Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán cực trị trong không gian

ác đề thi của các năm và các đề thi HSG 
thử TN THPT, tìm hiểu một số bài viết của một số thầy cô trên mạng internet. 
Nghiên cứu kỹ về sách giáo khoa hình cơ bản và nâng cao của lớp 11, 12. 
Tìm hiểu học sinh qua quá trình dạy học và các em tham gia các cuộc thi 
thử, thi học kỳ, thi THPT Quốc gia, thi HSG, thi tốt nghiệp THPT về những khó 
khăn của học sinh trong quá trình tìm cực trị. 
Khi phát hiện thấy giáo viên có ít công cụ cũng như học sinh gặp các khó 
khăn trong quá trình tìm cực trị tôi đã trăn trở suy nghĩ tìm ra các giải pháp để giúp 
học sinh, giáo viên giải quyết khó khăn này. 
Qua đó tôi đã tìm các hướng khác nhau để giải các bài toán cực trị, đưa ra 
các phương pháp khác nhau để giải bài toán về cực trị. Đặc biệt là các câu trong đề 
thi THPT Quốc gia, thi HSG tỉnh, thi TN THPT trong những năm gần đây. 
Sau khi đưa ra một số định hướng để tìm cực trị trong không gian, tôi đã tiến 
hành rèn luyện tư duy cho các em học sinh thông qua các buổi học chính khóa, học 
ôn thi ... 
Kết quả của đề tài được phản ánh một cách trực quan qua việc tiến hành 
khảo sát các em học sinh. 
Đề tài đã đưa ra hệ thống khá đầy đủ các kỹ năng để tính cực trị trong không 
gian. 
2. Ý nghĩa của đề tài 
 Đề tài “Rèn luyện tư duy giải toán cực trị trong không gian’’ đã thu được 
những kết quả chính sau đây: 
1. Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện và phát triển một số 
năng lực tư duy toán học cho học sinh. Vai trò này được cụ thể hóa bằng việc 
phân tích, nhận xét từng vấn đề, từng khía cạnh đã trình bày. 
2. Đề tài đã phân tích rõ thực trạng của vấn đề rèn luyện một số năng lực 
tư duy toán học cho học sinh. 
 3. Xây dựng được một số ví dụ về tìm cực trị hình học không gian theo 
những định hướng khác nhau. 
70 
4. Xây dựng được một số biện pháp sử dụng các ví dụ về giải toán cực trị 
trong không gian để phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh. 
5. Đã soạn được một số giáo án theo hướng đổi mới CTGD PT thực 
nghiệm giảng dạy tại trường. Xây dựng được một số đề kiểm tra nhằm đánh giá 
kết quả của việc áp dụng đề tài tại trường. 
Từ những kết quả trên cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được 
hoàn thành, giả thuyết khoa học đặt ra trong đ ề t à i là chấp nhận được. 
Tuy nhiên, do những hạn chế về điều kiện thời gian, năng lực và trình độ 
của bản thân, nên chắc chắn việc nghiên cứu còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong 
được sự góp ý của các thầy, cô giáo, các anh chị và bạn bè đồng nghiệp. 
3. Kiến nghị đề xuất 
Đối với bộ giáo dục: có thể sử dụng đề tài để biên soạn sách giáo khoa theo 
hướng đổi mới, tăng cường về rèn luyện tư duy, giáo dục kỹ năng cho học sinh nói 
chung và kỹ năng tìm khoảng cách nói riêng. 
Đối với sở giáo dục và đào tạo Nghệ An: có thể triển khai rộng rãi đề tài để 
giúp cán bộ giáo viên dạy bộ môn hình học lớp 11, 12, ôn thi THPT Quốc gia có 
thêm nguồn tài liệu để hỗ trợ cho giảng dạy. 
Đối với học sinh: đây là nguồn tài liệu giúp học sinh nắm vững về lý thuyết, 
phương pháp tìm cực trị, cũng như rèn luyện cho học sinh những kỹ năng tư duy 
khác nhau để tìm cực trị trong không gian, trong các bài toán thực tế của đời sống. 
Mặc dầu bản thân cũng đã cố gắng tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm nhưng để 
đề tài ngày càng hoàn thiện và vận dụng dạy học có hiệu quả hơn, rất mong được 
sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Xin chân 
thành cảm ơn. 
71 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Bài tập Hình học 12 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc 
Ban - Tạ Mân, Nhà xuất bản Gáo dục. 
[2]. Bài tập Hình học 12, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần 
Đức Huyên, Nhà xuất bản Giáo dục. 
[3]. Các bài giảng luyện thi môn Toán, Tập 1, Phan Đức Chính - Vũ Dương 
Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất, Nhà xuất bản Giáo dục. 
[4]. Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng từ năm 2010 đến 2020, Môn Toán của 
BGD&ĐT. 
[5]. Đề thi thử TN THPT của một số trường trong cả nước năm 2018 – 2019, 
2019 – 2020, 2020 – 2021, 2021 – 2022. 
[6]. Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà 
Nội. 
[7]. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà 
Nội. 
[8]. SGK Hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ 
biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất bản Giáo dục. 
[9]. Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2019 – 2020 , năm 2020 - 2021. 
[10]. Tài liệu bối dưỡng đổi mới CTGD năm 2018. 
 [11]. SGK hình học lớp 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy 
(Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện, Nhà xuất bản 
Giáo dục. 
[12]. SGK Hình Học 11 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như 
Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban –Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Nhà xuất bản Giáo 
dục. 
[13]. Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021. 
[14]. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể . Bộ GD & ĐT (2018). 
[15]. Chương trình giáo dục phổ thông - Môn Toán. Bộ GD & ĐT (2018). 
72 
PHỤ LỤC 
PHỤ LỤC 1 
PHIẾU ĐIỀU TRA 
(Dành cho giáo viên Toán) 
Để tìm hiểu về thực trạng dạy học theo hướng phát triển tư duy học sinh 
trong qua trình giảng dạy phần cực trị hình học không gian ở trường THPT, xin 
thầy (cô) vui lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề sau bằng cách đánh 
dấu vào các lựa chọn. Những thông tin thu được từ phiếu này sẽ chỉ phục vụ cho 
mục đích nghiên cứu khoa học, không vì mục đích nào khác. 
Thầy (cô) cho biết một số thông tin về bản thân : 
Họ và tên:.Đơn vị công tác:..................... 
Năm công tác: ................. Trình độ học vấn: .................... Trình độ CM: ......... 
1. Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu mối liên hệ giữa thực 
tiễn với phần cực trị hình học trong trường phổ thông: 
 Không bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
2. Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế hoạt động học tập giúp 
học sinh hiểu được ý nghĩa, ứng dụng của phần cực trị không gian. 
Không bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
3. Thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của việc rèn luyện cực trị không gian 
trong dạy học môn toán ở cấp THPT 
 Không quan trọng Rất quan trọng Quan trọng 
4. Theo thầy (cô), người giáo viên cần có những hiểu biết gì để có thể rèn luyện 
cho học sinh tư duy giải toán cực trị trong không gian: 
 Kiến thức toán học cơ bản Phương pháp dạy học theo hướng phát 
triển năng lực 
 Kiến thức về các vấn đề thực tiễn Vận dụng toán học vào thực tiễn 
 Kiến thức về mô hình hóa Công nghệ thông tin 
 Kiến thức khác:. 
5. Theo thầy (cô), có cần thiết tổ chức bồi dưỡng cho giáo viên về việc giúp học 
sinh rèn luyện tư duy giải toán cực trị trong không gian không? 
 Không cần thiết Bình thường Cần thiết 
6. Thầy (cô) có biết các phương pháp giải toán cực trị trong không gian? 
 Có Có nghe qua Không 
7. Thầy ( cô) thường xuyên giảng dạy phần cực trị trong không gian? 
 Không Hiếm khi sử dụng Thường xuyên Luôn sử dụng 
73 
8. Trong các tiết Toán, thầy cô có áp dụng phần cực trị không gian không? 
 Không Hiếm khi sử dụng Thường xuyên Luôn sử dụng 
9. Theo Thầy ( cô) thấy rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian có cần thiết 
không ? 
 Không Ít cần thiết Bình thường Rất cần thiết 
10. Nếu phần cực trị không gian được ứng dụng rộng rãi trong các tiết học toán, 
Thầy (cô) có sẵn sàng rèn luyện cho học sinh các tư duy giải toán cực trị không? 
 Có chứ Chưa biết Không 
11. Quan niệm của Thầy/Cô về hoạt động rèn luyện tư duy giải toán cực trị trong 
không gian dạy học? (Có thể lựa chọn tối đa 2 phương án) 
 Là hình thức học tập, mà học sinh được trải nghiệm thông qua việc các em trực 
tiếp tham gia vào các hoạt động thực tiễn. 
 Là các hoạt động nhằm hỗ trợ và bổ sung cho các hoạt động trên lớp học 
 Là hình thức học tập bằng cách tổ chức cho học sinh tham gia các hoạt động 
 Là hình thức học tập có kết hợp giữa học lí thuyết và thực hành. 
 Là hoạt động lồng ghép các nội dung giáo dục cần thiết vào nội dung bài học. 
12. Sự cần thiết phải tổ chức cho học sinh rèn luyện tư duy giải toán cực trị trong 
không gian? 
 Không cần thiết Bình thường Cần thiết Rất cần thiết 
13. Theo quý Thầy/Cô, thái độ của học sinh khi được học tập phần cực trị không 
gian? 
 Không thích Bình thường Thích Rất thích 
14. Trong quá trình giảng dạy quý Thầy/Cô có rèn luyện cho học sinh tư duy để 
giải toán cực trị trong không gian không? 
 Chưa bao giờ Rất ít Thỉnh thoảng Thường xuyên 
15. Theo quý Thầy/Cô, hoạt động rèn luyện tư duy giải toán cực trị trong không 
gian sẽ mang lại lợi ích gì? (Có thể chọn nhiều phương án) 
 Học sinh có nhiều cơ hội vận dụng những kiến thức đã được học vào giải quyết 
vấn đề trong thực tiễn 
 Giảm nhẹ những kiến thức hàn lâm trong một số môn học như môn Toán hay 
các môn học khác 
 Giúp hình thành và phát triển năng lực cho học sinh: tự học; giải quyết vấn đề; tư 
duy sáng tạo; giao tiếp; hợp tác;  
 Giúp học sinh hiểu bài sâu sắc hơn 
 Học sinh có thái độ học tập tích cực, chủ động 
 Tạo không khí học tập sinh động, tránh sự nhàm chán 
 Tạo cơ hội cho giáo viên nâng cao kiến thức và kỹ năng sư phạm 
 Ý kiến khác:  
16. Những khó khăn mà quý Thầy/Cô có thể gặp phải khi tổ chức rèn luyện cho 
học sinh tư duy giải toán cực trị trong không gian? (Có thể lựa chọn tối đa 4 
phương án 
 Không có thời gian đầu tư xây dựng các bài toán về cực trị 
74 
 Sự “cứng nhắc” của phân phối chương trình và kế hoạch giảng dạy 
 Khó xây dựng tình huống để tổ chức dạy học và rèn luyện. 
 Không có nhiều nguồn tư liệu để tham khảo 
 Học sinh khó thực hiện được nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên 
 Giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm về tổ chức hoạt động trải nghiệm 
 Thiếu thốn về cơ sở vật chất, phương tiện để thực hiện 
 Học sinh chưa quen với việc học tập phần cực trị không gian nên tiếp thu kiến 
thức khó khăn 
 Ý kiến khác:  
17. Thầy cô đánh giá lợi ích của việc sử dụng phương pháp dạy học giải quyết 
vấn đề trong dạy học bộ môn Toán như thế nào? 
 Có hại cho việc học và làm toán của học sinh. 
 Không có lợi cho việc học và làm toán của học sinh. 
 Có lợi vừa phải cho việc học và làm toán của học sinh. 
 Rất có lợi cho việc học và làm toán của học sinh. 
18. Thầy cô đánh giá mức độ thường xuyên sử dụng phương pháp dạy học giải 
quyết vấn đề của bản thân như thế nào? 
 Rất ít khi sử dụng. Thỉnh thoảng sử dụng Thường xuyên sử dụng Luôn 
luôn sử dụng 
19. Thầy cô nghĩ rằng nên sử dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề vài 
những nội dung nào? 
 Không nên sử dụng vì Toán là môn khoa học trừu tượng. 
 Một số ít nội dung mà cảm thấy “dễ” đối với học sinh. 
 Hầu hết các nội dung trong chương trình. 
 Tất cả các nội dung trong chương trình 
20. Thầy cô nghĩ rằng những điều nào sau đây gây khó khăn cho bản thân khi sử 
dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề (thầy cô đánh số phương án phù hợp 
nhất theo thứ tự 1,2,)? 
 Kiến thức quá trừu tượng, khó thiết kế tình huống gợi vấn đề phù hợp. 
 Việc thiết kế tình huống gợi vấn đề tốn nhiều thời gian. 
 Việc triển khai hoạt động trên lớp dễ vượt quá thời lượng quy định. 
 Nhiều học sinh không hào hứng tham gia. Những học sinh có lực học chưa tốt 
khó nắm được nội dung bài học. 
 Khó theo sát quá trình hoạt động của từng học sinh để có những can thiệp, định 
hướng phù hợp. 
 Học sinh mất thời gian nhiều hơn để học lý thuyết, không còn đủ thời gian để 
luyện tập. Học sinh không cần hiểu rõ, chỉ cần xem giáo viên làm mẫu và bắt 
chước theo nhiều lần. 
Chân thành cảm ơn sự cộng tác của Thầy (cô)! Chúc Thầy (cô) mạnh khỏe, thành 
công! 
75 
PHỤ LỤC 2 
PHIẾU ĐIỀU TRA 
(Dành cho học sinh) 
Để tìm hiểu về thực trạng dạy học cực trị không gian ở trường THPT, các em vui 
lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề sau bằng cách khoanh tròn (hoặc 
đánh dấu) vào các lựa chọn. Những thông tin thu được từ phiếu này sẽ chỉ phục vụ 
cho mục đích nghiên cứu khoa học, không vì mục đích nào khác. 
Thông tin về bản thân: ........................................................................................... 
Lớp:Trường:. 
1. Em hãy đánh giá mối liên hệ giữa cực trị toán học và thực tế cuộc sống 
 Không liên quan Bình thường Mật thiết 
2. Em hãy đánh giá mức độ thường xuyên của bản thân trong việc tự tìm hiểu 
những bài toán cực trị không gian thực tiễn 
 Không bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
3. Em hãy đánh giá mức độ thường xuyên liên hệ thực tế vào các bài cực trị hình 
học không gian trong bài giảng của giáo viên 
 Không bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên 
4. Em hãy đánh giá khả năng của bản thân trong việc giải quyết các tình huống 
thực tiễn bằng kiến thức toán học về cực trị hình học không gian được học 
 Trung bình Khá Tốt 
5. Bạn có biết các phương án tư duy để giải các bài toán cực trị không gian không? 
 Có Có nghe qua Không 
6. Bạn thường xuyên giải các bài toán cực trị trong không gian chứ? 
 Không Hiếm khi sử dụng Thường xuyên Luôn sử dụng 
7. Trong các tiết Toán, thầy cô có dạy phần cực trị không gian không? 
 Không Hiếm khi sử dụng Thường xuyên Luôn sử dụng 
8. Thebiem phần cực trị không gian này có cần thiết không ? 
 Không Ít cần thiết Bình thường Rất cần thiết 
9. Nếu phần cực trị không gian được sử dụng rộng rãi trong các tiết học toán, em 
có sẵn sàng học phần này không? 
 Có chứ Chưa biết Không 
10. Cảm xúc của em như thế nào khi tham gia học tập phần cực trị không gian? 
 Không thích Bình thường Thích 
11. Theo các em, hoạt động giải các bài toán cực trị không gian mang lại những 
lợi ích gì cho học sinh? 
76 
 Học sinh có cơ hội vận dụng những kiến thức đã được học vào giải quyết các 
vấn đề trong thực tiễn 
 Hứng thú hơn trong học tập, không còn cảm thấy nhàm chán khi chỉ học lí 
thuyết suông 
 Tự khám phá bản thân, thông qua các hoạt động trải nghiệm có thể phát huy 
được sở trường của bản thân, từ đó góp phần định hướng cho nghề nghiệp tương 
la. 
 Ý kiến khác: 
12. Các em có thể gặp phải những khó khăn nào khi học phần cực trị không gian? 
 Không được sự hướng dẫn của giáo viên 
 Không đủ kiến thức và kinh nghiệm để thực hiện giải bài tập. 
 Tốn nhiều thời gian để chuẩn bị và thực hiện 
 Ý kiến khác: 
13. Theo các em thì mục tiêu cuối cùng của các em khi học bộ môn Toán là gì? 
 Ghi nhớ được các khái niệm, tính chất và các định lý toán học. 
 Giải được các bài toán, đạt được kết quả cao trong các kì thi. 
 Ghi nhớ và vận dụng các kiến thức, các công cụ toán học vào các tình huống 
thực tế. 
 Phát triển các năng lực, phẩm chất liên quan, đặc biệt là năng lực tư duy. 
14. Theo các em, một tiết học toán được coi là hiểu bài khi các em đạt được điều 
gì sau đây? 
 Hiểu và ghi nhớ được các khái niệm, tính chất, định lý trong tiết học. 
 Hiểu và ghi nhớ được các thuật giải các dạng bài toán. 
 Hiểu và ghi nhớ được các ví dụ mà giáo viên đã hoàn chỉnh lời giải làm mẫu. 
 Hiểu và thực hành các cách phân tích, cách tư duy mà giáo viên và cả học sinh 
đã thực hiện. 
Chân thành cảm ơn sự cộng tác của các em!