Sáng kiến kinh nghiệm Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học

ực, tự giác khi tham gia các hoạt động 
II. Thiết bị dạy học và học liệu 
Tivi, laptop, máy tính cầm tay, phần mềm và các tài liệu tham khảo liên quan 
đến bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
III. Tiến trình dạy học 
1. HĐ1: Hệ thống hóa kiến thức về bài toán góc giữa đường thẳng và mặt 
phẳng 
a) Mục tiêu: Học sinh được hệ thống lại kiến thức và hiểu được các bước tính góc 
b) Nội dung: Giao các nhóm thực hiện theo các câu hỏi H1, H2 trước khi đến lớp. 
Phân công nhóm 1, 3 thực hiện câu hỏi H1, nhóm 2, 4 thực hiện câu hỏi H2. Có 
thể vẽ trên các bảng phụ hoặc dùng các phần mềm vẽ hình như geogebra hoặc 
GSP hoặc Powerpoint để thực hiện. 
H1: Hãy xây dựng quy trình tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng hình vẽ? 
H2: Cho hệ thống mô hình hình học như sau: 
Hãy biểu thị hình vẽ tương ứng các mô hình trong hệ thống. 
c. Tổ chức thực hiện: Học sinh thực hiện theo các nhóm 
HOẠT ĐỘNG CỦA HS HOẠT ĐỘNG CỦA GV 
47 
HS thực hiện nhiệm vụ: 
- Các nhóm HS thực hiện nhiệm vụ học 
tập thảo luận, phân công nhiệm vụ, thực 
hiện nhiệm vụ ở nhà trước khi đến lớp. 
- Các nhóm báo treo bảng hoặc trình 
chiếu và báo cáo sản phẩm của mình. 
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung 
để hoàn thiện các sản phẩm 
- GV yêu cầu HS thực hiện các nhiệm 
vụ học tập từ tiết trước. 
- GV HD hỗ trợ HS nếu cần 
- GV nhận xét sản phẩm học tập của học 
sinh, củng cố kiến thức, kĩ năng (Kết 
luận, khẳng định) 
2. HĐ2: Thực hành tính góc trên các mô hình 
a) Mục tiêu: Học sinh tính được góc trên các mô hình hình học đã nghiên cứu 
b) Nội dung: 
HĐ2.1: Giáo viên tổ chức một trò chơi trả lời nhanh cho 2 đội, mỗi ý là 1 điểm, đối 
nào nhiều điểm hơn là đội chiến thắng. 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 
Câu hỏi 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên 
AB vuông góc với mặt phẳng ( )BCD . Đáy 
BCD là tam giác vuông tại C 
a) Góc giữa cạnh AB và mặt phẳng ( )BCD 
bằng 
A. 030 B. 060 
C. 090 D. 0120 
b) Góc giữa cạnh AC và ( )BCD là 
A. ACB B. ADB C. ACD D. CAB 
c) Góc giữa cạnh AD và mặt phẳng ( )ABC là 
A. ADC B. CAD C. BAD D. ADB 
Câu hỏi 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy 
ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bên SA 
vuông góc với mặt đáy. 
a) Góc giữa cạnh SA và ( )ABCD bằng 
A. 00 B. 030 
C. 060 D. 090 
b) Góc giữa cạnh SC và ( )ABCD là 
A. SAC B. SCA C. SCB D. SCD 
c) Góc giữa SC và ( )SAB là 
B
C
D
A
O
S
CB
D
A
48 
A. SBC B. BSC C. SCA D. ASC 
d) Góc giữa cạnh SB và ( )SAC là 
A. SBO B. SBA C. SBC D. BSO 
Câu hỏi 3: Cho hình lập phương 
. ' ' ' 'ABCD A B C D . 
a) Góc giữa 'AA và ( )ABCD bằng 
A. 00 B. 030 
C. 060 D. 090 
b) Góc giữa 'AB với mặt phẳng ( )' ' ' 'A B C D bằng 
A. ' 'AB A B. ' 'B AA C. ' 'AB D D. ' 'AB D 
c) Góc giữa 'AC với mặt phẳng ( )' 'ABB A là 
A. ' 'AC B B. ' 'B AC C. ' 'AC A D. ' 'C AA 
HĐ2.2: Hoạt động nhóm theo sự chuyển giao nhiệm vụ của giáo viên 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 
Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AB vuông góc với mặt phẳng ( )BCD , 
đáy BCD là tam giác vuông tại B với , , 3AB a BC a CD a= = = . Tính góc giữa AC 
và ( )ABD 
Bài tập 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O , 
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, biết SA AB a= = . Tính góc giữa NG và 
( )ABCD với N là trung điểm của cạnh SD , G là trọng tâm tam giác ABC . 
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên 
'AA vuông góc với đáy và ' 3AA a= . Tính góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng 
a) 'AA và ( )'A BC b) 'AB và ( )'A BC 
c. Tổ chức thực hiện: 
HOẠT ĐỘNG CỦA HS HOẠT ĐỘNG CỦA GV 
HS thực hiện nhiệm vụ: 
- HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo 
nhóm, thảo luận, phân công nhiệm vụ, 
thực hiện, trình bày, thuyết trình báo cáo. 
- Đại diện các nhóm lên trình bày sản 
phẩm của nhóm. 
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung. 
để hoàn thiện câu trả lời. 
- GV chuyển giao nhiệm vụ 
Nhóm 1 thực hiện bài tập 1, nhóm 2 
thực hiện bài tập 2, nhóm 3 thực hiện 
bài tập 3a, nhóm 4 thực hiện bài tập 
4. 
- GV HD hỗ trợ HS nếu cần 
- GV nhận xét sản phẩm học tập của 
học sinh, củng cố kiến thức, kĩ năng 
(Kết luận, khẳng định) 
A' D'
C'B'
C
B
DA
49 
3. HĐ3: Vận dụng các kiến thức giải quyết bài toán thực tiễn tính góc. 
a) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức giải được bài toán tính góc thực tiễn 
b) Nội dung: Kỹ thuật chuyền bóng rổ hai tay bật đất. 
Kỹ thuật chuyền bóng rổ 2 tay bật đất 
được đánh giá là đem lại hiệu quả cao 
khi thực hiện với đối thủ có tầm vóc cao 
hoặc cầu thủ đội bên đứng phòng thủ 
cao. 
Bước 1: Tư thế chuyền bóng 
- Hai chân mở rộng bằng vai và thực hiện chân trước chân sau. 
- Đầu gối khuỵu nhẹ và hạ trong tâm thấp xuống. 
- Bóng được đưa ra trước bụng trên, cánh tay thả lỏng một cách tự nhiên. 
Bước 2: Chuyền bóng 
- Đưa bóng thành đường vòng cung nhỏ theo hướng từ dưới lên trên. Khi đưa tay 
đến ngang ngực, người chơi cần xoay cổ tay và lòng bàn hay hướng xuống mặt 
sân. 
- Thực hiện duỗi thẳng cánh tay về với hướng chuyền bóng. Khi tay gần duỗi hết 
thì dùng lực của ngón tay, cổ tay để đẩy bóng đi theo hướng chuyền mong muốn. 
Miết các ngón tay vào bóng để tạo ra độ xoáy. 
- Điểm chạm bóng yêu cầu của kỹ thuật chuyền bóng này là tại 1/3 khoảng cách 
giữa người chuyền và người bắt. 
Bước 3: Kết thúc đường chuyền bóng 
- Hai tay duỗi thẳng, lòng bàn tay có xu hướng xoay ra ngoài. Trọng tâm đổ về 
hướng chuyền bóng. 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 
Câu hỏi vận dụng: Quan sát hình vẽ mô phỏng 
Giả sử người chuyền bóng đi từ tay cầm B đến 
điểm M , sau đó bóng từ M đến tay người 
nhận D . Gọi đường thẳng BM là đường ném, 
đường thẳng MD là đường nhận, mặt phẳng 
vuông góc với mặt nằm ngang và mặt phẳng 
người nhận, kí hiệu ( ) gọi là mặt phẳng tới. 
α
A
C
B
D
M
50 
Giả sử khoảng cách giữa hai chân người ném và người nhận là đoạn 3AC m= và 
biết 1,4 ; 1,1AB m CD m= = , khoảng cách AM x= . Xác định góc giữa đường ném và 
mặt phẳng tới theo x . 
HOẠT ĐỘNG CỦA HS HOẠT ĐỘNG CỦA GV 
HS thực hiện nhiệm vụ: 
- Các nhóm trao đổi, phân công nhiệm 
vụ, trình bày, thuyết trình. 
- Các nhóm cử đại diện lên báo cáo sản 
phẩm đã hoàn thành. 
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung 
để hoàn thiện câu trả lời. 
- GV chuyển giao nhiệm vụ học tập 
- GV HD hỗ trợ HS nếu cần. 
- GV nhận xét các câu trả lời của học 
sinh, củng cố kiến thức và HD vận dụng 
kiến thức vào thực tiễn 
4. HĐ4: Hướng dẫn học sinh tự học: 
a) Mục tiêu: Ôn tập lại các xác định và tính góc trên mô hình hình lập phương. 
b) Nội dung: Học sinh về nhà áp dụng cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt 
phẳng trên mô hình hình lập phương. 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4 
Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính góc giữa các đường 
thẳng và mặt phẳng sau: 
a) 'AA và ( )'A BD (Nhóm 1) b) 'AA và ( )'BDC (Nhóm 2) 
c) AC và ( )'A BD (Nhóm 3) d) AC và ( )'BDC (Nhóm 4) 
3.4. Xử lí kết quả thực nghiệm. 
 Để kiểm chứng kết quả của đề tài, chúng tôi tiến hành cho học sinh thực 
hiện hai bài kiểm tra 15p ở hai lớp 11A1 và 11A2 với chủ đề góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng. Mỗi đề gồm 3 mức độ, nhận biết, thông hiểu, vận dung. Lưu ý rằng 
lớp 11A2 học tốt hơn lớp 11A1. Kết quả thực nghiệm thu được như sau : 
Đề 1 : (Thực hiện trước khi học thực nghiệm) 
Trong không gian cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên 
SA vuông góc với mặt đáy, biết , , 2SA a AB a AD a= = = . Tính góc giữa các đường 
thẳng và mặt phẳng sau: 
a) SC và ( )ABCD b) SC và ( )SAB c) SB và ( )SAC 
Đề 2: (Thực hiện sau khi học thực nghiệm) 
Trong không gian cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 
060ABC = , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng và mặt 
phẳng sau: 
a) SC và ( )ABCD b) SB và ( )SAC c) SA và ( )SBC 
Kết quả thực nghiệm: 
Lớp Sĩ 
số 
Đề Giỏi Khá TB Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
51 
11A1 38 1 5 13,2 20 52,6 12 31,6 1 2,6 0 0 
2 6 15,8 22 57,9 10 26,3 0 0 0 0 
11A2 42 1 7 16,7 24 57,2 11 26,1 0 0 0 0 
2 13 31,0 26 61,9 3 7.1 0 0 0 0 
Nhận xét: Qua kết quả thực nghiệm chúng tôi nhận thấy kết quả đề kiểm tra số 2 
của hai lớp đều cao hơn so với đề số 1, tuy nhiên nếu học sinh được học và vận 
dụng được chủ đề góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì thấy được kết quả đặc 
biệt rõ nét hơn so với lớp chưa được học . Cụ thể, tại lớp 11A1 số học sinh đạt 
điểm khá, giỏi đều tăng từ đề 1 sang đề 2 nhưng số lượng không đáng kể, trong khi 
đó số học sinh khá giỏi của lớp 11A2 số học sinh giỏi tăng gần gấp đối, số học sinh 
khá cũng tăng và giảm số lượng học sinh trung bình rất nhiều. Điều này thể hiện 
được tính đúng đắn của đề tài đã được triển khai và áp dụng. 
Kết luận chương 3: Trong chương 3 này chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm đề 
tài để kiểm chúng tính hiệu quả. Do số lượng trang của đề tài hạn chế nên chúng 
tôi chỉ đưa vào một tiết thực nghiệm mang tính minh họa, tuy nhiên thực tế trong 
quá trình dạy học chúng tôi thường xuyên áp dụng nội dung sáng tạo bài toán góc 
trên mô hình hình học thì thấy được rằng học sinh thích học môn học hơn, chăm 
chú nghe giảng và về nhà thường xuyên rèn luyện. Bên cạnh việc sáng tạo ra các 
bài tập mới phù hợp đối tượng thì chúng tôi còn tích cực hệ thống lại kiến thức, sử 
dụng các phương pháp dạy học tích cực để phát triển năng lực cho học sinh, giúp 
học sinh thẩm thấu các quy trình một cách nhẹ nhàng, giúp các em ngày càng học 
tốt hơn môn hình học. 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Quá trình nghiên cứu 
 Đề tài này được nghiên cứu một cách nghiêm túc, cẩn thận. Trong quá trình 
giảng dạy, do yêu cầu cần phải thay đổi phương pháp để đón đầu xu thế đáp ứng 
việc đánh giá năng lực học sinh, cũng như thực tế cho thấy việc dạy học theo 
chương trình phổ thông mới cần có sự thay đổi về tư duy, về phương pháp nên 
chúng tôi đã tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra con đường dạy học phù hợp hơn. Để 
hoàn thành đề tài này chúng tôi đã đúc rút kinh nghiệm dạy học từ nhiều năm, mỗi 
năm tạo ra một số dạng bài và thử nghiệm với các đối tượng là học sinh mình trực 
tiếp giảng dạy. Đối với giáo viên việc sáng tạo không nhất thiết phải quá cao siêu 
mà sáng tạo ở đây là tự mình tạo ra cho mình một hệ thống kiến thức, bài tập riêng 
phù hợp với mục tiêu và hiệu quả giảng dạy của mình là đã thành công. Kinh 
nghiệm của bản thân tác giả cũng thường xuyên bồi dưỡng học sinh giỏi thi cấp 
tỉnh và dạy học sinh ôn thi tốt nghiệp các lớp chất lượng cao đánh giá rằng muốn 
cho học sinh có những năng lực làm bài toán lớn thì cần rèn cho các em các năng 
lực làm bài toán nhỏ, giải quyết được bài toán nhỏ và nâng dần mức độ lên thì tính 
chất hiệu quả của việc ôn thi là vô cùng lớn. 
52 
2. Ý nghĩa của đề tài 
 Qua thời gian nghiên cứu đề tài và áp dụng vào thực tiễn quá trình dạy học 
chúng tôi nhận thấy đề tài đạt được nhiều ứng dụng hiệu quả đối với chương trình 
phổ thông nói chung và bộ môn toán nói riêng, cụ thể là: 
- Đề tài đã hệ thống lại được các mô hình hình học và các tính chất thường gặp trên 
các mô hình đó. 
- Đề tài đã sáng tạo ra các bài toán mới tính góc giữa nhiều đối tượng đường và 
mặt trên các mô hình, tạo ra lớp bài toán đa dạng để học sinh rèn luyện. 
- Để tài giúp các học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, sau khi học xong có 
thể tự tạo cho mình các bài tập để vận dụng mà không cần đến thầy cô giáo. 
- Đề tài giúp học sinh xâu chuỗi được kiến thức của mình khi học về hình học, 
giúp các em cảm nhận phần kiến thức này không phải quá khó, chỉ cần biết phương 
pháp giải và áp dụng nhuần nhuyễn trên bài toán tính góc trên các mô hình quen 
thuộc thì sẽ học tốt phần này. 
- Đề tài tiếp cận được với nội dung chương trình thi tốt nghiệp của Bộ Giáo Dục và 
chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, do hạn chế về thời gian, số trang và xu 
hướng chương trình mới nên đề tài không đưa vào nhiều các bài toán tham số 
mang tính chất hàn lâm mà chỉ là các bài toán tính toán mang tính chất rèn luyện kĩ 
năng cho học sinh, giúp các em hiểu phương pháp và vận dụng dễ hơn. 
- Đề tài góp phần vào sự phát triển chung của xu thế toán học, đưa nội dung kiến 
thức toán đến gần gũi hơn với người học và người dạy. 
 Tuy nhiên bên cạnh những ưu điểm thì đề tài còn một số vấn đề cần bổ sung 
như khái quát hóa một số bài toán thành dạng tổng quát, phát triển thêm việc sử 
dụng các phép biến đổi để tính nhanh kết quả, giải chi tiết một số bài toán,  rất 
mong sự đóng góp ý kiến từ quý thầy cô giáo đồng nghiệp và các em học sinh để 
đề tài hoàn thiện hơn. 
3. Kiến nghị 
 Với việc đã kiểm nghiệm qua quá trình dạy học và ôn thi tốt nghiệp, bồi 
dưỡng học sinh giỏi cho học sinh đạt nhiều kết quả, chúng tôi kiến nghị nhà trường 
cần có định hướng để áp dụng đề tài “Sáng tạo các bài toán góc trong không gian 
trên các mô hình hình học” đã nghiên cứu này phổ biến vào chương trình dạy học, 
khuyến khích giáo viên nghiên cứu và phát triển thêm. 
 Tổ bộ môn nên đưa chủ đề đã xây dựng trong đề tài này vào sinh hoạt 
chuyên môn để nâng cao hiệu quả quá trình giảng dạy của các thành viên. 
 Giáo viên cần quan tâm hơn đến phương pháp đã nêu trong đề tài để sử dụng 
trong quá trình dạy học, đáp ứng được các yêu cầu đổi mới phương pháp theo 
hướng tiếp cận và phát triển năng lực người học. 
 Diễn Châu, tháng 4 năm 2023 
53 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. SGK hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ 
biên)-Khu Quốc Anh-Nguyễn Hà Thanh-Phan Văn Viện, Nhà xuất bản giáo 
dục. 
[2]. SGK toán 11 KNTT tập 2 (dự thảo chương trình GD 2018), Hà Huy Khoái 
(Tổng chủ biên)-Cung Thế Anh-Trần Văn Tấn-Đặng Hùng Thẳng (Đồng 
chủ biên)-Trần Mạnh Cường-Lê Văn Cường-Nguyễn Đạt Đăng-Lê Văn 
Hiện-Phan Thanh Hồng-Trần Đình Kế-Phạm Anh Minh-Nguyễn Thị Kim 
Sơn, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. 
[3]. Bài tập hình học nâng cao 11, Văn Như Cương (Chủ biên)-Phạm Khắc Ban-
Tạ Mân, Nhà xuất bản giáo dục. 
[4]. Bài tập hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc Anh-Nguyễn 
Hà Thanh, Nhà xuất bản giáo dục. 
[5]. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 11, ThS. Lê Hoành Phò, Nhà xuất 
bản Đại học quốc gia Hà Nội. 
[6]. Phương pháp giải toán hình học không gian, Trần Minh Quang, Nhà xuất 
bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[7]. Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian, Nguyễn Mạnh Hùng, Nhà 
xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[8]. Các chuyên đề nâng cao và phát triển hình học 11, Nguyễn Quang Sơn, Nhà 
xuất bản đại học quốc gia Hà Nội. 
[9]. Đề thi Đại học, Thpt Quốc Gia, đề thi tốt nghiệp từ 2002 đến nay. 
[10]. Tuyển tập các đề thi thử Thpt Quốc gia của các trường trên cả nước 
[11]. Đề thi học sinh giỏi lớp 11 các tỉnh và thành phố. 
54 
Phụ lục 1: Kết quả khảo sát giáo viên về tính cấp thiết và tính khả thi 
55 
56 
Phụ lục 2: Hình ảnh minh họa tiết học thực nghiệm tại lớp 11A2 
Trường THPT Diễn Châu 4 
57 
58 
59 
Phụ lục 3: Hướng dẫn học sinh thực hành đo góc trong thực tế 
+) Đo góc của mái bảng với mặt nằm ngang. 
60 
+) Đo góc giữa các cành cây 
61 
+) Đo độ nghiêng của kính ô tô so với mặt nằm ngang 
62 
+) Đo độ nghiêng của cầu thang.