Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác các bài toán hàm số hợp

ố g x 
Suy ra hàm số g x có 2 điểm cực tiểu. 
Vậy ta chọn đáp án B. 
 26 
Bài 2. (Câu 40 đề thi tham khảo của bộ GD – 2022 ) Cho hàm số y f x có 
bảng biến thiên như sau: 
 Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ' 0f f x là 
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 
Giải 
Do '
1
0
2
x
f x
x
 nên suy ra 
'
1
0
2
f x
f f x
f x
 . 
Từ bảng biến thiên ta có: 
+ Phương trình 1f x có 3 nghiệm phân biệt. 
+ Phương trình 2f x có 1 nghiệm khác các nghiệm của phương 
trình 1f x . 
Vậy phương trình ' 0f f x có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài 3. ( Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2021-2022) Cho hàm số bậc ba
 y f x có đồ thị như hình vẽ sau. 
 y f x 
Tìm số điểm cực trị của hàm số 
2
8g x f x x 
Giải 
Điều kiện xác định của g x là  0;8x * . 
 27 
Ta có ' '1 1 8 8
8
g x f x x f x x
x x
. 
'
'
1 1
0
8
0 8 0
8 0
x x
g x f x x
f x x
4
8 0;2 2 1
8 2 2 2
8 4 3
8 ;2 2 4
8 2 2;4 5
x
x x a
x x
x x
x x b a
x x c
 .
Xét hàm số 8h x x x trên  0;8 ta có 
 ' '
1 1
; 0 4
2 2 8
h x h x x
x x
Bảng biến thiên của hàm số h x 
Dựa vào bảng trên ta có: 
+ Phương trình 1 và 4 vô nghiệm 
+ Phương trình 2 có các nghiệm là 0; 8x x 
+ Phương trình 3 có nghiệm 4x 
+ Phương trình 5 có các nghiệm 1 20;4 ;x 4;8x x x 
+ 
1 1 1 1
0, 0;4 ; 0, 4;8 .
8 8
x x
x x x x
   
+ 8 0, 0;8 .f x x x  
+ ' 1 28 0, 0; ;8 .f x x x x x   
 28 
 +) ' 1 28 0, ; .f x x x x x  
Vậy bảng biến thiên hàm số g x trên đoạn  0;8 như sau 
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. 
 Nhận xét: Ta cũng phát triển bài toán bằng cách khai thác bài toán cho 
biết đồ thị hàm số, đạo hàm hàm số, rồi xét cho hàm số ,g x với 
 g x f u x h x , g x f u x , +a +bg x f u x x ,... như sau. 
 Bài 4. ( Câu 50 đề thi tham khảo của bộ GD – 2022) Cho hàm số 
 y f x có đạo hàm là ' 2 10 , .f x x x x  Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
tham số m để hàm số 4 28y f x x m có đúng 9 điểm cực trị? 
A. 16. B. 9. C. 15. D. 10. 
Giải 
 Với 4 2 ' 3 ' 4 28 4 16 8 .g x f x x m g x x x f x x m 
'
4 2
4 2
0
2
0
8 1
8 10 2
x
x
g x
x x m
x x m
 Xét hàm số 4 28h x x x m ta có ' 3
0
4 16 0 .
2
x
h x x x
x
 Bảng biến thiên của h x 
 29 
 Hàm số g x có 9 cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0g x có 9 
nghiệm phân biệt. Điều này tương đương 
0
10 0.
16 1 0
m
m
m
 Vậy chọn đáp án D. 
Bài 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm 24f x x . Tổng các giá trị nguyên 
của tham số 2022;2022m để hàm số 2
1
2lng x f x x m x
x
nghịch 
biến trên khoảng 1; bằng. 
A. 2043231 . B. 2041210 . C. 1 D. 2041210 . 
Giải 
Ta có 2 2
2 1
2 1g x x f x x m
x x
 2 22 1
m
x f x x
x
. 
Để hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1: thì ta có 
 2 22 1 ' 0
m
x f x x
x
 với 1x . 
 2 2 0
m
f x x
x
 1:x 
2
2
2
4 0, 1;
m
x x x
x
  
22 3 22 0x x x m với 1;x 
 3 2 3 22 2x x x x x x m với 1x . 
Xét hàm số 3 2 3 22 2h x x x x x x x với 1;x . 
Ta có: 
 2 3 2 3 2 23 2 2 2 2 3 2 2 0, 1h x x x x x x x x x x x x  . 
Ta có bảng biến thiên của hàm số h x 
 30 
Từ bảng biến thiên suy ra 0m . 
 Kết hợp với m nguyên và 2022;2022m ta có 0; 1; 2;...; 2021m 
Vậy tổng các giá trị của m bằng 2043231 . 
Bài 6. (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Cho hai hàm số y f x , y g x . Hai 
hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong 
đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x . 
Hàm số 
3
4 2
2
h x f x g x
 đồng biến trên khoảng nào dưới 
đây? 
A. 
31
5;
5
. B. 
9
;3
4
. C. 
31
;
5
. D. 
25
6;
4
. 
Lời giải 
Chọn B. 
Kẻ đường thẳng 10y cắt đồ thị hàm số y f x tại ;10A a , 
 8;10a . Khi đó ta có 
 4 10,khi3 4 4 10,khi 1 4
3 3 3 3 25
2 5,khi0 2 11 2 5,khi
2 2 2 4 4
f x x a f x x
g x x g x x
. 
Do đó 
3
4 2 2 0
2
h x f x g x
 khi 
3
4
4
x . 
Vì 
9 3
;3 ;4
4 4
 
, nên ta có đáp án. 
 31 
Cách khác: Ta có 
3
4 2 2
2
h x f x g x
. 
Dựa vào đồ thị, 
9
;3
4
x
 
, ta có 
25
4 7
4
x , 4 3 10f x f ; 
3 9
3 2
2 2
x , do đó 
3
2 8 5
2
g x f
. 
Suy ra 
3 9
4 2 2 0, ;3
2 4
h x f x g x x
  
. 
Do đó hàm số đồng biến trên 
9
;3
4
. 
Bài 7. Cho hàm số f x có 0 0f . Biết y f x là hàm số bậc bốn và có đồ 
thị là đường cong trong hình dưới. 
Số điểm cực trị của hàm số 3g x f x x là 
A. 4. B. 5. C. 3. D. 6. 
Bài 8. Cho hàm số ,y f x có hàm số 'f x liên tục trên và có đồ thị như 
hình vẽ sau 
Biết 0 0f . Hỏi hàm số 3
1
( )
3
g x f x x có bao nhiêu cực trị. 
 32 
A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 4 . 
Bài 9. Cho hàm số 3 2y f x ax bx cx d có đồ thị như hình bên. Đặt 
 2 2g x f x x . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau 
A. g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . 
B. g x đồng biến trên khoảng 1;0 . 
C. g x nghịch biến trên khoảng 
1
;0
2
. 
D. g x đồng biến trên khoảng ; 1 . 
Lời giải 
Chọn C. 
Hàm số 3 2y f x ax bx cx d ; 23 2f x ax bx c , có đồ thị 
như hình vẽ. 
Do đó 0 4x d ; 2 8 4 2 0x a b c d ; 
 2 0 12 4 0f a b c ; 0 0 0f c . 
Từ đó tìm được 1; 3; 0; 4a b c d . 
Vậy hàm số đã cho là hàm số 3 23 4y f x x x . 
Ta có 2 2g x f x x 
3
2 22 3 2 4x x x x 
 2 2
3 1
2 1 2 3 2 1 3 2 1 2 1
2 2
g x x x x x x x x
 33 
Suy ra '
1
2
0 1
2
x
g x x
x
Bàng xét dấu của g x 
Vậy g x nghịch biến trên khoảng 
1
;0
2
. 
Bài 10. Cho hàm số ( )f x , xác định liên tục trên và có đồ thị của hàm số 
'( )y f x là đường cong trong hình sau. 
Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) (2 ) 4g x f x x trên 
đoạn 
3
;2
2
 bằng 
A. (0)f . B. ( 3) 6f C. (2) 4f . D. (4) 8f . 
2.3.3. Tổ chức thực hiện đề tài 
+ Giáo viên xây dựng kế hoạch thực hiện. 
+ Tổ chức thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập hay là những 
buổi học chuyên đề, đồng thời giao nhiệm vụ học tập cho từng cá nhân, từng nhóm 
nhỏ. 
 34 
+ Giáo viên xây dựng khung lí thuyết, phương pháp, phương thức thực hiện 
đưa ra một số ví dụ về cách xây dựng bài toán mới từ bài toán cơ bản, sau đó 
hướng dẫn học sinh thảo luận, tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh nó, học 
sinh hoàn thành các nhiệm vụ được giao. 
+ Giáo viên thu sản phẩm học sinh, cho các em báo cáo, nhận xét trong nhóm, 
nhận xét chéo. 
+ Giáo viên đánh giá cho các sản phẩm học sinh. Rút ra phương pháp, kinh 
nghiệm học tập. 
+ Biểu dương các cá nhân, tập thể tích cực và cá nhân, tập thể có sản phẩm 
tốt. 
Các bƣớc thực hiện cụ thể 
Hoạt động 1: Hình thành và chuyển giao nhiệm vụ ( Thời lƣợng 3 tiết) 
Hình thức trục tiếp tại lớp 
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 
Nêu mục tiêu và ý tưởng đề tài Quan sát, chú ý lắng nghe 
Đưa ra bài toán gốc ( Bài toán gốc tổng 
quát, bài toán gốc) và một số ví dụ bài 
toán ( Các bài 1, 3, 5) đã được giáo viên 
phát triển, cho học sinh giải bài toán gốc 
và các bài toán đó 
Đánh giá và nhận xét 
Quan sát, thảo luận 
Thực hiện nhiệm vụ 
Trình bày báo cáo 
 Nhận xét báo cáo của các bạn 
Cho học sinh phát triển và giải các bài 
toán này trên lớp bài toán gốc được đưa 
ra 
Thực hiện nhiệm vụ 
Trình bày báo cáo 
 Nhận xét báo cáo của các bạn 
Phân công nhiệm vụ về nhà: 
Chia lớp thành 4 nhóm 
Cử các em: Dũng, Trung, Ngân, Nam 
lần lượt làm nhóm trưởng của 4 nhóm 1, 
2, 3, 4. 
Giao nhiệm vụ cho các nhóm: 
Nhiệm vụ 1: Hoàn thành lời giải các bài 
tập giáo viên giao ( Các bài tập được 
giao viên khai thác, phát triên trong đề 
tài). 
Phân chia các nhóm theo sự phân 
công của giáo viên. 
Các thành viên của mỗi nhóm phân 
công phát triển bài toán ở các mức độ 
vận dụng. 
Nhóm trưởng mỗi nhóm tổng hợp bài 
các thành viên tổ mình và cử thành 
viên báo cáo. 
 35 
Nhiệm vụ 2: Khai thác và phát triển bài 
toán tương tự. 
Nhóm 1. Khai thác phát triển bài toán 
dạng .f x u x v x 
Nhóm 2: Khai thác phát triển bài toán 
dạng 
u x
f x
v x
Nhóm 3: Khai thác phát triển bài toán 
dạng g x f x 
Nhóm 4: Khai thác phát triển bài toán 
dạng g x f u x 
Hoạt động 2: Các em thực hiện nhiệm vụ ở nhà Các em tổ chức thực hiện 
 ( Các sản phẩm cụ thể của các em tạo ra ở phần phụ lục) 
Hoạt động 3: Tổ chức cho học sinh báo cáo nhiệm vụ học tập. ( Thời lượng 3 
tiết) Hình thức trực tiếp tại lớp 
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh 
Tổ chức cho đại diện các nhóm báo cáo 
Cho các thành viên trong mỗi nhóm tự 
nhận xét nhóm mình ( Nội dung, mức 
độ hợp tác, khối lượng hoàn thành công 
việc của các thành viên) 
Cho các nhóm nhận xét chéo 
Giáo viên tổng hợp đánh giá, nhận xét 
cho mỗi nhóm 
Chú ý, quan sát và thực hiện các nhiệm 
vụ 
2.3.4 Kết quả sản phẩm học sinh 
Nhóm 1: Điểm chung của nhóm 8 điểm 
Nhóm 2: Điểm chung của nhóm 9 điểm 
Nhóm 3: Điểm chung của nhóm 9 điểm 
Nhóm 4: Điểm chung của nhóm 10 điểm 
Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Số học 
sinh(44) 
0 0 0 0 0 0 0 11 
25% 
22 
50% 
11 
25% 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
 36 
2.4.1. Đánh giá phẩm chất năng lực: - Số lượng học sinh được khảo sát: 44 em 
1. 
Tôi đã học đƣợc kiến thức gì? 
Hiểu biết về nội dung kiến thức có liên quan tới dự án: 44 em 
2. 
Tôi đã phát triển đƣợc những kĩ năng gì? 
Làm việc, học tập theo nhóm/tập thể: 44 em 
Làm việc tư duy độc lập, hoạt động cá nhân: 40 em 
Thuyết trình: 4 em 
Học cách lắng nghe, tôn trọng ý kiến khác: 6 em 
Giao tiếp tốt: 8 em 
Bình tĩnh giải quyết vấn đề: 10 em 
Tìm kiếm, chọn lọc dữ liệu, xử lí thông tin: 20 em 
 Tôi đã xây dựng đƣợc thái độ nào tích cực? 
3. 
Vui vẻ hoà đồng, hăng say tích cực làm việc: 30 em 
Cẩn thận: 6 em 
Kiên nhẫn: 5 em 
Làm việc nghiêm túc: 35 em 
Đoàn kết: 44 em 
Tôn trọng ý kiến khác: 15 em 
Biết bảo vệ ý kiến cá nhân: 6 em 
Tự tin: 6 em 
Tích cực học hỏi: 15 em 
Tinh thần đóng góp, phối hợp: 30 em 
Tự giác hoàn thành công việc: 25 em 
Chia sẻ ý kiến và thảo luận: 30 em 
Có trách nhiệm: 36 em 
 Tôi có hài lòng với các kết quả nghiên cứu của dự án không? Vì sao? 
4. 
Hài lòng, vì các nhóm đã làm việc và cố gắng hết mình: 25 em 
Hài lòng, vì cả nhóm đoàn kết làm việc: 30 em 
Hài lòng, do kết quả sản phẩm dự án tốt, tăng vốn kiến thức: 9 em 
Tương đối hài lòng, vì vẫn còn một số sai sót không như ý: 20 em 
5. 
Tôi đã gặp phải những khó khăn gì 
khi thực hiện dự án? 
Tôi đã giải quyết những khó 
khăn đó nhƣ thế nào? 
Thu thập và chọn lọc thông tin khó Hỗ trợ tư vấn cho các em 
 37 
khăn: 20 em 
Phân công công việc: 
8 em nhận nhiệm vụ chính làm nhóm 
trưởng và thư kí các nhóm tương ứng. 
- Cùng nhóm giải quyết 
- Tìm trên mạng: 15 em 
- Hỏi phụ huynh: 2 em 
- Hỏi giáo viên: 15 em 
6. 
 Quan hệ của tôi với các thành viên trong nhóm thế nào? 
Bình thường: 4 em 
Tốt: 25 em 
Khá tốt: 9 em 
Rất tốt: 6 em 
Hoà đồng, thân thiện: tất cả các em 
Nhìn chung, tôi thích/ không thích dự án này vì 
7. 
Thích, vì hay và thiết thực, gắn liền với thực tiễn: 25 em 
Thích, vì phát hiện được khả năng của mình/thể hiện khả năng: 10 em 
Thích, vì có cơ hội học thêm kiến thức và những kĩ năng làm việc nhóm: 12 em 
Thích, vì được trải nghiệm cảm giác làm việc thực sự: 25 em 
Thích, vì cá nhân yêu thích môn học: 30 em 
Thích, vì luyện khả năng tự tìm hiểu, sáng tạo: 10 em 
Thích, vì tìm hiểu thêm về kiến thức toán học: 12 em 
Thích, là cách học mới rất thú vị và mới mẻ: 25 em 
Thích, đem lại nhiều lợi ích: 10 em 
Mức độ hứng thú của tôi với phƣơng pháp dạy học theo dự án (5 cấp độ): 
 (1: Rất không thích; 2: Không thích; 3 Bình thường; 4: Thích; 5: Rất thích) 
 Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Tỉ lệ 
Rất thích 3 4 3 4 29.5% 
Thích 7 7 7 7 63.6% 
Bình thường 1 0 1 0 6.9% 
Không thích 0 0 0 0 0 
Rất không 
thích 
0 0 0 0 0 
Tổng: 11 11 11 11 100% 
 38 
2.4.2. Sản phẩm thực tiễn của học sinh ( Ở phần phụ lục) 
2.4.3. Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm 
Nhận xét: 
Thống kê trên cho thấy việc định hướng cho các em phát triển bài toán mới 
dựa vào bài toán gốc thu được các kết quả: 
- Các nhóm và các em hoàn thành khá tốt các nhiệm vụ, các em hứng thú, 
tham gia tích cực, chủ động sáng tạo trong công viêc. 
- Phương pháp định hướng phát triển bài toán mới cho kết quả trung bình 
tương đối tốt, điều này phần nào chứng tỏ khả năng rất lớn để có thể áp dụng 
phương pháp này vào thực tế dạy học. 
- Học sinh phát huy cao tính chủ động, sáng tạo, cũng như giao tiếp và hợp 
tác trong việc giải quyết các vấn đề liên quan. 
- Học sinh đã chủ động thu thập tài liệu, tích lũy kiến thức và phối hợp với 
nhau trong hoạt động nhóm để tạo ra các sản phẩm, do đó kiến thức sẽ được ghi 
nhớ tốt, đồng thời phát triển kỹ năng, và vận dũng kỹ thuật số của các em vào tìm 
kiếm tài liệu và khai thác tốt hơn các nguồn thông tin liên quan. 
 Vì vậy, tôi khẳng định đề tài này có khả năng ứng dụng, triển khai trong 
thực tế dạy học. Không những với chủ đề hàm số mà có thể áp dụng cho rất nhiều 
chủ đề khác trong toán học. 
 39 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
3.1. Kết luận 
Quá trình thực hiện đề tài ghi nhận : 
- Các nhóm và các em hoàn thành khá tốt các nhiệm vụ, các em hứng thú, 
tham gia tích cực, chủ động sáng tạo trong công viêc. Học sinh phát huy cao tính 
chủ động, sáng tạo, cũng như giao tiếp và hợp tác trong việc giải quyết các vấn đề 
liên quan. 
- Học sinh đã chủ động thu thập tài liệu, tích lũy kiến thức và phối hợp với 
nhau trong hoạt động nhóm để tạo ra các sản phẩm, do đó kiến thức sẽ được ghi 
nhớ tốt, đồng thời phát triển kỹ năng tìm kiếm tài liệu và khai thác tốt hơn các 
nguồn thông tin. 
- Như vậy đề tài trên đã phát triển hệ thống tư duy, phân tích, kết hợp, suy 
luận logic, kích thích tính sáng tạo cho học sinh. 
- Chủ đề này được ứng dụng khá rộng rãi với việc nhìn bài toán dưới nhiều 
góc độ khác nhau bằng cách biến đổi các điều kiện của các biến số mở ra một lớp 
các bài toán khá hay và đẹp được ứng dụng trong rất nhiều kỳ thi nhất là kỳ thi 
THPTQG, thi HSG. 
- Đề tài có thể áp dụng cho các giáo viên và học sinh trong việc ôn tập các kỳ 
thi HSG, Ôn TN-THPTQG. 
Đề tài này có khả năng ứng dụng, triển khai trong thực tế dạy học cho tất cả 
các khối, lớp THPT, với các chủ đề khác trong toán học. 
3.2. Kiến nghị 
 Trong quá trình dạy học hình thành thói quen biết phân tích, tổng hợp, khái 
quát hóa, đặc biệt hóa để đào sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như 
trên là một điều rất cần thiết cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám 
phá của các em học sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải 
các bài tập liên quan một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu 
hơn chắc chắn ta sẽ tìm được nhiều vấn đề thú vị mà tôi chưa làm được trong đề tài 
phạm vi này. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, bổ sung kiến thức về đề tài và rất mong 
được đón nhận những góp ý bổ ích của ‘’Quí vị giám khảo’’ và bạn bè đồng nghiệp 
để đề tài phong phú chất lượng và hữu ích hơn. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn ! 
 40 
Phụ lục 
Một số hình ảnh trong các buổi học 
Buổi 1: Chuyển tải nội dung 
Buổi 2: Các nhóm báo cáo sản phẩm 
( Sản phẩm kèm theo) 
 41 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Sách giáo khoa lớp 11, 12. 
[2]. Các bài thi THPTQG Việt nam. 
[3]. Đề thi HSG các tỉnh thành. 
[4]. Bộ đề thi thử, đề minh họa môn Toán THPTQG.