Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước
=> A, B, C thẳng hàng
A
B
C
a
	BC // a
	AC // a
Ví dụ 1: Cho 2 góc AOM và MOB kề bù (theo hình vẽ)
Vẽ tia MC sao cho 2 góc CMO, MOA so le trong và bằng nhau
Vẽ tia MD sao cho 2 góc DMO, MOB so le trong và bằng nhau
Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng 
Giải
	CMO và MOA là cặp góc so le trong bằng nhau
	Þ MC // OA
	Mà B thuộc đường thẳng OA
	Þ MC // AB
	DMO và MOB là cặp góc so le trong bằng nhau
	Þ MD // OB
	Mà A thuộc đường thẳng OB
	Þ MD // AB
	Ta có	MC // AB (cmt)
	MD // AB (cmt)
	Þ Ba điểm C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Ví dụ 4: Cho DABC vuông tại A. Vẽ DACD vuông tại C có CD < AB. Vẽ đường thẳng m qua A và song song với BC. E là điểm nằm trên đường thẳng m sao cho E và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, AE = BC. Chứng minh ba điểm D, C, E thẳng hàng.
Giải 
Xét ABC và CEA có: 
BC = EA (gt)
 (hai góc so le trong vì AE // BC)
AC là cạnh chung
Vậy: ABC = CEA (c.g.c)
=> 
Mà là 2 góc so le trong
=> CE // AB 
Mặt khác CD ^ AC (ACD vuông tại C)
và AB ^ AC (ABC vuông tại A)
=> CD // AB 
Ta có CE // AB, CD // AB 
Theo tiên đề Ơ-Clit ta có hai đường thẳng CE, CD trùng nhau
Vậy ba điểm D, C, E thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Giải
Xét AOD và COB có: 
OA = OC (vì O là trung điểm AC)
 (hai góc đối đỉnh)
OD = OB (vì O là trung điểm BD)
Vậy AOD = COB (c.g.c)
Suy ra: . 
Do đó: AD // BC. 
Nên (ở vị trí đồng vị) 
XétDAB và CBM có : 
 AD = BC ( do AOD = COB),
(hai góc đồng vị)
AB = BM ( B là trung điểm AM)
Vậy DAB = CBM (c.g.c). 
Suy ra . Do đó BD // CM. (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
=
=
/
/
E
D
N
M
C
B
A
 Giải
Xét BMC và DMA có: 
MC = MA (do M là trung điểm AC)
 (hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
Suy ra: 
Mà là hai góc này ở vị trí so le trong 
nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2) 
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC
nên từ (1) và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit 
Suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
3. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với
một đường thẳng cho trước:
A
B
C
AB ^ a
BC ^ a
=> A, B, C thẳng hàng
a
Ví dụ 1: Cho DABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC (H BC).
Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
 Giải 
Có DADE = DABC (vì AE = AC, AD = AB, =) 
E
K
C
H
B
A
D
 = mà , là 2 góc so le trong
 DE // BC
DAHB = DAKD (vì AB= AD, BH = DK, )
 =
=> AK ^ DE
Mà DE // BC 
 AK ^ BC
mà AH ^ BC 
Suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng.
E
D
C
B
A
Ví dụ 2: Cho DABC cân tại A, AD là đường trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ DDCE vuông tại D. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Giải
Ta có DABC cân tại A (gt)
AD là đường trung tuyến (gt) 
=> AD là đường cao của DABC
=> AD ^ BC
Mà DE ^ BC (DDCE vuông tại D)
Do vậy hai đường thẳng AD, DE trùng nhau
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng
Ví dụ 3: Cho DABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC. Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. 
Giải 
Xét ΔABM và ΔACM có: 
AB =AC (gt) 
AM chung 
MB = MC (M là trung điểm BC)
Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c)
Suy ra: (hai góc tương ứng)
Mà (hai góc kề bù)
nên 
Do đó: AM BC (đpcm)
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c).
Suy ra: (hai góc tương ứng)
mà 
nên = 900 => PM ^ BC. 
Lập luận tương tự QM ^ BC 
Từ điểm M trên BC có AM ^ BC, PM ^ BC, QM ^ BC 
Nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm)
Ví dụ 4: Cho DABC có AB = 5, AC = 12, BC = 13. Vẽ DACD sao cho AD = 16, CD = 20. Chứng minh ba điểm B, A, D thẳng hàng
Giải
Ta có AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169 
BC2 = 132 = 169
Nên AB2 + AC2 = BC2
=> DABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)
=> AB ^ AC
Tương tự: DACD có AC2 + AD2 = CD	2 = 400
=> DACD vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)
=> AD ^ AC
Ta có AB ^ AC và AD ^ AC
=> Hai đường thẳng AB, AD trùng nhau
Vậy ba điểm B, A, D thẳng hàng
4. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:
 Tia OA là tia phân giác của 
 Tia OB là tia phân giác của 
Þ A, O, B thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho DABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
A
Giải
DABM = DACM 
(vì AM chung, AB = AC, MB = MC )
M
Þ =
Þ AM là tia phân giác (1)
Tương tự DABN = DACN (c.c.c)
=C
N
B
Þ AN là tia phân giác (2)
Từ (1), (2) suy ra ba A, M, N điểm thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho . Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Giải
Xét ΔBOD và ΔCOD có: 
OB = OC (gt)
OD chung
BD = CD (D là giao điểm của 
hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính).
Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c). 
Suy ra : . 
Điểm D nằm trong 
nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
Do đó OD là tia phân giác của .
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của .
chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. 
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng
A
B
C
M
N
=> A, B, C thẳng hàng
 A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN
C thuộc đường trung trực của MN
Ví dụ 1: Cho DABC, DDBC và DEBC cân có chung đáy BC. 
E
C
D
A
B
Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng. 
Giải
Ta có DABC cân tại A suy ra AB = AC
Þ A thuộc đường trung trực của BC (1)
DDBC cân tại D suy ra DB = DC
 Þ D thuộc đường trung trực của BC (2)
DEBC cân tại E suy ra EB = EC
Þ E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng.
A
C
B
M
D
Ví dụ 2: Cho D ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng 
Giải
Ta có : AB = AC (gt)
MB = MC (M là trung điểm BC)
Suy ra: AM là đường trung trực của đoạn BC (1)
D ABC có đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D
Suy ra: D là giao điểm 3 đường trung trực trong D ABC
Nên: D thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, M, D thẳng hàng 
B
M
C
G
A
6. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.
G là trọng tâm tam giác ABC
=> A, G, M thẳng hàng
AM là trung tuyến tam giác ABC
Ví dụ 1: Cho DABC vuông tại A, có BC = 10cm, AC = 8cm. Lấy điểm M trên AB sao cho BM = 4cm. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N là trung điểm BD. Chứng minh ba điểm C, M, N thẳng hàng 
A
C
B
M
D
N
4
Giải 
Áp dụng định lý Pythagore
Tính được AB = 6cm
DDBC có BA là trung tuyến
và == Þ BM = BA
Vậy M là trọng tâm của DDBC
N là trung điểm BD suy ra CN là trung tuyến DBDC
Trung tuyến CN phải đi qua trọng tâm M
Vậy ba điểm C, M, N thẳng hàng 
Ví dụ 2: Cho DABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy hai điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng. 
C
E
P
Q
B
A
Giải
DABC có AM là trung tuyến
mà AQ = QP = PM (gt)
M
Þ AP = AM
Þ P là trọng tâm D ABC
Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung tuyến của ABC
Þ BE đi qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng.
A
7. Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng:
I
I là giao điểm 2 đường phân giác ,
AD là phân giác của 
C
D
B
Þ A, I, D thẳng hàng.
Ví dụ 1: Cho DABC cân tại A. Vẽ phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng 
 Giải
Ta có D ABC có phân giác của B và C cắt nhau tại I
suy ra I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác
D ABC cân tại A có 
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy 
nên AM cũng là phân giác.
Đường phân giác AM phải đi qua giao điểm I
Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng 
Ví dụ 2: Cho DABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
A
B
I
C
K
y
x
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A 
nên K cách đều hai cạnh Ax và AC (1)
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại C 
nên K cách đều hai cạnh Cy và AC (2)
Từ (1) và (2) 
suy ra K cách đều 2 cạnh Ax và Cy
Hay K cách đều hai cạnh BA và BC
Þ KB là tia phân giác 
vì I là giao điểm của hai tia phân giác , 
nên: BI là tia phân giác (gt) 
=> Ba điểm B, I, K thẳng hàng
8. Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó:
B
C
H
D
A
H là trực tâm DABC
AD là đường cao DABC	
=> A, H, D ba điểm thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho DABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.
B
M
C
A
H
K
I
Giải
Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK 
nên I là trực tâm D ABC
D ABC cân tại A có 
AM là đường trung tuyến 
Nên AM cũng là đường cao.
=> Đường cao AM đi qua trực tâm I
=> Ba điểm A, I, M thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho DABC vuông tại A. Tia phân giác cắt cạnh AC tại D. Trên cạnh BC lấy E sao cho BE = AB. Đường thẳng qua C vuông góc với BD cắt AB ở F. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Giải
Xét DABD và DEBD có
AB = BE (gt)
=(BD là phân giác ) 
BD là cạnh chung
Do đó DABD = DEBD (c-g-c)
=> =
Mà (gt)
Nên 
=> DE ^ BC
Mặt khác DFBC có
CA, BD là 2 đường cao cắt nhau tại D (BD ^ AC (gt), CA ^ AB (gt))
Nên D là trực tâm của DFBC 
=> FD ^ BC
Ta có DE ^ BC, FD ^ BC
=> Hai đường thẳng DE, DF trùng nhau
Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng.
C
A
E
B
F
O
9. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại:
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AC và BC
EF là đường trung trực của cạnh AB
=> E, F,O thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho DABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.
Giải 
A
C
M
D
B
 DABC cân tại A có MB = MC 
nên: AM là đường trung tuyến DABC
=> AM cũng là đường trung trực của DABC
Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC
Nên AM đi qua D
=> Ba điểm A, D, M thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho DABC vuông tại A (AB < AC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, lấy các điểm D, E sao cho BD = BA và BD ^ BA, BE = BC và BE ^ BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.
Giải
Xét DABC và DDBE có:
AB = BD (gt)
=(cùng phụ với )
BC = BE (gt)
Do đó DABC = DDBE (c-g-c)
=> =
Nên 
Gọi F là giao điểm của ED và AC 
Ta có AB ^ BD, DF ^ BD
=> AB // DF
 Xét DABD và DDFA có:
= 
AD là cạnh chung
=
Do đó DABD = DDFA (g-c-g)
=> BD = FA và AB = DF
Mà AB = BD (gt)
Do đó AB = BD = AF = DF
Chứng minh được BM = FM = 
Ta có AB = AF, BD = DF, BM = FM
=> A, D, M cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BF
Vậy ba điểm A, D, M thẳng hàng.
10. Sử dụng phương pháp hình duy nhất
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó C thuộc hình H (hình H là đường thẳng, tia, đoạn thẳng ...) chúng ta có thể gọi C’ là giao điểm của AB với hình H tìm cách chứng minh 2 điểm C và C’ trùng nhau
Ví dụ 1: Cho DABC. Vẽ DABD sao cho D nằm trên trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C và AD // BC. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB. Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Giải
Gọi E’ là giao điểm của BM và AD
Xét DMAE’ và DMCB có
=(đối đỉnh)
MA = MC (M là trung điểm AC)
=(so le trong vì AE’ // BC)
Do đó DMAE’ = DMCB (g-c-g)
=> ME’ = MB
Mà ME = MB (gt)
Do đó ME = ME’ => E º E’. 
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho ΔABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho AD = AE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, DE. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Giải
Gọi N’ là giao điểm AM và DE
ΔABC cân tại A
AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của cạnh BC)
=> AM là đường phân giác của 
ΔADE cân tại A
AN’ là đường phân giác
=> AN’ là đường trung tuyến của ΔADE
=> N’ là trung điểm của cạnh DE
Mà N là trung điểm của cạnh DE
Do đó N’ º N
Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho DABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
Giải
E
N
M
B
C
A
K
K'
=
=
Kẻ ME // AC (E BC)
 (hai góc đồng vị)
Mà nên 
Vậy ΔMBE cân ở M.
Do đó: MB = ME 
Mà MB = NC 
ta được ME = CN.
Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
Xét ΔMEK’ và ΔNCK’ có: 
 (so le trong của ME //AC)
ME = CN (chứng minh trên)
 (so le trong của ME //AC)
Do đó : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g)
 MK’ = NK’. 
Vậy K’ là trung điểm MN, 
mà K là trung điểm MN
nên K K’
Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
IV. KẾT QUẢ:
Qua thời gian tổ chức thực hiện đề tài, với sự sửa chữa, bổ sung sau mỗi tiết dạy, bản thân tôi tự nhận xét, đúc rút ra những kinh nghiệm về cách tiến hành đề tài này. Nhìn chung học sinh rất tiến bộ trong học tập, các em rất hăng say và sôi nổi trong các tiết học.
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này thì kết quả thu được như sau:
Năm học
Tổng số học sinh
Trước khi áp dụng SKKN
Sau khi áp dụng SKKN
Số hs giải đúng
Tỉ lệ
Số hs giải sai
Tỉ lệ
Số hs giải đúng
Tỉ lệ
Số hs giải sai
Tỉ lệ
2016-2017
79
11
13,9%
68
86,1%
/
/
/
/
2017-2018
80
/
/
/
/
66
82,5%
14
17,5%

V. KẾT LUẬN
Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một kiến thức rộng và sâu, tương đối khó đối với học sinh, rất cần thiết trong chương trình hình học THCS. Vì vậy đòi hỏi người học phải có đầy đủ kiến thức, phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp tốt. 
Do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chương trình môn toán chưa cao, nên khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy để đề tài của tôi thật sự có hiệu quả trong quá trình giảng dạy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp, giúp đỡ nhiệt tình của quý thầy cô để đề tài được hoàn thiện hơn
MỤC LỤC
Trang
I/ Lý do chon đề tài
1
II/ Thực trạng
1
III/ Giải pháp
1 ® 14
IV/ Kết quả
15
V/ Kết luận
15

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách giáo khoa Toán 7 tập 1, 2
2/ Sách giáo viên Toán 7 tập 1, 2
3/ Sách bài tập Toán 7 tập 1, 2
4/ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7 (nhà xuất bản giáo dục)
5/ 400 bài toán cơ bản và nâng cao Toán 7 (nhà xuất bản giáo dục)
6/ Đổi mới phương pháp ở trường trung học cơ sở (Tác giả: PGS-TS Trần Kiều)