Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học

3 góc nhọn (AB <AC) nội tiếp đường tròn (O), BN và CP là 2 đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng qua N song song với OA cắt PC tại E và cắt BC tại F. Đường thẳng qua P song song với OA cắt BN tại R và cắt BC tại Q, PF cắt QN tại D. 
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh rằng: BQ = FC , từ đó suy ra DQ.RQ = DP.EF
c) Chứng minh rằng 
Tình huống 26. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R), (AB<AC). Ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Vẽ đường thẳng qua H song song với NP cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi giao điểm của AM với (O) là D, OD cắt BC tại I. Đường thẳng qua F vuông góc với IF cắt AH tại J. Với các yếu tố phụ được vẽ thêm đó, ta có thể phát biểu bài toán mới như thế nào?

+ Định hướng 1. Tứ giác BEFC nội tiếp được không? So sánh và .
- Học sinh chứng minh được: Tứ giác BPNC nội tiếp nên . Mà NP//EF nên . Do đó suy ra tứ giác BFEC nội tiếp. 
 Hai tam giác AEF và tam giác ACB đồng dạng nên 
+ Định hướng 2. So sánh IB.IC với ?
- Học sinh chứng minh: Vẽ đường kính DT của (O). Khi đó tam giác BID và tam giác TIC đồng dạng. Suy ra 
Mà nên 
+ Định hướng 3. Dự đoán quan hệ của hai đường thẳng IE và EJ
- Học sinh chứng minh: Giả sử EF cắt BC tại S. Ta có , nên . Suy ra CB là tia phân giác của . Do đó tam giác DCH cân, suy ra HC = CK. Tương tự ta có BH = BD. Suy ra DC là đường trung trực của HK. Do S thuộc BC nên . Kẻ tia tiếp tuyến Ax tại A của (O) sao cho góc BAx là góc nhọn, OA cắt BC tại K
 Dễ dàng chứng minh được Ax//EF mà nên , mặt khác tam giác AOD cân nên . Kết hợp với trên ta có 
 Xét trong tam giác vuông MDI ta có 
 Xét trong tam giác SDI ta có , mà D thuộc (O) nên SD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
 Trong tam giác vuông SDI có . Lại có SBC là cát tuyến với đường tròn nên . Do đó 
Mà suy ra . Từ đó ta có và lại có chung nên 
Suy ra nên tứ giác EMIF nội tiếp. Mà tứ giác MFJE nội tiếp.
 Từ đó ta có 5 điểm E, M, I, F, J cùng nằm trên đường tròn đường kính IJ 
Điều này suy ra IE vuông góc với EJ
 Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 26. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R). Ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Đường thẳng qua H song song với NP cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi giao điểm của AM với (O) là D, OD cắt BC tại I.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp và 
b) Chứng minh 
c) Đường thẳng qua F vuông góc với IF cắt AH tại J. Chứng minh IE vuông góc với EJ
Tình huống 27. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn (O), BN và CP là 2 đường cao tam giác ABC. Gọi G là giao điểm của NP và BC. Từ G kẻ tiếp tuyến GK đến (O) sao cho K thuộc cung nhỏ BC. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của KP, KN với (O). 
 Với các yếu tố phụ được vẽ thêm đó, ta có thể phát biểu bài toán mới như thế nào?

+ Định hướng 1. So sánh PA.AB và AN.AC
- Học sinh chứng minh được: Tứ giác BPNC nội tiếp có hai cát tuyến APB, ANC nên 
+ Định hướng 2. Chứng minh rằng 
- Học sinh chứng minh được: Tứ giác BPNC nội tiếp có hai cát tuyến GPN, GBC nên . Ta lại có GK là tiếp tuyến và GBC là cát tuyến với (O) nên . Từ đó suy ra 
+ Định hướng 3. So sánh hai góc và 
- Học sinh chứng minh được: Theo trên ta có suy ra và lại có chung nên suy ra 
Mà ta có nên do đó NP//EF
Gọi R, Q là giao điểm của NP với (O), khi đó ta có 
Mặt khác dễ dàng chứng minh được , do đó 
Suy ra hay KA là tia phân giác của 
+Định hướng 4. Các đường thẳng AK, NP, CE, BF có đồng quy không? 
- Học sinh chứng minh được: Gọi I là giao điểm của PN và CE. Theo trên ta có mà nên , do đó tứ giác KCNI nội tiếp 
 mà nên 
Điều này dẫn tới KI, KA trùng nhau hay AK, NP,CE
Chứng minh tương tự ta có AK, NP,CE, BF đồng quy.
 Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 27. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn (O), BN và CP là 2 đường cao tam giác ABC. 
a) Chứng minh rằng 
b) Gọi G là giao điểm của NP và BC. Từ G kẻ tiếp tuyến GK đến (O) sao cho K thuộc cung nhỏ BC. Chứng minh rằng 
c) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của KP, KN với (O). Chứng minh rằng KA là tia phân giác của 
d) Chứng minh rằng AK, NP, CE, BF đồng quy. 
Tình huống 28. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm tại H. Vẽ tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại D. Gọi I là trung điểm của BC. Gọi E, F là hình chiếu của điểm D trên các đường thẳng AB và AC. Gọi giao điểm của AD với BC là J, hình chiếu của J trên AB và AC lần lượt là K và M. 
 Với các yếu tố phụ được vẽ thêm đó, ta có thể phát biểu bài toán mới như thế nào?
+ Định hướng 1: Ba điểm I, E, F có thẳng hàng không? 
- Học sinh: Dễ thấy tứ giác nội tiếp nên và tứ giác nội tiếp nên 
 Vì tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại D. Nên D là điểm chính giữa cung BC suy ra BD = CD
 Mà ta lại có . Do đó . 
Suy ra . Từ đó ta có ba điểm I, E, F thẳng hàng.

+ Định hướng 2: Giáo viên nêu các câu hỏi cho học sinh
 ?1. Hai AED và CI D có đồng dạng không? 
- Ta có: AED CID 
?2. Hai AFD và BID có đồng dạng không? 
- Học sinh chứng minh: Ta có AFD BID 
?3. Tổng 
- Học sinh tính được: Vì BE = CF và DE = DF nên ta được 
+ Định hướng 3: Đường thẳng EF đi qua điểm nào của đoạn thẳng HD. 
-Học sinh: Chứng minh được đường thẳng EF đi trung điểm nào của đoạn thẳng HD
+ Định hướng 4: Gọi giao điểm của AD với BC là J, hình chiếu của J trên AB và AC lần lượt là K và M.
?1. Chứng minh AB.AC = AD.AJ và BJ.CJ = AJ.DJ 
- Học sinh chứng minh và và suy ra 
?2. Tính 
- Học sinh tính được 
?3. So sánh diện tích của tam giác ABC và tứ giác AKDM
- Học sinh so sánh được 
 Từ những định hướng trên hãy phát biểu bài toán mới
Bài toán 28: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm tại H. Vẽ tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại D. Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ đường kính AK. Gọi E, F là hình chiếu của điểm D trên các đường thẳng AB và AC
 a) Chứng minh rằng ba điểm I, E, F thẳng hàng.
 b) Chứng minhrằng . 
 c) Chứng minh EF đi qua điểm nào của đoạn thẳng HD. 
 e) Gọi giao điểm của AD với BC là J, hình chiếu của J trên AB và AC lần lượt là K và M. Chứng minh rằng:
 i) 
 ii) 
Tình huống 29. Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Với điểm D bất kì trên cung nhỏ BC và E, I, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA thì kết quả ở bài toán trên còn đúng không? 
 - Học sinh chứng minh và phát biểu được bài toán sau: 
Bài toán 29: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm tại H. Cho A1 là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Gọi E, I, F là hình chiếu của điểm D trên các đường thẳng AB, BC và AC. 
	 a) Chứng minh rằng ba điểm I, E, F thẳng hàng.
	 b) Chứng minh rằng .
Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của HD. 
 Như vậy với việc vẽ thêm một số yếu tố phụ, thêm một số giả thiết mới cho bài toán cơ bản, giáo viên có thể đặt câu hỏi giúp học sinh sáng tạo xây dựng cho mình các bài toán mới. Quá trình sáng tạo ra bài toán mới, học sinh được củng cố kiến thức cơ bản va rèn luyện cho bản thân năng lực giải toán cũng như bồi dưỡng tư duy sáng tạo. 
 Ngoài các tình huống như các bài toán trên giáo viên có thể sử dụng cách đặc biệt hóa các bài toán trên kết hợp với một số giả thiết khác để hướng dẫn học sinh phát hiện và xây dựng bài toán mới khác.
Tình huống 30. Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) với . 
 Cùng với một số giả thiết như các bài toán trên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát biểu được một số bài toán như sau.
Bài toán 30. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) có và AB < AC. các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Chứng minh rằng và 
Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp đường tròn tâm D.
Gọi I là giao điểm của đoạn AD với (D; DB). Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và IH = IO.
Chứng minh rằng .
Bài toán 31. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và , nội tiếp trong đường tròn (O; R), ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.
a) Tính số đo 
b) Khi A di động đường tròn sao. Chứng minh rằng biểu thức BP.BA + CN.CA có giá trị không đổi.
c) Xác định vị trí của A trên đường tròn để tứ giác BCNP có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
 d) Gọi G là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Tính đọ dài HG theo R.
Tình huống 31. Xét tam giác ABC nhọn với , nội tiếp đường tròn (O;R). 
 Cùng với một số giả thiết như các bài toán trên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát biểu được một số bài toán như sau.
Bài toán 32. Cho tam giác ABC có , các góc B và C đều nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao BN, CP cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
 a) Chứng minh các điểm M, P, O, N, C cùng nằn trên một đường tròn và AN = BN.
 b) Chứng minh IN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác APN.
 c) Tứ giác BPON là hình gì?
 d) Chứng minh .
 e) Kẻ đường kính AK cắt NP tại D. Chứng minh tứ giác DNCK nội tiếp và tính diện tích của tam giác PIN theo R.
 g) Chứng minh IJ, NP, và OH đồng quy.
Bài toán 33. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và . Vẽ 3 đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H.
a) Lấy J thuộc NP sao cho MJ//AC. Chứng minh rằng tam giác BJH vuông.
b) Cho IN cắt MJ tại K .Chứng minh rằng .
c) Cho . chứng minh rằng đường thẳng OH và đường trung trực của BH cắt nhau tai một điểm nằm trên cạnh AB.
 d) Cho BC = AH. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây BC và có điểm D. Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC để HK, MN, PI đồng quy tại 1 điểm
Tình huống 33. Xét tam giác ABC cân tại A có ba góc nhọn. Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Học sinh có thể phát biểu bài toán mới như sau.
Bài toán 35. Cho tam giác ABC cân tại A có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O; R), ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. 
 a) Chứng minh tứ giác APHN nội tiếp và xác định tâm J của đường tròn.
 b) Chứng minh tứ giác DBHC là hình thoi.
 c) Chứng minh 
 d) Giả sử lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống các đường thẳng . Chứng minh 
PHẦN III - KẾT LUẬN
 Như vậy từ tình huống cụ thể và cách nêu ra các định hướng cho từng tình huống, học sinh được rèn luyện năng lực giải toán cũng như bồi dưỡng tư duy sáng tạo. Việc làm như thế ở người giáo viên được lặp đi, lặp lại và thường xuyên trong quá trình lên lớp sẽ dần dần hình thành cho học sinh có phương pháp, thói quen đào sâu suy nghĩ, khai thác các kiến thức toán, các bài tập toán ở nhiều góc độ khác nhau để từ đó tìm ra được nhiều cách áp dụng cho các trường hợp cụ thể. Thông qua đó học sinh được phát triển năng lực sáng tạo toán học, nhất là những học sinh khá giỏi. Qua mỗi giờ dạy người giáo viên cần giúp học sinh làm quen và sau đó tạo cơ hội cho học sinh luyện tập, thể hiện một cách thường xuyên thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, hệ thống bài tập từ dễ đến khó.
	Trên đây là một vài ý tưởng của chúng tôi đã đưa ra trong quá trình lên lớp trong giờ học.
	Kết quả là:
	- Giúp các em nắm được kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình huống cụ thể.
	- Khi thực hiện bài giảng này trong giờ luyện tập, thấy các em hứng thú tiếp thu và hứng thú học tập.
	- Giúp cho học sinh không những hình thành kỹ năng giải toán mà còn giúp các em rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, tương tự hóa, đặc biệt hóa 
	- Bước đầu hình thành ở các em cách học sáng tạo, tạo cho các em có thói quen sau khi giải quyết xong bài toán tự mình nghiên cứu, khai thác tìm cho mình các lời giải mới hoặc tự đặt cho mình những bài toán mới,Qua đó giúp các em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu.
 - Thông qua tiết dạy, không có gì đáng để bàn thêm, học sinh chỉ cần hoàn thành yêu cầu của bài toán là xong. Như thế trong tiết luyện tập nếu trước đó giáo viên giao bài về nhà để học sinh làm, tiết sau chữa thì chỉ tìm thấy cái đúng, sai của học sinh, rèn kĩ năng trình bày cho học sinh. Còn đối với học sinh khá giỏi thì một tiết học đó không mang lại kết quả nhiều như mong muốn. Nếu giáo viên thực hiện khai thác, phát hiện vấn đề xung quanh bài toán thì tiết học đó sôi nổi, cuốn hút mọi đối tượng học sinh, phát huy hết khả năng sáng tạo của trò. Một tiết học như vậy sẽ để lại nhiều ấn tượng. Từ đó học sinh sẽ tự mình làm những việc mà trước đó người giáo viên phải làm hoặc thiết kế cho học sinh.
 Trong quá trình giảng dạy ở hai lớp 9A, 9B va tham gia BGHSG cho trường, chúng tôi đã khảo sát trên hai nhóm học sinh bằng bài kiểm tra dưới hình thức cho 02 bài toán trong đó 01 bài trong SGK, 01 bài toán nâng cao lấy trong sách tài liệu tham khảo và có thay đổi một chút. 
 + Nhóm thực nghiệm: 30 học sinh lớp 9A. 
 + Nhóm đối chứng : 30 học sinh lớp 9B.
 Các học sinh ở các nhóm được đánh số thứ tự từ 1 đến 30.
Kết quả thu được sau khi khảo sát như sau:

Nhóm thực nghiệm

Nhóm đối chứng
Số học sinh
KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động

KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động
1
8
8
9

7
7
8
2
7
7
8

6
7
8
3
8
8
9

6
6
7
4
8
8
9

7
8
8
5
8
8
9

3
5
7
6
8
8
9

5
4
5
7
8
8
10

7
7
6
8
7
7
8

7
8
6
9
8
8
9

6
7
7
10
8
8
9

6
5
6
11
6
7
8

4
5
6
12
8
8
9

8
8
8
13
7
8
9

5
6
6
14
7
7
8

6
6
5
15
7
8
9

5
6
6
16
8
8
9

7
6
7
17
8
8
9

5
7
6
18
7
9
10

5
5
6
19
8
8
10

6
6
6
20
7
8
9

7
6
6
21
8
8
9

4
5
4
22
8
8
9

5
6
6
23
8
8
9

7
6
7
24
7
8
9

7
8
6
25
8
9
10

4
5
6
26
8
8
9

3
5
6
27
8
8
9

3
4
5
28
8
8
9

8
7
7
29
7
7
8

4
5
6
30
7
8
9

6
6
5








Môt
(mode)
6.0
5.0
7.0

7.0
6.0
6.0
Trung vị
(median)
5.5
5.5
7.0

6.0
6.0
6.0
Giá trị trung bình(average)
5.43
5.53
7.00

5.63
6.10
6.23
Độ lệch chuẩn(stdev)
1.01
1.01
0.95

1.45
1.21
0.94
Giá trị p(ttest)
0.54
0.05
0.00




Mức độ ảnh hưởng(SE)


0.82





 	Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài:"Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học". Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, chúng tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả các đối tượng học sinh và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân chúng tôi là chính. Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ ích của các thầy giáo, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Xin chân thành cảm ơn !.