Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12

g định hướng [4.1]. Ta có hàm có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số chỉ có hai điểm cực trị dương. Khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm trái dấu và khác 1. Khi và chỉ khi Mà nên . Vậy có 3 giá trị nguyên của .
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị?
 A. 3.	B. 4.	C. 5.	D. 6.
Lời giải
Ta có . ( là nghiệm bội , là nghiệm bội , là nghiệm bội ) . 
Áp dụng định hướng [4.1]. 
 + Nếu thì phương trình có 2 nghiệm bội lẻ là suy 
ra hàm số có hai điểm cực trị âm. Khi đó hàm số có một điểm cực trị là nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 + Nếu thì phương trình có hai nghiệm bội chẵn suy ra hàm số không có cực trị suy ra hàm số có một điểm cực trị là nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 + Nếu thì có hai nghiệm bội lẻ hàm số có hai điểm cực trị là . Để hàm số có 3 điểm cực trị thì hàm số phải có hai điểm cực trị trái dấu mà , nên . Vậy có 5 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm , với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị?
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: 
Áp dụng định hướng [4.1]. Hàm số có điểm cực trị dương khi phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
.
Giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là:
. Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là .
5. Định hướng tìm lời giải bài toán tìm cực trị của hàm số hợp .
 a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.
 Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số .
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm . Tìm các điểm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 b. Định hướng:
 Bài toán: Cho hàm số (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của ). Tìm số điểm cực trị của hàm số trong đó  là một hàm số đối với . 
 Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số ta có thể khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau: (Định hướng [5])
Bước 1. Tính đạo hàm 
Bước 2. Giải phương trình 
Bước 3. Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà  không xác định.
Bước 4. Kết luận.
 c. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc
bốn có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị 
của hàm số là:
 A. .	B. 	C. .	D. .
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số như sau
Áp dụng định hướng [5]. 
Ta có suy ra 
Cho 
Xét hàm số . Cho 
Bảng biến thiên
Ta có đồ thị của hàm như sau
Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm.
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.
Như vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm đơn 
phân biệt. Vậy hàm số có 7 cực trị.
Ví dụ 2. (Đề Minh Họa 2022) Cho hàm số có . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 9 điểm cực trị?
 A. 16.	B. 9.	C. 15.	D. 10.
Lời giải
Ta có . Áp dụng định hướng [5]. 
Ta có ; .
Giải : 
Giải : .
Đặt ; ; .
Bảng biến thiên của hàm số 
Để hàm số có 9 điểm cực trị thì phải có 6 nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình (3) phải có 2 nghiệm phân biệt và phương trình (4) phải có 4 nghiệm phân biệt. Khi đó: . Do nên . Vậy có 10 giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 3. Cho hàm số xác định và liên tục trên tập số thực có đạo hàm là và giá trị . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Từ giả thiết ta có 
Bảng biến thiên của 
Từ bảng biến thiên của suy ra nên . 
Áp dụng định hướng [5]. Xét hàm số 
Xét 
Bảng biến thiên của .
Từ bảng biến thiên trên suy ra hàm số có ba điểm cực trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số trên ..
 A. 5. B. 4.	 C. 2.	D. 3.
Lời giải
Từ đồ thị của hàm số , tịnh tiến
lên trên 2 đơn vị rồi tịnh tiến sang phải 2 đơn vị, 
ta được đồ thị của hàm như hình vẽ bên.
Áp dụng định hướng [5] cho hàm số .
Ta có ; 
 hoặc 
. Ta thấy đây đều là các nghiệm đơn, do đó hàm số 
 có 5 điểm cực trị. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị trên .
Ví dụ 5. Cho là hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
 A. 3.	B. 2.	C. 4.	D. 5.
Lời giải
Điều kiện . 
Áp dụng định hướng [5]. 
Ta có khi và chỉ khi suy ra . Do đó và 
 . 
Vậy hàm số có 3 cực trị.
6. Bài tập tự luyện.
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm , với . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 
có 5 điểm cực trị?
 A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 2. ~Cho hàm số liên tục và xác định trên và có đồ thị đạo hàm như hình vẽ. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên để 
hàm số có đúng 7 điểm cực trị . Số phần tử của là:
 A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số có điểm cực trị? 
 A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ
Số các giá trị nguyên của để hàm số có điểm cực trị?
 A. 2.	B. 4.	C. 1.	D. vô số.
Câu 5. Cho hàm số có bảng xét dấu của như hình vẽ. 
Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
 A. 1.	B. 0.	C. 3.	D. 2.
Câu 6. Cho hàm số thỏa mãn và . Hàm số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9	B. 5	C. 7	D. 11
Câu 7. Cho các số thực thỏa mãn , và . Đặt . Số điểm cực trị của hàm số lớn nhất có thể là ?
A. 9	B. 5	C. 7	D. 11
Câu 8. Cho hàm số có đạo hàm và . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị?
 A. 62.	B. 63.	C. 64.	D. 65.
Câu 9. Cho hàm số . Tổng số điểm cực đại và cực tiểu của hàm số bằng:
	 A. 4.	B. 5.	C. 7.	D. 6.
Câu 10. Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có 11 điểm cực trị
 A. . B. . C. . D. .
(Học sinh làm bài tập tự luyện online theo link: https://azota.vn/de-thi/ln54c5)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Áp dụng định hướng [5]. 
Ta có: 
Mà 
	suy ra 
Qua các nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì đều không đổi dấu. Do đó ta không xét phương trình (1). Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2); (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.
 . Kết hợp có 15 giá trị m cần tìm.
 Chọn A
Câu 2. ~Áp dụng định hướng [3]. Xét hàm số: suy ra đạo hàm là 
Nhận thấy, nếu phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, đạo hàm của hàm số không xác định và đổi dấu tại hai nghiệm phân biệt này, tương ứng có hai điểm cực trị. Xét phương trình đạo hàm: 
. 
Do đó để phương trình có đúng 5 nghiệm đơn phân biệt thì . Vậy số giá trị nguyên cần tìm của là: . Chọn B
Câu 3. Ta có đạo hàm . Áp dụng định hướng [4.1]. Để hàm số có điểm cực trị thì hàm số có điểm cực trị dương, khi đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Nên ta có . Do nguyên âm nên . Chọn C
Câu 4. Áp dụng định hướng [2]. Ta có: 
	;	
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra:
+ Phương trình có hai nghiệm và qua mỗi nghiệm đó đổi dấu, nên là hai điểm cực trị của hàm số.
+ Để hàm số có 5 điểm cực trị thì phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt . Khi đó . 
Vậy có 2 giá trị nguyên của để hàm số có điểm cực trị.
Chọn A
Câu 5. Ta có bảng xét dấu của hàm số : 
Áp dụng định hướng [4.3]. Hàm số có đúng 3 cực trị khi và chỉ khi hàm số có đúng 1 cực trị dương . Vậy có 0 giá trị cần tìm. Chọn B
Câu 6. Ta có suy ra liên tục trên 
Suy ra , , nên theo tính chất hàm liên tục thì phương trình và ít nhất ba nghiệm và là hàm bậc ba nên phương trình sẽ có ba nghiệm phân biệt và chỉ có tối đa hai nghiệm dương. Mặt khác hàm số có thể có hai điểm cực trị dương. Áp dụng định hướng [1.2] suy ra hàm số có nhiều nhất 9 điểm cực trị. Chọn A
Câu 7. Từ giả thiết bài toán đã cho ta có và , , ta suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt và có tối đa 2 nghiệm dương phân biệt. Do suy ra hàm số có hai điểm cực trị và chỉ có tối đa 1 điểm cực trị dương. Áp dụng định hướng [1.2] suy ra hàm số có nhiều nhất 7 điểm cực trị. Chọn C
Câu 8. Xét hàm số .
Ta có: .
Mặt khác 
Do 
Bảng biến thiên của hàm số :
Áp dụng định hướng [2]. Để hàm số có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi . Vì là số nguyên nên có giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn B
Câu 9. Áp dụng định hướng [5]. Từ hàm số ta suy ra được đạo hàm . Ta có phương trình khi . Mặt khác từ hàm số đã cho ta suy ra khi và chỉ khi khi và chỉ khi ; hoặc .
Ta có bảng biến thiên của hàm số :
Từ bảng biến thiên ta có: 
Xét: suy ra có 2 nghiệm (4)
 suy ra có 2 nghiệm (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra hàm số đã cho có 7 cực trị vì các nghiệm này không trùng nhau. Chọn C
Câu 10. Xét đồ thị hàm số khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục . Từ bảng biến thiên của ta thấy đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục . Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Để hàm số có 11 điểm cực trị thì phương trình phải có 6 nghiệm phân biệt . Chọn D
---Hết---
C. KẾT LUẬN
 Hiện nay, trong toán học hiện đại, khả năng tư duy đại chúng nói chung đã được nâng cao lên một bậc, sự nhìn nhận về cơ bản của đối tượng người học đã tương đối linh hoạt và nhiều góc độ. Tuy nhiên, khi gặp những bài toán trắc nghiệm cực trị trong giải tích 12 khó thì hầu hết đều e ngại, gặp khó khăn trong khả năng định hướng, xác định hướng đi, cách làm nhanh của bài toán đó. “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12” được xem như “chìa khóa” mở ra hướng đi chung trên “con đường” giải nhanh toán trắc nghiệm cực trị trong giải tích 12. Đó chính là sự vận dụng linh hoạt các định hướng dạng toán tổng quát để giải quyết nhanh được các bài toán cụ thể, và quan trọng hơn đề tài hướng đến sự kích thích, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong giải các bài toán trắc nghiệm khó về cực trị trong giải tích 12. 
 Qua việc thực hiện nghiên cứu này, đề tài này đã đạt được những kết quả sau: Trình bày hệ thống lý luận và thực tiễn liên quan đến bài toán trắc nghiệm cực trị trong giải tích 12. Phân loại các dạng toán, các định hướng sử dụng cách suy đồ thị, trực quan bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra và khái quát từ quy tắc tìm điểm cực trị cơ bản quen thuộc trong sách giáo khoa, tìm lời giải nhanh các bài toán trắc nghiệm cực trị cho các hàm chứa trị tuyệt đối và hàm hợp ở mức độ vận dụng.
 Đề tài cũng được đánh giá cao về tính hiệu quả trong giảng dạy của giáo viên, cũng như trong học tập của học sinh ở trên các nhóm học sinh được áp dụng tại trường THPT Quỳnh Lưu 4. Trong quá trình áp dụng, đề tài cũng được tác giả thường xuyên cập nhật các ví dụ mới và các bài tự luyện mới trong các đề thi minh họa và đề thi thử của các trường THPT quốc gia trên cả nước. 
	Sưu tầm và sáng tạo các bài toán có tính chất liên kết, sắp xếp chúng theo trình tự từ cơ bản đến phức tạp và đa dạng theo tính chất. Song song đó, đề tài còn đưa ra một số bài tập tự luyện được sưu tầm và sáng tạo nhằm thể hiện sự tương tác của đề tài đến đối tượng người học. Các bài tập tự luyện còn được biên soạn trong Azota, để học sinh có thể học và tự luyện chuyên đề trực tuyến tại nhà. 
 Giải bài toán trắc nghiệm cực trị trong giải tích lớp 12 không chỉ có một con đường duy nhất, mà nó được phản ánh dưới nhiều cách thức, hướng đi khác nhau. Đề tài này chỉ là một hướng mới trong những hướng đi sáng tạo, vì thế, sẽ còn nhiều thiếu sót, mong các đồng nghiệp bổ sung thêm để đề tài được hoàn thiện hơn. 
Xin chân thành cám ơn!
D. PHỤ LỤC
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM TẠI CƠ SỞ 
* Năm học 2020 - 2021 tôi đã tiến hành thực nghiệm đề tài này cho các học sinh khá và giỏi môn Toán của trường THPT Quỳnh Lưu 4. Tôi đã thu được các kết quả sau:
Kết quả bài kiểm tra số 1 (Trước khi dạy chuyên đề)
Đơn vị lớp
Số lượng học sinh được khảo sát
Số học sinh không làm được 
Số học sinh làm được 

Số học sinh không đủ thời gian làm
12A1
10
3
3
4
12A3
10
5
1
4
12A4
10
6
2
2
Kết quả bài kiểm tra số 2 (Sau khi dạy chuyên đề)
Đơn vị lớp
Số lượng học sinh được khảo sát
Số học sinh không làm được 
Số học sinh làm được 

Số học sinh không đủ thời gian làm
12A1
10
0
9
1
12A3
10
0
7
3
12A4
10
0
8
2
* Năm học 2021 - 2022 tôi đã tiến hành thực nghiệm đề tài này cho các học sinh khá và giỏi môn Toán của trường THPT Quỳnh Lưu 4. Tôi đã thu được các kết quả sau:
Kết quả bài kiểm tra số 1 (Trước khi dạy chuyên đề)
Đơn vị lớp
Số lượng học sinh được khảo sát
Số học sinh không làm được 
Số học sinh làm được 

Số học sinh không đủ thời gian làm
12A1
10
5
3
2
12A2
10
6
1
3
12A4
10
7
2
1
Kết quả bài kiểm tra số 2 (Sau khi dạy chuyên đề)
Đơn vị lớp
Số lượng học sinh được khảo sát
Số học sinh không làm được 
Số học sinh làm được 

Số học sinh không đủ thời gian làm
12A1
10
0
9
1
12A2
10
0
8
2
12A4
10
0
7
3
 Qua bảng kết quả thực nghiệm cho ta thấy: Trước khi dạy chuyên đề có khoảng 20% thực hiện được, khoảng 20% thưc hiện được nhưng không đủ thời gian và khoảng 60% học sinh được khảo sát không làm được. Sau khi dạy chuyên đề có khoảng 80% thực hiện được, khoảng 20% thưc hiện được nhưng không đủ thời gian và khoảng 0% học sinh được khảo sát không làm được. Ngoài kết quả thực nghiệm tại cơ sở, đề tài còn được thực nghiệm trực tuyến trên Azota, thông qua hệ thống các bài tập trắc nghiệm tự luyện. 
Kết quả thu được trước khi thực hiện chuyên đề qua bài làm trực tuyến của một số học sinh trên phần mềm thi trực tuyến Azota như sau:
Kết quả thu được sau khi thực hiện chuyên đề qua bài làm trực tuyến của một số học sinh trên phần mềm thi trực tuyến Azota như sau:
Như vậy việc đưa đề tài “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12” vào giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT đã mang lại hiệu quả cao cho các học sinh khá và giỏi. Qua đó trang bị thêm cho học sinh một hành trang mới để có thể xử lý được các câu vận dụng thấp và vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT liên quan đến cực trị của hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Hướng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài.
 Các bài toán cực trị của hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thường khó và nhiều dạng khác nhau, đề tài này mới chỉ đề cập đến năm dạng định hướng cơ bản. Để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh và để các định hướng được đầy đủ hơn tôi sẽ nghiên cứu tiếp các bài toán về cực trị trong giải tích 12 ở mức độ vận dụng và vận dụng cao thường gặp trong các đề thi minh họa , đề thi thử và đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học sư phạm.
G. Polya, Toán học và những suy luận có lí, NXB Giáo dục.
Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán, NXB Giáo dục 1992.
Bộ Giáo dục và Đào tạo, Toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục, Hà Nội.
Đặng Việt Đông (Chủ biên), Công phá Toán 1, 2, 3, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn (chủ biên), Giải Tích 12, NXB Giáo dục.
BGD - ĐT, Đề minh họa môn Toán năm 2018, 2019, 2020, 2021 và 2022
Đề thi thử THPT QG năm 2018, 2019, 2020, 2021 và 2022 của các trường THPT chuyên và không chuyên - Violet đề thi.
 Trần Công Diêu (chủ biên), 11 chuyên đề trọng tâm giải nhanh trắc nghiệm Toán, NXB ĐHQG HN.
 Thái Văn Quân (chủ biên), Rèn kỹ năng giải toán trắc nghiệm 12, NXB ĐHQG HN.
 Một số tài liệu của STRONG TEAM TOÁN VD – VDC.
 Một số tài liệu của nhóm VDC & HSG.