Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng giải toán tỉ lệ thức

 giác ABC.
Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
 Vậy ta lấy luôn là số đo ba góc cần tìm. 
 Vì số đo các góc lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có: 
 Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có: 
Giải: 
 Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: 
 Theo bài ra ta có: và 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 ; ; 
 Vậy số đo ba góc của tam giác ABC lần lượt là: 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: .
 Vì ba góc tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có 
 Tổng ba góc của một tam giác bằng nên ta có: 
 Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
 Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải: 
 Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: và
 Theo bài ra ta có: và . 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: .
Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
 Phân tích đề bài:
 Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c 
 Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 
 Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: 
Giải: 
 Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c 
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; 
 Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2 tờ.
Ví dụ 5: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.
Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 
 Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: .
Giải: 
 Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c .
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; 
 ; 
 Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: .
 Vì cạnh và chiều cao tương ứng của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có 
Giải: 
 Gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: .
 Theo bài ra ta có: 
 Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó của tam giác tỉ lệ với .
Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c 
 Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có: 
 Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có: .
 Lớp học có 35 em nên ta có: 
Giải:
 Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c 
 Theo bài ra ta có: ; và 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 ; ; 
Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em.
Ví dụ 7: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Phân tích đề bài:
 Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b 
 Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: 
 Áp dụng định lí Pi – Ta – Go vào tam giác vuông đó ta được: 
Giải: 
 Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b
 Theo bài ra ta có: và (Định lí Pi – Ta – Go)
 Từ và 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; .
 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: 24cm, 45cm.
Ví dụ 8: Hai xe ô tô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi quãng đường AB hết 4 giờ 15 phút. Xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3 giờ 45 phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ nhất đã đi là 20 km. Tính quãng đường AB. 
Phân tích đề bài:
 Gọi vận tốc, thời gian, quãng đường của xe đi từ A đến B là ; và 
 Thì vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ B về A là ; và 
 Ta có 4 giờ 15 phút và 4 giờ 45 phút 
 Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. 
 Từ tỉ số thời gian ta tìm được tỉ số vận tôc của hai xe là: 
 Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: Và .
Giải: 4 giờ 15 phút ; 4 giờ 45 phút 
 Gọi vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ A đến B là ; và 
 Thì vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ B về A là ; và 
 	 Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta có: 
 Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận. 
 Ta có: 
 ; 
 Quãng đường AB là: (km) 
 Đ/S: 
Ví dụ 9: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm số gạo của kho đó, xuất ở kho B đi số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi số gạo của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo.
 Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c
 Số gạo ở kho A sau khi thêm số gạo của kho A là: .
 Số gạo ở kho B sau khi xuất số gạo của kho B là: .
 Số gạo ở kho C sau khi xuất số gạo của kho C là: 
 Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho bằng nhau nên ta có: 
 Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có: 
Giải: 
 Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c . 
 Số gạo ở kho A sau khi thêm là: .
 Số gạo ở kho B sau khi xuất là: .
 Số gạo ở kho C sau khi xuất là: 
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; 
 ; 
 Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg.
Ví dụ 10: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu.
 Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c
 Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu nên ta có: 
 Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng là 38 triệu nên ta có: 
Giải: 
 Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c 
 Theo bài ra ta có: 
 và 
 Từ 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; ; 
 Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 16 triệu đồng, 4 triệu
 đồng bà 18 triệu đồng.
Ví dụ11 : Tổng ba phân số tối giản bằng các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 20: 4: 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1: 3 : 7. Tìm ba phân số đó.
Phân tích đề bài: Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c.
 Vì tử của ba phân số tỉ lệ nghịch với 20: 4: 5 và mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 
1: 3 : 7 nên ba phân số đó tỉ lệ với 
 Tổng ba phân số đó bằng nên ta có: .
Giải: 
 Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c.
 Theo bài ra ta có: và 
 Từ: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 ; ; 
 Vậy ba phân số cần tìm lần lượt là: ; ; . 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m. Tính độ dài mỗi cạnh biết rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5.
Bài 2: Tính chiều dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và ba cạnh tỉ lệ với 4: 5: 6.
Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1: 2: 3.
Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích . Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận diện tích còn lại. Diện tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
Bài 5: Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với mức sản xuất của mỗi người. Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với mức sản xuất của người thứ hai bằng 5: 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng 25% tổng số mức sản xuất của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được thưởng.
Bài 6: Có ba gói tiền gói thứ nhất gồm toàn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm toàn 2000 đồng, gói thứ ba gồm toàn tờ 5000 đồng. Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của ba gói là 540 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau.
Bài 7: Cho tam giác ABC có các đường cao , , tỉ lệ thuận với 2; 3; 4. Chu vi tam giác ABC bằng 13. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
Bài 8: Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3. Tổ I tăng năng xuất 10%, tổ II tăng năng xuất 20%, tổ III tăng năng xuất 10%. Do đó trong cùng một thời gian, tổ I làm được nhiều hơn tổ II là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm được trong thời gian đó. 
Bài 9: Tìm ba số tự nhiên biết rằng BCNN của chúng bằng 3150, tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là 5: 9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10: 7. 
Bài 10: Số tự nhiên M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các bình phương của ba phần đó là 9512. Tìm A.
Bài 11: Số tự nhiên A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Biết tổng các bình phương của ba phần đó là 564. Tìm A.
Bài 12: Chia số A thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các lập phương của ba số đó là 9512. Tìm A. 
Bài 13: Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3: 4: 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5: 1: 2.
Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ thuận với 4 và 5; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ nghịch với 5 và 3. Biết phần thứ ba hơn phần thứ hai là 10. Tìm số M. 
Bài 14: Ba máy xay, xay được 350 tấn thóc. Số ngày làm việc của ba máy tỉ lệ với 3: 4: 5, số giờ làm việc của ba máy tỉ lệ với 6: 7: 8, công xuất các máy tỉ lệ nghịch với 5: 4:3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc. 
2.3.3 Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
 Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức với . Và 
 Chứng minh rằng: 
Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích suy luân ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú y điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.
 Có:Cần CM:Cần CM: để CM:
Giải: 
 Từ 
 hay: (đpcm)
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức với . Và 
 Chứng minh rằng: 
Phân tích đề bài: 
Giải: 
 Từ: 
 (đpcm) 
Ví dụ 3: Cho ( và ). 
 Chứng minh rằng .
Phân tích đề bài: 
Giải: 
 Từ: 
 (đpcm)
Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức . với 
 Chứng minh: 
 Phân tích đề bài:
Giải:
 Từ: (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) (đpcm)
Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức . với và 
 Chứng minh: 
Phân tích đề bài:
Giải: 
 Từ: 
 Hay (đpcm)
Ví dụ 6: Cho tỉ lệ thức . với và 
 Chứng minh: 
Phân tích đề bài:
Giải:
 Từ: 
 (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) (đpcm)
Ví dụ 7: Cho với 
 Chứng minh rằng: 
Phân tích đề bài: 
Giải: 
 Từ: 
 (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) (đpcm)
Ví dụ 8: Cho với 
 Chứng minh rằng: 
Phân tích đề bài:
Giải: 
 Áp dụng kết quả của phần a ta có: 
 (đpcm).
 Ví dụ 9: Cho tỉ lệ thức với và .
 Chứng minh các tỉ lệ thức sau: 
Phân tích đề bài:
Giải:
 Từ: (1)
 Mà: (2)
 Từ (1) và (2) 
 (đpcm).
Ví dụ 10: Cho tỉ lệ thức với và
 Chứng minh: 
Phân tích đề bài: 
Giải:
 Từ: 
 (1)
 Ta có: (2)
 Từ (1) và (2) 
 (đpcm).
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức với a, b, c, d . Chứng minh rằng:
 a) b) c) 
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: với . Chứng minh rằng 
Bài 3: Cho và .
 Chứng minh rằng bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức.
Bài 4: Cho tỉ lệ thức Chứng minh các tỉ lệ thức sau (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
 a) b) 
 c) d) 
Bài 5: Cho ; với ; ; 
 Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho . 
 Chứng minh rằng: 
Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau 
 và . Chứng minh rằng: 
Bài 8: Chứng minh rằng nếu , trong đó a, b, c khác nhau và khác 0. Thì: .
Bài 9: Cho với ;.
 CMR hoặc hoặc 
Bài 10: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.
C. HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP
Thời gian áp dụng thử : 
Năm học 2017 - 2018
Hiệu quả đạt được
Kết quả khảo sát đầu năm:
Điểm
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
7D
35
3(8,5%)
7(20,0%)
18(51,4%)
5(14,3%)
2(5,8%)
7G
35
4(11,5%)
10(28,5%)
15(42,9%)
4(11,5%)
2(5,6%)

Sau khi thực nghiệm đề tài tại trường tôi thấy học sinh có ý thức giải toán tỉ lệ thức kỹ hơn , cẩn thận hơn , trình bày lời giải bài toán khoa học , chặt chẽ hơn được thể hiện qua kết quả sau đây:
Điểm
Lớp
Sỉ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
7D
35
3(8,5%)
10(28,5%)
19(54,3%)
3(8,7%)
0
7G
35
4(11,5%)
15(42,9%)
14(40,0%)
2(5,6%)
0

Khả năng áp dụng:
Đề tài này tôi đã nghiên cứu và có áp dụng trong trong trường bằng cách thông qua các buổi họp chuyên môn hai lần trên tháng, đưa cho giáo viên nghiên cứu và trao đổi làm nội dung chuyên môn và từ đó mỗi giáo viên nắm bắt được và áp dụng trong từng tiết lên lớp cho dạng toán giải bài toán tỉ lệ thức. Vì vậy đề tài này rất dễ nhân rộng cho giáo viên trong huyện hoặc tỉnh làm chuyên đề sinh hoạt chuyên môn.
D. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ
Kết luận : 
Sau quá trình nghiên cứu thực trạng, áp dụng rèn các kỹ năng giải bài toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7 bản thân tôi tự đúc rút bài học kinh nghiệm như sau:
Mỗi giáo viên dạy môn toán THCS cần xác định việc nâng cao chất lượng dạy học là một nhiệm vụ quan trọng đòi hỏi phải có sự quan tâm, đầu tư về trí tuệ và sự hợp lực của giáo viên và học sinh.
Làm tốt công tác xã hội hoá giáo dục, thu hút sự quan tâm của nhà trường, phụ huynh học sinh cùng tham gia trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
Giáo viên cần sáng tạo trong công tác vận dụng linh hoạt phương pháp và hình thức dạy học tích cực trong quá trình dạy học, tìm tòi học hỏi để nâng cao nghiệp vụ chuyên môn.
Song song với việc kiểm tra, đôn đốc cần chú trọng đến công tác thi đua, khen thưởng cho học sinh. Từ đó giao chỉ tiêu rõ ràng và điều kiện đi kèm với chỉ tiêu đó để khuyến khích các em học sinh cố gắng đạt được mục tiêu đề ra. Đây là giải pháp quan trọng mang tính đột phá trong việc thúc đẩy các em học sinh tìm tòi, cố gắng, quyết tâm dành được thành tích cao trong học tập.
Những đề xuất, kiến nghị
2. 1. Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo
- Mở các chuyên đề về kỹ năng giải toán trong trường THCS.
2.2. Đối với ban lãnh đạo nhà trường
- Quan tâm hơn nữa đến việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện.
Phước Hưng, ngày 20 tháng 7 năm 2017
Người viết sáng kiến
Đường Hồng Phúc

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
 1. Nâng cao và phát triển toán 7.
 2. Nâng cao và các chuyên đề đại số 7.
 3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 7.
 4. Bồi dưỡng toán 7.
 5. Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7.