Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng các yếu tố của hàm đạo hàm để giải quyết một số bài toán thường gặp về hàm số

 điểm 0 1x . Chọn D. 
Cách 3: Gọi 1 2 3, , S S S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục 
hoành trên các đoạn      2; 1 , 1;1 , 1;2 . Dựa vào đồ thị hàm số y f x , suy ra: 
1
1
2
0 ' 1 2 1 2 1S f x dx f f f f
1
2
1
0 ' 1 1 1 1 2S f x dx f f f f
2
3
1
0 ' 2 1 1 2 3S f x dx f f f f 
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
1 1 2
1 2 
f f f
f f
. 
Vậy, trên  2;2 hàm số y f x đạt GTLN tại điểm 0 1x . Chọn D. 
Nhận xét: Trong hầu hết các trường hợp nếu có thể sử dụng được thì cách 1 vẫn là cách tối ưu nhất cả 
về phương pháp suy luận và đặc biệt là mặt thời gian làm bài. Tuy nhiên, hạn chế của cách này là đôi khi 
sẽ gặp khó khăn trong việc so sánh các giá trị của hàm y f x tại các điểm đặc biệt, khi đó hai cách 
còn lại sẽ phát huy hiệu quả bất ngờ. 
Ví dụ 2. Giả sử hàm số y f x có đạo hàm là hàm số 
 'y f x ; đồ thị hàm số 'y f x được cho như hình vẽ dưới 
đây và 0 1 2 2 4 3f f f f f . Hỏi trong các giá trị 
 0 , 1 , 4f f f giá trị nào là nhỏ nhất của y f x trên  0;4 ? 
Hướng dẫn giải: 
Trước hết dựa vào đồ thị hàm 'y f x , ta có: 
 Trên khoảng 0;2 hàm số đồng biến 0 2f f và 2 1 *f f 
 Trên khoảng 2;4 hàm số nghịch biến 2 4f f và 2 3 **f f 
Từ * , ** suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên  0;4 chỉ có thể là 0f hoặc 4f . 
Mặt khác từ giả thiết: 
 0 1 2 2 4 3f f f f f 0 4 2 2 1 3f f f f f 
 = 2 1 2 3 0f f f f (do * và ** ) 0 4f f . 
Vậy trên  0;4 thì 4f là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x . 
2.3.2. Cho các yếu tố của hàm đạo hàm y f x , tìm GTLN, GTNN của hàm số dạng 
 y g x f x h x . 
 Phương pháp giải 
Để giải quyết các bài toán dạng này các thao tác thường được sử dụng là: 
 Tính đạo hàm ' ' 'g x f x h x . 
 Dựa vào các yếu tố đã cho của hàm đạo hàm y f x để so sánh f x với 'h x từ đó lập được 
BBT của hàm y g x . 
 Dựa vào BBT của hàm y g x hoặc kết hợp với các giả thiết khác của bài toán để so sánh các giá 
trị hàm số y g x tại các điểm đặc biệt, từ đó suy ra đáp án cần tìm. 
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x liên tục trên . Đồ thị của hàm số y f x 
như hình bên dưới. Đặt 
2
2 1g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng. 
A. 
 3;3
( ) (1).Min g x g
 B. 
 3;3
( ) (1).Max g x g
C. 
 3;3
( ) (3).Max g x g
D. 
 3;3
( ) ( 3).Max g x g
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
 Ta có ( )y g x là hàm số liên tục trên và có ( ) 2 1g x f x x . Để xét dấu ( )g x ta xét 
vị trí tương đối giữa 2 đồ thị ( )y f x và 1y x . 
 Từ đồ thị ta thấy ( )y f x và 1y x có ba điểm chung là 3; 2 , 1;2 , 3;4A B C ; đồng thời 
 ( ) 0 3;1 3;g x x  và ( ) 0 ; 3 1;3g x x  . Trên đoạn  3;3 ta có BBT: 
Từ BBT suy ra 
 3;3
( ) (1).Max g x g
 Chọn B. 
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x liên tục trên . Đồ thị của hàm số 
 y f x như hình bên dưới. Xét hàm số 
 3 2
1 3 3
2020
3 4 2
g x f x x x x . Trong các mệnh đề dưới đây 
(I) 0 1g g (II) 
 
3;1
min 1
x
g x g
(III) g x nghịch biến trên 3; 1 (IV) 
 
 
3;1
max max 3 ; 1
x
g x g g
Số mệnh đề đúng là 
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
 Ta có ( )y g x là hàm số liên tục trên và có 2
3 3
2 2
g x f x x x
 . Để xét dấu ( )g x 
ta xét vị trí tương đối giữa 2 đồ thị ( )y f x và 
2 3 3
2 2
y x x . 
 Từ đồ thị ta thấy, khi 3; 1x thì 2
3 3
2 2
f x x x , khi 1;1x thì 2
3 3
2 2
f x x x . 
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y g x trên đoạn  3;1 
 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
 Vì trên  0;1 hàm số g x đồng biến nên 0 1g g , do đó (I) đúng. 
 Dựa vào BBT dễ thấy 3; 1 hàm g x NB nên
 
3; 1
min 1g x g
 , (II), (III) đúng. 
 Và dễ thấy rằng 
 
 
3;1
max max 3 ; 1g x g g
 do đó (IV), đúng. Chọn D 
2.4. Các yếu tố của hàm đạo hàm và bài toán biện luận nghiệm phương trình, bất phương trình. 
Đây là dạng toán hàm ẩn khá lạ mắt, lần đầu xuất hiện trong đề minh họa năm 2019 của bộ giáo dục 
đào tạo. Nhìn vào đề ra rất nhiều em sẽ bối rối trong việc định hướng phương pháp giải bài toán. Trước 
đó thường xuất hiện các bài toán sử dụng bảng biến thiên của hàm y f x để xét tính đồng biến, 
nghịch biến của hàm số, chưa từng sử dụng bảng biến thiên để biện luận phương trình, bất phương trình. 
Về mặt bản chất, đây là một hướng phát triển mới của người ra đề trong việc ứng dụng phương pháp hàm 
số trong giải phương trình, bất phương trình. Bài toán là sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số 
 y f x để xét sự đơn điệu của hàm số trên một khoảng nào đó, từ đó đưa ra các kết luận về giá trị lớn 
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xác định. 
2.4.1. Sử dụng các yếu tố của hàm y f x để biện luận nghiệm phương trình. 
Ví dụ 1. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn 
3
0;
2
f
 0 3;f 1 0;f 
 2 3f . Hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như sau. Với 
 0;3m số nghiệm thực của phương trình 2 3f x m ( m là tham số 
thực) là 
A. 3 B. 4 C. 6 . D. 5 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Từ đồ thị của hàm số y f x ta có bảng biến thiên sau: 
Đặt 2 3 3t x t . Vì 
3
0;
2
f
 2 3f nên phương trình f t m có 3 nghiệm phân biệt 
1
3
;0 ,
2
t
 2 30;1 , 1;2t t đều (thỏa mãn điều kiện). Suy ra mỗi phương trình 
2 3;it x 
3
;2 ; 1,2,3
2
it i
 đều có 2 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình 2 3f x m có tất cả 6 nghiệm 
phân biệt với 0;3m . Chọn C. 
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
Phương trình ( ) cos 2 0f x x m có nghiệm 2;3ox khi và chỉ khi 
A. 
1 1 1 1
2 3
2 2 2 2
f m f . B. 
1 1
2 3
2 2
f m f . 
C. 
1 1 1 1
2 3
2 2 2 2
f m f . D. 
1 1 1 1
3 2
2 2 2 2
f m f . 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Ta có: 2 cosm f x x . Xét hàm số cos , 2;3 .g x f x x x  
Ta có sing x f x x . 
Do 2;3 1;4 nên từ bảng biến thiên ta thấy 0, 2;3f x x  . 
Mặt khác 2; 3 2 ; 3 sin 0x x x . Vậy 0, 2;3 .g x x  
Bảng biến thiên của hàm số g x . 
Từ bảng biến thiên ta có: 
Vậy 2 2 (3)g m g (2) cos2 2 (3) cos3f m f 
1 1 1 1
2 3
2 2 2 2
f m f . Chọn C 
2.4.2. Sử dụng các yếu tố của hàm y f x để biện luận nghiệm bất phương trình. 
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau 
Bất phương trình exf x m đúng với mọi 1;1x khi và chỉ khi 
A. 1 e.m f B. 
1
1 .
e
m f C. 
1
1 .
e
m f D. 1 e.m f 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Ta có: ( ) e , 1;1 ( ) e , 1;1x xf x m x f x m x   . 
Xét hàm số ( ) ( ) exg x f x , ta có: ( ) ( ) exg x f x . 
Dựa vào bảng biến thiên 'f x ta thấy 1;1x thì ( ) 0f x , e 0x nên : 
( ) ( ) e 0xg x f x , 1;1x . 
Hàm số g x nghịch biến trên 1;1 và liên tục trên  1,1 
Suy ra: 
 
1,1 e
m (a 1
1
1)x xf x e g f
 . Do đó: 
1
( 1)
e
m f . Chọn C. 
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị y f x có bảng biến thiên như sau: 
Bất phương trình 
2xf x e m đúng với mọi 1;1x khi và chỉ khi 
A. 0 1m f . B. 1m f e . C. 0 1m f . D. 1m f e . 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Ta có: 
2 2
, 1;1 , 1;1x xf x e m x f x e m x   . 
Xét hàm số 
2
( ) ( ) exg x f x . Hàm số g x liên tục trên 1;1 . 
Ta có: 
2
( ) ( ) 2 xg x f x xe . Ta thấy 
2
' 0
1;0
2 0x
f x
x
xe
 
2
( ) ( ) 2 0xg x f x xe 
2
' 0
0;1
2 0x
f x
x
xe
 
2
( ) ( ) 2 0xg x f x xe , 
2
( ) 0 ( ) 2 0xg x f x e xx 
Ta có bảng biến thiên : 
Điều kiện để bất phương trình 
2
exf x m đúng với mọi 1;1x khi và chỉ khi 
2
1;1
max xm f x e
 0m g 0 1m f . Chọn C 
Nhận xét: Qua ví dụ này ta thấy hai bài toán gần như tương tự nhau nhưng khi cho ra kết quả lại trái 
ngược, dẫn đến rối loạn trong lập luận của các em học sinh. Câu hỏi lớn nhất được đặt ra là: Khi nào thì 
dùng dấu “ ”? khi nào thì dùng “ ” ? Trả lời được câu hỏi này sẽ giúp học sinh tháo gỡ khó khăn, 
vướng mắc trong loạt toán này, cũng như các bài toán phát triển, biến tướng của nó. Đối với các lớp bài 
toán kiểu trên ta dùng phương pháp hàm số với lưu ý rằng: Xét bất phương trình f x m đúng với mọi 
 ,x a b 
 Trường hợp f x đơn điệu ( f x không đổi dấu ) trên ,a b và hàm f x liên tục trên  ,a b 
thì yêu cầu bài toán trở thành 
 
,
max
a b
f x m . (bản chất là f x đạt giá trị lớn nhất tại điểm 0 ,x a b ). 
 Trường hợp f x đạt giá trị lớn nhất tại điểm 0 ,x a b thì yêu cầu bài toán trở thành
 
,
max
a b
f x m . 
+) , 0, ,
K
f x m x K g x h m x K Min g x h m   
+) , 0, ,
K
f x m x K g x h m x K Max g x h m   
+) , 0f x m có nghiệm trên K , 0 ,f x m g x h m x K  
K
Max g x h m 
+) , 0f x m có nghiệm trên K , 0 ( ) ,f x m g x h m x K  
K
Min g x h m . 
Ví dụ 3. Cho hàm số f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ 
thị như hình vẽ bên dưới. Bất phương trình f x x m ( m là tham số 
thực) có nghiệm đúng với mọi 0;2x khi và chỉ khi 
A. 2 2m f . B. 0m f . 
C. 2 2m f . D. 0m f . 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Ta có , 0;2 , 0;2 *f x x m x m f x x x   . 
Dựa vào đồ thị của y f x ta có 0;2x thì 1f x . 
Xét hàm số g x f x x trên khoảng 0;2 . Ta có: 1 0, 0;2g x f x x  . 
Suy ra hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . Do đó * 0 0m g f . 
Nhận xét: So với đề minh họa thì bài toán trong đề thi thật chỉ khác ở cách cho giả thiết từ bảng biến 
thiên sang cho đồ thị hàm y f x . Nhưng về mặt bản chất bài toán, và phương pháp làm không thay 
đổi. Học sinh dựa vào đồ thị để nhận xét tính đơn điệu của hàm số g x f x x trên khoảng 0;2 rồi 
từ đó đưa ra kết luận của bài toán. 
Tuy nhiên, bài toán sẽ khó khăn hơn nếu giả thiết bài toán cho đồ thị y f x nhưng quá trình làm 
bài lại cần tới tính đơn điệu của hàm số y f u x , y f u x g x . 
2.5. Các yếu tố của hàm đạo hàm và bài toán về đồ thị của hàm số. 
2.5.1. Các yếu tố của hàm đạo hàm và sự tương giao giữa đồ thị của các hàm số. 
Giả sử hàm số y f x có đồ thị là 1C và hàm số y g x có đồ thị là 2C . Khi đó: 
 Số giao điểm của 1C và 2C , bằng số nghiệm của phương trình f x g x . 
 Giả sử phương trình trên có các nghiệm là 1 2, ,...x x thì các giao điểm của 1C và 2C là 
 1 1 1 2 2 2; , ; , ...M x f x M x f x 
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị 
như hình vẽ bên dưới. Biết 0f a , hỏi đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 
nhiều nhất bao nhiêu điểm? 
A. 3 điểm. B. 2 điểm. 
C. 4 điểm. D. Không cắt. 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Từ đồ thị hàm số y f x , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: 
Do 0f a , suy ra y f x cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm. Chọn B. 
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị 
như hình vẽ bên dưới. Phương trình , f x m m có bao nhiêu nghiệm thực. 
A. 5 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. 3
nghiệm. 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Từ đồ thị hàm số y f x , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: 
Suy ra phương trình , f x m m có nhiều nhất 2 nghiệm thực. Chọn B. 
2.5.2. Các yếu tố của hàm đạo hàm và nhận diện đồ thị của các hàm số. 
Một hàm số y f x được nhận dạng thông qua công thức hoặc đồ thị của nó hoặc được xây dựng 
lại từ các yếu tố của hàm đạo hàm y f x . 
Lưu ý: Nếu hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng ;a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại 0x thì 
 0' 0f x . Khi đó hình chiếu của điểm cực trị 0 0,M x f x trên trục hoành trùng với giao điểm của đồ 
thị hàm số y f x với trục hoành. 
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2 , , ,y f x ax bx cx d a b c d . Hàm 
số 'y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số đã cho có thể là hàm số 
nào trong các hàm số dưới đây? 
A. 
3 22 2y x x x . B. 3 2 1y x x . 
C. 
3 22 2y x x x . D. 3 2 2y x x x . 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Ta có 2' 3 2f x ax bx c . Từ hình vẽ, suy ra rằng đồ thị hàm số 
 y f x là một parabol có bề lõm quay xuống dưới và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, đỉnh 
parabol nằm ở góc phần tư thứ 4. 
Do đó 
22
3 0
00
04
0
06
3 04 12
0
12
a
ac
cb
ba
b acb ac
a
Từ đó loại được các đáp án A và B. 
 Với đáp án C ta thấy 2 3 1 0b ac , suy ra loại C. 
 Thay các điều kiện vào đáp án D, ta thấy thỏa mãn. Chọn D. 
Ví dụ 2. Một trong các đồ thị hàm số dưới đây là đồ thị của số y g x liên tục trên , và ' 0 0g , 
 '' 0, 1;2g x x  . Hỏi đó là đồ thị nào? 
Hướng dẫn giải và lựa chọn đáp án: 
Từ giả thiết ' 0 0g , '' 0, 1;2g x x  suy ra ' 0 0g , '' 0 0,g nên hàm số y g x đạt 
cực đại tại điểm 0x , do đó trong 4 đồ thị đã cho trong hình thì đồ thị hình A là đồ thị của hàm 
 y g x . Chọn A. 
PHẦN 3. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM CỦA BIỆN PHÁP. 
3.1. Mục đích thực nghiệm. 
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 
3.2. Nội dung thực nghiệm. 
 Triển khai đề tài: Đưa ra phương pháp giúp học sinh tiếp cận một số bài toán giữa hàm đạo hàm 
và các vấn đề liên quan. 
 Đối tượng áp dụng: Học sinh tại hai lớp 12A5, 12A12 năm học 2022-2023. 
 Thời gian thực hiện: 6 buổi dạy ôn thi THPT quốc gia tại trường (3 buổi đầu không áp dụng đề tài, 
3 buổi sau áp dụng đề tài) 
3.3. Kết quả thực nghiệm. 
Trong năm học 2022 – 2023 tôi được phân công giảng dạy môn Toán tại 2 lớp 12A5, 12A12, cả 2 lớp 
này chất lượng môn toán đều ở mức gần tương đương nhau. Tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm và 
tiến hành kiểm tra để kiểm chứng hiệu quả của đề tài này, kết quả thu được thống kê ở bảng sau: 
Lần 
kiểm tra 
Thực 
nghiệm và 
đối chứng 
Số 
bài 
Kết quả 
Yếu, 
kém (%) 
Trung 
bình (%) 
Khá 
(%) 
Giỏi 
(%) 
1 
TN 75 6 28 44 22 
ĐC 75 15 41 34 10 
2 
TN 75 4 25 43 28 
ĐC 75 14 40 35 11 
Tổng 
hợp 
TN 75 5 26.5 43.5 25 
ĐC 75 14.5 40.5 34.5 10.5 
(Thống kê xếp loại trình độ học sinh qua các lần kiểm tra.) 
Qua bảng cho thấy, tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm TN luôn có tỉ lệ cao hơn nhóm ĐC, đặc biệt là tỉ lệ % 
điểm giỏi. 
PHẦN 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận chung. 
Đề tài đã nêu ra được phương pháp giải, ví dụ về các dạng toán mới trong phần hàm số, phù hợp với kì 
thi THPT quốc gia. Việc có sự định hướng, kiến thức cơ bản giúp học sinh tự tin hơn, thích nghi nhanh 
hơn với phương án thi trắc nghiệm mà bộ GD&ĐT đề ra. 
Việc nghiên cứu, học tập, tìm hiểu sâu hơn về các dạng toán, để thích ứng với kì thì THPT quốc gia là 
vấn đề cần thiết với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên được phân công nhiệm vụ dạy ôn thi THPT quốc 
gia. Tôi đã mạnh dạn tìm hiểu, đưa ra phương pháp, phân dạng bài tập theo tiêu chuẩn, hiểu biết của riêng 
mình, để áp dụng vào ôn tập, giảng dạy cho học sinh khối 12. Hy vọng đề tài sẽ là nguồn tài liệu tham 
khảo cho các giáo viên, các bạn học sinh trong quá trình ôn thi. 
2. Kiến nghị. 
Như vậy, đứng trước một vấn đề mới và khó nếu chúng ta mạnh dạn đầu tư thời gian và sức lực thì ít 
nhiều cũng chuyển được vấn đề mới về vấn đề quen thuộc và làm chủ được kiến thức. 
Trong thực tế giảng dạy hiện nay, với cách tiếp cận đề thi theo định hướng phát triển năng lực học sinh 
thì khai thác sâu một bài toán và thay đổi điều kiện hay là phát triển bài toán dưới một góc độ khác sẽ đem 
lại sự hứng thú cho học sinh. 
Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thông qua một số tài liệu 
tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết. Vậy, rất mong được Hội đồng góp ý để 
kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn !