Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian

g. 
0 0 12 82 3.87 
2 Rèn luyện các thao tác tư duy cho HS thông qua giải toán HHKG bằng phương pháp vectơ. 0 0 20 74 3.79 
3 Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS thông qua hướng dẫn HS sáng tác bài toán mới. 0 0 11 83 3.89 
4 
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 
cho học sinh thông qua vận dụng phương pháp 
chuyển đổi ngôn ngữ 
0 0 14 80 3.85 
Trung bình 0 0 57 319 3.85 
Bảng 4. Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
TT Các giải pháp Các thông số 
X Mức 
1 Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận các dạng toán HHKG bằng 
phương pháp vectơ từ đó hoàn thiện phương pháp giải mỗi dạng. 3.87 3-4 
2 Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua giải toán 
HHKG bằng phương pháp vectơ. 3.79 3-4 
3 Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh 
thông qua hướng dẫn HS sáng tác bài toán mới. 3.89 3-4 
4 Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh 
thông qua vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 3.85 3-4 
Trung bình 3.85 3-4 
Từ số liệu thu được ở bảng trên có thể rút ra những nhận xét: 
Đa số các giáo viên và học sinh được lấy mẫu khảo sát đều cho rằng các 
biện pháp được trình bày trong đề tài đều ở mức khả thi và rất khả thi. Trong đó 
 47 
phần nhiều giáo viên và học sinh đánh giá nội dung các biện pháp có tính rất khả 
thi. Với giá trị trung bình của các giải pháp đều lớn hơn 3 và giá trị trung bình 
chung của các giải pháp là 3.85X cho thấy rằng đề tài có tính khả thi cao. 
6. Thực nghiệm sư phạm 
6.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 
Đánh giá tính khả thi, phù hợp và hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất. 
Đồng thời đánh giá sự hứng thú trong học tập và khả năng phát triển năng lực của 
học sinh. 
6.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 
Biên soạn tài liệu theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 
cho học sinh THPT thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian. 
Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng; tiến hành dạy thực nghiệm một 
số tiết. 
Đánh giá kết quả thực nghiệm theo góc độ: chất lượng, hiệu quả và khả thi 
của việc xây dựng phương pháp dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán 
học cho học sinh THPT thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian. 
Phân tích và xử lý kết quả của thực nghiệm. 
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 
6.3.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm 
Thời gian thực nghiệm sư phạm: từ ngày 20/09/2022 đến ngày 10/03/2023 
Học sinh ở các lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm và đối chứng ở hai 
lớp 12 Trường THPT Nguyễn Trường Tộ, huyện Hưng Nguyên, Nghệ An. 
- Lớp thực nghiệm 12A1 (40 HS) do tác giả giảng dạy 
- Lớp đối chứng 12A2 (45 HS) do tác giả giảng dạy. 
6.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm 
Trong thời gian thực nghiệm thực hành sư phạm, tôi đã tiến hành thực 
nghiệm dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông 
qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian. 
Đánh giá tính hiệu quả và tính khả thi của dạy học phát triển năng lực tư duy 
và lập luận toán học cho học sinh THPT thông qua khai thác ứng dụng của vectơ 
trong không gian. 
- Giới thiệu phương pháp chung để giải các bài toán HHKG bằng vectơ; 
- Tổ chức HS thực hiện các hoạt động theo kịch bản dạy học đã thiết kế; tập 
trung vào việc cho học sinh giải một số bài bài toán hình HHKG có thể giải được 
bằng phương pháp vectơ. 
- Theo dõi quan sát học sinh về khả năng thực hiện các hoạt động tư duy và 
 48 
lập luận; 
 - Kiểm tra viết 45 phút. 
Sau khi thu về kết quả bài kiểm tra đánh giá, tiến hành xử lý kết quả 
thực nghiệm. 
6.3.3. Nội dung kiểm tra đánh giá 
Sau khi triển khai dạy thực nghiệm theo kế hoạch đề ra, tôi tiến hành quan 
sát, phỏng vấn, ghi chép những biểu hiện của học sinh, trao đổi ý kiến rút kinh 
nghiệm,... về diễn biến hứng thú, nhận thức, kỹ năng, năng lực tư duy và lập luận 
của học sinh. 
Cuối đợt thực nghiệm tôi đã đánh giá kết quả thực nghiệm ở cả các lớp thực 
nghiệm và lớp đối chứng thông qua 01 bài kiểm tra 45 phút nhằm kiểm tra năng 
lực tư duy và lập luận của học sinh qua việc giải một số bài toán HHKG bằng 
phương pháp vectơ. 
6.4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm 
6.4.1. Một số nhận xét chung 
Do học sinh còn bỡ ngỡ với phương pháp dạy học mới nên học sinh ban đầu 
còn thụ động trong hoạt động nhóm và rụt rè trong việc phát biểu ý kiến trước lớp. 
Tuy nhiên, sự thụ động và rụt rè đó đã mất dần qua từng hoạt động, học sinh dần 
chủ động nhận nhiệm vụ thực hiện nhiệm vụ được giao một cách hiệu quả nhất. 
Nhiệm vụ đặt ra cho học sinh trong mỗi hoạt động phù hợp với năng lực 
nhận thức và khả năng của học sinh, đồng thời trong quá trình dạy học tôi cố gắng 
tạo không khí học tập thoải mái và động viên khích lệ học sinh, kích thích tinh thần 
thi đua giữa các nhóm. Vì thế, thực tế giờ dạy học thực nghiệm trên lớp cho thấy: 
giáo viên đã cuốn hút được học sinh tham gia các hoạt động nhận thức một cách tự 
nhiên, chủ động và tích cực. Đó là: 
- Học sinh tích cực tham gia thảo luận nhóm để giải quyết các nhiệm vụ học 
tập chung và khi cần vẫn tập trung, tự lực giải quyết các nhiệm vụ học tập dành 
cho mỗi cá nhân. 
- Các nhóm học sinh đã tự lực tiến hành thảo luận, nhận xét và rút ra các 
kết luận. 
- Khả năng hoàn thành nhiệm vụ của học sinh tăng sau mỗi tiết học. Học 
sinh ghi nhớ tốt các điều đã học, có thể trình bày lại nội dung bài học theo ngôn 
ngữ riêng và vận dụng được những kiến thức vào những dạng toán tương tự. 
6.4.2. Phân tích định tính 
Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, tôi thấy rằng: nhìn chung đa số HS 
học tập tích cực, sôi nổi hơn, thích thú với những bài toán HHKG giải được bằng 
vectơ, học sinh thích học hình không gian hơn. Nếu HS biết cách sử dụng công cụ 
vectơ một cách hợp lý thì có thể giải quyết được những bài toán HHKG khó, đặc 
 49 
biệt là những bài toán khó vẽ hình. Điều đó kích thích hứng thú của cả thầy lẫn trò 
trong việc ưu tiên sử dụng vectơ vào giải toán hình học nói chung và HHKG nói 
riêng, qua đó nâng cao hơn năng lực tư duy lập luận cũng như sáng tạo ra nhiều bài 
toán mới. 
6.4.3. Phân tích định lượng 
Bảng 5. Phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) 
và lớp đối chứng (ĐC) 
Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng 
Điểm số Tần số xuất hiện Điểm số Tần số xuất hiện 
1 0 1 0 
2 0 2 0 
3 0 3 3 
4 1 4 7 
5 6 5 11 
6 7 6 12 
7 15 7 9 
8 8 8 3 
9 2 9 0 
10 1 10 0 
Tổng 40 Tổng 45 
Điểm trung bình 6,83 Điểm trung bình 5,58 
Bảng 6. Phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 
Lớp Số HS 
Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng 
0-4 5-6 7-10 
Thực nghiệm 40 1 13 26 
Đối chứng 45 10 23 12 
Bảng 7. Phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra 
Lớp Số HS 
Tỷ lệ điểm số của bài kiểm tra 
0-4 5-6 7-10 
Thực nghiệm 40 3% 32% 65% 
Đối chứng 45 22% 51% 27% 
 50 
Biểu đồ 1. Biểu đồ hình cột phân bố tần số điểm bài kiểm tra 
Biểu đồ 2. Biểu đồ phân bố tần suất điểm kiểm tra 
Kết quả bài kiểm tra ở bảng 5 cho thấy điểm trung bình cộng của lớp thực 
nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Bảng 6 cho thấy điểm kiểm tra ở lớp thực 
nghiệm ít điểm dưới trung bình hơn lớp đối chứng. Từ bảng 7, biểu đồ 2 cho thấy 
tỉ lệ % số HS có điểm dưới trung bình ở lớp thực nghiệm ít hơn lớp đối chứng; tỉ lệ 
% số HS đạt điểm khá, giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Như vậy, 
nếu tổ chức các tiết dạy HHKG bằng phương pháp vectơ thì sẽ phát huy tính tích 
cực học tập, nâng cao khả năng tư duy và lập luận của HS, giúp các em giải được 
các bài toán hình khó cũng như thể sáng tạo ra nhiều bài toán hay. 
0 0 0
1
6
7
15
8
2
1
0 0
3
7
11
12
9
3
0 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lớp TN Lớp ĐC
3%
32%
65%
Lớp TN
0,0 - 4,0
5,0 - 6,0
7,0 - 10,0
22%
51%
27%
Lớp ĐC
0,0 - 4,0
5,0 - 6,0
7,0 - 10,0
 51 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
I. KẾT LUẬN 
Đề tài đã chúng tôi đã trình bày được cơ sở lý luận về tư duy; năng lực tư 
duy; năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh 
Đề tài đã đưa ra được phương pháp để giải quyết bài toán HHKG bằng 
phương pháp vectơ và một số bài toán khác qua chuyển đổi ngôn ngữ. 
Đề tài đã đưa ra được hệ thống đa dạng các dạng toán và giải chi tiết các ví 
dụ bằng cách khai thác vectơ trong không gian. 
Các khảo sát điều tra và thực nghiệm rất khách quan, chính xác từ nhiều đối 
tượng (GV và HS). Đề tài nhận được sự quan tâm của đồng nghiệp trong nhà 
trường và tham gia tích cực của học sinh. 
1. Tính mới của đề tài 
Đề tài đã trình bày quan điểm về phát triển năng lực tư duy và lập luận toán 
học cho HS là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học thông qua khai 
thác ứng dụng của vectơ trong không gian. Khẳng định phát triển năng lực tư duy 
và lập luận toán học cho HS là một vấn đề cấp thiết và quan trọng trong dạy học. 
Đặc biệt phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học phù hợp với xu thế phát 
triển của năng lực của chương trình GDPT 2018. 
Đề tài đã đưa ra được một số biện pháp góp phần phát triển năng lực tư duy 
và lập luận toán học cho học sinh thông qua khai thác kiến thức về vectơ vào việc 
dạy học giải các bài tập HHKG. Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan 
sát, lập luận để phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp 
thông qua thảo luận mà HS phát triển khả năng nói lưu loát và lập luận chặt chẽ 
trong giải toán 
Đề tài cũng đã giúo HS có thói quen khai thác bài toán để phát biểu bài 
toán tương tự hay sáng tạo ra bài toán mới giúp các em hứng thú, tự tin hơn 
trong học Toán. 
2. Tính khoa học 
Đề tài đảm bảo tính chính xác khoa học bộ môn, đúng quan điểm tư tưởng. 
Các phương pháp nghiên cứu phù hợp đối tượng, cấu trúc hợp lý, logic, chặt chẽ 
đúng quy định. Các kiến thức trình bày có cơ sở khoa học, các số liệu thống kê 
khách quan, chính xác trình bày có hệ thống. Phương pháp xử lý khai thác tài liệu 
tiến hành theo đúng quy chuẩn của một công trình khoa học. Đề tài được lập luận 
chặt chẽ, có tính thuyết phục cao. 
3. Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng 
Đề tài được chúng tôi thực hiện trong năm học 2022 - 2023. Đề tại phù hợp 
áp dụng cho đối tượng HS các khối 11 và khối 12. 
 52 
Đề tài đã thực nghiệm với hai lớp 12 và kết quả thực nghiệm cho thấy tính 
khả thi của đề tài. Đề tài có khả năng ứng dụng rộng rãi trong các trường THPT. 
Đặc biệt rất phù hợp với các đối tượng HS Khá, Giỏi, các bạn ôn thi TN THPT. 
4. Hướng phát triển của đề tài 
Ý tưởng trình bày các biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán 
học cho HS trong đề tài cũng có thể áp dụng cho các chủ đề khác của môn Toán 
cũng như các môn khoa học tự nhiên khác. 
II. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT 
1. Đối với giáo viên 
GV cần căn cứ vào điều kiện cụ thể, đặc biệt là trình độ của HS để có những 
vận dụng linh hoạt các biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 
nhằm phát huy hiệu quả cao nhất. Không nhất thiết phải rèn luyện theo trình tự các 
biện pháp được xây dựng, Đặc biệt cần nhận thức rõ biện pháp nào thì sẽ phù hợp 
với từng hoạt động cụ thể nào trong giờ học để khai thác có hiệu quả nhất. 
2. Đối với học sinh 
 HS cần phải tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu tính sáng tạo. Đối với 
phương pháp dạy học mới, HS luôn đóng vai trò trung tâm của mỗi tiết học, chính 
HS là chủ thể của quá trình nhận thức, là người tự khám phá và chiếm lĩnh lấy tri 
thức cho mình. 
Đứng trước một bài toán, ngoài việc tìm ra lời giải, HS cần phải đặt bài toán 
đó trong các mối quan hệ với các kiến thức đã học để từ đó khám phá ra những 
điều mới ẩn chứa trong bài toán. Sau khi giải quyết xong một bài toán, HS cần phải 
chưa được phép thoả mãn mà tiếp tục nghiên cứu bài toán đó để tìm ra các bài toán 
tương tự trong các lĩnh vực khác nhau. 
Cuối cùng, mặc dù chúng tôi đã rất tâm huyết và bỏ nhiều thời gian đầu tư 
nghiên cứu khi thực hiện đề tài này, tuy nhiên trong khuôn khổ số trang cho phép 
không thể đưa được nhiều ví dụ minh hoạ thêm cho mỗi biện pháp cũng như không 
đưa được nhiều các bài tập luyện tập đi kèm. Dù đã có nhiều cố gắng nhưng đề tài 
không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của hội đồng 
khoa học các cấp, các đồng nghiệp và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn. 
 Xin chân thành cảm ơn! 
Hưng Nguyên, tháng 4 năm 2023 
Nhóm tác giả 
 53 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Phạm Minh Hạc (chủ biên) (1988), Tâm lí học, NXB Giáo dục, Hà nội. 
[2]. G.Polya (1976), Sáng tạo toán học (tập 3), NXB Giáo dục. 
[3]. G.Polya (2009), Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Việt Nam. 
[4]. Nguyễn Thái Hòe (2004), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXB 
Giáo dục. 
[5]. Phan Thị Kim Chi (2019), “Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho 
học sinh trung học phổ thông trong dạy học giải toán hình học không gian”, 
Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt, 12/2019, Tr166-170. 
[6]. Các bài tập trên nhóm Strong team VD-VDC. 
 54 
PHỤ LỤC 
Phụ lục 1. Một số hình ảnh triển khai đề tài 
 55 
Phụ lục 2. Phiếu điều tra tính khả thi của các giải pháp trong đề tài đối với 
giáo viên và học sinh 
Thầy(Cô) và các em vui lòng cho ý kiến về các vấn đề sau: 
Đánh dấu X vào 1 trong 4 mức độ của thang đánh giá mỗi giải pháp 
TT Các giải pháp 
Thang đánh giá các giải pháp 
Không 
khả thi 
Ít khả 
thi 
Khả 
thi 
Rất 
khả thi 
1 
Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận 
các dạng toán HHKG bằng phương pháp 
vectơ từ đó hoàn thiện phương pháp giải 
mỗi dạng. 
2 
Rèn luyện các thao tác tư duy cho HS 
thông qua giải toán HHKG bằng phương 
pháp vectơ. 
3 
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán 
học cho HS thông qua hướng dẫn HS sáng 
tác bài toán mới. 
4 
Phát triển năng lực tư duy và lập luận 
toán học cho học sinh thông qua vận 
dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 
 56 
Phụ lục 3. Phiếu điều tra tính cấp thiết của các giải pháp trong đề tài đối với 
giáo viên và học sinh 
Thầy(Cô) và các em vui lòng cho ý kiến về các vấn đề sau: 
Đánh dấu X vào 1 trong 4 mức độ của thang đánh giá mỗi giải pháp 
TT Các giải pháp 
Thang đánh giá các giải pháp 
Không 
cấp 
thiết 
Ít cấp 
thiết 
Cấp 
thiết 
Rất 
cấp 
thiết 
1 
Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận 
các dạng toán HHKG bằng phương pháp 
vectơ từ đó hoàn thiện phương pháp giải 
mỗi dạng. 
2 
Rèn luyện các thao tác tư duy cho HS 
thông qua giải toán HHKG bằng phương 
pháp vectơ. 
3 
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán 
học cho HS thông qua hướng dẫn HS sáng 
tác bài toán mới. 
4 
Phát triển năng lực tư duy và lập luận 
toán học cho học sinh thông qua vận 
dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 
 57 
Phụ lục 4. Đề bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm và đối chứng 
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C . Gọi ,I M lần lượt là trung điểm của 
AC, 'B C' . G là trọng tâm tứ diện ' 'AIB A , P đối xứng với I qua C , K thuộc IM
sao cho / /( )GK BMP . Tính IK
IM
. 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có , 2SA SB SC AB a BC CA a Tính 
cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và .BC