Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng định hướng cho học sinh giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

oảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
 Bước 1: Xác định mp(P) sao cho: (P) chứa b và song song với a (hoặc chứa a song song b)
Bước 2: Với A bất kỳ thuộc a ta có: d(a, b) = d(A,(P))

Như vậy, trong trường hợp này để xác định được khoảng cách giữa hai đường a, b ta cần xác định được mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song đường thẳng kia. 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, BC=2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm H của AB. Góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 
Phân tích: Ta thấy MN song song với BD nên ta chọn mp(ABCD) chứa AC và song song với MN. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC bằng khoảng cách giữa đường thẳng MN và mp(ABCD) và bằng khoảng cách từ M tới mp(ABCD). Mà đây là bài toán chúng ta đã làm rất rõ ở phần trước.
Giải: 
+MN//BDMN//(ABCD). 
Vậy: dMN,AC=dMN,ABCD=dM,ABCD.
+ Trong mp(SAB), kẻ MK//SH, K trung điểm HB. 
Suy ra, MK ABCDdM, ABCD=MK
+ Tính MK:
 Ta có: MK=12SH=12HC (do SCH=450). Nên MK=12a172=a174. 
Vậy: dMN,AC=a174. 

Ví dụ 2: (Trích đề thi KSCL GV Hà Tĩnh năm 2014).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C’, A’B’= 2a, B’C’=a3. Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Góc giữa AA’ và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa BB’ và AC theo a.
Phân tích: Ta có BB’ song song với AA’ nên ta chọn mp(A’ACC’) chứa AC và song song với BB’. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC bằng khoảng cách giữa đường thẳng BB’ và mp(A’ACC’) và bằng khoảng cách từ B tới mp(A’ACC’)
Giải: 
+BB’//AA’ BB’//(A’ACC’), 
Suy ra: dBB',AC=dBB',A'ACC'=dB,A'ACC'. 
+ Tam giác ABC vuông ở C nên H là trung điểm AB:
dB, A'ACC'=2dH, A'ACC'. 
+ Kẻ HM AC, M là trung điểm AC (E BD), HKA’M (K A’M)
Khi đó: d(H, (A’ACC’)) = HK
+Trong tam giác vuông A’HA: A'H=AH.tan600=a3 , HM=a32. 
Ta có: 
Trong ∆A'HA: A'H=AHtan600=a3
HM=12BC=a32. 
Vậy d(BB’, AC) = 2a155. 

Qua hai ví dụ ta thấy bài toán đã cho sẵn mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song đường thẳng kia. Vậy những bài toán không có sẵn ta phải làm sao. Ta xem ví dụ sau:
Ví dụ 3: (Trích đề thi GV dạy giỏi THPT cấp tĩnh năm học 2015-2016).
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mp (ABC) là điểm H thuộc cạnh BC sao cho: HB= 3HC và cạnh SA tạo với mp (ABCD) một góc 600.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. 
Phân tích: Vì bài toán không có sẵn mp chứa SB song song với AC hay mp chứa AC song song với SB nên ta sẻ dựng mp chứa đường thẳng này và song song đường thẳng kia. Trong mp(ABC) ta kẻ BD // AC (ABCD là hình bình hành). Khi đó AC song song mp(SBD) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng khoảng cách giữa AC và mp(SBD) và bằng khoảng cách từ C tới mp(SBD).
Giải: 
+ Trong mp(ABC): dựng hình bình hành ABDC: AC // BD AC // (SBD),
Suy ra: dAC,SB=dAC,SBD=dC,SBD. 
+ Ta có: d(C, (SBD)) = CBHB. d(H, (SBD)) = 43. d(H, (SBD))
+ Kẻ HMBD (M BD), kẻ HKSM (K SM), khi đó: d(H, (SBD)=HK.
+ Tính HK:Ta có, N trung điểm BC: ANBC (do tam giác ABC đều cạnh a),
AN= a32 , NH= 14BC= a4 
AH= a134
SH=AH.tan600 = a394
Xét tam giác vuông MHB: BH =3a4 , MBH =600 (MBH=BCA) 
 Suy ra: MH=HB.sin600= 3a38
 Xét tam giác vuông SHM: 
1HK2=1HM2+1SH2=16.619.39a2 
 ⇒HK=3a39461 
Vậy d(AC,SB)= 43HK=a3961.
.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC có AB =AC= a, BAC = 1200. Góc giữa SC và đáy bằng 300 và I là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa AI và SB.
Phân tích: Ta dựng mặt phẳng chứa AI và song song SB. Kẻ IN song song SB thì SB song song mp(ANI). Khi đó khoảng cách giữa SB và AI bằng khoảng cách giữa SB và mp(ANI) và bằng khoảng cách từ B tới mp(ANI). (Phương pháp tạo hình chóp phụ).
Giải: 
+Gọi N trung điểm SC. Ta có: NI//SB ⇒SB//(ANI) 
 Nên ta có:dSB,AI=dSB,(ANI)=dB,ANI. 
+ Góc giữa SC và ABC là: SCA=300. Ta có: SA =AC.tan300 =a33. 
+ Trong mp(SAC), kẻ NM//SA, M trung điểm AC ⇒MN⊥ABC
Nên ta có:dB,ANI=dC,ANI=2dM,ANI.
+ Kẻ ME⊥AI, MAI 
 và MK⊥NE, K NE. 
Ta có: MK⊥NEMK⊥AI⇒MK⊥ANI⇒dM,ANI=MK.
+ Xét tam giác vuông MNE:
 MN =12SA=a36 
ME=12CI=12AC.sinCAI = a34 
Ta có: 1MK2=1NM2+1ME2=523a2 ⇒MK=a352
Vậy: d(AI,SB)= a3913.


 Bài tập tương tự:
Bài 1: (Trích đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2012).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H nằm trên AB sao cho HA =2HB. Góc giữa SC và đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa BC và SA theo a.
 Hướng dẫn:d(BC,SA) =d(B, (SAD))=32dH, SAD =a428. 
Bài 2: (Trích đề thi ĐH_CĐ khối D năm 2008).
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông và AB=BC=a, AA'=a. Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa AM và B'C theo a.
 Hướng dẫn:dB'C,AM=dB', AMN= d(B, (AMN))=a77.
Bài 3: (Trích đề thi HSG tĩnh Hà Tĩnh năm 2014).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Gọi I là trung điểm AC. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thỏa mãn BI=3IH. Góc giữa mp(SAB)và mp(ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa AB và SI theo a.
 Hướng dẫn: dAB,SI=dA, SMI=14dH, SMI =a147294.
Bài 4: (Trích đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại , AB=BC=2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm AB. Mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa (SBC) và mp(ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa AB và SN theo a.
 Hướng dẫn:dAB,SN=dAB, SNE=dA, SNE=AK= a15613.
(E là trung điểm BC. I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên EN và SI).
 b) Phương pháp 2: Sử dụng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Bước 1:+ Xác định mp(P) sao cho: (P) 
 chứa a và song song với b 
 + Xác định mp(Q) sao cho: (Q) 
 chứa b và song song với a. 
Bước 2: Với A bất kỳ thuộc (P), B bất kỳ 
 thuộc (Q) ta có: 
 da,b=dA,Q=dB,P. 

 Như vậy, trong trường hợp này để xác định được khoảng cách giữa hai đường a, b ta cần xác định được mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song đường thẳng kia. 
Ví Dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'D và AC theo a.
Phân tích: Ta cần tìm hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng A'D và AC. Vì AC song song với A'C' nên AC song song với mpA'C'D. B'C song song với A'D nên A'D song song với mp(B'CA). Do đó mp(A'C'D) song song với mp(B'CA) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng A'D và AC bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A'C'D) và (B'CA). Mà khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A'C'D) và (B'CA) bằng khoảng cách từ D tới mp(B'CA) nên ta tính được dễ dàng.
Giải: 
+ Ta có: AC//A'C' ⇒AC//(A'C'D) 
+ Ta có: B'C//A'D ⇒A'D//(B'CA) ⇒(A'C'D)//(B'CA) 
+ Khi đó: dA'D,AC=d((A'C'D),(B'CA))= dD,B'CA=dB,B'CA. 
+ Gọi I là giao của AC và BD: AC⊥BD.
 Trong mp(B'BI), kẻ BK⊥B'I, K∈ B'I
⇒BK⊥B'CA⇒d(B,(B'CA)) =BK
+ Xét tam giác vuông B'BI: BB'=a, BI=BD2=a22 
Ta có: 1BK2=1BB'2+1BI2=3a2⇒BK=a33
Vậy: d(A'D,AC)= a33.

Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để tính khoảng cách giữa A'D và AC (Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn). 
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa A’B và mp(ABC) bằng 600. Biết M, N lần lượt trung điểm AC và A’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và C’M theo a.
Phân tích: Ta cần tìm hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng BN và C'M. Vì AN song song với C'M nên C'M song song với mp(ABN). Gọi P là trung điểm BC thì MP song song với AB nên AB song song với mp(C'MP). Do đó mp(ABN) song song với mp(C'MP) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và C'M bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABN) và (C'MP). Mà khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABN) và (C'MP) bằng khoảng cách từ B tới mp(C'MP) nên ta tính được dễ dàng.
Giải: 
+ Ta có: AN//C'M ⇒C'M//(ABN). 
+ Gọi P trung điểm BC. Ta có: MP//AB ⇒AB//(C'MP)⇒(ABN)//(C'MP). 
+ Khi đó: d((ABN),(C'MP)) =dB,C'MP=d(C,(C'MP)). 
+ Gọi E trung điểm MP: CE⊥MP
 Trong mp(C'CE), kẻ K⊥C'E, K C'E⇒CK⊥C'MP⇒ d(C,(C'MP)) =CK.
+Góc giữa A'B và mp(ABC) bằng 600 và bằng góc A'BA nên AA'=AB tan600=a3.
+ Xét tam giác vuông C'CE: CC'=AA'=a3, CE=a34. 
Ta có: 1CK2=1CC'2+1CE2=173a2⇒CK=a317.
Vậy: d(BN,C'M)= a5117.

 Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B, BA=BC =a. Góc giữa A’B và mp(ABC) bằng 600. Biết M, N lần lượt trung điểm AC và A’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và C’M theo a.
Hướng dẫn: dBN,C'M= dABN, MEC'=dA, MEC'= 
 =dC, MEC'=CH=a3913 , (E là hình chiếu của M trên BC).
Bài 2: (Trích đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2012)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tính khoảng cách giữa MN và AC theo a.
Hướng dẫn:d(MN,AC)= d(MNP, SAC=d(H, SAC)=HO=a24. (P,O,H lần lượt là trung điểm AB, AC, PN). 
 c) Phương pháp 3:	Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua thể tích của khối chóp.
Có thể xem đây cũng chính là bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song mà ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng bằng phương pháp thể tích đã trình bày ở phần trước.
Ví dụ 1: (Trích đề thi KSCL GV Hà Tĩnh năm 2014).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C’, A’B’= 2a, B’C’=a3. Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Góc giữa AA’ và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa BB’ và AC theo a.
Phân tích: Ta có BB' song song với AA' nên BB' song song với mp(A'AC). Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC bằng khoảng cách giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (A'AC). Mà khoảng cách giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (A'AC) bằng khoảng cách từ B tới mp(A'AC) nên ta tính được thông qua thể tích của khối chóp B.A'AC.
Giải: 
+ BB'//AA' BB'//(A'AC)⇒dBB',AC=dBB',A'AC=dB,A'AC. 
+ Ta có: VB.A'AC= 13. d(B, (A'AC)). S∆A'AC d(B,(A'AC))=3VB.A'ACS∆A'AC 
+ Góc giữa AA' và (ABC) là:A'AH=600 nên ta có A'H=AHtan600=a3. 
+ Ta có: VB.A'AC= VA'.ABC = 13.A'H. S∆ABC= a32 
+Xét tam giác A’AC:AA'=2a, AC=a, A'C=2a
Nên: S∆A'AC = a2154 
 Vậy d(BB',AC) =2a155.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với AB=2a, AC=a3. Hình chiếu của S trên (ABCD) trùng với giao điểm I của AC và BD, biết SI=a2. Gọi M là trung điểm SC. Tính khoảng cách giữa SA và BM theo a.
Phân tích: Ta có IM song song với SA nên SA song song với mp(BMI). Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM bằng khoảng cách giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (BMI). Mà khoảng cách giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (BMI) bằng khoảng cách từ A tới mp(BMI) và bằng khoảng cách từ C tới mp(BMI) nên ta tính được thông qua thể tích của khối chóp C.BMI.
Giải: 
+ Khi đó: dSA,BM=dSA,BMI=dA,BMI=dC,BMI. 
 + Ta có: VC.BMI= 13. d(C,(BMI)). S∆BMI d(C,(BMI)=3VC.BMIS∆BMI. 
+ Ta có: SA//MI ⇒SA//(BMI). 
+ Ta có: VC.BMI= VM.CBI= 12. VS.CBI==12.SI. S∆CBI= a3158 
+ S∆BMI = 12.MI.IB=12.12SA.IB =a211016.
Vậy d(SA,BM)=3a6611.

Bài tập tương tự:
Bài 1: (Trích đề thi thử ĐH-CĐ lần 1 của THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2013.)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy một góc 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết MN=a22. Tính thể tích khối tứ diện MNBS và khoảng cách giữa BM và SN theo a.
 Hướng dẫn: d(BM,SN)=dA,SCD=3VA.SCDS∆SCD = 3VS.ACDS∆SCD=a64. 
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB =a, BC =2 a, ABC=600. Hình chiếu của A’ trên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa BB' và đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa A’C và B’C’ theo a.
 Hướng dẫn d(B'C',A'C) =dB',A'BC=3VB'.A'BCS∆A'BC = 3VC.A'B'BS∆A'BC=6a5151.
6.	Đôi lời trao đổi.
Trước khi kết thúc phần chính nội dung chính của đề tài cho phép tôi được trao đổi một số kinh nghiệm khi giảng dạy phân môn hình học với 2 câu hỏi.
Câu 1. Hình học là gì? 
Trả lời: Hình học là nghiên cứu các tính chất bất biến trong một không gian nào đó.
Như vậy trong hình học bậc THPT (không gian Ơclit) ta nghiên cứu các tính chất bất biến đó là: 
 1. Quan hệ liên thuộc: Thuộc, cắt nhau
 2. Tính bất biến:
+ Về góc: song song, vuông góc, tính toán về góc
+ Tính bất biến về tỷ lệ: Bằng nhau, đồng dạng, tính toán về độ dài, tỷ số đồng dạng
Câu 2. Cấu trúc của hình học THPT được xây dựng bởi các yếu tố nào? 
Trả lời: Cấu trúc của hình học THPT gồm 3 yếu tố sau:
+ Không gian: 1 chiều (đường thẳng), 2 chiều (mặt phẳng), 3 chiều (không gian sống)
+ Các tính chất bất biến của hình học: (Đặt trưng của phân môn hình học).
+ Hình hình học: Điểm, Tam giác, tứ giác, hình chóp
Như vậy khi giảng dạy phân môn Hình học giáo viên cần tập trung chú ý cho học sinh vào 3 yếu tố trên. Dễ nhận thấy trong các định nghĩa, định lý bài tập của phân môn hình học đều nổi rõ 3 yếu tố trên. 
PHẦN III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1.	Mục đích thực nghiệm.
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2.	Nội dung thực nghiệm.
Tiến hành triển khai giảng dạy theo đề tài “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”.
3.	Kết quả thực nghiệm.
Tôi được phân công giảng dạy các lớp khối, bồi dưỡng, ôn thi Đại học, Cao đẳng nhiều năm. Trong quá trình giảng dạy tôi đã vận dụng đề tài hướng dẫn các em vận dụng vào giải toán. Kết quả là hầu hết các em đều hiểu, vận dụng vào giải quyết các bài toán nhanh gọn, trình bày sáng sủa và chính xác.
PHẦN IV. KẾT LUẬN 
Đề tài này đã được kiểm nghiệm và cho kết quả khả quan, nhưng chưa rộng. Tôi xin chân thành cám ơn các đồng nghiệp đã góp ý để hoàn thiện đề tài. Tuy nhiên đề tài chắc chắn còn có nhiều khiếm khuyết. Tôi rất mong tiếp tục nhận được sự góp ý của đồng nghiệp. 
 Một lần nữa xin chân thành cảm ơn!
PHẦN V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa phổ thông (2008): Hình học 11, Hình học 12. NXB Giáo dục.
Nguồn đề thi Đại học, Cao đẳng, Tốt nghiệp, THPT quốc gia, Học sinh giỏi các tỉnh.
Mạng Intennet. (Lựa chọn các trang mạng có uy tín, tổng hợp, so sánh, đối chiếu từ nhiều nguồn thông tin).
Tham khảo ý kiến của các giáo viên có chuyên môn cao.
MỤC LỤC

Trang
Phần I. Mở đầu
1
1. Lý do chọn đề tài.
1
2. Mục đích nghiên cứu.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
2
4. Đối tượng nghiên cứu.
3
5. Giới hạn của đề tài.
3
6. Phương pháp nghiên cứu.
3
7. Giả thuyết khoa học.
3
8. Tính mới của đề tài.
3
Phần II. Nội dung đề tài.
5
Các khái niệm cơ bản về khoảng cách.
5
Tính chất.
6
Các dạng toán trực tiếp tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
6
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng chứa đường cao.
7
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng bên.
10
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng bất kì.
17
Sử dụng thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
21
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
24
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không vuông góc với nhau.
27
Đôi lời trao đổi.
36
Phần III. Thực nghiệm sư phạm.
38
Phần IV. Kết luận.
38
Phần V. Tài liệu tham khảo.
39