Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy học sinh khối 12 thông qua khai thác các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

ất lương ôn thi TN THPT QG cho nhà trường. 
3. Đề xuất và kiến nghị 
- Đề tài có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhà trường THPT. Đặc biệt trong quá 
trình giảng dạy chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz . 
 Với mục đích đưa ra để các đồng nghiệp tham khảo và cùng thảo luận để góp phần 
vào quá trình giảng dạy toán ở phổ thông. Vì kinh nghiệm bản thân còn chưa nhiều 
nên đề tài không tránh khỏi những sai sót nhất định. Kính mong nhận được sự góp 
ý của các quý độc giả. 
Nghệ An, ngày 23 tháng 04 năm 2022 
 Tác giả 
59
 PHỤ LỤC 
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHỦ ĐỀ 3 – MÃ ĐỀ 101 
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vec tơ 1;1;0a 
; 1;1;0b 
và 1;1;1c 
. Mệnh đề nào dưới đây sai? 
A. 2a 
. B. 3c 
. C. a b
. D. c b
. 
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 , B 3;0; 2 Tính 
độ dài AB. 
A. 22. B. 26 . C. 22. D. 26. 
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3 2 1 0P x y z . 
Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là 
A. 3;2;1n 
. B. 3; 2; 1n 
. C. 6;4; 2n 
. D. 3;2;1n 
. 
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua 1;2; 1A có một 
vectơ pháp tuyến 2;0;0n
 có phương trình là 
A. 1 0y z . B. 1 0x . C. 0y z . D. 2 1 0x . 
Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 3 1 1 4S x y z . Tâm 
của S có tọa độ là 
A. 3;1; 1 . B. 3;1; 1 . C. 3; 1;1 . D. 3; 1; 1 
Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 1;2;1 ; 3;0;3A B . Tọa độ trung điểm 
I của đoạn thẳng AB là 
A. 1;2;1I . B. 2;1;2I . C. 1;1;2I . D. 1; 1; 2I . 
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ , đường thẳng , có vectơ 
chỉ phương là: 
A. . B. . C. . D. . 
Câu 8. Cho bốn điểm 1; 1; 1A , 5; 1; 1B , 2; 5; 2C , 0; 3; 1D . Nhận xét nào sau 
đây là đúng? 
A. Ba điểm , , A B D thẳng hàng. B. Ba điểm , , A B C thẳng hàng. 
C. ABCD là hình thang. D. , , , A B C D là bốn đỉnh của hình tứ diện. 
Oxyz
2
: 1 2
5 3
x t
d y t
z t
 1;2;3a 2;1;5a 1; 2;3a 2;4;6a 
60
Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm 2;1;1A , 0;3; 1B . Mặt 
cầu S đường kính AB có phương trình là 
A. 2 2 21 2 9x y z . B. 2 2 21 2 1 9x y z . 
C. 2 2 21 2 3x y z . D. 22 22 3x y z . 
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương 
trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm 1;0;1A và 3;2; 1B . 
 A. 
1
1 ,
1
x t
y t t R
z t
.B. 
2
2 ,
2
x t
y t t R
z t
.C. 
3
2 ,
1
x t
y t t R
z t
.D. 
1
,
1
x t
y t t R
z t
. 
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng 
 :2 3 4 5 0P x y z . Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng 
 P . 
A. 4; 3;2n 
. B. 3;4;5n 
. C. 2; 3;5n 
. D. 2; 3;4n 
. 
Câu 12. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng P đi qua điểm 
 2;1; 3B , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng : 3 0Q x y z , 
 : 2 0R x y z là 
A. 4 5 3 22 0x y z . B. 4 5 3 22 0x y z . 
C. 4 5 3 12 0x y z . D. 2 3 14 0x y z . 
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 1;0;2A và đường thẳng d 
có phương trình 1 1
1 2
x y z
x
 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông 
góc và cắt d 
A. 1 2:
1 1 1
x y z . B. 1 2:
1 3 1
x y z 
. 
C. 1 2:
2 1 1
x y z . D. 1 2:
1 1 1
x y z 
. 
Câu 14. Tìm m để góc giữa hai vectơ 31;log 5;log 2 ,mu 
 53;log 3;4v 
 là góc 
nhọn. 
A. 1 , 1
2
m m . B. 10
2
m . C. 1m . D. 1m hoặc 10
2
m . 
61
Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm 2;0;0A , 0;3;1B ,
 1;4;2C . Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC : 
A. 6 . B. 2 . C. 3 . D. 3
2
. 
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 
 2 2 2: 2 4 4 0S x y z x y z . Mặt phẳng tiếp xúc với S tại điểm 3;4;3A có 
phương trình. 
A. 2 4 17 0x y z . B. 4 4 2 17 0x y z . 
C. 2 2 17 0x y z . D. 17 0x y z . 
Câu 17. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm 1;2; 1I và tiếp xúc với mặt phẳng 
 : 2 2 8 0P x y z có phương trình là 
A. 2 2 2: 1 2 1 3S x y z .B. 2 2 2: 1 2 1 9S x y z . 
C. 2 2 2: 1 2 1 3S x y z .D. 2 2 2: 1 2 1 9S x y z . 
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 2 5 0P x y z và hai điểm 
 3;0;1A , 1; 1;3B . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với P , đường 
thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. 
A. 3 1
26 11 2
x y z 
. B. 3 1
26 11 2
x y z 
. 
C. 2 1 3
26 11 2
x y z 
. D. 3 1
26 11 2
x y z 
. 
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho điểm 3;1; 5A , hai mặt phẳng P : 
4 0x y z và Q : 2 4 0x y z . Viết phương trình đường thẳng đi qua 
A đồng thời song song với hai mặt phẳng P và Q . 
A. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. B. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. 
C. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. D. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. 
Câu 20. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu S đi qua bốn điểm 
 , 1;0;0 , 0; 2;0O A B và 0;0;4C . 
A. 2 2 2: x 2 4 8 0S y z x y z . B. 2 2 2: x 2 4 8 0S y z x y z . 
C. 2 2 2: x 2 4 0S y z x y z . D. 2 2 2: x 2 4 0S y z x y z . 
62
Câu 21. Trong không gian Oxyz cho điểm 1; 2;0A và hai mặt phẳng 
 : 0P x y z ; : 2 1 0Q x z . Đường thẳng đi qua A song song với P và Q 
có phương trình là 
 A. 1 2
1 2 1
x y z .B. 1 2
1 3 2
x y z .C. 1 2
1 3 2
x y z .D. 1 2
1 2 1
x y z . 
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 2;5;3A và đường thẳng 
1 2:
2 1 2
x y zd . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách 
từ điểm A đến P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm 1;2; 1M đến mặt phẳng P 
bằng: 
A. 11
18
. B. 3 2 . C. 7 2
6
. D. 11 2
6
. 
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm 0;0; 1A , 1;1;0B , 1;0;1C . Tìm 
điểm M sao cho 2 2 23 2MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. 3 1; ;2
4 2
M
. B. 3 1; ; 1
4 2
M
. C. 3 1; ; 1
4 2
M
. D. 3 3; ; 1
4 2
M
. 
Câu 24. Đường thẳng đi qua điểm (3;1;1)M , nằm trong mặt phẳng 
( ) 3 0x y z và tạo với đường thẳng 
1
 (d) 4 3
3 2
x
y t
z t
 một góc nhỏ nhất thì 
phương trình của là 
A. 
1
'
2 '
x
y t
z t
. B. 
1 2 '
1 '
3 2 '
x t
y t
z t
. C. 
1 5 '
1 4 '
3 2 '
x t
y t
z t
. D. 
8 5 '
3 4 '
2 '
x t
y t
z t
. 
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho các điểm 5;8; 11 , 3;5; 4 , 2;1; 6A B C và 
mặt cầu 2 2 2: 4 2 1 9S x y z . Gọi ; ;M M MM x y z là điểm trên S sao 
cho biểu thức MA MB MC 
   
 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của tổng M Mx y bằng 
A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 2 . 
 ------------- HẾT ------------- 
63
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHỦ ĐỀ 3 – MÃ ĐỀ 102 
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng 
 :2 3 4 5 0P x y z . Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng 
 P . 
A. 2; 3;5n 
. B. 3;4;5n 
. C. 2; 3;4n 
.D. 4; 3;2n 
. 
Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 1;2;1 ; 3;0;3A B . Tọa độ trung điểm 
I của đoạn thẳng AB là 
A. 2;1;2I . B. 1;1;2I . C. 1;2;1I . D. 1; 1; 2I . 
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương 
trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm 1;0;1A và 3;2; 1B . 
 A. 
1
,
1
x t
y t t R
z t
. B. 
3
2 ,
1
x t
y t t R
z t
. C.
1
1 ,
1
x t
y t t R
z t
. D. 
2
2 ,
2
x t
y t t R
z t
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3 2 1 0P x y z . 
Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là 
A. 3;2;1n 
. B. 6;4; 2n 
. C. 3;2;1n 
. D. 3; 2; 1n 
. 
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 , B 3;0; 2 . 
Tính độ dài AB. 
A. 26 . B. 22. C. 26. D. 22. 
Câu 6. Cho bốn điểm 1; 1; 1A , 5; 1; 1B , 2; 5; 2C , 0; 3; 1D . Nhận xét nào sau 
đây là đúng? 
A. Ba điểm , , A B D thẳng hàng.B. , , , A B C D là bốn đỉnh của hình tứ diện. 
C. ABCD là hình thang. D. Ba điểm , , A B C thẳng hàng. 
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua 1;2; 1A có một 
vectơ pháp tuyến 2;0;0n
 có phương trình là 
A. 1 0x . B. 1 0y z . C. 0y z . D. 2 1 0x 
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ , đường thẳng , có 
vectơ chỉ phương là: 
Oxyz
2
: 1 2
5 3
x t
d y t
z t
 t 
64
A. . B. . C. . D. . 
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vec tơ 1;1;0a 
; 1;1;0b 
và 1;1;1c 
. Mệnh đề nào dưới đây sai? 
A. 3c 
. B. c b
. C. 2a 
. D. a b
. 
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm 2;1;1A , 0;3; 1B . Mặt 
cầu S đường kính AB có phương trình là 
A. 22 22 3x y z . B. 2 2 21 2 1 9x y z . 
C. 2 2 21 2 3x y z . D. 2 2 21 2 9x y z . 
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 3 1 1 4S x y z . 
Tâm của S có tọa độ là 
A. 3;1; 1 . B. 3; 1;1 . C. 3; 1; 1 . D. 3;1; 1 . 
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 
 2 2 2: 2 4 4 0S x y z x y z . Mặt phẳng tiếp xúc với S tại điểm 3;4;3A có 
phương trình. 
A. 2 2 17 0x y z . B. 17 0x y z . 
C. 2 4 17 0x y z . D. 4 4 2 17 0x y z . 
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 1;0;2A và đường thẳng d 
có phương trình 1 1
1 2
x y z
x
 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông 
góc và cắt d . 
A. 1 2:
1 3 1
x y z 
. B. 1 2:
1 1 1
x y z 
. 
C. 1 2:
2 1 1
x y z . D. 1 2:
1 1 1
x y z . 
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2 2 5 0P x y z và hai điểm 
 3;0;1A , 1; 1;3B . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với P , đường 
thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là. 
A. 3 1
26 11 2
x y z 
. B. 3 1
26 11 2
x y z 
. 
C. 3 1
26 11 2
x y z 
. D. 2 1 3
26 11 2
x y z 
. 
 1;2;3a 2;1;5a 1; 2;3a 2;4;6a 
65
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho điểm 3;1; 5A , hai mặt phẳng P : 
4 0x y z và Q : 2 4 0x y z . Viết phương trình đường thẳng đi qua 
A đồng thời song song với hai mặt phẳng P và Q . 
A. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. B. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. 
C. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. D. : 3 1 5
2 1 3
x y z 
. 
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho điểm 1; 2;0A và hai mặt phẳng 
 : 0P x y z ; : 2 1 0Q x z . Đường thẳng đi qua A song song với P và Q 
có phương trình là 
 A. 1 2
1 3 2
x y z .B. 1 2
1 2 1
x y z .C. 1 2
1 2 1
x y z .D. 1 2
1 3 2
x y z 
Câu 17. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu S đi qua bốn điểm 
 , 1;0;0 , 0; 2;0O A B và 0;0;4C . 
A. 2 2 2: x 2 4 0S y z x y z .B. 2 2 2: x 2 4 8 0S y z x y z . 
C. 2 2 2: x 2 4 8 0S y z x y z .D. 2 2 2: x 2 4 0S y z x y z . 
Câu 18. Tìm m để góc giữa hai vectơ 31;log 5;log 2 ,mu 
 53;log 3;4v 
 là góc 
nhọn. 
A. 1m hoặc 10
2
m . B. 1m . C. 10
2
m . D. 1 , 1
2
m m . 
Câu 19. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng P đi qua điểm 
 2;1; 3B , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng : 3 0Q x y z , 
 : 2 0R x y z là 
A. 4 5 3 22 0x y z . B. 2 3 14 0x y z . 
C. 4 5 3 12 0x y z . D. 4 5 3 22 0x y z . 
Câu 20. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm 1;2; 1I và tiếp xúc với mặt phẳng 
 : 2 2 8 0P x y z có phương trình là 
A. 2 2 2: 1 2 1 9S x y z .B. 2 2 2: 1 2 1 3S x y z . 
C. 2 2 2: 1 2 1 3S x y z .D. 2 2 2: 1 2 1 9S x y z . 
Câu 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm 2;0;0A , 0;3;1B , 
 1;4;2C . Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC : 
66
A. 3
2
. B. 3 . C. 6 . D. 2 . 
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho các điểm 5;8; 11 , 3;5; 4 , 2;1; 6A B C và 
mặt cầu 2 2 2: 4 2 1 9S x y z S . Gọi ; ;M M MM x y z là điểm trên S sao 
cho biểu thức MA MB MC 
   
 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của tổng M Mx y bằng 
A. 0 . B. 2 . C. 2 . D. 4 . 
Câu 23. Đường thẳng đi qua điểm (3;1;1)M , nằm trong mặt phẳng 
( ) 3 0x y z và tạo với đường thẳng 
1
 (d) 4 3
3 2
x
y t
z t
 một góc nhỏ nhất thì 
phương trình của là 
A. 
1 2 '
1 '
3 2 '
x t
y t
z t
. B. 
1
'
2 '
x
y t
z t
. C. 
1 5 '
1 4 '
3 2 '
x t
y t
z t
. D. 
8 5 '
3 4 '
2 '
x t
y t
z t
. 
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm 0;0; 1A , 1;1;0B , 1;0;1C . Tìm 
điểm M sao cho 2 2 23 2MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. 3 1; ; 1
4 2
M
. B. 3 3; ; 1
4 2
M
. C. 3 1; ;2
4 2
M
.D. 3 1; ; 1
4 2
M
. 
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 2;5;3A và đường thẳng 
1 2:
2 1 2
x y zd . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách 
từ điểm A đến P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm 1;2; 1M đến mặt phẳng P 
bằng: 
A. 3 2 . B. 11 2
6
. C. 11
18
. D. 7 2
6
. 
 ------------- HẾT ------------- 
67
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TƯƠNG ĐỒNG TRONG MẶT PHẲNG 
Bài toán 1. Cho đường thẳng d và hai điểm ,A B không thuộc d . Tìm điểm M 
trên d sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất. 
Lời giải. 
Trường hợp 1. ,A B cùng phía d . 
Ta có: MA MB AB . 
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với d . 
Trường hợp 2. ,A B nằm khác phía với d . 
Ta có: ' 'MA MB MA MB A B . 
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của 'A B với d . 
Bài toán 2. Cho đường thẳng d và hai điểm ,A B không thuộc d . Tìm điểm M 
trên d sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Lời giải. 
Trường hợp 1. ,A B nằm cùng phía với d . Gọi 'A đối xứng với A qua d . 
Ta có: ' 'MA MB MA MB A B . 
Đẳng thức xảy ra khi M là gia điểm của 'A B với d . 
Trường hợp 2. ,A B nằm khác phía với d . Khi đó: MA MB AB . 
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với d . 
Bài toán 3. Trong không gian Oxy , cho các điểm 1 2, , , .nA A A 
Xét véc tơ: 1 1 2 2 n nw MA M A M A 
    . 
Trong đó 1 2; ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1 2 ... 0n . Tìm điểm
M thuộc đường thẳng d (thường là trục ,Ox Oy ) sao cho | |w có đô dài nhỏ nhất. 
Lời giải. 
Gọi G là điểm thỏa mãn: 1 1 2 2 0n nGA GA GA 
 .(điểm G hoàn toàn xác 
định). 
Ta có k kMA MG GA 
 
 vói 1;2; ; ,k n  nên 
 1 2 1 1 2 2 1 2w n n n nMG GA GA GA MG   
  
 . 
68
Do đó: 1 2| | | |nw MG 
  
Vì 1 2 n  là hằng số khác không nên | |w
 có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 
MG nhỏ nhất, mà ( )M d nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên đường 
thẳng ( )d . 
Bài toán 4. Trong không gian Oxy , cho các diểm 1 2, , , .nA A A 
Xét biểu thức: 2 2 21 1 2 2 n nT MA MA MA  
Trong đó 1 2, , , n  là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( )d 
sao cho 
a. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2 0n  . 
b. T có giá trị lớn nhất biết 1 2 0n  . 
Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn: 1 1 2 2 0n nGA GA GA 
 . 
 k kMA MG GA 
 
 với 1;2; ; ,k n  nên 22 2 22k k k kMA MG GA MG MG GA GA    . 
Do đó: 2 2 2 21 2 1 1 2 2n n nT MG GA GA GA   . 
Vì 2 2 21 1 2 2 n nGA GA GA  không đổi nên 
• với 1 2 0n  thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. 
• với 1 2 0n  thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. 
Mà ( )M d nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên ( )d . 
69
TÀI KIỆU THAM KHẢO 
[1]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006) Sách giáo khoa Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo 
dục, Hà Nội. 
[2]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006) Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất 
bản Giáo dục, Hà Nội. 
[3]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006) Sách Bài tập Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo 
dục, Hà Nội. 
[4]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006) Sách Bài tập Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất 
bản Giáo dục, Hà Nội. 
[5]. Đề minh họa và Đề chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo các năm 2017, 
2018, 2019, 2020. 
[6]. Internet.