Sáng kiến kinh nghiệm Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bài toán khó

có rất nhiều bài toán tưởng như hạn chế về cách giải thì lại có nhiều cách giải hay và độc đáo. Để làm được điều này học sinh cần được trang bị một hành trang kiến thức đầy đủ, vững chắc cùng với sự say mê sáng tạo trong giải toán thì mới đem lại hiệu quả cao. Sự say mê trong tìm tòi, sáng tạo trong tư duy và sự nhẫn nại trong giải toán là đức tính cần thiết để người học không ngừng khám phá được cái hay, cái đẹp của toán học.
3.Cơ sở thực tiễn 
Trong giải toán nếu GV chỉ hướng dẫn học sinh cách giải toán với bài mẫu có sẵn thì việc học toán rất khô khan, người học dễ nhàm chán, sự sáng tạo của người học bị hạn chế. Vì thế trước một bài toán giáo viên không nên giới hạn sự suy nghĩ của học sinh mà cần kích thích tính tìm tòi, dự đoán và chú trọng nhiều đến các hướng suy nghĩ khác nhau của học sinh, trên cơ sở đó phân tích định hướng để có thể tìm ra nhiều cách giải độc đáo. Như vậy học sinh không bị gò bó mà tích cực chủ động trong suy nghĩ, tự do sáng tạo, từ đó mới có thể “phát minh” nhiều mới lạ. Đây là cơ sở để tạo nên đề tài mà qua nhiều năm giảng dạy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi chúng tôi đã đúc rút được.
4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trước khi chưa áp dụng đề tài này vào giảng dạy thì số học sinh có tính tích cực sáng tạo trong giải toán còn hạn chế. Phân tích nguyên nhân chúng tôi thấy rằng:
- Do học sinh còn phụ thuộc nhiều vào lời giải có sẵn trong sách, tài liệu.
- Do chưa có thói quen tìm cách giải khác khi đã có một cách giải để tìm ra cái hay của những cách giải đó.
- Chưa được trang bị đầy đủ cách phân tích đa chiều một bài toán, mà từ đó học sinh có định hướng đúng, nhằm tìm ra nhiều cách giải hay khác nhau. 
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, tôi thấy học sinh đã có sự say mê học toán, hăng say sáng tạo nhiều hơn. Chính vì vậy những năm học gần đây chất lượng học sinh giỏi huyện môn toán được cải thiện rỏ rệt, với những kết quả đó kết quả đó đối với trường chúng tôi xem như cũng đã thành công ngay bước đầu, bởi trường chúng tôi thuộc xã có nền kinh tế còn nhiều khó khăn nên việc đầu tư cho học tập rất hạn chế. 
5. Phạm vi và đối tượng áp dụng đề tài:
Toán nâng cao lớp 8 và 9 gồm cả hình và đại số, đề toán thường gặp nhiều trong các kì thi, có thể dùng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào các trường chuyên THPT.
NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Đề tài được sắp xếp đại số trước, hình học sau. Các cách giải theo sự tiến triển của logic kiến thức, cách giải sau ngắn gọn và sáng tạo hơn cách giải trước. Mỗi bài toán đều có lời bình, đó chính là định hướng cách phân tích để tìm ra các cách giải khác nhau cho một bài toán. Sau đây tôi xin được trình bày phần nội dung của đề tài:
“Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bài toán khó”
Phần 1: Đại số.
Bài toán 1: Cho x , y thỏa mãn x > y và x.y= 1 . 
Chứng minh rằng: (1)
Cách 1 : Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức 
Vì x.y = 1 2- 2xy= 0. Từ x > y thì (1) 
Ta có (2) luôn đúng . Vậy (1) được chứng minh.
Cách 2 : Biến đổi tương đương và dùng hằng đẳng thức
Từ (1) . Vì 2 vế đều dương với x > y.
Bình phương 2 vế ta được: 
Ta có ( 3 ) luôn đúng . Vậy (1) được c/m.
Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si .
Ta có: 
 (vì x.y = 1 và x > y)
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương, ta có:
 Vậy, với x > y và x.y = 1 
Cách 4 : Đổi biến và sử dụng bất đẳng thức Cô-Si .
Đặt x – y = t >0, (vì x > y ), ( vì x.y = 1 )
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương, ta có: 
 Vậy với x > y và x.y = 1 
Phân tích các cách giải bài toán 1:
Cách 1 và 2 : Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đưa 2 về bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Cách này khá đơn giản và phù hợp với đại trà học sinh.
Cách 3 và 4 : Sử dụng kiến thức bất đẳng thức Cô-Si và cách giải khá ngắn gọn ,đối với học sinh giỏi.
Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với x,y >0 thỏa mãn x.y = 1.
Chú ý : điểm rơi x = y = 1
Sai lầm thường gặp :
 Vậy Min A = 
Phân tích sai lầm :
 Vận dụng BĐT Cô- Si liên tiếp 2 lần song chưa chú ý đến tính đồng thời của dấu bằng. 
Ở đây điểm rơi của dấu bằng xảy ra là thì x,y không cùng được thỏa mãn điều kiện đó.
Từ đó ta có các cách giải sau:
Cách 1 : Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x và y ta có :
Ta có : vì x.y =1
Đặt x + y = t thì 
A = 
 , (vì và t+1> 0)
Cách 2: Ta biến đổi 
A
Dấu “ = “ xảy ra khi 
Vậy Min A = 8 khi x = y = 1
	Cách 3: Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương và ta có :
Ta có : vì x.y =1
Vậy Min A = 8 khi x = y = 1
Nhận xét : bài toán cho với vai trò x và y như nhau nên ta cần chú ý điểm rơi x = y = 1 .Từ đó ta có nhiều cách biến đổi để áp dụng BĐT Côsi kết hợp x.y=1.
Phân tích các cách giải bài toán: 
Cách 1 và 2 :Sử dụng phương pháp biến đổi thông thường .Chú ý điểm rơi để từ đó tách thành các nhóm phù hợp nhằm sự dụng BĐT Côsi .Tuy nhiên hai cách giải trên chư a thật tối ưu.
Cách 3: Cũng là tạo nhóm thích hợp và sử dụng BĐT Côsi ngắn gọn và hợp lý hơn.Chính vì thế khi dạy GV cần định hướng cho học sinh theo cách này.
Bài 3. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: .
* Chú ý: với dự đoán điểm rơi ; 
Với a, b,c >0 .Để chứng minh : 
Ta có các cách giải sau :
Cách 1: Phép biến đổi tương đương và sử dụng BĐT Cô-si
Ta có : 
Ta chứng minh (*) như sau : Áp dụng BĐT Cô-si.Ta có:
Vậy (*) được chứng minh.
Cách 2: sử dụng phép biến đổi tương đương.
Ta có : a + b 
 đúng với mọi a,b dương.
Vậy, BĐT được chứng minh.
Cách 3:Áp dụng BĐT Cô- si và giả thiết a, b, c >0; a + b + c = 1
Ta có : 
Vậy : a+b 16.abc.
Phân tích các cách giải bài toán:
Cách 1: Đưa bài toán về còn hai biến a,b .Sử dụng phép biến đổi tương đương đư về BĐT mới và áp dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT mới đúng với mọi giá trị dương của biến a,b.
Cách 2 và 3: Cả hai cách đều ngắn gọn và phù hợp với mức độ khả năng tư duy của HS .Xong sẽ hay hơn khi ta định hướng cho HS giải cách 3.
Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể biến đổi được dễ dàng như thế. Có những bài toán khi đã xác định được điểm rơi thì việc biến đổi nó cũng đòi hỏi sự dày công nghiên cứu. Sau đây là một bài toán tương đối khó nhưng lại có nhiều cách giải hay và độc đáo hơn nữa ! 
Bài 4. cho x , y , z > 0 thoả mãn . Tìm GTNN của biểu thức 
Các em sẽ giải bài này thế nào?
Ta chú ý điểm rơi x = y = z = 
Cách 1: Vì x , y , z >0 và 
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương. Ta có :
 (Dấu “=” xảy ra )
 (vì x>0)
 (1)
Tương tự: (2) và (3)
Từ (1),(2),(3) 
Dấu “=” xảy ra .Vậy Pmin=
Cách 2 : Từ giả thiết 
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương .Ta có:
 (1) ( nhân 2 vế với số dương )
Tương tự (2) và (3)
Từ (1),(2),(3) 
Nhận xét: với giả thiết và chú ý điểm rơi ta nghĩ đến phải chăng cần biến đổi biểu thức P về dạng , từ đó mà ta cócác cách sáng tạo ra bộ ba số duỏngòi áp dụng BĐT Côsi để nhằm sử dụng giả thiết cũng như tính đồng thời xảy ra dấu “=” của x,y.
Khi dạy giáo viên cần định hướng cho học sinh thấy dượcđiều này.
Chú ý: Bài toán nhiều khi còn cho dưới dạng khác như:
Cho x , y , z > 0 thoả mãn . Chứng minh rằng:
Không ngừng sáng tạo ,các bạn hãy thử sức với bài toán cao hơn sau !
Bài 5: Cho x , y , z > 0 thoả mãn . Chứng minh rằng:
(Hoặc tìm GTNN của biểu thức A )
Để giải bài toán này ta cần chú ý đến BĐT thức phụ sau:
 (*)
Dấu “=” xảy ra khi 
Đồng thời chú ý điểm rơi của bài toán này là 
Cách1: Sử dụng BĐT 
Từ x + y + z
Đặt và 
Ta có : 
Ta biến đổi : 
(vì ab = 81 và ),Vậy 
Khi đó áp dụng BĐT (*) ta có :
Vậy .Dấu “=” xảy ra khi 
Cách giải trên chúng ta đã gặp nhiều trong tài liệu.Song cách biến đổi trên còn khá phức tạp.Các bạn có thể tìm thấy sự sáng tạo trong cách giải sau:
Cách 2: Sử dụng BĐT Côsi cho 17 số dương ,ta có :
Ta xét : 
(Chú ý điểm rơi 
Tương tự : và 
Do đó : 
Do 
Thay vào A ta được: 
Dấu “=” xảy ra khi 
Tuy nhiên với cách giải trên ta thấy chưa thật bằng lòng và sẽ không ngừng sáng tạo ,sáng tạo nữa ta sẽ có cách ngắn gọn và hay hơn sau.
Cách 3: Đặt , với .
Vì 
Khi đó áp dụng BĐT (*) ta có: 
Ta cần chứng minh: , (t>0)
Ta xét hiệu : 
Vì 
Do đó : 
Phân tích các cách giải:
Cách 1: Tách tổng a + b thành các nhóm nhằm sử dụng được tích ab= 81 và và tính đồng thời xảy ra dấu bằng của x, y, z .
Cách 2: Chỉ sử dụng BĐT Côsi nên phù hợp với đại trà học sinh song sử dụng với nhiều số hạng nên bậc của căn là quá lớn ,việc này đòi hỏi quá trình biến đổi học sinh phải cận thận .
Cách 3: Đây là cách khá sáng tạo ,lời giải phù hợp với chuẩn kiến thức nên học sinh rất dễ hiểu.Khi dạy GV cần định hướng cho học sinh cách giải này.
Nhận xét: Mặc dù ta dự đoán được điểm rơi song mỗi cách giải là một sự sáng tạo, hướng giải khác nhau và thật độc đáo. Chính vì thế toán học là sự khám phá không ngừng, người học toán phát triển tư duy qua giải toán.
Phần 2: Hình học
Bài toán 1: cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E. Chứng minh rằng: ABC cân.
Đây là một bài toán khá là khó, song nếu ta biết vẽ thêm yếu tố phụ thích hợp thì việc chứng minh sẽ đơn giản hơn. Sau đây tôi xin giới thiệu năm cách giải hay và phù hợp với chuẩn KT-KN.
Cách 1: Sử dụng kiến thức hình bình hành .
Gọi F = DC (O); H = BC AF. 
Lấy I là trung điểm của BD, K=EHBI.
Xét ADC có hai đường cao BC và AF cắt nhau tại H.
H là trực tâm của ADC 
DH AC
DH//AE (vì cùng AC) 
Mà ED//AH ( vì cùng DC)
 EDHA là hình bình hành 
K là trung điểm của AD và EH
Nên EK= KH (1) và AK = KD
Từ AK = KD ; AB = ID 
AK – AB= KD – ID
Hay BK = KI (2)

Từ (1) và (2) K là trung điểm của đoạn EH và BI 
EIHB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết ) 
BH//EI,vì BH AD nên EI AD hay EI BD 
Xét EBD có EI là đường trung tuyến vừa là đường cao nên EBD cân tại E. 
Cách 2: Sử dụng tính chất hình thang và đường kính vuông góc với dây cung .
Vẽ EIAD (IAD) ; vì B(O) nên 
Ta có: 
A,D thuộc đường tròn đường kính EC hay A, D, C, E thuộc đường tròn tâm K là trung điểm của EC.
Vẽ KM AD, (M AD)
Trong đường tròn (K) có dây AD, MK AD
MA = MD (1)
Mặt khác EI //BC ( vì cùng AD)
Nên EICB là hình thang.
Ta có KE = KC; KM BI
MI = MB (2)
Từ (1) và (2) AB = DI
mà AD = 3AB BI = ID
I là trung điểm của BD.

Xét EBD có EI là đường cao vừa là đường trung tuyến nên EBD cân tại E.
Cách 3: sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Gọi P = BCDE; M = AEPC
Gọi N là trung điểm của BD; K là trung điểm của BNK là trung điểm của AD (1)
Áp dụng hệ thức lượng vào MAC vuông ở A và PAC vuông ở D. Ta có: và 
 vì nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra : MK // DP 
Xét ADE có MK//DE ; AK = KD MA = MEMB là đường trung bình của AENMB // EN mà MBAD ENAD
Xét EBD có EN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên EBD cân tại E.
Cách 4: sử dụng tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp .
Lấy I là trung điểm của BD DI=IB=BA. 
Ta có : 
A, D thuộc đường tròn đường kính EC hay AEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính EC.
 (vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC )
 (g.g)
Do đó : (*)
Xét có CB là đường cao vừa là đường trung tuyến CI=CA và =.

Mà BD = DI + IB = AB + IB= IA
Thay vào (*) ta được: (1)
Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) = = (2)
Từ (1) và (2) suy ra : (c.g.c)EIBD
Xét EBD có EI là đường trung tuyến vừa là đường cao nên EBD cân tại E.
 	Cách 5: chỉ sử dụng phương pháp tam giác đồng dạng.
Vẽ EIAD, B thuộc đường tròn (O) đường kính AC
Xét IDE và BCD có : , (cùng phụ với )
 (g.g) (1)
Tương tự : (g.g) (2)
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có :


Mà (gt) AB = BI = IDI là trung điểm của BD
Xét EBD có EI là đường cao vừa là đường trung tuyến nên EBD cân tại E.
Bình luận:
Từ giả thiết cho AD = 3AB AD = 2BD và c/m EBD cân gợi ý cho ta chia đoạn thẳng BD thành hai phần bằng nhau nên ta cần vẽ thêm đường phụ là đường cao EI của tam giác, cần chứng minh EI là đường trung tuyến hoặc ngược lại. Từ dó mà ta có các cách chứng minh trên. Các bạn còn có cách khác hay nữa không ?
Phân tích các cách giải :
Cách 1: Chỉ sử dụng kiến thức là tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình bình hành .Cách này phù hợp với học sinh lớp 8.
Cách 2 ; 3 và 4: kiến thức phù hợp với học sinh sau khi học chương trình lớp 9.
Cách 5: Cách này ngắn gọn nhất về lời giải cũng như hình vẽ( chỉ vẽ thêm 1 đường phụ là đoạn IE),kiến thức khá đơn giản và phương pháp thường gặp trong ứng dụng sự đồng dạng của hai tam giác để c/m trung điểm của đoạn thẳng .Cách này phù hợp và hay nhất trong các cách giải trên.Vì vậy trong khi dạy GV nên định hướng cho HS giải theo cách này .
Bài toán 2: 
Cho hình chữ nhật ABCD , AB= 2AD . Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD tại F . Chứng minh: 
Đây là một bài toán quen thuộc thường gặp nhiều trong các đề thi của các kỳ thi song cách giải thường gặp chưa thật sự phong phú . Sau đây chúng tôi xin xin được giới thiệu 4 cách giải hay:
Cách 1: sử dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông .
Kẻ AK AE ( K DC). Áp dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong KAF vuông ở A.
Ta có : 

mà (*)
Ta lại có : (cùng phụ với ) 
KAD = EAB
Thay vào (*) ta có : 
Nhận xét : từ điều phải chứng minh: và AB = 2AD gợi ý cho ta sử dụng đến hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông.Do vậy ta cần tạo ra tam giác vuông có AD là đường cao bằng cách vẽ hình phụ trên.
Nếu không vẽ hình phụ , ta còn có các cách sau.
Cách 2: Sử dụng định lý Talet và định lý Pytago trong tam giác vuông.
Vì EC // AB 
 (1)
 
Vì CF//AB 
 (2)
Từ (1) và (2) ta có : 
Chia hai vế cho ta được : 
Cách 3 : Sử dụng phương pháp tam giác đồng dạng
Ta có : ; 
 (g.g)
 (1)	
Mà (2)
 
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta có : 
 ( áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ADF)
Chia hai vế cho ta được : 
Cách 4: Sử dụng hàm số lượng giác ta có cách thật độc đáo:


Mà (đồng vị ); (đối đỉnh) 
Chia hai vế cho ta được : 
Nhận xét:Nếu đi từ điều phải chứng minh 
 , gợi ý cho ta sử dụng đến hàm lượng giác . Từ đó ta có cách giải độc đáo trên.
Phân tích cách giải :
Cách 1: Sử dụng kiến thức là hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông nên phù hợp với học sinh lớp 9.
Cách 2 và 3 : Sử dung kiến thức tam giác đồng dạng và định lý pytago trong tam giác vuông , sáng tạo của các cách này là biết vận dụng linh hoạt hai kiến 
thức trên vào giải toán. Cách này phù hợp với nhiều đối tượng nhất là học sinh lớp 8.
Cách 4: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và hệ thức . Cách này phù hợp với học sinh khá giỏi.
III. KẾT LUẬN.
- Đề tài là tâm huyết của bản thân trong quá trình tự học, tự bồi dưỡng và được trải nghiệm trong quá trình nhiều năm bồi dưỡng HSG lớp 8,9.
- Đề tài còn là sự dày công nghiên cứu , tìm tòi đa dạng cách giải hay từ những bài toán khó, song quá trình viết không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự góp ý chân thành các cấp thẩm định và bạn bè đồng nghiệp để đề tài ngày một hoàn thiện hơn và phát huy tác dụng nhằm đưa lại hiệu quả cao trong công tác dạy học.
 Người thực hiện dề tài :
 Nguyễn Hồng Quân