Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8

6, do đó:
 342 + 662+ 2.34.66 = (34 + 66)2 = 1002 = 10.000
Đối với câu b cũng giống như sâu a, nhưng ta vận dụng hằng đẳng thức bình phương của hiệu:
Ta thấy 48.74 = 2.24.74 do đó: 742 + 242 – 48.74 = (74 – 24)2 = 502 = 2500
Đối với câu c: giáo viên cho học sinh nhận dạng 
 A2 = x2 nên A = x ;B2 = 4 nên B = 2 và 2AB = 2.x.2 = 4x
Do đó x2 + 4x + 4 = (x + 2 )2
Tại x = 998 thì giá trị của biểu thức là (998 + 2)2 = 10002 = 1000.000
Đối với câu d: giáo viên cho học sinh nhận dạng 
 A3 = x3 nên A = x ; B3 = 1 nên B = 1 và 3A2B = 3.x2.1 = 3x2 ;3AB2 = 3.x.12= 3x 
Do đó: x3 + 3x2 + 3 x + 1 = (x + 1 )3.
Tại x = 999 thì giá trị của biểu thức là:
 (999 + 1)3 = 10003 = 1000.000
Ví dụ 4: tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có hai chữ số có tận cùng bằng chữ số 5.
Ta gọi số tự nhiên có hai chữ số có tận cùng bằng chữ số 5 là: 
 Viết = 10a + 5.
Vận dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức :
 = ( 10a + 5 )2 = 100a.(a + 1) + 25
Do đó để tính ()2 , ta tính tích 100a.(a + 1) rồi cộng thêm 25.
 Tức là ta lấy số chục là a nhân với số lớn hơn nó một đơn vị là (a+1)rồi nhân thêm với 100 lấy kết quả đó cộng với 25.
Chẳng hạn: Tính 252 =?, ta lấy 100.2.(2+1) +25 ta được 252 = 625.
Tương tự: 652 = 4225 ; 952 = 9025,
1.3/ Dùng hằng đẳng thức để khai triển lũy thừa của một biểu thức:
 Để củng cố lại các hằng đẳng thức , giúp học sinh tự tin hơn khi giải các dạng toán liên quan đến khai triển lũy thừa, tạo tiền đề để giải các bài toán nâng cao.
Ví dụ 5: Khai triển các lũy thừa sau:
a/ (x + 2y )2 
	b/ (2x – 3 y )2
	c/ (x – )2
	d/ (x + 3 )3
	e/ (5x – 1 )3
	f/ (x + y + z )2
 Giáo viên cần giúp học sinh nhận biết biểu thức cần khai triển thuộc dạng hằng đẳng thức nào và phải xác định được biểu thức nào tương ứng với A, B trong công thức của hằng đẳng thức để vận dụng cho thích hợp. (lưu ý: lũy thừa của đơn thức có hệ số khác 1 và đa thức phải cho vào trong ngoặc). 
Chẳng hạn:
Ở câu a: Triển khai (x + 2y )2 = ? có dạng (A + B )2 suy ra A = x; B = 2y.
 Do đó (x + 2y )2 = x2 + 2.x.2y + (2y)2 =x2+4xy+4y2
Ở câu f: (x + y + z )2, ta xem A = x + y , B = z hoặc A = x , B = y + z 
Khi đó: (x + y + z )2 = [(x + y)+z]2= (x+y)2+2.(x+y).z+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
Tương tự như trên, ta có thể triển khai lũy thừa của một đa thức có nhiều hạng tử.
1.4/ Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức:
 Để rút gọn một biểu thức ta vận dụng các quy tắc đã học để thực hiện thứ tự phép tính nhưng nếu biểu thức cần rút gọn có dạng một vế của hằng đẳng thức thì nên vận dụng hằng đẳng thức để có kết quả nhanh gọn và độ chính xác cao.
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức sau:
	a/ (x+y+z)2–2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 
	b/ (2x+1)2 +(3x–1)2 +2.(2x+1).(3x–1)
 Giáo viên lưu ý học sinh tránh sa vào chi tiết rườm rà, chú ý đến dạng hằng đẳng thức nào thích hợp xuất hiện trong biểu thức.
Ở câu a/ ta thấy nếu đặt: A=x+y+z và B=x+y thì biểu thức đã cho có dạng A2 – 2.A.B + B2 nên kết quả là (A–B)2 
Do đó: a/ (x+y+z)2–2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 =[(x+y+z)–(x+y)]2= (x+y+z+–x–y)2 = z2 
Tương tự, ở câu b/ nếu đặt A = 2x + 1 và B =3x – 1 thì biểu thức đã cho có dạng 
A2 + B2 + 2.A.B nên kết quả là (A + B )2 .
Do đó: b/ (2x+1)2 +(3x–1)2 +2.(2x+1).(3x–1) =[(2x+1)+(3x–1)]2= (5x)2 = 25x2 
1.5/ Vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử:
 Để làm dạng toán này , giáo viên cần giải thích cho học sinh thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ( là biến đổi một đa thức thành tích nhiều đa thức khác).
 Giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập điền khuyết như sau
A2 + 2.A.B + B2 = 	
A2 – 2 .A.B + B2 =	
A2 – B2 = 	 
A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3 = 	 
A3 – 3.A2.B + 3.A.B2– B3 =	 
A3 + B3 = 	
A3 – B3 = 	
 Qua bài tập này, học sinh sẽ linh hoạt hơn khi biến đổi hai vế của hằng đẳng thức và vận dụng thành thạo hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử .
 Sau đó, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách nhân dạng đa thức cầm phân tích về:
+ Bậc của đa thức
+ Số hạng tử của đa thức (đấu của các hạng tử).
 Chẳng hạn:
+ Nếu đa thức bậc 2 và số hạng tử là 3 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức đầu tiên.
+ Nếu đa thức bậc 2 và số hạng tử là 2 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức thứ ba.
+ Nếu đa thức bậc 3 và số hạng tử là 4 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức thứ tư và thứ năm.
+ Nếu đa thức bậc 3 và số hạng tử là 2 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức cuối.
 Lưu ý: sau khi nhận dạng được hằng đẳng thức, ta tìm trong đa thức đó hai hạng tử có dạng bình phương hoặc lập phương để xác định hai biểu thức tương ứng A, B trong công thức của hằng đẳng thức.
Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x2+4x+4
b/ x2–6x+9
c/ 4x2–4x+1
d/ x2 –25
e/ 16x2– 1
f/ x3+9x2+27x+27
g/ x3–3x2+3x –1
h/ x3+8
k/ 27x3 –y3
 Hướng dẫn:
Ở câu a/
 x2 + 4x + 4 là đa thức bậc 2, có 3 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ nhất A2 +2.A.B + B2, trong đóù A2 = x2 nên A = x ; B2 = 4 = 22 nên B = 2 và 2AB = 2.x.2 = 4x. Do đó x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 . Tương tự cho câu b, c.
Ở câu e/ 
16x2– 1 là đa thức bậc 2, có 2 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ ba A2 – B2 , trong đó A2 =16x2 = (4x)2 nên A = 4x ; B2 = 1 nên B = 1.
Do đó 16x2 –1 = (4x + 1).(4x – 1 ). 
Ở câu k/ 
27x3 – y3 là đa thức bậc 3, có 2 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ bảy A3 – B3, trong đó A3 = 27x3 = (3x)3 nên A = 3x ; B3 = y3 nên B = y. 
Do đó 27x3 – y3 = (3x – y )(9x2 + 3 xy + 9). Tương tự cho câu h.
Ở câu f/ 
x3 + 9x2 + 27x + 27 là đa thức bậc 3, có 4 hạng tử nên có dạng một vế của hằng đẳng thức thứ tư A3 +3.A2.B + 3.A.B2 +B3, trong đó A3 = x3 nên A = x ; B3 = 27 = 33 nên B = 3; và 3A2.B = 3.x23 = 9x2 ; và 3A.B2 = 3.x32 = 27x.
Do đó x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3). Tương tự cho câu g.
1.6/ Vận dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia:
Ví dụ 8: Thực hiện phép chia:
a/ ( x2 + 2xy + y2 ): (x + y )
b/ (125x3 + 1 ) : (5x + 1 )
c/ ( x2 – 2 xy + y2) : (y – x )
d/( 4x2 – 9 y2) : (2x – 3 y )
Phương pháp giải: phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, khi đó xuất hiện nhân tử là đa thức chia. Cụ thể là
a/ ( x2 + 2xy + y2): (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = (x + y)
b/ (125x3 + 1) : (5x + 1) = (5x + 1). (25x2 –5 x + 1) : (5x + 1) = ( 25x2 –5x +1)
c/ ( x2 – 2 xy + y2) : (y – x ) = (y – x )2: ( y – x ) = (y – x )
d/( 4x2 – 9 y2): (2x – 3 y ) = (2x – 3 y) .(2x + 3y ) :(2x – 3 y ) = (2x + 3y)
1.7/ Vận dụng hằng đẳng thức để tìm x trong đẳng thức:
 Nếu đẳng thức chứa x có vế phải bằng 0, ta phân thức đa thức ở vế trái thành nhân tử rồi vận dụng kiến thức một tích các nhân tử bằng 0 khi một trong các nhân tử đó bằng 0. Cụ thể A . B = 0 , khi đó hoặc A=0 hoặc B=0.
Ví dụ 9: Tìm x, biết:
a/ ( x2–2x+1) = 0
ó( x–1) 2 = 0
ó x–1 = 0
ó x = 1
b/ 64x2 – 49 = 0
ó(8x – 7 )(8x + 7 ) = 0
ó8x – 7 = 0 hoặc 8x + 7 = 0	
ó hoặc
 Nếu đẳng thức có vế phải khác 0 ta chuyển biểu thức ở vế phai sang vế trái sao cho vế phải bằng 0 rồi làm tương tự như trên.
2/ Giải các bài toán nâng cao:
2.1/ Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm:
Ví dụ 1: Chứng minh
	a/ x2 – 6 x + 10 > 0 với mọi x
	b/ 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x
Phương pháp giải:
 Dạng 1: Để chứng minh A(x) > 0 x, 
ta biến đổi A(x) = B(x)2 + b (b > 0) > 0 x, vì B(x)2 ≥ 0 x.
Dạng 2: Để chứng minh A(x) < 0 x,
 ta biến đổi A(x) = – {B(x)2 + b (b > 0) } 0 x
 Do đó:
 x2 – 6 x + 10 = x2 – 6 x + 9 + 1 = (x – 3 )2 + 1 > 0 x
4x – x2 – 5 = – [ x2 – 4 x + 5] 
 = –[x2 – 4 x + 4 + 1] = – [(x – 2 )2 + 1] < 0 x
2.2/ Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của biểu thức:
 Để làm dạng toán này (chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi )ta cần giải thích các
cụm từ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức là gì?Sau đó hướng dẫn học sinh cách thực hiện
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần: 
Chứng minh A ≤ t với t là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu là maxA)
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: 
Chứng minh A ≥ m với m là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu là minA)
Cụ thể xét các ví dụ sau:
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất:
	a/ P= x2 – 2 x + 5
	b/ Q= x2 + y2 – x + 6y + 10
Phương pháp giải:
Để tìm MinP, ta biến đổi P(x) = K(x)2 + a
Vì K(x)2 ≥ 0x nên P(x) = K(x)2 + a ≥ a , do đó MinP = a khi K(x)=0
a/ P= x2 – 2 x + 5 = x2 – 2 x + 1 + 4 = (x – 1 )2 + 4 ≥ 4 .
vậy MinP = 4 khi x – 1 = 0
b/ Q 	= x2 + y2 – x + 6y + 10 = x2 – x ++ + y2 + 6y + 9 
= (x – )2 + ( y + 3)2 + ≥
Vậy Min Q = khi x – = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất:
	a/ A = 4x – x2 + 3 
b/ B =x – x2 
Phương pháp giải:
Để tìm Max P, ta biến đổi P(x) = a – K(x)2
Vì K(x)2 ≥ 0x nên P(x) = a – K(x)2 ≤ a , do đó MaxP = a khi K(x) = 0
a/ A = 4x – x2 + 3 = – [x2 – 4 x – 3 ]
 = – [x2 – 4 x + 4 – 7 ] = – [(x – 2 )2 – 7 ] = 7 – ( x – 2 )2 ≤ 7
 Vậy Max = 7 khi x – 2 = 0
b/ B = x – x2 = – [x2 – x ]= – [x2 – x +–]=– [(x – )2 –]=– (x –)2 ≤
Vậy MaxB = khi x –= 0
* Nhận định: Đối với học sinh lớp 8 qua mỗi bài kiểm tra 1 tiết, học kỳ, chuyển cấp, đôi khi có trong thi học sinh giỏi và trường chuyên, đề rải rác có một vài bài toán ứng dụng hằng đẳng thức ờ những mức độ cao thấp khác nhau. Do đó, nhận biết, thông hiểu vận dụng một cách thông minh, nhanh nhẹn để được kết quả tốt là việc làm hết sức cần thiết. Muốn thế, học sinh phải thực hành nhiều các dạng để khi gặp bài tập ứng dụng hằng đẳng thức thể hiện tốt. Từ đó hình thành phương pháp giải và rèn luyện kĩ năng cho học sinh.
Trong chương trình học các em gặp những bài tập ứng dụng hằng đẳng thức cũng như các bài tập trên, còn rất nhiều dạng toán khác có thể không có sẵn hằng đẳng thức thì phải thêm một vài hạng tử thì có thể áp dụng hằng đẳng thức một cách dễ dàng và vận dụng tốt những bài tập đó. 
Tuy nhiên học sinh phải rèn luyện cho mình một phương pháp tư duy, nhận định đúng hướng.
IV. HIỆU QUẢ CỦA GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN:
 Ứng dụng hằng đẳng thức thông thạo học sinh có rất nhiều tiến bộ, điển hình trong hai năm thực dạy khối 8 bài làm có liên quan đến hằng đẳng thức các em đạt điểm tối đa và tổ nhóm hoạt động có hiệu quả. Học sinh hứng thú học đại số là tiền đồ để các em đạt được kết quả cả hai phân môn đại số, hình học khả quan. Đó là niềm động viên tôi có thêm kinh nghiệm quý báu truyền đạt lại cho các em để có kết quả tốt hơn.
Khảo sát chất lương với 31 học sinh trong kì I năm học 2018–2019 của học sinh lớp 8A trường PTDTNT Bảo Lâm như sau:
Với những bài tập giáo viên ra, học sinh đã giải được 60% một cách tự lập và tự giác.
Xếp loại
Số lượng(Học sinh)
Chất lượng(%)
Giỏi
06
19,4
Khá
09
29
Trung bình
10
32,3
Yếu
06
19,4
Kém
0
0
 Rút kinh nghiệm của những năm trước, chất lượng học sinh còn thấp nên trong năm học này tôi cũng đã vận dụng những giải pháp trên vào giảng dạy và đã thu được một số kết quả đáng khích lệ.
Ưu điểm: Đa số các em đã nắm được các kỹ năng vận dụng hằng đẳng thức vào giải các dạng toán như: tính nhẩm, tính nhanh, thực hiện phép nhân, phép chia, chứng minh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,
Nhược điểm: Bên cạnh đó còn một số học sinh có kỹ năng phân loại các dạng toán còn lúng túng, kỹ năng vận dụng chưa thành thạo, áp dụng còn máy mọc, chưa chịu khó trong học tập, ý thức học tập còn kém, mất các kiến thực từ lớp dưới.
 Những kết quả trên chứng tỏ rằng việc vận dụng những kinh nghiệm nêu trên trong thời giân chưa dài nhưng kết quả tương đối khả quan mặc dù kết quả chưa thật cao và đạt theo mong muốn nhưng đã có khởi sắc về chất lượng học tập, số học sinh yếu kém cũng được giảm đi. Và hơn thế nữa kiến thức dã dược khắc sau hơn, các em đã có thể tự tin vận dụng kiến thức đã học vào giải toán. Với nội dung giải pháp tôi thực hiện trong năm học vừa qua dù kết quả chưa cao nhưng cũng đã phần nào cải thiện dược chất lượng bộ môn Toán của trường. 
 Từ đó bản thân tôi rút ra một số kinh nghiệm trong việc rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số:
 – Nghiên cứu tài liệu tham khảo, không ngừng bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn.
 – Giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh. 
 – Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập khác. Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một nhóm trưởng tổ chức thảo luận các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu được bài một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các em không chán nản, không ngại khó. 
 – Tăng cường phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh đã bị hổng để phụ đạo. Điều đó đòi hỏi người giáo viên phải có lòng yêu nghề, yêu thương học sinh và phải có một lượng kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối tượng học sinh.
 – Giáo viên luôn tạo cơ hội cho học sinh tự làm các bài tập vừa với sức hiểu biết của mình.
 – Giáo viên trao đổi thường xuyên với phụ huynh những kiến thức học sinh tiếp thu được và chưa tiếp thu được để cùng tìm ra nguyên nhân và cách truyền thụ tốt nhất.
C: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
 Đối với học sinh giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Giải toán giúp cho học sinh củng cố và nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào trong thực tiễn cuộc sống. 
Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài toán góp phần thực hiện tốt các mục đích dạy học toán trong nhà trường, đồng thời quyết định đối với chất lượng dạy học.
 Với sự tìm tòi học hỏi của bản thân, tôi thấy giải pháp "Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8" là một vấn đề rất hay và thiết thực, rất có ích đối với học sinh THCS nhất là đối với giáo viên dạy lớp 8.
Việc tìm hiểu nghiên cứu Rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8 giúp tôi nắm vững các dạng bài tập thông dụng với phương pháp giải phù hợp. Ngoài ra có thể biết được những sai lầm của học sinh hay mắc phải... từ đó điều chỉnh phương pháp dạy sao cho phù hợp. Điều này rất cần thiết cho bản thân tôi trong quá trình dạy học. 
Trong quá trình thực hiên giải pháp này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự góp ý, bổ sung của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để bài viết này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
 Bảo Lâm, ngày 12 tháng 11 năm 2017
 Giáo viên thực hiện 
	Nguyễn Thị Huế 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1. Sách giáo viên Toán lớp 8 (của nhà xuất bản giáo dục)
 2. Sách giáo khoa Toán lớp 8 (của nhà xuất bản giáo dục)
 3. Sách bài tập Toán lớp 8 (của nhà xuất bản giáo dục)
 4. Các Website:
MỤC LỤC
A.Đặt vấn đề:
1. Lý do chọn giải pháp	 	 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu	 1–2
3. Đối tượng nghiên cứu 	 2
4. Phạm vi nghiên cứu.	 	 2
5. Phương pháp nhiên cứu	 2
B.Nội dung nghiên cứu
I/Cơ sở lý luận
II/Thực trạng của vấn đề	 	 2 – 3
III/ Giải pháp:	 	 4 – 13
IV/ Hiệu quả sau khi thực hiện giải pháp:	 13– 14
C. Kết luận – Kiến nghị: 	 	 15
Tài liệu tham khảo	 	 	16