Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy của học sinh qua khai thác bài toán hình học cơ bản trong sách giáo khoa Toán lớp 9

iện tích phần giới hạn trên bằng diện tích hình tròn đường kính AN.
Bài tập 3:
Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác 900) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: 
1. CD = CE 2. BHD 3. CD = CH
( Bài tập 95 – trang 105 SGK Toán 9 tập 2)
* Hướng dẫn cách giải: 
Gọi M, N thứ tự là giao điểm của AD với BC và BE với AC.
1. Ta có (cùng phụ với) 
CE = CD
2. Vì suy ra BM là phân giác vừa là đường cao nên BHD cân tại B. 
3. Vì BHD cân tại B, nên BM là đường trung trực của HD => CH = CD

* Đối với học sinh trung bình ta có thể khai thác bài toán bằng các câu hỏi sau.
4.Chứng minh các tứ giác AQHN; ACMQ là tứ giác nội tiếp.
5. Chứng minh hai tam giác ANQ và ABC đồng dạng (hay chứng minh AQ.AB =AN.AC)
* Đối với học sinh khá hơn, ta có thể khai thác bài toán bằng cách phân tích các kết quả chứng minh được từ bài toán gốc.
Nhận xét 1:
Gọi giao của CH với AB là Q, với đường tròn (O) là F. 
Từ câu 1. ta có CE = CD, nên hai cung CD và cung CE bằng nhau, suy ra hay FC là phân giác góc. Tương tự DA là phân giác của góc, EB là phân giác của góc


* Ta có thể khai thác câu hỏi sau:
6. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếpFDE 
Nhận xét 2:
Từ câu 2. và câu 3. ta dễ dàng chứng minh được:
 ABF =AHB; BDC=BHC; 
 AEC = AHC
Với nhận xét hai tam giác bằng nhau thì bán kính đường tròn ngoại tiếp


* Ta có thể khai thác câu hỏi sau:
7. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB; BHC; AHC có bán kính bằng nhau
Nhận xét 3:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếpABC.
 Từ câu 1. ta có CE = CD, nên OC là đường trung trực của DE.
Từ câu 2. suy ra M là trung điểm của HD; tương tự ta sẽ có N là trung điểm của HE; nên là đường trung bình của HDE =>MN//DE


* Ta có thể khai thác câu hỏi sau:
8. Chứng minh OCMN
Nhận xét 4:
Từ kết quả chứng minh câu hỏi 4. Có:
+) Tứ giác AQHN nội tiếp, nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QH), 
+) Tương tự tứ giác CMHN nội tiếp ; tứ giác ACMQ nội tiếp vậy => NH là phân giác góc 

* Ta có thể khai thác câu hỏi sau:
9. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp QMN
 * Cũng có thể bổ sung thêm các yếu tố cho bài toán gốc để khai thác bài toánsâu hơn.
10. Vẽ đường kính AP, gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh K, H, P thẳng hàng.
 Gợi ý : 
AP là đường kính , mà BHAC, nên BH//PC 
+) Tương tự có CH//BP. Vậy tứ giác CHBP là hình bình hành, hai đường chéo BC và HP cát nhau tại trung điểm K của BC, suy ra K, H, P thẳng hàng 

11. Nối AK, cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của ABC
Gợi ý : 
Nối OK , mà AHBC, nên AH//OK (so le trong); mà (đối đỉnh)
Vậy GAH vàGKO đồng dạng. (1)
Mà OK là đường trung bình của APH
 (2)
Từ (1) và (2) hay G là trọng tâm ABC


 * Từ kết quả câu 11. Ta thấy AH = 2OK, khi BC cố định, điểm A di chuyển trên cung BC lớn thì độ dài AH không đổi, Vậy ta có thêm câu hỏi sau:
12. Khi BC cố định, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác QHN không phụ thuộc vào vị trí điểm A
 Gợi ý : 
+) Từ kết quả câu 11. Ta thấy AH = 2OK.
 +) Tứ giác AQHN nội tiếp đường tròn đường kính AH, vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác QHN bằng OK (không đổi) nên không phụ thuộc vào vị trí điểm A
13. Gọi I là trung điểm của QN. Chứng minh KI // OA
Gợi ý : 
+) Chứng minh tương tự câu 8. Ta có OAQN (1)
+) Chứng minh tứ giác BCNQ nội tiếp đường tròn đường kính BC => KIQN (quan hệ giữa đường kính và dây cung) (2)
Từ (1) và (2) tao có KI//OA

 
* Đối với học sinh giỏi, ta có thể khai thác bài toán bằng cách cho thêm các yếu tố động đòi hỏi các em phải có tư duy linh hoạt hơn.
14. Khi BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?
Gợi ý : 
Trong đường tròn (O). Khi BC cố định nên không đổi, suy ra không đổi. Giả sử Vậy điểm H luôn nhìn đoạn BC cố định dưới góc không đổi nên H nằm trên cung chứa gócdựng trên đoạn BC

15. Khi BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC, tìm vị trí của A để chu vi ABC lớn nhất?
Gợi ý : 
+) Trên tia đối của tia AB lấy điểm T, sao cho AT=AC => AB+AC = BT.
 Chu vi ABC lớn nhất khi AB+AC lớn nhất ó BT lớn nhất 
+) Vì AT=AC =>ACT cân tại A và . Khi BC cố định thì không đổi, suy ra không đổi. Giả sử . Vậy T nằm trên 

cung chứa góc(có tâm O1) dựng trên đoạn BC. Vậy BT lớn nhất ó BT là đường kính của đường tròn (O1)
ó A là điểm chính giữa cung BC
16. Tìm điều kiện của ABC để QN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp QHM và NHM?
Gợi ý : 
Gọi (O1) là đường tròn ngoại tiếp NHM
+) QN là tiếp tuyến của (O1)(góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn cung NH) 
+) Tứ giác BCNQ nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QB). Vậy => CQ là phân giác góc C, mà CQ là đường cao, do đó ABC cân tại C.
+) Tương tự ABC cân tại B. Vậy ABC là tam giác đều.


17. Khi BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp MNQ luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý : 
Chứng minh: Vì . Vậy tứ giác QMKN nội tiếp (do đỉnh N và đỉnh K cùng nhìn cạnh QM dưới các góc bằng nhau) => Đường tròn ngoại tiếp QMN luôn đi qua điểm K cố định.


18. Khi BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Tìm vị trí của điểm A để chu vi MNQ đạt giá trị lớn nhất.
Gợi ý: Chứng minh 2SABC = R(MN+QM+QN)
 +) Vì R(MN + QM + QN) = 2SABC , mà R không đổi nên (MN + QM + QN) đạt gía trị lớn nhất khi SABC lớn nhất
 +) Ta có SABC = AM.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AM lớn nhất, mà AM lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC.


Bài tập 4:
Cho đường tròn (O; R), dây CD cố định. Từ điểm M thuộc tia đối của tia CD kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) , A, B là tiếp điểm. Gọi I là trung điểm của CD, nối BI cắt đường tròn tại E. Nối OM cắt AB tại H.
1. Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh AE//CD
3. Chứng minh OH.OM = R2; OH. HM = HA2.
4. Chứng minh MA2 = MC.MD.
Hướng dẫn cách giải: 
1. Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý: 1. Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn đường kính MO.
2. Chứng minh AE//CD
Gợi ý: Chứng minh 
3. Chứng minh OH.OM = R2; 
 OH. HM = HA2.
Gợi ý: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO
O
M
C
D
I
B
A
H
E
4. Chứng minh MA2 = MC.MD.
Gợi ý:
 Chứng minh DMAC D MDA (g.g) => MA2 = MC.MD.
* Từ kết quả câu 3 và câu 4, ta có câu hỏi sau:
4. Chứng minh OH. OM + MC. MD = MO2
 MC. MD – HO. HM = MH2
Gợi ý: Từ kết quả câu 3 và câu 4,và áp dụng định lý Pitago, ta có:
 OH. OM + MC. MD = OA2 + MA2= MO2
 MC. MD – HO. HM =MA2 - AH2= MH2
Nhận xét 1: 
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, ta có MA 2 = MH. MO
Mặt khác theo câu 4: MA2 = MC.MD, do vậy MC. MD = MH. MO từ đó chứng minh được: DMHC D MDO (c. g.c) vậy nên tứ giác CDOH là tứ giác nội tiếp được đường tròn
Ta đề xuất câu hỏi sau: 
5. Chứng minh tứ giác CDOH là tứ giác nội tiếp.
hoặc:
6. Chứng minh, khi cát tuyến MCD thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố định.
Nhận xét 2: 
Vì DMHC D MDO (cmt) 
 (1)
Tứ giác CDOH nội tiếp, nên
Xét (O) có: 
Vậy 
hay (2)
 Từ (1) và (2) 
 Từ đó chứng minh: 

H
A
B
I
D
C
M
O
*Ta đề xuất câu hỏi sau:
7. Chứng minh HA là phân giác của góc CHD
hoặc: 
M
O
B
A
I
C
D
F
H
8. Chứng minh HA và HM là hai tia phân giác góc trong và góc ngòai của tam giác CHD
Nhận xét 3: 
Kéo dài OI, cắt dường thẳng AB tại F. Ta chứng minh được các cặp tam giác đồng dạng: 
DOHF D OIM (g.g)
DOIH D OMF (c.g.c)
*Ta đề xuất câu hỏi sau:
9. Chứng minh: OI. OF = OH. OM
10. Chứng minh tứ giác FIHM nội tiếp
Nhận xét 4: 
Vì tứ giác MAIB nội tiếp nên dễ dàng chứng minh được , do vậy IM là phân giác của DAIB, mà nên IM và IF là hai tia phân giác góc trong và góc ngoài của DAIB, kết hợp tính chất tia phân giác của tam giác, ta đề xuất câu hỏi: 
11. Chứng minh 
Nhận xét 5: 
Khai thác câu 9, ta có: OI. OF = OH. OM, mà OH. OM = R2 nên: OI. OF = R2
Khi điểm M di chuyển trên tia đối của tia CD thì OI không đổi, mà nên OF không đổi, do đó chứng minh được F là điểm cố định.
*Ta đề xuất câu hỏi sau:
12. Chứng minh khi điểm M di chuyển trên tia đối của tia CD thì AB luôn đi qua điểm cố định.
Nhận xét 6: 
Từ nhận xét 2, ta có nên tứ giác FOHC nội tiếp.
Tương tự: , nên tứ giác FHOD nội tiếp 
Do vậy năm điểm F, C, O, H, D cùng thuộc một đường tròn đường kính FO và các góc 
*Ta đề xuất câu hỏi sau:
13. Chứng minh năm điểm F, C, O, H, D cùng thuộc một đường tròn.
14. Chứng minh FC, FD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
F
H
A
B
I
D
C
M
O
N

 * Như vậy, sau khi giải xong bài toán gốc, chúng ta nên tiếp tục suy nghĩ, khai thác triệt để các yếu tố từ hình vẽ hoặc thay đổi, thêm bớt các yếu tố, từ đó đặt ra những câu hỏi, những bài toán mới thì việc dạy học sẽ đạt hiệu quả cao. 
4 Đề xuất một số bài tập vận dụng:
Bài toán 1( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán 9 tập 1) 
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. 
Chứng minh rằng: CH = DK
Bài toán 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của O) và (O’). Dây chung MN của (O) vuông góc với AB tại trung điểm P của AB. MC kéo dài cắt (O’) tại Q.
a. Chứng minh ba điểm B, Q, N thẳng hàng.
b. Chứng minh PQ là tia tiếp tuyến của (O’)
5. Kết quả và bài học kinh nghiệm.
5.1. Kết quả:	
 Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: : " Phát triển tư duy của học sinh qua khai thác bài toán hình học cơ bản trong sách giáo khoa Toán lớp 9 "
vào giảng dạy, đặc biệt vào các tiết Luyện tập hoặc các tiết Ôn tập chương tại nhà trường, trong một số năm gần đây đã thu được kết quả đáng khích lệ. Thực tế khảo sát các bài kiểm tra về nội dung kiến thức ở phần này đã cho thấy học sinh đã nắm bài một cách sâu hơn, kĩ năng làm bài tốt hơn. Kết quả cụ thể như sau:
Bảng tổng hợp kết quả các bài kiểm tra Toán phần Hình học :
Thời điểm
Lớp
Kết quả
Giỏi (%)
Khá (%)
T.bình (%)
Yếu (%)
Khi chưa áp dụng SKKN (2019-2020)

9A2

23%
 
30%
 
28%

19%
Sau khi áp dụng SKKN (2021-2022)

 9A5

40%

40%

15%

5%

5.2. Bài học kinh nghiệm
Qua việc thực hiện chuyên đề vào việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán. Bản thân tôi đã rút ra được một số bài học kinh nghiệm như sau:
Để đạt được kết quả cao trong công tác giảng dạy. Học sinh là nhân vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng. Vì chính các em mới là người học, là người đi thi. Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm cao trong học tập vượt lên trên khả năng của bản thân mình. Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em. Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làm công tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có quyết tâm lớn trong công việc học tập của mình. Đặc biệt là với những học sinh tham gia thi học sinh giỏi bộ môn Toán, đây là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi môn này. Cũng chính vì lí do đó, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán càng trở nên khó khăn hơn nhiều. Vì vậy càng đòi hỏi người giáo viên phải tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp với đối tượng và gây được hứng thú và lòng say mê học tập cho học sinh. Muốn có được tố chất cần thiết của người thầy, người giáo viên dạy toán phải không ngừng rèn luyện đáp ứng được những yêu cầu sau:
Một là, người giáo viên dạy toán phải có lòng yêu nghề, niềm say mê công việc, tình cảm yêu thương quí mến học sinh, phải không ngừng học tập nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sư phạm để có thể truyền đạt đến học sinh phương pháp học tập bộ môn một cách đơn giản nhất, truyền cho các em tình cảm yêu thích môn học và niềm say mê học tập.
Hai là, kiến thức của người thầy phải vững vàng, người thầy thực sự phải là người giỏi toán, phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, nắm vững những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. 
Ba là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, cụ thể. Bồi dưỡng kịp thời những kiến thức mới cho học sinh, kích thích được niềm say mê hứng thú đối với môn toán, phát huy những tố chất tố nhất ở học sinh, từ đó các em mới tự giác học tập và công việc học tập của các em đạt được kết quả cao.
PHẦN BA: KẾT LUẬN
Trên đây là một số kinh nghiệm " Phát triển tư duy của học sinh qua khai thác bài toán hình học cơ bản trong sách giáo khoa Toán lớp 9 "
Trong những năm làm công tác giảng dạy bộ môn Toán của lớp 9, tôi luôn trăn trở, suy nghĩ tìm ra phương pháp giảng dạy cho phù hợp với đối tượng học sinh cùa nhà trường. Để giúp học sinh làm tốt các bài tập hình học , tôi xin có một số khuyến nghị sau đây:
Khuyến nghị:
 - Đối với các cấp lãnh đạo:
 + Tăng cường hơn nữa các chuyên đề, các lớp tập huấn về công tác chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên.
 + Nâng cao chất lượng sinh hoạt chuyên môn nghiệp vụ, đặc biệt nâng cao chất lượng sinh hoạt nhóm chuyên môn trao đổi về những vấn đề liên quan đến giải quyết các nội dung khó.
 + Phổ biến và nhân rộng các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt trong nghành để cho giáo viên cùng học tập.
 - Đối với giáo viên:
 + Thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
 + Tăng cường dự giờ của đồng nghiệp, dự các chuyên đề trong nhà trường và trong quận, thành phố để học tập.
Trên đây là một số kinh nghiệm khai thác các bài tập hình học mà tôi đã đúc kết được trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9. Ngoài những phương pháp nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, do năng lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tôi không tránh khỏi những thiếu xót. Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đóng góp, bổ sung của các cấp lãnh đạo và đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm trên là do tôi tự viết, không sao chép của ai.
 Xin trân trọng cảm ơn!
Tài liệu tham khảo:
1. Sách giáo khoa Toán 9 Tập 1; tập 2 - Nhiều tác giả. NXB Giáo dục.
2. Sách bài tập Toán 9 Tập 1; tập 2 - Nhiều tác giả. NXB Giáo dục.
3. Một số vấn đề phát triển Đại số lớp 9. Tác giả: Vũ Hữu Bình. NXB Giáo dục.
4. Sách bồi dưỡng thường xuyên chu kì III, quyển 1, quyển 2. NXB Giáo dục.
5. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán, NXB Giáo dục.