2 
+ Nếu x ≥ 8 thì ta có: 
A x 4 2 x 4 2 2 x 4 
+ Nếu 4 x < 8 ta có: 
A x 4 2 2 x 4 4 
5.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
- Áp dụng trong giảng dạy các bài tập về căn bậc hai, căn bậc ba toán 9 cấp THCS 
14 
6. Những thông tin bảo mật nếu có: Không 
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
 - Cơ sở vật chất của nhà trường cần được trang bị đủ ( máy chiếu) 
 - GV: Linh hoạt, sáng tạo khi thực hiện các phương pháp dạy học. 
8. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý 
kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần 
đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: 
8.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo 
ý kiến của tác giả: 
Với việc các em nắm vững kĩ năng rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai với việc đổi 
mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở khối 9, tôi thấy chất lượng môn toán ngày càng 
tiến bộ rõ rệt. Cụ thể là: 
Bảng 1: Kết quả khảo sát chất lượng trước khi thực hiện sáng kiến: 
TSHS Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 
144 13 9% 36 25% 55 38,2% 35 24,3% 5 3,5% 
Bảng 2: Kết qủa khảo sát chất lượng sau khi áp dụng sáng kiến: 
TSHS Giỏi Khá Trung bình Yếu 
144 20 13,9% 55 38,2% 49 34% 20 13,9% 
9. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến 
lần đầu (nếu có): 
Số 
TT 
Tên tổ chức/cá 
nhân 
 Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng 
sáng kiến 
1 Học sinh khối 9 Trường THCS Hương Sơn Rút gọn biểu thức chứa biến có 
căn thức bậc hai môn toán 9 cấp 
THCS 
2 Giáo viên 
Vũ Thị Hảo 
Trường THCS Hương Sơn Rút gọn biểu thức chứa biến có 
căn thức bậc hai môn toán 9 cấp 
THCS 
 Hiệu trưởng 
 (Ký tên, đóng dấu) 
 Tác giả sáng kiến 
 (Ký, ghi rõ họ tên) 
 Hương sơn, ngày 10 tháng12 năm 2023 
15 
 Trần Văn Quảng 
 Vũ Thị Hảo