Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạng toán tổng của một dãy số viết theo quy luật

.
Với nhận xét này ta dễ dàng tìm ra lời giải cho bài toán sau: 
 2.10.4. Bài toán 28: Cho . Chøng minh: 
 Phân tích:
Vì khoảng cách của hai cơ số ở hai mẫu liên tiếp là 4. Áp dụng nhận xét trên. Ta có cách làm trội như sau: ; ;; 
 Hướng giải:
Ta có: ; ;;; 
 Khai thác :
 Không phải ở bài toán nào ngay từ đầu các phân số có cùng tử mà ta cần quan sát để đưa chúng về cùng tử. Ta xét bài toán sau :
 2.10.5. Bài toán 29: . Chøng minh: 
 Phân tích: Ta nhận thấy các phân số trong tổng có mẫu lớn hơn tử 1 đơn vị do đó ta nghĩ đến viết để đưa các phân số về cùng tử số. Ta có hướng giải sau
 Hướng giải:
Dãy số 3, 5, 7,.., 201 có 100 số hạng nên tổng B có 100 số hạng
 B = 100
Tương tự với cách làm của bài toán 25: 
Do đó B = 100> B > 99,7
 Bài tập luyện:
Bài 1: Cho . Chøng minh: 
 Hướng giải:
Dãy số 3, 4,..., 42 có 40 số hạng. Nên tổng A có 40 số hạng.
Ta nhận thấy các phân số trong tổng có tử lớn hơn mẫu 2 đơn vị do đó ta nghĩ đến cách làm sau để đưa các phân số về cùng tử :
A = 40 + 2. 
Dễ dàng ta chứng minh được 
Vậy: 
2.11.Dạng11: Tổng của một dãy các phân số có cùng tử, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp.
 2.11.1. Bài toán 28: Cho M = . Chứng tỏ < M <1.
 Phân tích: Trong tổng M các phân số có cùng tử, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp. Nên các số hạng trong tổng M đều nhỏ hơn hoặc bằng phân số lớn nhất trong tổng M ( là ). Các số hạng trong tổng M đều lớn hơn hoặc bằng phân số nhỏ nhất trong tổng M (là ). Mà tổng M lại có 50 số hạng. Dó đó theo hướng nghĩ này ta dễ dàng chứng tỏ được< M <1.
 Hướng giải:
Dãy số 51, 52, 53,..., 100 có 50 số hạng. Nên tổng M có 50 số hạng
 Ta có > ; ; ;; 
Nên M ( có 50 số) 
M (1)
Ta có . Nên M < ( có 50 số) 
 M. Mà . Nên M <1. (2)
Từ (1) và (2) < M <1.
 Nhận xét:
* Khi chứng tỏ M <1 ta cũng có thể thấy các số hạng trong tổng M đều nhỏ hơn .
Do đó M < ( có 50 số) M. 
* Với bài toán trên:
+ Ta cần linh hoạt chọn ra phân số để so sánh phân số đó với tất cả các số hạng của M sao cho có thể làm được bài toán một cách nhanh gọn. 
+ Nếu ta cần chứng tỏ M < m (m là hằng số ) ta nghĩ đến so sánh tất cả các số hạng trong tổng M với phân số lớn nhất trong tổng ( hoặc phân số lớn hơn phân số lớn nhất đó).
+ Nếu ta cần chứng tỏ M > m ( m là hằng số ) ta nghĩ đến so sánh tất cả các số hạng trong tổng M với phân số nhỏ nhất trong tổng (hoặc phân số nhỏ hơn phân số nhỏ nhất đó).
 Khai thác :
Trong một số bài tập dạng này nếu chỉ so sánh tất cả các số hạng trong tổng với một phân số ( chọn) thì bài toán vẫn không giải quyết được. Ta nghĩ ngay đến chia tổng đó thành các nhóm hợp lí. Ta đi xét một số dạng bài cụ thể sau:
 2.11.2.Bài toán 29: Cho A = . Chứng tỏ A > 1.
 Phân tích: Tổng A có 91 số hạng. Nếu theo hướng của bài toán 28 ta sẽ chứng tỏ được A > . Do đó theo hướng này bài toán chưa được giải quyết. 
Ta nghĩ ngay đến chia A thành các nhóm: Nhận thấy 1 = . Do đó ta nghĩ đến chia A thành 2 nhóm: Nhóm 1 chỉ có số hạng, nhóm 2 gồm 90 số hạng còn lại. Ta có hướng giải sau:
 Hướng giải:
Dãy số 10, 11, 12,.., 99, 100 có 91 số hạng nên tổng A có 91 số hạng
A = 
Ta có .Nên
Do đó A = . Vậy A 1
 Nhận xét: 
Để chia thành các nhóm sao cho có thể chứng minh được A m ta cần phân tích tìm ra mối liên hệ giữa m với dấu >, số các số hạng và số hạng nhỏ nhất của tổng ; giữa m với dấu <, số các số hạng và số hạng lớn nhất của tổng. 
 2.11.3. Bài toán 30:
Chứng minh tổng A = không phải là số tự nhiên.
 Phân tích:
* Nếu ta dựa theo hướng nghĩ của bài toán 27 và 28 để chứng tỏ A không phải là số tự nhiên ta phải chia A thành nhiều nhóm nhỏ. Tuy nhiên theo hướng này ta chứng tỏ A lớn hơn và A nhỏ hơn một tổng mới, nhưng tính tổng mới phải quy đồng mẫu nhiều phân số không cùng mẫu rất cồng kềnh.
* Nếu dựa vào điều đặc biệt: Phân số cuối cùng có mẫu là 16 chứa thừa số 2 với số mũ cao nhất là 24 nên ta có thể chứng tỏ A không phải là số tự nhiên dựa vào xét tính chẵn lẻ của tử và mẫu của A sau khi quy đồng.Ta có hướng giải sau:
 Hướng giải :
Ta có tổng A có 15 số hạng. 
Mẫu chung của các phân số là: BCNN(2,3,4,...,16) = 24.32.5.7.11.13 = 5.7.9.11.13.16
chứa thừa số 2 với số mũ cao nhất 24.
Phân số sau khi quy đồng là = là một phân số có tử là số lẻ, mẫu là số chẵn.
Tử của 14 phân số còn lại sau khi quy đồng là số chẵn vì các phân số đó đều có thừa số phụ có chứa thừa số 2. 
Do đó tổng A của 15 phân số là một phân số có tử là số lẻ, mẫu là số chẵn. Vậy A không phải là số tự nhiên.
 Khai thác:
Ta có thể đưa ra rất nhiều bài toán tương tự với cùng cách giải xét tính chẵn lẻ của tổng chẳng hạn như:
Không tính tổng. Chứng minh các tổng sau không phải là số tự nhiên:
a, B = b, c, d, 
e, với nN* 
 2.11.4. Bài toán 31:
Tính: 
 Phân tích:
* Trước hết ta tính M = .
Xét tổng A = có 99 số hạng, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp viết theo thứ tự giảm dần, tổng của tử và mẫu của mỗi phân số đều bằng nhau và bằng 100. Nên ta nghĩ ngay đến đưa tổng A về có cùng tử và mẫu là các số tự nhiên liên tiếp bằng cách thêm 99 số 1 và bớt 99 số 1. Từ đó ta tính ngay được M.
*Tính N = .
Xét B = . Nhận thấy tổng
 có 92 số hạng, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp viết theo thứ tự tăng dần, hiệu của mẫu và tử của mỗi phân số đều bằng nhau và bằng 8.Nên ta nghĩ ngay đến đưa tổng A về có cùng tử và mẫu là các số tự nhiên liên tiếp bằng cách bớt 92 số 1 và thêm 92 số 1. Từ đó ta tính ngay được M.
 Hướng giải :
Ta có A=
A = 
A . 
Do đó M = 
Ta có B = 
B 
B 
Ta có 
Do đó N = . Vậy H
 Bài tập luyện:
Bài 1: Cho A = . Không tính tổng A hãy chứng tỏ A không phải là số tự nhiên.
 Hướng giải:
Ta có .
Nên A (1)
Ta có .
Nên A (2)
Từ (1) và (2) 1<A < . Chứng tỏ A không phải là số tự nhiên.
Bài 2: Cho B = . So sánh B và 
 Phân tích:
Ta thấy B có 10 số hạng. Ta có thể so sánh các số hạng của tổng B với ; hoặc.... Nhận thấy = . Nên ta có hướng giải sau:
 Hướng giải:
Dãy số 10,11,12,..,19 có 10 số hạng. Nên tổng B có 19 số hạng
Ta có: . Nên A ( Có 10 số ) 
 A > 10. . Vậy A > .
Bài 3: Chứng tỏ rằng M = 
 Phân tích:
+Nhận thấy tổng M có 13 số hạng. Nếu không chia nhóm ta mới chỉ ra được 
M < 
+ Để chứng tỏ M < 2 ta cần chia A thành các nhóm. Nhận thấy 2 = 1+1. Vì cần chứng tỏ M < 2 nên ta quan tâm đến số hạng lớn nhất trong tổng là . Mặt khác .Do đó nếu ta nhóm 5 số hạng đầu vào một nhóm(+..+ thì còn lại 8 số hạng (). Lại có . 
Vậy ta chia M thành 2 nhóm: Nhóm 1 gồm 5 số hạng đầu, nhóm 2 gồm 8 số hạng còn lại thì bài toán được giải quyết xong.
 Hướng giải:
M = 
+Ta có : . Nên (1)
+ Ta có .Nên (2)
Từ (1) và (2) M < 1+1 =2. Vậy M < 2 
Bài 4: Cho S = Chứng tỏ S >.
 Phân tích:
+Tổng S có 40 số hạng. Nếu không chia nhóm ta chỉ chứng tỏ được 
S >. Mà . Nên bài toán chưa được chứng tỏ.
+ Ta nghĩ ngay đến phương pháp chia nhóm: Nhận thấy . Mà .
Do đó ta nhóm 20 số hạng cuối vào một nhóm (+..+. Khi đó còn lại là tổng của 20 số hạng (+..+. Lại có . Vậy S được chia thành 2 nhóm: Nhóm 1 gồm 20 số hạng đầu và nhóm 2 gồm 20 số hạng cuối. Ta có hướng giải sau:
 Hướng giải 1:
Dãy số 61,62,...,100 gồm 40 số hạng. Nên tổng S có 40 số hạng
S = 
Ta có: . Nên (1)
Ta có: . Nên (2)
Từ (1) và (2) S > + =. Vậy S >.
 Nhận xét: 
Ta cũng có . Do đó ta nhóm 25 số hạng cuối vào 1 nhóm (+..+. 
Khi đó còn lại là tổng của 15 số hạng đầu (+..+. Lại có . Vậy ta cũng có thể chia A thành 2 nhóm: Nhóm 1 gồm 15 số hạng đầu, nhóm 2 gồm 25 số hạng cuối. Ta có hướng giải sau:
 Hướng giải 2:
Dãy số 61, 62,..., 100 gồm 40 số hạng. Nên tổng S có 40 số hạng
S = 
Ta có: . Nên (1)
Ta có: . Nên (2)
Từ (1) và (2) S > + =. Vậy S >.
Bài 5: Cho P = . Chứng tỏ rằng .
 Phân tích:
* Ta thấy P có 30 số hạng. Nếu không tách nhóm ta chỉ chứng tỏ được . Bài toán chưa được chứng tỏ.
* Ta nghĩ ngay đến phương pháp chia nhóm. Tuy nhiên nếu phân tích theo hướng của bài toán 28 bài toán vẫn chưa được chứng tỏ. 
* Ta thấy: . Vì bài toán yêu cầu chứng tỏ rằng . Nên ta lại tìm mối liên hệ với phân số nhỏ nhất của tổng P (là ) và phân số lớn nhất của tổng P( là nhưng có thể chọn là ).
+ Ta thấy ; nên lại tìm mối liên hệ với ta thấy . Do đó lại tìm mối liên hệ với ta có . Mặt khác ta thử thấy .
Vậy ta chia P thành 3 nhóm: Mỗi nhóm gồm 10 số hạng ta sẽ chứng tỏ được 
 + Ta thấy ; nên lại tìm mối liên hệ với ta thấy . Do đó lại tìm mối 
liên hệ với ta có . Mặt khác ta thử thấy .
Vậy ta chia P thành 3 nhóm: Mỗi nhóm gồm 10 số hạng ta sẽ chứng tỏ được .
Như vậy để chứng tỏ P > và P < ta đều chia P thành 3 nhóm ( mỗi nhóm 10 số hạng). Hướng giải :
Dãy số 31, 32,..., 60 có 30 số hạng. Nên tổng P có 30 số hạng
P = .
Ta có: . Nên (1)
Ta có: . Nên (2)
Ta có: . Nên (3)
Từ (1), (2) và (3) P > + +=. Mà >=. Vậy (*)
+Ta có : . Nên (4)
Ta có : . Nên (5)
Ta có : . Nên (6)
Từ (4), (5) và (6) P < + +=. Mà <=. Vậy (**)
Từ (*) và (**) .
Bài 6: Cho M = . Chứng tỏ P > 4.
 Phân tích:
*Ta thấy M có 64 số hạng. Nếu không tách nhóm ta chỉ chứng tỏ được M >1. Bài toán chưa được chứng tỏ.
* Ta nghĩ ngay đến phương pháp chia nhóm. Đề bài yêu cầu chứng tỏ M > 4 trong khi đó nếu không chia nhóm ta mới chứng tỏ được M >1. Do đó ta có thể dự đoán chia M thành nhiều nhóm nhỏ. Bằng những kinh nghiệm trong các bài trên ta thấy . Nên ta chia M thành tổng của các nhóm: 
1; ;;;; . 
 Hướng giải :
Dãy số 1,2,...,64 có 64 số hạng. Nên tổng M có 64 số hạng.
M = .
Ta có: ; ; ;
 ; . 
Do đó M. Vậy M > 4.
Bài 7: So sánh A và B biÕt r»ng A 
	 B 
 Hướng giải :
Ta cã: B 
 Vậy B = 200. A
C. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI:
 Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy khi gặp bài tập tổng của một dãy số viết theo quy luật các em đã lĩnh hội được kiến thức một cách vững chắc, các em đã nắm được bài toán đã cho thuộc dạng nào, đã vận dụng phương pháp giải dạng toán đó rất tốt. Đặc biệt các em rất tự tin giải và trình bày lời giải bài toán một cách chặt chẽ, lô gíc, có căn cứ. 
 Kết quả 3 bài kiểm tra sau khi áp dụng sáng kiến:
Lớp
Sĩ số
Bài KT
Giỏi
Khá
TB
Yếu- kém
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
6A
35
Bài số 1
17
48,57
12
34,29
6
17,14
0
0
Bài số 2
18
51,23
12
34,29
5
14,29
0
0
Bài số 3
22
62,86
10
28,57
3
8,57
0
0

 Nhờ áp dụng kinh nghiệm đã trình bày ở trên chất lượng môn toán do tôi giảng dạy đã được nâng cao rõ rệt. Kết quả chất lượng qua các kì thi có nhiều em đạt điểm 10 và xếp thứ cao trong Huyện. Nhiều em yêu thích môn toán do tôi dạy. Từ đó kích thích nhiều học sinh vươn lên học khá, giỏi bộ môn. Do đó góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của giáo viên và rèn cho học sinh khả năng tư duy toán, độ linh hoạt sáng tạo và kỹ năng trình bày của học sinh.
 Trên đây là một số dạng toán về tổng của một dãy số viết theo quy luật với mục đích giúp học sinh có kĩ năng nhận ra các dạng toán, biết rút ra phương pháp giải của từng dạng và có kĩ năng lập luận lô gíc; thông qua đó rèn luyện được tư duy, trình bày được lời giải một bài tập toán. Trong chuyên đề này, tôi đã cố gắng phân loại các dạng toán một cách cụ thể. Trong mỗi phần, mỗi dạng tôi cũng đã cố gắng khai thác các cách giải khác nhau và sắp xếp các dạng bài theo một chuỗi lo gic. Tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt hơn về dạng toán tổng của một dãy số viết theo quy luật, phát triển được tư duy sáng tạo của các em qua từng dạng, bài cụ thể.
 Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng tìm tòi và nghiên cứu chuyên đề này. Đồng thời tôi cũng đã trao đổi tham khảo, bàn bạc, xin ý kiến của các thầy cô đi trước và các thầy cô giáo dạy bộ môn toán của nhà trường. Song vấn đề về tổng của một dãy số viết theo quy luật là một mảng kiến thức rất rộng. Bản thân tôi kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của Hội đồng khoa học, các thầy cô có nhiều kinh nghiệm để nội dung sáng kiến được phong phú, đầy đủ hơn và hoàn thiện hơn. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
IV. CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN
Tôi xin cam đoan sáng kiến này là không sao chép. 
CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
(xác nhận)
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(Ký tên, đóng dấu)
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
(Ký tên)
Nguyễn Thị Nguyệt

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
( Xác nhận, đánh giá, xếp loại )
(LĐ phòng ký tên, đóng dấu)
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Toán 6 tập1, 2 – NXB Giáo dục.
Sách bài tập Toán 6 tập 1,2 – NXB Giáo dục.
Sách giáo viên Toán 6 – NXB giáo dục.
Toán nâng cao và phát triển 6 của tác giả: Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo Dục.
Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6 của tác giả: Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm - Nhà xuất bản Giáo Dục.
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6 của tác giả Bùi Văn Tuyển
Website: 
 http:/www.giaoan.violet.vn
 http:/www.tailieu.vn.com
MỤC LỤC
Mục
	Nội dung
Trang
I
Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
1-2
II
Mô tả giải pháp

1
 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
2-3
2
Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
3-6
2.1
Dạng 1: Tổng của dãy cộng.
6-11
2.2
Dạng 2: Tổng của một dãy số các số nguyên viết theo quy luật có đan dấu cộng và trừ.
11-14
2.3
Dạng 3: Tổng của một dãy nhân các số nguyên.
15
2.4
Dạng 4: Tổng một dãy số nguyên của các số có cùng cơ số với số mũ cách đều.
15-23
2.5
Dạng 5: Tổng các tích của các cặp số nguyên mà các cặp số nguyên cách đều nhau.
23-31
2.6
Dạng 6: Tổng các bình phương của một dãy số có các cơ số cách đều nhau.
31-37
2.7
Dạng 7: Tổng các lập phương của một dãy số có các cơ số cách đều nhau.
37-39
2.8
Dạng 8: Tổng của một dãy nhân các phân số 
40-44
2.9
Dạng 9: Tổng của một dãy các phân số có cùng tử, mẫu là tích của các cặp số nguyên cách đều.
44-57
2.10
Dạng 10: Tổng của một dãy các phân số có cùng tử, mẫu là bình phương mà các cơ số cách đều.
57-62
2.11
Dạng 11: Tổng của một dãy các phân số có cùng tử, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp.
62-71
III
Hiệu quả do sáng kiến đem lại
72-73
IV
Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyến
73

Tài liệu tham khảo
75

Mục lục
76