Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, tìm giới hạn tổng

uyến tính cấp hai 
luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong 
trường hợp số thực, tức là chỉ xét nghiệm thực) 
Dạng 1 
 Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
*
1 2 1 1
, , . 0,
n n n
u u au bu c u n N 
 (5.1) 
Phương pháp giải 
 Giải phương trình đặc trưng 2. . 0a b c  tìm  khi đó nếu 
1 2
,  là 
hai nghiệm thực khác nhau thì 
1 2
. .n n
n
u A B  , trong đó A và B được xác định khi 
biết 
1 2
,u u 
Nếu 
1 2
,  là hai nghiệm kép 
1 2
   thì . nnu A Bn  , trong đó A 
và B được xác định khi biết 
1 2
,u u 
Ví dụ 7: Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
0 1 2 1
1, 16, 8. 16.
n n n
u u u u u
 (5.1) 
16 
Giải 
Phương trình đặc trưng 2 8 16 0  có nghiệm kép 4 
Ta có . .4nnu A B n (5.2) 
Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình 
0
1
1 1
31 .4 16
u A A
Bu B
Vậy 1 3 .4nnu n 
Dạng 2 Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
1 2 1 1
, , . . . , 2,
n n n n
u u a u b u c u f n 
 (6.1) 
Trong đó a 0, 
n
f là đa thức theo n cho trước 
Phương pháp giải 
 Giải phương trình đặc trưng 2. . 0a b c  để tìm  . Khi dó ta có 
0 *,
n n n
u u u trong đó 0
n
u là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 
1 1
. . . 0
n n n
a u b u c u
 và *
n
u là một nghiệm tùy ý của phương trình 
1 1
. . .
n n n n
a u b u c u f
Theo dạng 1 ta tìm được 0
n
u , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , *
n
u được xác 
định như sau: 
1) Nếu 1 thì *
n
u là đa thức cùng bậc với 
n
f 
2) Nếu 1 là nghiệm đơn thì * . ,
n n n
u n g g là đa thức cùng bậc với 
n
f 
3) Nếu 1 là nghiệm kép thì * 2. ,
n n n
u n g g là đa thức cùng bậc với 
n
f , 
Thay *
n
u vào phương trình đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của *
n
u . Biết 
1 2
,u u từ hệ thức 0 *
n n n
u u u tính được A, B 
Ví dụ 8: Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
1 2 1 1
1; 0, 2 1, 2
n n n
u u u u u n n
 (6.2) 
17 
Giải 
Phương trình đặc trưng 2 2 1 0  có nghiệm kép 1 ta có 0 *
n n n
u u u 
trong đó 0 * 2. .1 , .nn nu A B n A Bn u n a n b 
thay *
n
u vào phương trình (6,2), ta được 
2 221 1 2 . 1 1 1n a n b n a n b n a n b n 
Cho n = 1, n = 2 ta thu được hệ phương trình 
1
4 2 2 2 6
19 3 8 2 3
2
aa b a b
a b a b a b
b
Vậy * 2
1
6 2
n
n
u n
Do đó 0 * 2
1
6 2
n n n
n
u u u A Bn n
Mặt khác 
1 1
1 4
6 2
11
1 1
2 4 0 3
3 2
A B A
B
A B
Vậy 2
11 1
4
3 6 2
n
n
u n n
Dạng 3 
 Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
1 2 1 1
, , . . , 2n
n n n
u u au bu c u d n  
 (7.1) 
Phương pháp giải 
18 
 Giải phương trình đặc trưng 2. . 0a b c  để tìm  Khi đó ta có 
0 *,
n n n
u u u trong đó 0
n
u được xác định như dạng 2 và hệ số A, B chưa được xác 
định, *
n
u được xác định như sau 
1) Nếu   thì * . n
n
u k  
2) Nếu   là nghiệm đơn thì * . n
n
u k n 
3) Nếu   là nghiệm kép thì * 2. . n
n
u k n  
Thay *
n
u vào phương trình, dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính 
được hệ số k. Biết 
1 2
,u u từ hệ thức 0 *
n n n
u u u tính được A, B. 
Ví dụ 9: Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
1 2 1 1
0; 0, 2 3.2 , 2n
n n n
u u u u u n
Giải 
Phương trình đặc trưng 2 2 1 0  có nghiệm kép 1 ta có 
0 *
1n n n
u u u trong đó 0 *. .1 , .2n nn nu A B n A Bn u k 
Thay *
n
u vào phương trình ta được 
1 1.2 2 .2 .2 3.2 6n n n nk k k k 
Vậy * 16.2 3.2n n
n
u .Do đó 0 * 13.2n
n n n
u u u A bn (1) thay 
1 2
1, 0u u vào 
phương trình ta thu được hệ 
1 12 2
0 2 24 13
A B A
A B B
Vậy 12 13 3.2n
n
u n 
Dạng 4 
 Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
1 2 1 1
, , . , 2
n n n n n
u u au bu c u f g n 
 (8.1) 
Trong đó a 0, 
n
f là đa thức theo n và . n
n
g v  
Phương pháp giải 
19 
Ta có 0 * *
1 2n n n n
u u u u trong đó 0
n
u là nghiệm tổng quát của phương trình 
thuần nhất 
1 1
. 0
n n n
au bu c u
 , *
1n
u là nghiệm riêng tùy ý của phương trình 
không thuần nhất 
1 1
.
n n n n
au bu c u f
 , *
2n
u là nghiệm riêng tùy ý của phương 
trình không thuần nhất 
1 1
.
n n n n
au bu c u g
Ví dụ 10: 
Tìm 
n
u thỏa mãn điều kiện 
1 2 1 1
0; 0, 2 3 2 , 2n
n n n
u u u u u n n
 (8.2) 
Giải 
Phương trình đặc trưng 2 2 3 0  có nghiệm 
1 2
1, 3  ta có 
0 * *
1 2n n n n
u u u u trong đó 0 * *1 21 .3 , , .2
n n n
n n n
u A B u a bn u k 
Thay *
1n
u vào phương trình 
1 1
2 3
n n n
u u u n
 , ta được 
 1 2 3 1 4 1 4 0a n b an b a n b n a n a b 
Vậy 
1
4
a b 
Do đó *
1
1
4
n
u n
Thay *
2n
u vào phương trình 
1 1
2 3 2n
n n n
u u u
 , ta được 
1 1 2.2 2. .2 3. .2 2
3
n n n nk k k k 
Do đó * 1
2
2 1
.2 .2
3 3
n n
n
u 
Vậy 0 * * 11 2
1 1
1 .3 1 .2
4 3
n n n
n n n n
u u u u A B n (8.3) 
Ta thay 
1 2
1, 0u u vào (8.3) ta được hệ phương trình 
20 
1 4 61
3 1
2 3 48
3 8 25
9 0
4 3 48
A B A
A B B
Vậy 1
61 25 1 1
. 1 .3 . 1 .2
48 48 4 3
n n n
n
u n 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Cho dãy số 
1, 16
1
8 16
2 1
Ou u
u u unn n
 Tìm 1lim n
n
u
u
Bài 2: Cho dãy số 
1, 0
1 2
2 1, 2
1 1
u u
u u u n nnn n
 Tìm 1
2
lim
n
k
k
u
n

Bài 3: Cho dãy số 
0, 0
1 2
2 3.2 , 2
1 1
u u
nu u u nnn n
 Tìm lim
2
n
n
u
3.2.4. Giới hạn của tổng 
Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích 
hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt 
tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa xn , sau đó tìm limxn. 
Ví dụ 1. (Đề thi HSG Nghệ An 2018) 
Cho dãy số ,nu biết 
 2 2
1 1
1
6, n nn
u n u n
u u
n
 với 1.n 
Tính giới hạn: 
1 2
1 1 1
lim ... .
nu u u
Ý tưởng: 
Từ giả thiết 
 2 2
1
1n n
n
u n u n
u
n
 phân tích biến đổi thành hiệu các hạng 
tử. 
 1
1 1 1
.
1k k ku u k u k 
 Sau đó ta sẽ thu gọn tổng 
1 2
1 1 1
...
nu u u
21 
Tuy nhiên sau khi thu gọn việc tính giới hạn của dãy số cần khéo léo để 
chứng minh nlimu . 
Giải 
Ta có: 
2 2 2
1 1 1
k k k k
k k
u ku k k u ku
u u k
k k
2
1 2
1
1 1 1
1
1
k k
k
k k k k k
u ku k
u k
k u k u ku u k u
1
1 1 1
1 .
1k k ku u k u k 
Áp dụng (1) suy ra 
1 1 2
1 1 1
1 2u u u
2 2 3
1 1 1
2 3u u u
 1
1 1 1
1n n nu u n u n 
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được 
1 2 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
... 2
1 1 5 1n n nu u u u u n u n 
Dễ thấy *1 3 1 .nu n n  (có thể chứng minh bằng quy nạp) 
 *1 3 1 1 2 2 0, .n nu n u n n n  
Vậy 
 1
1 1
1 2 2nu n n 
Mà 
1
1 1
lim 0 lim 0 3
2 2 1nn u n 
22 
Từ (2) và (3), suy ra 
1 2
1 1 1 1
lim ... .
5nu u u
Ví dụ 2. 
Cho dãy số ,nu biết 
2
1 12, 1(1)n n nu u u u với 1.n 
Tính giới hạn: 
1 2
1 1 1
lim ... .
nu u u
Ý tưởng: Tương tự, nhưng sau khi thu gọn thì ta được một giới hạn dễ dàng 
hơn, ta có lời giải 
Một số số hạng của dãy: 2,3,7, 42,... 
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 
1 2u với 1.n 
Từ hệ thức (1) ta suy ra được: với 1.n 
2
1 1n n nu u u suy ra dãy 
 nu là dãy tăng. 
Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được: 
2
1 1n n nu u u 1 1 ( 1)n n nu u u 
1
1 1 1 1
1 ( 1) 1n n n n nu u u u u 
1
1 1 1
(n 1,2,...) (*)
1 1n n nu u u 
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 
1 2 1
1 1 1 1
... 1
1n nu u u u 
 nu là dãy tăng và ta dễ dàng chứng minh đươc lim nu 
1 2
1 1 1
lim ... 1
nu u u
Nhận xét: từ ví dụ 2, ta biến đổi từ 21 1n n nu u u 
2
2
1 1n n nu u u 
và biến đổi biểu thức trong căn thành một dạng khác sẽ làm cho bài toán khó khăn 
lên, với ý tưởng đó ta xét sang ví dụ 3. 
23 
Ví dụ 3. 
Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, ) được xác định như sau: 
 x1 = 1 và 1 ( 1)( 2)( 3) 1n n n n nx x x x x với n = 1, 2,  
Đặt 
1
1
2
n
n
i i
y
x 
 (n = 1, 2, .). Tìm lim n
n
y
Giải 
Ta có x2 = 5 và xn > 0 với mọi n = 1, 2,  
 2 2 21 ( 1)( 2)( 3) 1 3 3 2 1 3 1n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x (1) 
Từ đó suy ra 
 xn+1 +1 = 
2 3 2
n n
x x = (xn + 1)(xn + 2) 
 1
1 1 1 1
1 1 2 1 2
n n n n n
x x x x x
1
1 1 1
2 1 1
n n n
x x x
Do đó 
1
1
2
n
n
i i
y
x 
 =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1
n
i i i n n
x x x x x 
 
Từ (1) xk+1 = 
2 13 1 3 3.3 3k k
k k k
x x x 
Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp xn > 3n-1 (2) 
Nên 
1
lim
2
n
n
y
 (vì do (2) xn+1 > 3
n) 
Ta có thể chứng minh limxn = với cách khác: 
Dễ thấy (xn) là dãy tăng, giả sử limxn = a (a 1) 
 Nên ta có ( 1)( 2)( 3) 1a a a a a 
Suy ra a2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a +1 = 0 
Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a 1. Vậy limxn = 
Ví dụ 4. 
24 
 Cho dãy (xn) (n = 1, 2, ) xác định bởi: 
1
2
1 1 1
1
2
4
( 2,3,...)
2
n n n
n
x
x x x
x n
 Chứng minh rằng dãy (yn) (n = 1, 2, ) với 2
1
1n
n
i i
y
x 
  có giới hạn hữu hạn, 
tìm giới hạn đó. 
Giải 
Từ giả thiết ta có xn > 0 1n 
 Ta có xn – xn-1 = 
2
1 1 14
2
n n nx x x - xn-1 = 
2
1 1 14
2
n n nx x x > 0 2n 
Do đó dãy (xn) tăng. Giả sử limxn = a thì a > 0 và 
2 4
2
a a a
a
 a = 0 (vô lý) 
Vậy limxn = 
Từ xn = 
2
1 1 14
2
n n nx x x 2n suy ra 
2
1( 1)n n nx x x 2
1
1 1 1
n n nx x x 
 2n 
Do đó 
2 2 2
1 1 1 2 2 3 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 6
n
n
i i n n n n
y
x x x x x x x x x x x x 
 2n 
Suy ra yn < 6 1n và dãy (yn) tăng vì yn = yn-1 + 
1
nx
 > yn-1 
Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn và limyn = 6 
Ví dụ 5. 
Xét dãy số (xn) (n = 1, 2, 3, ) xác định bởi: 
25 
x1 = 2 và 
2
1
1
( 1)
2
n nx x với mọi n = 1, 2,3, . 
Đặt 
1 2
1 1 1
...
1 1 1
n
n
S
x x x
Tìm lim n
n
S
Giải 
Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: 
Cho dãy (un) thỏa mãn
1
2 2
1
( )n n
n
u a
u b c u c
u
b c
Ta chứng minh 
1 1 1
1 1 1n
n
i i n
S
u b u c u c 
 
Thật vậy. 
Ta có 
2 2
1
( )n n
n
u b c u c
u
b c
 suy ra 
2
1
( ) ( )( )n n n n
n
u b c u bc u b u c
u c
b c b c
Từ đó 
1
1 1 1
n n nu c u c u b 
1
1 1 1
n n nu b u c u c 
Khai triển và ước lượng được 
1 1 2
1 1 1
u b u c u c
2 2 3
1 1 1
u b u c u c
. 
1
1 1 1
n n nu b u c u c 
Do đó 
1 1
1 1
n
n
S
u c u c 
Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có 
26 
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
n
n n
S
x x x 
Mà xn+1 – xn = 
21
1
2
nx > 0 *n N nên dãy (xn) là dãy tăng. Giả sử 
lim n
n
x a
 (a > 2). Thì 2a = a2 + 1 suy ra a = 1. Vô lý. 
Vậy lim n
n
x
 . Do đó lim 1n
n
S
Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác 
nhau để được các bài toán mới. Chẳng hạn: 
 Cho dãy số (un) thỏa mãn: 
1
2
1
3
9
, 1
5
n n
n
u
u u
u n 
 Đặt 
1 2
1 1 1
...
2 2 2
n
n
S
u u u
Tìm limSn 
Ví dụ 6. 
Cho dãy số (xn) được xác định bởi: x1 = 1; 
2022
1
(2 1)
2022
n
n n
x
x x 
 . Với n là số 
nguyên dương. 
 Đặt 
2021 20212021 2021
31 2
2 3 3 1
(2 1) (2 1)(2 1) (2 1)
...
2 1 2 1 2 1 2 1
n
n
n
x xx x
u
x x x x 
 Tìm limun 
Giải 
Ta có xn+1 – xn = 
2022(2 1)
2022
nx , 1n 
Suy ra 
2021
1
1 1 1
2( ) (2 1)1 1
2 1 2 1 (2 1)(2 1) 1011(2 1)
n n n
n n n n n
x x x
x x x x x
2021
1 11 1 1 1
(2 1) 1 1 1 1
1011 1011
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n
i
i ii i i n
x
x x x x x 
  
Mặt khác: xn + 1 – xn 0 nên dãy (xn) là dãy số tăng 1n . Nếu (xn) bị chặn thì 
limxn tồn tại. 
27 
 Đặt limxn = a 1a và 
2022( 1)
2022
a
a a
 (vô lý). Suy ra (xn) không bị chặn 
trên hay limxn = suy ra lim
1
1
2 1nx 
=0 
Suy ra 
1011
lim
3
n
n
u
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Cho dãy số 
1
2
, 1
2021
1
1
n n
u
u
u unn
Tính giới hạn 1 2
2 3 1
lim ... n
n
n
uu u
u u u 
Bài 2: Cho dãy số 
1
2
2
, 1
1
1 n
n
u
u u unn
Tính giới hạn 
1 2 1
1 1 1
lim ...
1 1 1n nu u u
Bài 3: Cho dãy số (un) thỏa mãn: 
1
2
1
3
9
, 1
5
n n
n
u
u u
u n 
 Đặt 
1 2
1 1 1
...
2 2 2
n
n
S
u u u
C- PHẦN KẾT LUẬN 
1. Kết luận 
Trên đây chỉ là vài phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số mà 
ta thường gặp và phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Qua một vài năm học với 
những cố gắng tìm tòi những phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy 
sao cho phù hợp với đối tượng học sinh đã có những tiến bộ rõ rệt. Tuy vậy kết 
28 
quả chưa đều, chưa cao. Số học sinh chưa biết vận dụng còn nhiều, nhiều em 
chưa biết giải bài tập. Cho nên việc rèn luyện kĩ năng xác định số hạng tổng quát 
cũng như tìm giới hạn của dãy đòi hỏi thầy giáo phải kiên trì, tìm ra các phương 
pháp phù hợp, lấp các lỗ hổng kiến thức cho học sinh. Để việc rèn luyện kĩ xác 
định số hạng tổng quát, giới hạn của dãy tốt hơn. Do năng lực buổi đầu còn hạn 
chế, thời gian nghiên cứu chưa được nhiều, các điều kiện chưa đủ nên kết quả 
nghiên cứu không tránh khỏi sai sót. Tôi mong được sự góp ý kiến và tiếp tục đi 
sâu nghiên cứu của các giáo viên để đề tài được hoàn thành. 
 2. Kiến nghị 
- Đề tài này là một nội dung khó khăn với học sinh nên nhà trường cần tăng 
thêm một số tiết trong chương này. 
- Các lớp tốt có học sinh được bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường cần xếp 
lịch để các em có nhiều thời gian đi sâu vào chuyên đề xác định số hạng tổng quát 
của dãy cũng như tìm giới hạn của dãy  
- Phải xác định được nguyên nhân dẫn đến tình trạng yếu kém ngay từ đầu để 
có hướng khắc phục. 
- Các thầy cô giáo cần tích luỹ kiến thức và tìm tòi ra các phương pháp dạy 
học tối ưu phù hợp với từng đối tượng học sinh. 
Tài liệu tham khảo 
1. Bồi dưỡng đại số giải tích 11 (Phạm quốc Phong g – NXB ĐH Quốc gia 
Hà Nội- 2002). 
2. Chuyên đề dãy số (Nguyễn Tất Thu – NXB Trẻ). 
3. Dãy số (Trần Nam Dũng – NXB Giáo Dục). 
4. Giải tích 11 (Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên)- Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – 
NXB GD – 2008) 
5. Phương pháp giải toán Dãy số (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà 
Nội – 2005). 
6. Hướng dẫn giải toán theo chuyên đề dãy số (Võ Đại Mâu – NXB ĐHQG 
TPHCM-2008). 
8. Bài tập Giải Tích 11 (Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – NXB GD – 2008). 
29 
MỤC LỤC 
Nội dung Trang 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 
1. Lý do chọn đề tài 1 
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 
2 
3. Đối tượng nghiên cứu 
2 
4. Giới hạn của đề tài 2 
5. Phương pháp nghiên cứu 3 
6. Giả thiết khoa học 3 
7. Những đóng góp của đề tài 3 
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 4 
1. Cơ sở lý luận. 4 
2. Thực trạng việc dạy và học chuyên đề dãy số ở trường trung học 
phổ thông 
4 
3. Nội dung và hình thức của giải pháp 4 
3.1 Mục tiêu của giải pháp 
4 
3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 4 
3.2.1. Sử dụng phép thế lượng giác 4 
3.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 5 
3.2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 7 
3.2.4. Giới hạn của tổng 7 
3.3. Thực nghiệm sư phạm. 7 
3.3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm. 7 
3.3.2. Phương pháp và kế hoạch thực nghiệm sư phạm 8 
3.3.2.1. Lựa chọn đối tượng thực nghiệm sư phạm 8 
30 
3.3.2.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm. 
8 
3.3.2.3. Phương pháp tiến hành thực nghiệm sư phạm. 19 
C. KẾT LUẬN 30 
1. Tính mới của đề tài 30 
2. Tính khoa học 30 
3. Ý nghĩa của đề tài 30 
4. Kết luận và Kiến nghị 30 
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT 32 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
MỤC LỤC 
33