Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hai hằng đẳng thức (A + B)² = A² + 2AB + B² và (A - B)² = A² - 2AB + B² để giải phương trình vô tỉ

cận, đánh giá và giải quyết các vấn đề của bài toán một cách triệt để chứ không đơn thuần là giải cho xong. Bởi việc tìm ra lời giải của bài toán nhiều khi không phải là khó nhất là những bài toán ở sách giáo khoa. Vì thế, đối với học sinh nhất là học sinh khá giỏi thường mang tâm lý xem nhẹ bài toán ở sách giáo khoa, nhưng thực ra đằng sau mỗi bài toán có bao nhiêu điều hấp dẫn, lý thú. Quá trình này phải bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến phức tạp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh. Như nhà toán học Đề Các đã nói: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giải cho các bài toán khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giải toán của mình. 
 Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập,Nhiệm vụ của người thầy ngoài việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh còn có một nhiêm vụ quan trọng đó là rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy của mình. Nếu người thầy chỉ dừng lại khi giải xong bài toán thì không thể khơi dậy học sinh óc tò mò, tính sáng và sự tìm tòi khám phá những điều lý thú ẩn sau mỗi bài toán, như thế không thể phát triển được năng lực tư duy của học sinh và làm cho tiết học trở nên nhạt nhẽo và nhàm chán.
Nếu sau mỗi bài toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu các kết quả. Từ đó tìm ra được chuỗi bài toán từ dễ đến khó thì không những rèn luyện được năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh mà còn gây hứng thú làm cho giờ học trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức của học sinh có tính hệ thống, được mở rộng và sâu hơn. Trong quá trình giảng dạy ở cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy biện pháp tốt và rất hữu hiệu để bồi dưỡng năng lực tư duy theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào tạo: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, môn học ...”(Trích “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS"- Bộ Giáo dục và Đào tạo ).
Cơ sở thực tiễn.
 Trong chương trình đại số cấp hai,phương trình có dạng như: Phương trình bậc nhất một ẩn số ax + b = 0( a 0).Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số, phương trình bậc hai một ẩn số ax2 +bx+ c =0( a 0)
 Ngoài ra còn các phương trình quy về dạng chính tắc như:
 + Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
 + Phương trình tích dạng : f(x).g(x).h(x)=0
 + Phương trình giải băng cách đặt ẩn phụ
 + Phương trình quy về phương trình bậc hai.
 + Phương trình được đưa về phương trình bậc nhất.
 ..
 Trong chương trình đại số 9,việc tìm nghiệm của một phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn(phương trình vô tỉ) đối với học sinh còn gặp những khó khăn như chưa trình bày được lời giải của một phương trình một cách đầy đủ và chính xác, học sinh thường mắc các sai lầm như: chưa tìm được tập xác định của phương trình (điều kiện có nghĩa của phương trình) đã thực hiện các phép biến đổi phương trình như:bình phương hai vế,lập phương hai vế.Hoặc khi chọn được nghiệm thì kết luận ngay mà không đối chiếu nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm rồi mới kết luận.Học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương một phương trình với hệ điều kiện và trinh bày rời rạc không theo một quy trình(Angoorit )
 Mặt khác ,việc định dạng các phương trình thường gặp trong chương trình cũng như trong các tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh chưa có được cách giải phù hợp với từng dạng đó,chỉ áp dụng máy móc như bình phương liên tục (nhiều lần) các phương trình, làm cho việc trình bày lời giải dài dòng ,thiếu hiệu quả.
 Hơn nữa,do thực tế của chương trình đại số 9,việc giải phương trình vô tỉ cũng chỉ dừng ở những bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không đề cập cho học sinh những dạng phương trình vô tỉ khác sách giáo khoa và bài tập quy định,v ì thế khi dự thi các kì thi học sinh giỏi nhiều học sinh không giải được các phương vô tỉ đòi hỏi vận dụng các kiến thức trong chương trình.
 Để khắc phục tình trạng nói trên,đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9 có được một cách nhìn nhận mới về các phương pháp giải một phương trình vô tỉ trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã được trang bị của cấp học,qua đó giúp các em trau dồi được những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, sáng tạo, linh hoạt trong quá trình giải toán, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi.
3. Các kiến thức liên quan:
Các hằng đẳng thức:
(A + B)2 =A2+ 2AB + B2 
B)2 = A2 - 2AB + B2 
A2 + B2 + C2 =0 
xác định 
Cách tạo bình phương: Ưu tiên cho 2AB trong hằng đẳng thức để xác định A và B
A2 = B2 
Nội Dung
Bắt đầu là bài tập cơ bản sau:
Bài 1( Bài 9 SGK toán 9 trang 11)
Tìm x biết:
a) 
b) 
c) 
d) 
Giải: 
Ở đây ta có những cách giải khác nhau nhưng tôi thấy cách giải sau thường dùng nhất cho dạng bài 1 này:
a) 
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 
Sau đó tiếp theo từ những câu giải thật sự đơn giản đó ta đưa ra cho học sinh các bài toán sau dựa vào bài toán trên.
Bài 2( Bài 25 SGK toán 9 trang 16)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
Đến đây học sinh đã cảm thấy bắt đầu quen thuộc với dạng toán này nên tiếp tục ra bài tập nâng cao lên một tí, ta có thể đưa ra bài toán sau:
(ĐK: x)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
Bài toán sau tương tự bài toán 3, chỉ có điều có hai, ba căn bậc hai học sinh có thể khó nhìn hơn một chút.
Bài 4: Giải phương trình sau:
* Với x(1) 1 –x –x -2 = 3
 -2x =4
 x = -2(TMĐK)
* Với -2<x<1
(1)1- x + x +2 = 3
 3= 3(Đúng). Vậy phương trình có nghiệm là: -2 <x<1
Với x 
x-1 + x +2 =3
 2x = 2
 x=1 (TMĐK)
Vậy phương trình có nghiệm là: .
Bài 5: Giải phương trình: 
(5)
*Với x<-2 thì (5) 3-x-x-2+1-x=x+1
 4x=1
 x=(loại)
*Với -2thì (5) 3-x+x+2+1-x=x+1
 2x=5
 x=(loại)
* Với 1<x<3 thì (5) 3-x+x+2+x-1=x+1
 4=1(vô lý)
*Với x thì (5) x-3+x+2+x-1=x+1
 2x=3
 x=(loại)
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Đến đây ta đưa ra bài toán sau, trước hết muốn làm được bài này thì phải sắp xếp các hạng tử trong dấu căn và phải sử dụng x=()2. Hướng dẫn học sinh cách tạo bình phương luôn ưu tiên hạng tử 2AB.
Bài 6: Giai phương trình: + =1. 
Ở đây hướng dẫn cho học sinh để ý đến hai hạng tử là : -4 và -6
 ( đk : x )
 (6)
* Với 0 ta có
Phương trình (6) 2-
 2
 x =4 (thỏa mãn)
* Với 4<x<9 phương trình 
 1= 1 (đúng)
Vậy phương trình có nghiệm : 4<x<9
* Với x phương trình 
 2
 x =9 (thỏa mãn)
Vậy nghiệm phương trình đã cho là : 4
 Qua bài toán trên ta đưa ra một đề thi sát với các em mà lại vận dụng kiến thức vừa làm ở bài trên để học sinh hứng thú hơn trong việc chiếm lĩnh tri thức đó là bài toán sau:
Bài 7: Giải phương trình :
(7)
(ĐK: x)
(7)
 (*)
*Với -2
(*)
 (đúng)
Vậy phương trình có nghiệm: -2
*Với x>7
(*) 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: -2
Cách 2: Ta thấy: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là -2
Bài 8: Giải phương trình
(ĐK: x) (8)
(8)
 (*)
* Với 
(*) 
*Với x>8
(*) 
 -4 =2 (VN)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 9: Giải phương trình:
 (9)
(ĐK: x)
Ta nhận thấy muốn giải phương trình này, ta đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức, nhưng lại khuyết hệ số 2 của hạng tử 2AB nên ta nhân hai vế của phương trình với .
 (9)
 (*)
*Với 
(*) 
 4 = 4 (đúng)
 Phương trình có nghiệm : 
* Với 7<x
 (*) 
 =6
 =3
 =7 (loại )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : 
Qua các ví dụ trên học sinh có thể nhận thấy ngay cách biến đổi nếu là học sinh khá. Vì vậy tiếp tục tôi đưa ra bài toán sau để học sinh tìm tòi và biến đổi để đưa về dạng trên đã làm. Ta có bài toán sau:
Bài 10: Giải phương trình
 (10)
Với phương trình này học sinh chưa thấy ngay biểu thức trong dấu căn có dạng hằng đẳng thức. Vì vậy ta phải hướng cho học sinh vào hạng tử , vậy thì bình phương của nó là: 2x+3 nên phải dung thủ thuật nào để có 2x+3. Đến đây chắc chắn học sinh sẽ giải được một cách dễ dàng giải được dựa vào các bài tập trên.
Giải: Đk : x-
Khi đó : (10) .
 =x+1
 =x+1
 =x+1
Vậy phương trình có nghiệm là : x=3
Chú ý : Nếu phương trình có dạng thì thông thường ta đưa về dạng .
 Nếu trong phương trình có dạng thì thông thường ta nhân cả hai vế với có thể để làm xuất hiện dạng rồi biến đổi tiếp.
 Sau đó ta có thể đưa ra bài toán ở dạng tham số để học sinh khá giỏi có thể làm nhằm hướng cho các em đến những bài toán mang tình tổng hợp.Ta đư ra bài toán 11.
Bài 11: Giải phương trình
a, Giải phương trình
b, Giải và biện luận phương trình
Giải: 
 (đk:x)
a ,Với a=2 (*) trở thành : .
Nhận thấy : VT dấu xẩy ra khi : 
 Vậy phương trình có nghiệm là : 1
b , Với x>2 (*) trở thành :
 Để (**) là nghiệm của phương trình thì :
 Vậy với a>2 phương trình có nghiệm là : x=
Kết luận: 
a < 2 phương trình vô nghiệm
a =2 phương trình có vô số nghiệm: 11
a >2 phương trình có nghiệm duy nhất x=
7: Giải và biện luận phương trình:
(10)
Đk : 
(10)
Biện luận tương tự bài 11
Bài 13: Giải phương trình:
 (11)
(ĐK: )
(11) 
 Vậy x= 2 - là nghiệm của phương trình
Dựa vào bài toán 13 ta có thể đưa ra bài toán 14 khá hay và mang tính tổng để học sinh làm thì giáo viên có thể định hướng cho các em làm với biểu thức trong cùng trước tức là: 
Bài 14: Giải phương trình:
 (12)
 ĐK: .Khi đó phương trình (12)
 Qua bài này ta thấy rằng có những phương trình qua một số biến đổi thì mới đi đến dạng quen thuộc. Yêu cầu học sinh giải bài sau:
Bài 15: Giải phương trình:
 (13). ĐK: 
 Khi đó phương trình (13) trở thành
Do nên (*) 
Bài 16: Cho phương trình: (16)
a, Tìm x để phương trình có nghĩa
b, Tìm a để phương trình có nghiệm? Tính x theo a.
Giải: 
a , Điều kiện 
b, Với khi đó (16) trở thành: 
 Đặt khi đó phương trình trở thành: 
Ta có: 
*/ thì phương trình vô nghiệm
*/ thì phương trình có nghiệm t
*/ thì phương trình có nghiệm : 
Để t là nghiệm 
 Phương trình có 
Vậy : Nếu thì phương trình có nghiệm
 Nếu thì phương trình vô nghiệm
** Các bài tập tương tự:
 1, Giải phương trình :
 a , 
 b , 
 c , 
 2 ,Tìm m để phương trình có nghiệm
 3 ,Giải phương trình : 
 4 ,Giải hệ phương trình : 
 Ngoài việc sử dụng 2 hằng đẳng thức trên để đưa biểu thức trong dấu căn ra ngoài dấu căn thì ta còn có thể sử dụng nó để đưa phương trình về dạng tổng các biểu thức không âm.
 Từ bất đẳng thức ,ta có thể hướng cho học sinh và đưa ra cho học sinh các phương trình về dạng .Hoặc có thể đưa phương trình về dạng 
 Đầu tiên tôi đưa ra bài toán sau :
 Bài 1: Giải phương trình :
 (1)
 Đk: 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 2: Giải phương trình
 (2) 
Đk 
Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn,vậy là nghiệm của phương trình.
 Bài 3 : Giải phương trình 
 (3).
 Đk : 
 Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn,vậy là nghiệm của phương trình.
 Bài 4 : Giải phương trình 
 (4)
 Đk khi đó (4) trở thành:
 Vậy phương trình có nghiệm là 
 Bài 5 : Giải phương trình.
Với bài này nếu học sinh thấy khó khăn thì có thể hướng học sinh vào hai hạng tử là: và để tạo bình phương tức là: còn 
 .
 Giai: Đk khi đó phương trình trở thành 
 Vậy phương trình có nghiệm là 
 Bài 6 : Giải phương trình : 
 Giai : Đk , khi đó phương trình trở thành
 Giai ta được nghiệm của phương trình là : (*)
 Giai ta được nghiệm của phương trình là : (**)
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là (*) và (**)
 Bài 7 : Giải phương trình :(*)
ĐK: 
Khi đó (*) trở thành:
(
Vậy nghiệm của phương trình là: (3;7;14)
Ngoài ra chúng ta cũng có thể sử dụng bất đẳng thức:
Dấu “=” xảy ra . Để giải phương trình dạng này, ở đây chúng ta cũng ử đã sử dụng đến hằng đẳng thức trên hoặc đánh giá hai vế (cũng có sử dụng hằng đẳng thức trên. Tuy nhiên ở dạng này đòi hỏi học sinh phải thật sự có lối tư duy và cách nhìn nhận bài toán để đánh giá.
Bài 8: Giải phương trình: 
Giải:
VT= 
Dấu “=” xảy ra khi: 
Bài 9: Giải phương trình:
(*)
+
Dấu “=” xảy ra khi x= -1
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
Các bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1/ x2 -2x + 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
7/ 
8/ 
9/ 
 III. KẾT LUẬN
1. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
Sau khi nghiên cứu và áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh đạt được những hiệu quả rất đáng khích lệ :
 - Học sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn,trình bày lời giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn.
Học sinh rất hứng thú về đề tài của tôi, các em đã nắm được hệ thống kiến thức về bất đẳng thức một cách vững chắc.
Các em đã có định hướng suy nghĩ khi tìm tòi sáng tạo cái mới 
Biết cách chuyển một bài toán khó đưa về các bài toán đơn giản để giải và đó chính là “chìa khóa” cho các em làm được rất nhiều bài toán khác.
Cách suy nghĩ, định hướng trong học toán đã có sự thay đổi một cách tích cực.
Các em đã có phương pháp học tập một cách chủ động tích cực sáng tạo.
Tạo được sự hứng thú niềm say mê học toán cho các em
2. NHẬN ĐỊNH VỀ CÁCH ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI: 
 - SKKN được áp dụng cho đối tượng là học sinh khá giỏi ở cấp THCS và có thể cả học sinh THPT
- Có thể được thực hiện trong quá trình dạy thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 THPT
- Khi tiến hành áp dụng đề tài chúng ta nên hướng dẫn học sinh giải bài toán gốc theo nhiều cách nhìn nhận để mở rộng bài toán, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, lật ngược vấn đề, ......
- Từ bài toán gốc sáng tạo ra các bài toán mới theo nhiều hướng khác nhau như quá trình biến đổi tương đương, đổi biến.
- Hướng dẫn cho học sinh cách quy lạ về quen biết biến đổi đưa về dạng hằng đẳng thức
- Các phương trình vô tỉ rất đa dạng và phương pháp nhìn có vẻ khó nhưng thực chất nếu ta biết hướng đi đề tài có thể được áp dụng trong dạy học giải phuong trình vô tỉ nói riêng và cả bộ môn toán nói chung
 3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐỀ XUẤT: 
1. Giáo viên cung cấp kiến thức vững chắc cho học sinh
2. Khi giải các bài toán thường giải theo nhiều cách khác nhau
3. Rèn luyện cho học sinh khi gặp bài toán thì có thói quen nghiên cứu bài chứ không đơn thuần là giải quyết yêu cầu của bài toán.
4. Giúp học sinh biết cách khi gặp một bài toán khó nên tìm cách đưa nó về các bài toán gốc bằng cách biến đổi tương đương hoặc là đổi biến.
Và một lời khuyên như nhà toán học G.Pôlya đã nói “Giải bài toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành. Nhưng xin nhớ rằng: Nếu bạn muốn tập bơi thì hãy mạnh dạn nhảy xuống nước, còn nếu bạn muốn học giỏi toán thì hãy bắt tay vào giải đi”
 Trên đây là một số kinh nghiệm tôi tích lũy được trong quá trình dạy và bồi dưỡng học sinh môn toán đặc biệt là phương trình vô tỉ nhằm khắc sâu cho học sinh hai hằng đẳng thức quan trọng và cách khai căn cũng như mở giá trị tuyệt đối.
 Tuy nhiên cách trình bày đề tài không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các cấp chuyên môn các đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn cũng như trong quá trình giảng dạy được tốt hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!