Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải một số bài toán lớp 10

 làm quen với 
phương pháp này qua ví dụ 1. 
Ví dụ 1: Trong các số m thỏa mãn phương trình:
2 5 6x x m 
có hai nghiệm phân biệt, số nguyên dương lớn nhất thuộc khoảng nào dưới đây: 
A. ( 5;0) B. (1;7) C. (9;15) D. ( 10; 5) 
Hướng dẫn:Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của Parabol 
2 5 6y x x 
và đường thẳng y m 
5 
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: 
49
4
m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
Vậy số nguyên lớn nhất là 12. Chọn C 
Nhận xét: Ở bài toán này ta có thể chuyển vế đưa về phương trình bậc hai rồi dựa vào 
 để tìm ra m. 
Ta sẽ thấy thấy tính hiệu quả cao hơn trong ví dụ sau đây 
Ví dụ 2. Cho phương trình 
2 2 0x x m . 
+ Tìm m để phương trình có nghiệm dương 
A. ( ; 1]m B. ( ;1)m C. ( 1; )m D. [ 1; )m 
+ Có đúng một nghiệm dương 
A. ( ; 1]m B. [0; ) {-1}m  C. ( ;1)m D. [0; )m 
+ Có hai nghiệm dương phân biệt 
A. ( ; 1]m B. ( 1;1)m C. ( 1;0)m D. [ 1; )m 
Hướng dẫn:
2 22 0 2x x m x x m 
Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y m 
với Parabol 2 2y x x 
+ Để phương trình có nghiệm dương thì đường thẳng y m 
cắt đồ thị ít nhất tại một điểm phía bên phải trục tung, dựa vào đồ thị ta thấy 1m thì 
phương trình có nghiệm dương. Chọn D 
y 
x 0 
y 
x 
0 
6 
+ Để phương trình có đúng một nghiệm dương thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị 
hàm số tại đúng một điểm phía bên phải trục tung. Dựa vào đồ thị ta được 0m hoặc 
1m . Chọn B 
+ Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ 
thị hàm số tại hai điểm phân biệt phía bên phải trục tung. Dựa vào đồ thị ta được 
1 0m . Chọn C 
Nhận xét: Chúng ta thường giải bài toán trên bằng cách dựa vào , nhưng khi dựa vào 
đồ thị ta thấy việc này có thể giải các câu trắc nghiệm một cách nhanh chóng hơn khi 
không phải kết hợp nhiều điều kiện. Thực tế ví dụ này là tìm điều kiện để nghiệm thuộc 
(0; ) Ta xét ví dụ sau để thấy phương pháp này hiệu quả hơn so với việc giải thông 
thường khi cho nghiệm rơi vào khoảng bất kì. 
Ví dụ 3. Cho phương trình:
2 6 7 0x x m . Tìm m để phương trình: 
+ Có nghiệm thuộc M= ( ;0) (7; )  
A. ( ; 7]m B. (7; )m C. ( 7; )m D. [ 7; )m 
+ Có đúng một nghiệm thuộc M 
A. ( 7;7]m B. ( 7;0]m C. ( 7; )m D. ( 7;0)m 
+ Có hai nghiệm phân biệt thuộc M 
A. (0; )m B. ( ; 7]m C. (7; )m D. [ 7; )m 
Hướng dẫn: 
Ta viết lại phương trình dưới dạng 
2 6 7x x m 
Khi đó số nghiệm trên tập ( ;0) (7; )A  của phương trình là số giao điểm của 
đường thẳng y m và Parabol (P) 2 6 7y x x 
+ Để phương trình có nghiệm thuộc ( ;0) thì đường thẳng y m phải cắt (P) tại một 
điểm phía bên trái trục tung, dựa vào đồ thị ta được 7m . Để phương trình có nghiệm 
thuộc (7; ) thì thì đường thẳng y m phải cắt (P) tại một điểm phía bên phải đường 
x 
y 
7 
thẳng 7x , dựa vào đồ thị ta được 0m . Kết hợp hai khả năng ta được 7m . Chọn 
C 
+ Để phương trình có đúng một nghiệm thuộc ( ;0) (7; )A  thì 7 0m 
Chọn B 
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc ( ;0) (7; )A  thì 0m 
Chọn A 
Tiếp theo ta sẽ xét một số phương trình quy về phương trình bậc hai: 
Trước tiên ta hãy đưa dâú giá trị tuyệt đối vào phương trình bậc hai 
Ví dụ 4. Tính tổng các giá trị nguyên của m để phương trình 2 2 3x x m có bốn 
nghiệm phân biệt. 
A.5 B.6 C.7 D.8 
Hướng dẫn: 
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 
2 2 3y x x và 
đường thẳng y m 
Trước hết ta vẽ đồ thị hàm số 
2 2 3y x x sau đó suy ra đồ thị hàm số(C)
2 2 3y x x 
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi 
0 4m do đó phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 4m 
Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1,2,3. Tổng các số này là 6, chọn B. 
Nhận xét: Rõ ràng cách dùng đồ thị là thú vị hơn so với việc giải trực tiếp bài toán này 
khi phải chia theo các trường hợp. 
Ta hãy đưa căn thức vào phương trình bậc hai qua ví dụ sau: 
Ví dụ 5. Với [a;b]m thì phương trình sau có nghiệm. Khi đó a b bằng 
22 (2 )(4 ) 2 0(1)x x x x m 
A. -14 B.4 C.-4 D.5
x 
y 
0 
8 
Hướng dẫn: ĐK 2 4x 
Đặt 
2 2 2 2 22 8 ( 1) 9 9
(2 )(4 ) 0 3
0 0 0
x x t x t t
x x t t
t t t
 Ta có 
2 22 8x x t . Khi đó (1) trở thành: 2 22 8 2 8 (2)t t m t t m 
Do đó để (1) có nghiệm 2 4x thì (2) có nghiệm  0;3t 
Xét hàm số 
2( ) 2 8f t t t trên [0;3]ta có đồ thị như sau 
Để phương trình (2) có nghiệm  0;3t thì đường thẳng y m cắt đồ thị tại điểm thuộc 
đồ thị hàm số trên [0;3] 
Dựa vào đồ thị ta được -9 m -5 . Chọn C 
Sau đây ta sẽ xét ví dụ về phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai. 
Ví dụ 5. Cho phương trình ( 1)( 1)( 3)( 5) (1)x x x x m . Tìm m để phương trình 
có 4 nghiệm phân biệt 
A. ( 16;9]m B. ( 16;9)m C. ( 16; )m D. [-16;9]m 
Hướng dẫn: 
2 2( 1)( 1)( 3)( 5) ( 4 5)( 4 3)x x x x m x x x x m 
Đặt 
2 2 24 5 4 4 9 ( 2) 9 9t x x t x x x 
Ta có phương trình:
2 8 (2)t t m Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 
2 nghiệm phân biệt 9t . 
Xét hàm số 
2( ) 8 ( 9)y f t t t t 
x 
y 
9 
Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt 9t thì 
16 9m . Chọn B 
Mở rộng cho phương trình bậc cao có tham số qua ví dụ sau: 
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt 
4 3 2 22 2 2 0x x ax ax a 
A. (0; )m B. ( ;0]m C. ( 1;0)m D. [ 1; )m 
Hướng dẫn: Nhìn vào phương trình có thể thấy vừa là phương trình bậc cao vừa 
có chứa tham số, nên trước hết ta cần tìm cách đưa về phương trình bậc hai. Coi a là ẩn, 
x là tham số, ta có: 
4 3 2 2 2 2 4 32 2 2 0 2( ) 2 0(1)x x ax ax a a x x a x x 
' 2 2 4 3 2( ) ( 2 )x x x x x 
Khi đó (1) có nghiệm 
2 2, 2a x a x x .Do đó số nghiệm của phương trình đã cho là 
số giao điểm của đường thẳng y a và hai parabol 2 2, 2y x y x x 
Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có bốn nghiệm thì 0a .Chọn A. 
Nhận xét: Với hai ví dụ ở trên học sinh có thể cảm thấy không còn “lo ngại” về việc 
phải tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc cao chứa tham số nữa. 
Như vậy là phương pháp này có thể được sử dụng cho nhiều loại phương trình khác 
nhau. Sau đây ta xét một số ví dụ về bất phương trình. 
y 
x 
x 0 
y 
10 
3.2. Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai vào giải bất phương trình 
Phương pháp chung: Tương tự như phần phương trình ta có các bước sau: 
Bước 1: Đưa bất phương trình ban đầu về dạng ( ) ( )( , , )f x g m ( ( )f x là hàm số 
bậc 2 hoặc hàm số có đồ thị suy ra từ hàm bậc hai) 
Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số ( )f x 
Bước 3: Dựa vào đồ thị và căn cứ vào bất phương trình sau khi được biến đổi mà ta xem 
lấy phần parabol nằm phía trên hay phía dưới đường thẳng hay lấy tại điểm tiếp xúc từ 
đó tìm ra các khoảng nghiệm của bất phương trình. 
Ta hãy bắt đầu trong phần này bởi ví dụ 1 
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình 
2x 2 6 0x m có tập nghiệm là 
A.
1
( ; )
6
m B.
1
( ; ]
6
m C. ( 1; )m D. [ 1; )m 
Với bài toán này chúng ta có thể dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để suy ra 
ngay kết quả. Tuy nhiên ta hãy dựa vào đồ thị hàm số 
2 2y x x và tịnh tiến đường 
thẳng y = -6m để nhìn nhận bài toán theo một cách trực quan hơn, mở ra một định 
hướng khác khi giải quyết những bài toán phức tạp hơn bài toán này. 
Hướng dẫn 
2 2x 2 6 0 x 2 6x m x m 
Xét đồ thị hàm số 
2 2y x x và đường thẳng 6y m 
Để bất phương trình có tập nghiệm là thì toàn bộ parabol phải nằm phía trên đường 
thẳng 6y m 
Dựa vào đồ thị ta có 
1
6 1
6
m m thì bất phương trình có tập nghiệm là 
Chọn A 
0 
x 
y 
11 
Ví dụ 2. Cho bất phương trình 
2x 4 3 0x m . 
+Với giá trị nào của m thì bất phương trình vô nghiệm 
A. ( ; 1]m B. (1; )m C. ( 1;0)m D. [ 1; )m 
+Với giá trị nào của m thì bất phương trình có đúng một nghiệm 
A. ( ; 1]m B. 1m C. ( 1;0)m D. 1m 
+Có một giá trị của m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 
2 thì m thuộc khoảng nào dưới đây: 
A. ( ; 1]m B. (1; )m C. ( 1;0)m D. [ 1; )m 
Hướng dẫn: 
2 2x 4 3 0 x 4 3x m x m 
Xét hàm số 
2 4 3y x x và đường thẳng y m 
+ Để bất phương trình vô nghiệm thì đường thẳng y m phải nằm phía dưới Parabol 
2 4 3y x x do đó 1 1m m .Chọn B 
+ Để bất phương trình có đúng một nghiệm thì đường thẳng y m phải cắt Parabol 
2 4 3y x x tại một điểm, do đó 1 1m m . Chọn D 
+Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng2, trước hết ta thấy bất 
phương trình có tập nghiệm là một đoạn thì 1 1m m , ta tịnh tiến đường thẳng 
1y lên trên thì thấy rằng tập nghiệm được mở rộng dần dần, tại vị trí m=0 thì được 
tập nghiệm là ( 3; 1) có độ dài bằng 2, tiếp tục tịnh tiến thấy tập nghiệm mở rộng hơn. 
Vậy chỉ có m = 0 là thỏa mãn.Chọn D 
Chú ý: Như vậy với cách nhìn đồ thị ta có thể cho ra ngay đáp án phần iii mà không cần 
làm tự luận bằng các cách như là tìm m để phương trình 
2 4 3 0x x 
có hai nghiệm thỏa mãn trị tuyệt đối hiệu của chúng bằng 2 hoặc cách khác. 
Ta xét bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau: 
Ví dụ 4. Giá trị nguyên nhỏ nhất của m thuộc khoảng nào dưới đây để bất phương 
trình 
2(4 )(6 ) 2x x x x m đúng [-4;6]x 
0 x 
y 
12 
A. ( 2;20)m B. ( 15;0]m C. ( 21; 1)m D. [16; )m 
Hướng dẫn: ĐK: -4 6x 
Ta có 
2(4 )(6 ) 2 24x x x x . 
Đặt 
2 2 2 2(4 )(6 ) 2 24 2 24x x t t x x x x t 
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành 
2 224 24 (1)t t m t t m 
Mặt khác xét hàm số 
2( ) (4 )(6 ) 2 24, [-4;6]f x x x x x x 
Từ đồ thị ta thấy 0 ( ) 25 0 5f x t 
Bất phương trình đã cho đúng [-4;6]x khi và chỉ khi bất phương trình(1) đúng với 
mọi [0;5]t . 
Xét 
2g(t)= 24, [0;5]t t t 
Dựa vào đồ thị ta thấy để bất phương trình (1) đúng với mọi [0;5]t thì phần parabol 
trên đoạn [0;5] phải nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng y = m. 
Vậy m 6 .Chọn A 
Ví dụ 5. Giá trị lớn nhất của m có dạng 
a
b
(với 
a
b
là phân số tối giản)để bất phương 
trình: x+2 x m có nghiệm. Khi đó a b bằng 
A.4 B.5 C.6 D.7 
Hướng dẫn: x+2 x+2x m x m .Đặt 
2 2x+2 ( 0) 2 2t t x t x t . Bất phương trình trở thành:
2 2t t m . Xét  2( ) 2, 0;f t t t t 
0 
x 
0 
y 
x 
y 
13 
Dựa vào đồ thị ta thấy để bất phương trình trên có nghiệm  0;t thì 
9
4
m Vậy
9
4
a
b
 , do đó 5a b . Chọn B
Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để bất phương trình
24 | 2 |x x m có nghiệm âm 
A.9 B.8 C.5 D.4 
Hướng dẫn: Ta có 
2
2
2
2 4
4 | 2 |
2 4
m x x
x x m
m x x
Vẽ (P):
2 2 4y x x (P’): 2 2 4y x x 
Hai parabol cắt nhau tại 2 điểm A(-2;-4) và B(2;4) 
Từ hệ phương trình ta cần tìm vị trí mà đường thẳng y m vừa nằm trên (P) vừa nằm 
dưới (P’). 
0 
x 
y 
y 
x 
0 
14 
Miền gạch chéo là tập hợp các điểm ( ; )M x y thỏa mãn 
2 22 4 2 4
0
x x y x x
x
 Bất phương trình có nghiệm âm khi đường thẳng 
y m có điểm chung với miền này. 
Do đó 5 4m thì bất phương trình có nghiệm âm. Như vậy có bốn giá trị nguyên 
âm. 
Bài tập tự luyện: 
Câu 1. Tìm m để phương trình: 
2 4 5x x m có hai nghiệm phân biệt 
A. ( ;1]m B. ( ;2]m C. (1; )m D. (1;2)m 
Câu 2. Tìm m để phương trình:
2| 4 5 |x x m có bốn nghiệm phân biệt: 
A. ( ;1]m B. ( ;2]m C. (1; )m D. (0;9)m 
Câu 3. Tìm m để phương trình
2 2 1 0x x m có đúng một nghiệm dương 
A. ( ; 1] {0}m  B. ( ;0]m C. (1; )m D. (1;2)m 
Câu4.Tìm m để
2 6 0x x m có đúng hai nghiệm phân biệt trên ( ;0) (7; )  
A. ( ;2]m B. ( ; 7)m C. (1; )m D. (1;7)m 
Câu 5. Tìm m để phương trình: 
2 22 1 0x x m đúng với mọi [1;2]x 
A. ( ; 1] [1;+ )m  B. ( ;2]m C. (1; )m D. [-1;1)m 
Câu 6. Tìm m để phương trình: 
2 2 1 0x x m có đúng một nghiệm 
A. ( ;0]m B. ( ;2]m C. (1; )m D. 0m 
Câu 7. Tìm m để: ( 1)( 3)( 1)( 5)x x x x m có hai nghiệm phân biệt 
A. ( ;0]m B. ( ;2]m C. [9; ) {-16}m  D. ( 16;9)m 
Câu 8. Tìm m để phương trình: 
2 2 | | 0x x m có bốn nghiệm phân biệt 
A. (0;1)m B. ( ;0]m C. (9; )m D. ( ;9)m 
Câu 9. Tìm m để phương trình: 1 1 2x x m có nghiệm 
A.
9
( ; ]
8
m B. (0;1)m C.
9
( ; )
8
m D.
9
(2; )
4
m 
Đáp án 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
C D A B A D C A A B 
15 
4. Kết quả thực hiện 
Kết quả đạt được Không áp dụng 
biện pháp 
10 A8, sĩ số 33 
Có áp dụng 
Biện pháp 
 10 A5, sĩ số 41 
Có áp dụng 
Biện pháp 10A1, sĩ 
số 40 
Giải được các bài 
tập cơ bản ở mức 
độ nhận biết,thông 
hiểu. 
Có:21 HS 
Có: 22 HS 
 % 
Có: 24 HS 
55% 
Giải được các bài 
toán ở mức độ vận 
dụng thấp 
Có: 3 HS 
8,8% 
Có: 11 HS 
20,6% 
Có: 10 HS 
25 % 
Giải được các câu 
vận dụng cao 
Có: 0 HS 
0 % 
Có: 8 HS 
22,2% 
Có 6 HS: 
15% 
Như vậy việc áp dụng biện pháp đã mang lại hiệu quả cao cho các em học sinh, 
giúp cho các em có thể giải được nhiều bài toán bằng cách sử dụng đồ thị hàm bậc hai, 
thay đổi cách nhìn về các bài toán chứa tham số. 
Với tôi, trong quá trình áp dụng biện pháp tôi nhận thấy rằng việc nghiên cứu nhằm 
phân tích, tìm ra những phương pháp giải phù hợp cho từng dạng bài và từng đối tượng 
học sinh không chỉ giúp học sinh có thể tiếp cận một cách dễ dàng mà còn tạo hứng thú 
cho học sinh trong quá trình học tập, điều này ngày càng trở nên quan trọng hơn vì học 
sinh không phải chỉ là giải được mà còn cần phải giải nhanh và chính xác. Vì thế trong 
quá trình dạy học luôn phải tích cực tìm tòi, nghiên cứu và tìm hiểu thực trạng học sinh 
để việc dạy học đạt kết quả tốt nhất. 
C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 
1. Kết luận 
Biện pháp này tôi đưa ra một số bài toán lớp 10 sử dụng cách giải dựa vào đồ thị 
hàm số, định hướng và cách giải được viết theo ý kiến chủ quan của tôi dựa trên cơ sở 
trình độ nhận thức thực tế của học sinh qua nhiều lớp tôi dạy nhằm nâng cao chất lượng 
cho học sinh. 
Việc phân chia các ví dụ theo từng mảng giúp các em nhìn nhận rõ ràng hơn về 
tập nghiệm, có thể so sánh các ví dụ với nhau, từ đó có thể tự hệ thống được kiến thức 
và hiểu được cách dùng đồ thị như thế nào. 
16 
Mặc dù bài tập là trắc nghiệm nhưng việc thay giá trị vào để thử chỉ được nói đến 
sau khi học sinh đã làm được ra kết quả, vì học sinh lớp 10 cần học kiến thức nền tảng 
để hiểu sâu kiến thức. 
Như vậy đề tài đã góp phần phát triển được tính tích cực, chủ động, sáng tạo, rèn luyện 
được kỹ năng giải toán, và do đó không chỉ giúp các em học tốt mảng kiến thức này mà còn 
chủ động học các phần kiến thức khác, các môn học khác. 
 Ngoài ra biện pháp cũng có thể là một tài liệu tham khảo đối với các thầy cô dạy 
toán trong trường phổ thông. 
2. Đề xuất và khuyến nghị 
Biện pháp: “Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải một số bài toán lớp 10” mà tôi nghiên 
cứu có liên quan chặt chẽ với các kiến thức về phương trình, bất phương trình. Vì vậy 
biện pháp này sẽ được tôi áp dụng tiếp để nghiên cứu các chủ đề tiếp theo.
Bản thân tôi sẽ luôn cố gắng, thường xuyên trau rồi chuyên môn, nghiệp vụ để 
tìm ra phương pháp dạy học phù hợp và hiệu quả. 
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ nhiệt tình đóng góp ý kiến và giúp 
đỡ tôi để tôi hoàn thành biện pháp nâng cao chất lượng giáo dục này. 
Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu 
và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh khỏi những hạn chế. Kính mong sự 
đóng góp của các thầy cô để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. 
 Người viết 
 Nguyễn Văn Diệu