Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải các bài toán cực trị trong số phức bằng việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng

là E . Khi đó bài toán số phức 
trở về bài toán hình học nêu ở trên. 
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là tạo được điều 
kiện ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một E-lip; đồng thời số 
phức 0z phải chọn cẩn thận để điểm biểu diễn nó đúng là tâm của E-lip. 
c. Ví dụ minh họa: 
Bài tâp 35: (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn 
4 4 10z z . Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . 
Tính T M m 
A. 14T B. 9T C. 7T D. 8T 
Hướng dẫn giải: 
 Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . 
 Đặt 1 2 1 24;0 , 4;0 8F F F F . 
 Theo bài ra 4 4 10 10z z MA MB nên quỹ tích điểm M là đường 
Elip có hai tiêu điểm 1 2,F F , độ dài trục lớn bằng 10 , tiêu cự bằng 8 , độ dài trục 
bé bằng 6 . 
 Do đó, phương trình chính tắc của ( )E là 
2 2
1
25 9
x y
 Vậy max ' 5z OA OA 
và min ' 3z OB OB . Suy ra 8T M m . 
 34 
Bài tâp 36: (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 4 - 2017) Cho số phức z thỏa 
mãn 2 4 3 10z i z i . Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
của 3z i . Tính 2 2T M m 
A. 40T B. 45T C. 10 5T D. 2 10T 
Hướng dẫn giải: 
 Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . 
Đặt 2;1 , 4; 3 2 5A B AB . 
Theo bài ra 2 4 3 10 10z i z i MA MB nên quỹ tích điểm M là đường 
E-lip có hai tiêu điểm ,A B , độ dài trục lớn bằng 10 , tiêu cự bằng 2 5 , độ dài 
trục bé bằng 4 5 . 
 Đặt 3; 1I , dễ thấy I là tâm của E-lip và: 
min maxmin max
3 3 2 5, 3 5z i IM z i IM z i IM . 
Suy ra 2 2 45T M m . 
Bài tâp 37: Cho số phức z thỏa mãn 4 4 10z z . Giá trị lớn nhất và giá 
trị nhỏ nhất của z lần lượt là 
 A. 10 và 4 B. 5 và 4 C.4 và 3 D. 5 và 3 
Hướng dẫn giải: 
 Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Đặt A(-4; 0), B(41; 0). 
Khi đó 4 4 10 10z z MA MB và 
z OM . 
 Do MA + MB = 10 M thuộc elip (E) có tiêu 
điểm là A(-4; 0), B(4; 0) và độ dài trục lớn là 2a = 10. 
(E) có tiêu cự 2c = AB = 8 c = 4 2 2 2 23b a c 
 (E) có độ dài trục nhỏ 2b = 6 
 Khi đó 5Max z maxOM a , min 3Min z OM b đáp án D 
Nhận xét: GV cần lưu ý phân biệt cho học sinh điều kiện: MA + MB = 2a với 
2a = AB và 2a < AB để tránh nhầm lẫn dạng 2 và dạng 4 
Bài tâp 38: Cho số phức z thỏa mãn
2 2
4
1 1
iz iz
i i
 .
 Tìm giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của z . 
a
b
A O B
M
 35 
a
b
A
O
B
M
Hướng dẫn giải: 
 Giả sử z = x +yi 
2 2 2 2
4 4
1 1 1 1
iz iz xi y xi y
i i i i
1 ( 1) 1 ( 1) 4
1 ( 1) 1 ( 1) 4 (1)
y x i y x i
y x i y x i
 Gọi M(y; x), A(1; -1), B(-1; 1) (1) MA + MB = 4 
 M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B, độ dài trục lớn 
2a = 4, tiêu cự 2c = AB = 2 2 , có tâm O(0; 0) là trung 
điểm AB. 
 Ta có: b2 = a2 – c2 = 2 2b độ dài trục nhỏ 2 2 2b 
Ta lại có OM = 2 2y x z 
 2Max z MaxOM a , 2Min z MinOM b 
Bài tâp 39: Cho số phức z thỏa mãn 4 3 8 5 2 38z i z i . Tìm giá trị 
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 4z i . 
Hướng dẫn giải: 
 Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z. Đặt A(-4; 3), B(8; 5) 
I(2; 4) là trung điểm của AB. 
Khi đó 4 3 8 5 2 38 2 38z i z i MA MB và z IM . 
 Do MA + MB = 2 38 M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B và độ dài 
trục lớn là 2a = 2 38 , tâm là I(2; 4) 
(E) có tiêu cự 2c = AB = 2 37 , có độ dài trục nhỏ 2b = 2 (trong đó 
2 2 2 1b a c ) 
Khi đó 38Max z max IM a , min 1Min z OM b 
Bài tâp 40: Cho số phức z thỏa mãn 1 1 4z z , giá trị nhỏ nhất của z là : 
A. 3
min
 z B. 32
min
 z C. 2
min
 z D. 3
2
1
min
 z 
 Hướng dẫn giải: 
 Trong mặt phẳng Oxy. Giả sử các điểm M, 1 2,F F lần lượt biểu diễn số 
phức z, -1, 1. Suy ra 1F M biểu diễn số phức z - (-1) = z + 1; 2F M biểu diễn số 
phức z - 1. Với 1 2,F F nằm trên trục thực Ox 
Khi đó điều kiện: 1 1 4z z 1 2 4MF MF và 1 2 2F F 
Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng 2 3 
Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: 
2 2
1
4 3
x y
 36 
 Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và 
min z OM OB 
 Đáp án là A 
Bài tâp 42: Tìm các số phức z thỏa mãn 2 2 10z z và z lớn nhất 
Hướng dẫn giải: 
 Giả sử z x yi ( , )x y R có điểm biểu diễn ( ; )M x y , ta có 
2 2 2 2
1 2( 2) ( 2) 10 10x y x y MF MF 
 Với 1( 2;0)F ; 2 (2;0)F . Tập hợp các điểm M là một elip nhận 1 2;F F là 2 tiêu 
điểm, elip này (với 2 2 22; 5 21c a b a c ) có phương trình 
2 2
( ) : 1.
25 21
x y
E 
 Rõ ràng, giá trị lớn nhất của z ứng với các diểm thuộc (E) mà khoảng cách 
đến O lớn nhất. Các điểm đó là '( 5;0)A và (5;0)A ứng với các số phức 5z 
Bài tâp 43: Trong các số phức z thỏa mãn 3 3 10z i iz . Hai số phức 1z và 
2z có môđun nhỏ nhất. Hỏi tích 1 2z z là bao nhiêu? 
A. 25 B. 25 C.16 D. 16 
 Hướng dẫn giải: 
Gọi số phức z x yi thỏa mãn 3 3 10z i iz 
 3 3 10x y i y xi 
2 22 23 3 10x y y x 
2 22 23 10 3y x x y 
2 2 22 2 23 100 20 3 3y x x y x y 
2220 3 100 12x y y 
2 225 16 400x y 
2 2
1
16 25
x y
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip 
2 2
: 1
16 25
x y
E có 2 
đỉnh thuộc trục nhỏ là 4;0 , ' 4;0A A 
 37 
Với mỗi điểm ;M x y biểu diễn số phức z x yi sẽ thuộc đường tròn 
tâm O bán kính 2 2'R z x y . Vì elip E và đường tròn C có cùng tâm 
O nên để OM nhỏ nhất thì M là đỉnh thuộc trục nhỏ 
1' 4M A z  , 2 4M A z 
Tổng hợp 1 2. 4 .4 16z z 
Mở rộng 
Nếu đề bài hỏi tích 
1 2z z với 1 2,z z có giá trị lớn nhất thì hai điểm M biểu diễn 
hai số phức trên là hai đỉnh thuộc trục lớn 0; 5 , ' 0;5B B 
1' 5M B z i  , 2 5M A z i . Tổng hợp 
2
1 2 5 . 5 25 25z z i i i 
II.4. Một số bài tập đề nghị cho các dạng toán trên: 
Bài 1. (THPT CHU VĂN AN – HÀ NỘI) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 
1 2z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2T z i z i 
A. max 8 2T B. max 4T C. max 4 2T D. max 8T 
Bài 2. (THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ - HÀ NỘI) Cho số phức z thỏa mãn 
1z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1T z z 
A. max 2 5T B. max 2 10T C. max 3 5T D. max 3 2T 
Bài 3. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM) Cho số phức ( , )z x yi x y thỏa 
mãn 6 8 5z i và có môđun nhỏ nhất. Tính tổng x y 
A. 3x y B. 1x y C. 1x y D. 2x y 
Bài 4. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – QUẢNG TRỊ) Trong các số phức 
z thỏa mãn điều kiện 2 4 5z i .Tìm max z 
A. max 3 5z B. max 5z C. max 5z D. max 13z 
Bài 5. (THPT CHUYÊN KHTN - HÀ NỘI) Trong các số phức z thỏa mãn 
điều kiện 1 1 7 2i z i . Tìm max z 
A. max 1z B. max 2z C. max 7z D. max 6z 
 38 
Bài 6. (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP - QUẢNG BÌNH) Trong các 
số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2z i z i .Biết rằng số phức z x yi 
, ,x y có môđun nhỏ nhất. Tính 2 2P x y 
A. 10P B. 8P C. 16P D. 26P 
Bài 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 5 3z i . Nếu số phức z có 
môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu? 
A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 
Bài 8. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2) Cho các số phức ,z w thỏa mãn 
2 2 4 , 1z i z i w iz .Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là 
A. 
3 2
min .
2
z B. min 2.z C. 
2
min .
2
z D. min 2 2.z 
Bài 9. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - 2017) Cho số 
phức z thỏa mãn 2 3 1z i .Giá trị lớn nhất của 1z i là 
A. 13 2 B. 4 C. 6 D. 13 1 
Bài 10. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH - 2017) Cho số phức z có môđun 1z . 
Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 3 1P z z 
A. max 3 10P B. max 2 10P C. max 6P D. max 4 2P 
Bài 11. (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO - 2018) Trong các số phức thỏa mãn 
điều kiện 3 2 .z i z i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z là 
A. min 5.z B. 
2 5
min .
5
z C. 
5
min .
5
z D. min 2 2.z 
Bài 12. (LẠNG GIANG SỐ 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn 
3 3 8z z . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất .z Khi đó M m 
bằng 
A. 4 7. B. 4 7. C. 7. D. 4 5. 
Bài 13. Cho số phức z thỏa mãn 1z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 3 1 .P z z 
 39 
A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. 
Bài 14. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 4 5z i và 
biểu thức 
2 2
2M z z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức .z i 
A. 2 41z i B. 3 5.z i 
C. 5 2z i D. 41.z i 
Bài 15. Cho số phức z thỏa mãn 1.z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất 
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 21 1 .P z z z Tính giá trị của .M m . 
A. 
13 3
.
4
 B. 
39
.
4
 C. 3 3. D. 
13
.
4
Bài 16. Cho số phức z thỏa mãn 1 2 2z i . Tìm môđun lớn nhất của số 
phức .z 
A. 9 4 5 . B. 11 4 5 C. 6 4 5 D. 5 6 5 
Bài 17. Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3z i . Tìm môđun nhỏ nhất của số 
phức 1 .z i 
A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. 
Bài 18. (THTP CHUYÊN ĐHKHTN - HUẾ - 2018) Trong các số phức z thỏa 
3 4 2z i+ + = , gọi 0z là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó 
A. Không tồn tại số phức 0z . B. 0 2z = . 
C. 
0 7z = . D. 0 3z = . 
 40 
III. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM: 
1. Mục đích thực nghiệm: 
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 
2. Nội dung thực nghiệm: 
 Triển khai đề tài: Đưa ra phương pháp giúp học sinh tiếp cận một số bài 
toán cực trị trong số phức thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng. 
 Đối tượng áp dụng: Học sinh tại hai lớp 12A1, 12A4 năm học 2017-2018. 
 Thời gian thực hiện: 4 buổi dạy ôn thi THPT quốc gia tại trường (2 buổi 
đầu không áp dụng đề tài, 2 buổi sau áp dụng đề tài) 
3. Kết quả thực nghiệm: 
a. Phân tích về mặt định lượng: 
Trong năm học 2017 – 2018 tôi được phân công giảng dạy môn Toán tại 2 lớp 
12A1, 12A4, cả 2 lớp này chất lượng môn toán đều ở mức gần tương đương 
nhau. Tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm và tiến hành kiểm tra để kiểm 
chứng hiệu quả của đề tài này, kết quả thu được thống kê ở bảng sau: 
Lần 
kiểm tra 
Thực 
nghiệm 
và đối 
chứng 
Số 
bài 
Kết quả 
Yếu, 
kém (%) 
Trung 
bình (%) 
Khá 
(%) 
Giỏi 
(%) 
1 
TN 82 6 28 44 22 
ĐC 82 15 41 34 10 
2 
TN 82 4 25 43 28 
ĐC 82 14 40 35 11 
Tổng 
Hợp 
TN 82 5 26.5 43.5 25 
ĐC 82 14.5 40.5 34.5 10.5 
(Thống kê xếp loại trình độ học sinh qua các lần kiểm tra.) 
Qua bảng cho thấy, tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm TN luôn có tỉ lệ cao hơn 
nhóm ĐC, đặc biệt là tỉ lệ % điểm giỏi. 
 41 
b. Phân tích về mặt định tính: 
Qua quá trình ứng dụng phương pháp và hướng dẫn học sinh tự học trong 
giảng dạy và kiểm tra đánh giá ở 2 đối tượng thực nghiệm và đối chứng, tôi 
thấy: 
- Ở lớp ĐC: Học sinh ít phát biểu, ít hứng thú trong tiết học. Trả lời các câu 
hỏi gợi ý của giáo viên còn lan man, lúng túng. Khả năng tư duy, khái quát, hệ 
thống kiến thức của học sinh chưa cao. 
- Ở lớp TN: Học sinh hào hứng với phương pháp tiếp cận mới này, thể hiện 
qua quá trình hoạt động nhận thức một cách tích cực, sôi nổi. Trong giờ học HS 
trả lời nhanh, ngắn gọn và súc tích các câu hỏi gợi ý mà giáo viên sử dụng. Điều 
này chứng tỏ chất lượng bài dạy được nâng cao. 
Như vậy, qua việc phân tích kết quả về mặt định lượng và định tính các kết 
quả thu được trong thực nghiệm đã thể hiện được tính hiệu quả của phương pháp 
giúp học sinh tiếp cận một số bài toán cực trị trong số phức thông qua các bài 
toán cực trị trong hình học phẳng. 
 42 
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận chung: 
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây: 
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình 
thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh 
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên 
đề thực hiện. 
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết 
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện. 
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các 
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện. 
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích 
cực. 
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của 
những biện pháp sư phạm được đề xuất. 
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm 
vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được. 
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình thức 
rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản 
thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách 
trình bày lời giải bài toán cho học sinh từ đó đưa ra cho mình cách truyền thụ tốt 
nhất. 
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và 
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học 
nói chung. Đặc biệt tôi nhận thấy các đối tượng học sinh khá, giỏi rất hứng thú 
với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này. 
2. Kiến nghị: 
+) Thông qua một số ví dụ trên có thể phần nào thấy được vai trò của phương 
pháp này trong việc giải quyết một số bài toán về cực trị trong số phức. Tuy 
 43 
nhiên, khi sử dụng phương pháp này giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh 
một số vốn kiến thức nhất định và kỹ năng nhận dạng bài tập. Phương pháp này 
cũng như mọi phương pháp khác không thể áp dụng được cho tất cả các loại bài 
toán về cực trị trong số phức và chưa chắc là phương pháp tối ưu, do vậy học 
sinh cần căn cứ vào đặc điểm của từng bài toán, khai thác giả thiết đã cho và 
nhận dạng bài tập để lựa chọn phương pháp giải cho thích hợp, từ đó sẽ có cách 
nhìn linh hoạt, uyển chuyển và có sự nhuần nhuyễn về kỹ năng. 
+) Là một giáo viên tôi xác định cho mình phải luôn tạo cho học sinh niềm 
hứng thú say mê trong quá trình học tập; luôn cải tiến phương pháp dạy học, 
phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình. 
+) Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức rất 
đa dạng. Trong bài viết này tôi chỉ mới đưa ra một số ví dụ về bài toán hay gặp 
trong đề thi thử THPT quốc gia nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với 
mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt hơn khi gặp các bài toán này , 
tôi mong nhận được những góp ý chân thành của đồng nghiệp để bài viết của tôi 
được hoàn thiện hơn. 
Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, 
thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khiếm 
khuyết. Vậy, rất mong được Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy 
của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 
 Vinh, ngày 30 tháng 3 năm 2019 
 Tác giả: Phạm Thị Ngọc Hương 
 44 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 – Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) – NXB Giáo 
dục. 
2. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên môn toán lớp 12 – NXB Giáo dục. 
3. Dạy học theo chuẩn kiến thức kỷ năng môn toán lớp 12 – Bùi Văn Nghĩa ( 
chủ biên) – NXB đại học sư phạm. 
4. Hàm biến phức - Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải - Nhà xuất bản đại học 
quốc gia Hà Nội năm 2001. 
5. Các dạng toán điển hình giải tích 12 – Thạc sỹ Lê Đức – NXB Đại học 
quốc gia Hà Nội. 
6. Phân loại và phương pháp giải toán đại số tổ hợp và số phức – Thạc sỹ Lê 
Thị Hương – NXB Đại học quốc gia Hà Nội. 
7. Công phá toán 3 – Ngọc Huyền LB – NXB Đại học quốc gia Hà nội. 
8. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 12- Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức 
Khánh- NXB đại học quốc gia Hà Nội 
9. Đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trong cả nước, của các 
Sở GD&ĐT; Các đề thi thử nghiệm, chính thức của bộ GD&ĐT các năm 2017, 
2018.