Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)

h của ABC. Chứng minh rằng : 
Giải 
	Đặt : .
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:	
Û 	(*)
Dễ thấy Đẳng thức xảy ra khi x = y ; y = z ; x = z
Suy ra VT (*) 
Đẳng thức xảy ra khi 
Bài 3: Cho ABC. CMR: (1)
Giải
	Đặt : thì (1) Û 	(2)
Ta có:
VT (2) = 
Dấu “ = ” xảy ra Û x = y = z Û a = b = c Û ABC đều.
Bài 4. (Thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tp Hà Nội năm học 2012-2013)
 Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Giải
Đặt suy ra 
x, y, z > 0 và x + y + z = 3 khi đó
Tương tự
 khi đó (*) trở thành 
Mặt khác áp dụng bđt côsi ta có 
Đẳng thức xảy ra khi x = z
Tương tự 
Đẳng thức xảy ra khi lần lượt có x = y và y = z
Cộng theo từng vế các bđt trên ta có 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy ta có : 	
 Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 3
Lời bình
 Đây là bài toán khó trong đề thi, có rất nhiều học sinh không giải được bài tập này.
Do vai trò của a, b, c trong bđt đã cho không bình đẳng vì vậy các em gặp khó khăn trong việc tìm đường lối giải. Bằng cách đặt Đặt ta đưa bài toán về dạng quen thuộc là vai trò của các biến x, y, z trong bđt bình đẳng, từ đó dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y = z đây chính là điểm mấu chốt để có lời giải trên.
Bài tập vận dụng
1. Với các số dương a, b, c thỏa mãn , chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
HD. Đặt , ta thu được: .
Ta có: 
Biến đổi tương tự, ta được: 
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
2. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
HD. Chia cả hai vế cho , ta được:	
Đặt bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
3. Chứng minh	
HD: Đặt .
Bài toán trở thành chứng minh: 
Để giải được tiếp tục nhận xét điểm rơi ở bài này là 
4. Cho Tìm GTNN của biểu thức:
HD : Ta có 
Đặt 
5. Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
HD : Ta có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc = 1) 
 2.4. Các bất đẳng thức thường dùng được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy (Côsi)
 a. 
 Đẳng thức xảy ra khi x = y
 b. 
 Đẳng thức xảy ra khi x = y =z
 c. 
Chứng minh 
Áp dụng bđt côsi cho hai số dương ta có
Nhân theo từng vế hai bđt trên ta được
 hay Đẳng thức xảy ra khi x = y
Chú ý: (1) còn có thể viết dưới các dạng sau: 
b. Vì x, y, z là ba số dương nên áp dụng bđt côsi cho ba số ta có 
 ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z )
 ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).
Do đó 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Chú ý: (2) còn có thể viết dưới các dạng sau: 
c. Do áp dụng bđt côsi Ta có: 	
Vận dụng giải bài tập
 2.4.1. Áp dụng bất đẳng thức (1)
 ( Đẳng thức xảy ra khi x = y ) 
Bài 1. Cho các số: x > 0, y > 0. thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
Giải: 
 Để ý rằng: và ; . Áp dụng (1) Ta có
Mà ( Do x + y > 0 ) 
 ( Do ( x + y )2 > 0 ) 
Vậy ( Đẳng thức xảy ra khi )
 Bài 2: Cho các số: x > 0, y > 0. thỏa mãn . 
 Chứng minh rằng: 
Giải: Do x > 0, y > 0 áp dụng (1-4) ta có: 
Mà 
 ( Đẳng thức xảy ra khi ) 
Kết hợp các bài toán 1 và bài toán 2 ta có bài toán sau: 
Bài 3: Cho các số: x > 0, y > 0. thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Giải
Ta có: 
 +) Theo bài 1: ( *)
 +) Theo bài 2: (**)
Cộng theo từng vế ( *) và (**) ta được 
 Hay ( Đẳng thức xảy ra khi ) 
Lời bình
 +) Do vai trò của x và y bình đẳng nên ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y = 5, từ đó 
 +) Nhận thấy các bất đẳng thức trên đều tồn tại các giá trị của biến để có đẳng thức nên có thể chuyển thành bài toán cực trị đại số.
 +) Sử dụng kết hợp với bất đẳng thức cô-si, hoặc một số bất đẳng thức khác ta được một số bài toán sau:
 Bài 4: ( Thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thành phố Hà Nội năm học: 2008-2009 )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết	
 , với a > 0, b > 0 và .
* Nhận xét : Với các biểu thức mà vai trò của các biến bình đẳng thì cực trị thường đạt được khi giá trị các biến bằng nhau.
 +) Xuất phát từ cách giải ( bài toán 1) ta viết biểu thức P dưới dạng:
 Giải tương tự (bài toán 1) ta có: (*) (Đẳng thức xảy ra khi: a = b = 2) 
 Đến đây nhiều học sinh nghĩ rằng sẽ sử dụng bđt Cô-si cho hai số dương và : được nhưng đẳng thức xảy ra khi Mâu thuẫn với điều kiện xảy ra đẳng thức ở (*). Vậy phải tách như thế nào ?
 +) Từ bđt (1-4) ta thấy với m, n là các số dương thì 
(Đẳng thức xảy ra khi: a = b). Nên luôn tìm được GTNN của những biểu thức dạng ( Với m > 0, n > 0)
 +) Với điều kiện a = b = 2 thì Vậy nên tách 
Từ đó ta đi đến cách giải sau:
 Giải Ta có
 +) Do a > 0, b > 0. Giải tương tự (bài toán 1) ta có 
 (*) 
 ( Đẳng thức xảy ra khi )
 +) Do a > 0, b > 0, áp dụng bđt cô-si ta có (**)
 ( Đẳng thức xảy ra khi )
 +) Do a > 0, b > 0. Giải tương tự (bài toán 2) ta có (***)
 ( Đẳng thức xảy ra khi ) 
Cộng theo từng vế các bđt (*), (**), (***) ta được 
 (Đẳng thức xảy ra khi )
Vậy : khi a = b = 2.
Bài 5: ( Thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hà Tây năm học: 2007-2008 )
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
* Nhận xét
 Vai trò của các biến x, y, z bình đẳng nên cực trị thường đạt được khi các biến bằng nhau. 
Giải
Áp dụng (2) ta có : 
 Mà ; 
Suy ra 
 ( Đẳng thức xảy ra khi: ) 
Cmtt ta có 
 ( Đẳng thức xảy ra khi ) 
 ( Đẳng thức xảy ra khi ) 
 Cộng từng vế các bđt trên ta có
 ( Đẳng thức xảy ra khi ) 
và kết hợp với . Ta có 
( Đẳng thức xảy ra khi: )
Vậy 
 Bài 6: ( Thi tuyển sinh vào 10, THPT chuyên Toán-Tin, Đại học Vinh năm học: 2002-2003 )
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = a + b + c thì
Giải
Áp dụng (1-2) ta có : 
Đẳng thức xảy ra khi Mâu thuẫn giả thiết. Do đó không xảy ra đẳng thức. Vậy 
Cmtt ta có 
Cộng theo từng vế các bđt trên ta có:
 Bài 7: ( Thi tuyển sinh vào 10, chuyên Toán, thành phố Hải Phòng năm học: 2003-2004 )
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng
Giải
Trước hết ta chứng minh bđt: (*)
 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Thật vậy 
Dễ thấy (**) đúng với mọi giá trị của x, y, z đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Vậy 
Áp dụng bất đẳng thức (1) và (*) ta có
Đẳng thức xảy ra khi vô lí
Do đó dấu “=” không xảy ra
Vậy 
2.4.2. Áp dụng bất đẳng thức 
Bài 8: (Thi vào chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội 1992-1993)
Cho a, b, c > 0 và . Chứng minh rằng:
Giải
Do Áp dụng bđt (2) ta có 
Đẳng thức xảy ra khi 
Mặt khác 
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi 
Bài 9. Chứng minh rằng : 	(*)
Giải 
Ta biến đổi (*) tương đương: 
Û Û (đpcm )
Lời bình
 Nhận thấy tổng của tử và mẫu trong mỗi phân thức đều bằng a + b + c nên ta tìm cách quy đồng tử nhằm làm xuất hiện thừa số chung.
Bài 10. Chứng minh rằng : 
Giải
Ta biến đổi tương đương BĐT như sau: 
Û (đpcm )
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c	
Bài 11. Chứng minh rằng : , (BĐT Nesbit)
Giải
Ta biến đổi tương đương BĐT như sau: 
	Û 
	Û 
	 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài 12. Cmr (*)
Giải
Ta biến đổi BĐT như sau: 
	Û 
	Û 	
	Û 
	Û 
	Û 
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Ta còn có thể vận dụng các bất đẳng thức trên vào giải quyết và sáng tạo ra các bài toán chứa bất đẳng thức hình học hoặc tìm cực trị hình học.
Bài 13: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi đường vuông góc từ điểm M nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là MD, ME, MF. Xác ddingj vị trí của M để:
 a. đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.
 b. đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó
Giải
Gọi chiều cao tam giác ABC là h ta dễ thấy . Đặt MD = x; ME = y; MF = z. Ta có không đổi
 a. Áp dụng bđt (2) ta có
Áp dụng bđt (2) ta có
Trong cả hai trường hợp đẳng thức xảy ra khi x = y = z, khi đó M là tâm cua tam giác ABC
Bài 14: (Thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tp Hà Nội năm học 2011-2012) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao h1; h2; h3 và bán kính đường tròn nội tiếp r là tam giác đều là: 
Giải
 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác ứng với đường cao h1; h2; h3.
Ta có 
Vậy 
+) Nếu tam giác đều ta dễ cm: h1 = h2 = h3 khi đó
+) Nếu 
Áp dụng bđt (2-1) ta có 
Dấu “=” xảy ra khi h1 = h2 
Dấu “=” xảy ra khi h2 = h3 
 Dấu “=” xảy ra khi h3 = h1 
Cộng theo từng vế các bđt trên ta được 
 Dấu “=” xảy ra khi h1 = h2 = h3 khi đó tam giác đã cho là tam giác đều.
 Vậy: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao h1; h2; h3 và bán kính đường tròn nội tiếp r là tam giác đều là: 
2.4.3. Áp dụng bất đẳng thức 
Bài 15. CMR: 	
Giải
Ta có :	
Dấu “ = ” xảy ra Û 
Bài 16. CMR: 
Giải
Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau :
Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 2 và b = 1.
Bài 17. CMR : 	
Giải
Nhận xét : dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc xử lí với một biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Do đó :
 Ta có đánh giá về mẫu số như sau: 
Vậy: 
Dấu “ = ” xảy ra Û 
Lời bình
 +) Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kĩ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b.
 +) Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu của BĐT. 
Bài tập vận dụng
Cho a > 0, b > 0, a + b = 1. Chứng minh rằng
a. 
b. 
 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và gọi p là nửa chu vi của tam giác ấy. Chứng minh:
3.(Thi chọn học sinh giỏi lớp 9 huyện Mỹ Đức năm 2012-2013) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng 
4. (Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán-tin, Đại học KHTN Hà Nội, 2002-2003) 
 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) với ba đường cao AA1, BB1, CC1 lần lượt cắt (O) lần nữa tại D, E, F. Xác định dạng của tam giác ABC sao cho
 a. đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó
 b. đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó
6. Trong các tam giác ngoại tiếp đường tròn (O; r) hãy xác định dạng của tam giác sao cho tổng độ dài ba đường cao đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó
 7. Cho tam giác ABC, M thuộc miền trong tam giác. Gọi MA, MB, MC thứ tự giao với BC, AC, AB tại D, E, F. Chứng minh:
a) ; 	 b) ; 	
c) ;	d) ;
e ) ; 	f) .
Cho CMR : 
(Thi ts vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Hà Tây, 2003-2004)
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 (Thi ts vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Hà Tây, 2005-2006)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 Trên đây tôi đã trình bày một số phương pháp nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng bất đẳng thức cauchy (côsi) trong chứng minh bất đẳng thức và giải các bài toán cực trị. Đề tài này tôi đã triển khai trong năm học 2012-2013
3. Kết quả 
 Trong năm học 2012 – 2013, tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp 9 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán huyện Mỹ Đức. Tôi đã áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho học sinh. Sau khi áp dụng, tôi nhận thấy đa số các em đều có kỹ năng vận dụng giải bài tập tương đối tốt. 
 Với cách phân loại cụ thể với mức độ tăng dần các em dễ tiếp thu. Bên cạnh đó các em được rèn luyện kỹ năng bằng các bài tập vận dụng sau mỗi phương pháp qua đó các em thấy tự tin, hứng thú hơn trong học tập. 
Kết quả đối chứng sau đây sẽ chứng tỏ điều đó 
 Trước khi đề tài thực hiện 
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
9C
32
5
9
11
7

Sau khi thực hiện đề tài 
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
9A
32
10
15
7
0
 Ngoài ra các bài toán này gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi của trường, học sinh giỏi cấp huyện, thành phố, thi tuyển sinh vào các trường chuyên các em đều giải bài toán này đạt kết quả cao.
 C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
 1. Kết luận và khuyến nghị
 Các bài toán về bất đẳng thức hay cực trị thường là những bài tập khó vì vậy để đạt được hiệu quả cao đòi hỏi mỗi giáo viên không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phải tìm tòi các phương pháp giúp học sinh dễ hiểu và tiếp thu một cách dễ nhất, nhanh nhất, biết chuyển những nội dung khó thành những nội dung đơn giản, gần gũi với các em. 
 Bằng những phương pháp đã nêu trong đề tài hệ thống bài tập được xây dựng từ dễ đến khó giúp học sinh được tiếp cận và rèn luyện kỹ năng một cách nhẹ nhàng, tự nhiên. 
 Thông qua các lời bình sau mỗi bài tập các em không chỉ nắm vững kiến thức, kỹ năng tìm lời giải mà còn được tìm hiểu nguồn gốc và cách xây dựng đề toán qua đó giúp các em bước đầu có ý thức sáng tạo ra những ý tưởng mới, hay từ những nội dung cơ bản đây cũng chính là cách để các em rèn luyện khả năng tư duy, phát triển trí tuệ nhằm đáp ứng được đòi hỏi của cuộc sống sau này. 
 Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường, tôi rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của nhóm chuyên môn cũng như hội đồng khoa học cơ sở. Điều đó sẽ giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong quá trình giảng dạy sau này.
 2. Bài học kinh nghiệm
 Trong quá trình thực hiện đề tài và qua thực tiễn giảng dạy bộ môn toán tôi rút ra một số kinh nghiệm.
 a. Với mỗi bài toán cần hướng dẫn cho các em nắm chắc phương pháp giải các bài toán cơ bản, vận dụng giải thành thạo các dạng của loại toán đó sau đó mới đưa các bài tập nâng cao yêu cầu học sinh phải độc lập suy nghĩ và suy nghĩ sáng tạo mới giải được.
 b. Cần thường xuyên ôn lại loại toán đã học.
 c. Nếu điều kiện học sinh tiếp thu tốt thì có thể khái quát hoá và tổng quát hoá bài toán và cách giải.
 d. Cần hướng dẫn học sinh tìm tòi nhiều cách giải và biết chọn cách giải hay nhất để trình bày vào bài làm. 
 e. Tạo cho học sinh tiềm tin và khát vọng nếu cố gắng nỗ lực thì kết quả ngày càng cao. 
 g. Chỉ giúp đỡ học sinh trong việc tìm tòi lời giải khi nào không có sự giúp đỡ của giáo viên thì các em không vượt qua được và bằng phương pháp gợi mở. Tránh giải bài toán cho học sinh. 
 h. Rèn cho học sinh nếp suy nghĩ khoa học, không bao giờ thoả mãn với kết quả đã đạt được.
 i. Kỹ năng trình bày lời giải toán phải chặt chẽ có cơ sở khoa học trong phạm trù kiến thức cho phép của bậc học.
 Trên đây là điều rút ra qua quá trình thực hiện đề tài cũng như quá trình giảng dạy của bản thân trong nhiều năm giúp học sinh học tốt và có niềm đam mê đối với bộ môn toán. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Xác nhận của thủ trưởng cơ quan
 Tôi xin cam đoan: Đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
Mỹ Đức ngày10 tháng 5 năm 2013
 Người làm đề tài . 
 Nguyễn Trọng Tuân
 
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1 . Tạp chí Toán học và tuổi trẻ – Nhà xuất bản Giáo dục.
 2 . Nâng cao và phát triển Toán 8 – Tác giả : Vũ Hữu Bình.
 3 . Nâng cao và phát triển Toán 9 – Tác giả : Vũ Hữu Bình.
 4 . Tuyển chọn các đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên môn Toán. 
 ( Nhóm tác giả : Nguyễn Ngọc Đạm – Tạ Hữu Phơ ). 
 5. Các bài toán bất đẳng thức trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn
 6. Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn
 7. Các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 của thành phố Hà Nội và một số tỉnh thành.