Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

 − 𝑎2 ⇒ 𝑎 = 3√2. 
Vậy 
ABCDV lớn nhất bằng 3 3 khi 𝑎 = 3√2. 
Bước 3: Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học 
 Ví dụ đầu tiên này khai thác bất đẳng thức Cauchy cho biểu thức chỉ chứa 1 
biến, ta xét các bài toán áp dụng tương tự sau 
B
C
D
A
MH
N
35 
Bài toán 11.1. Cho hình chóp SABCD , 
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
SA SB SC a .Đặt
 0 3x SD x a Tìm x theo a để 
tích .SDAC đạt giá trị lớn nhất. 
Bài toán 11.2. .S ABC có tất cả các 
cạnh đều bằng a . Trên cạnh AB lấy 
điểm M sao cho 0AM x x a , 
mặt phẳng qua M và song song 
với ,AC SB cắt , ,BC SC SA lần lượt tại 
, ,N P Q . Tính x theo a để diện tích 
thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt 
phẳng là lớn nhất. 
Bài toán 11.3. Cho hình hộp chữ nhật 
.ABCD A B C D có 2A D , 
,( 0)A B x x . Góc giữa đường thẳng 
AC và mặt phẳng ABB A bằng 60
. Tính giá trị lớn nhất 
maxV của thể tích 
khối hộp chữ nhật .ABCD A B C D . 
Bài toán 11.4. Cho hình chóp .S ABCD 
có đáy ABCD là hình bình hành và O 
là giao điểm của hai đường chéo. Mặt 
phẳng song song với đáy và cắt các 
cạnh , , ,SA SB SC SD lần lượt tại 
, ,M N P và Q . Khi thể tích khối chóp 
.O MNPQ lớn nhất, tính 
SM
SA
. 
Sản phẩm tự học của học sinh 
A
B C
D
S
x
A
B
C
S
M N
H
Q P
DA
C
A'
B'
C'
D'
B
O
A
B
D
S
C
N
M Q
P
36 
11.1. 
 Bài này có một số học sinh sử dụng công cụ khảo sát hàm số để xét cực trị. 
11.2. 
37 
11.3. 
11.4. 
38 
Bài toán 12. Cho hình tứ diện SABC có độ dài các cạnh SA BC x , SB AC y 
, SC AB z thỏa mãn 2 2 2 27x y z . Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ 
diện SABC . 
Bước 1. Tham số hóa và chuyển yêu cầu bài toán qua biểu thức đại số 
Thể tích khối tứ diện 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
12
V y z x z x y x y z . 
Mà 2 2 2 27x y z nên 2 2 2
2
27 2 27 2 27 2
12
V x y z . 
Bước 2. Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức giải quyết bài toán 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 227 2x , 227 2y và 227 2z ta có: 
3
2 2 2
2 2 2
27 2 27 2 27 2
27 2 27 2 27 2
3
x y z
x y z
 2 2 2729 27 2 27 2 27 2x y z 
2
. 729
12
V 
9 2
4
V . 
Vậy max
9 2
4
V , đạt được khi 3x y z tức là tứ diện đã cho là tứ diện đều cạnh 
bằng 3 . 
Bước 3. Khai thác các bài toán hỗ trợ học sinh tự học 
 Bài toán này sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho biểu thức nhiều biến. Với ý 
tưởng đó ta xét thêm các bài toán sau cho học sinh tự rèn luyện. 
x z
y
S
A
B
C
H
K
39 
Bài toán 12.1. Cho hình lăng trụ 
. ' ' ' 'ABCD A B C D . Lấy các điểm ,E F 
lần lượt trên các đoạn , 'AB DA thỏa mãn 
3 7 '
. . 6.
7 27
DA DA
DE DF
 Gọi V , 'V lần 
lượt là thể tích của khối lăng trụ 
. ' ' ' 'ABCD A B C D và khối tứ diện 
.BDEF Khi đó GTNN của tỉ số 
'V
V
bằng bao nhiêu? 
Bài toán 12.2. Hình hình hộp chữ nhật 
. ' ' ' 'ABCD A B C D , có đường chéo 
'AC d hợp với mặt phẳng ABCD 
một góc , hợp với mặt bên ' 'BCC B
góc  . Biết d không đổi, ' 'A D CB là 
hình vuông và thể tích khối hộp lớn 
nhất. Khi đó giá trị của biểu thức + 
 bằng bao nhiêu? 
Bài toán 12.3. Cho hình lăng trụ tứ giác 
đều . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh bằng a . 
Điểm M và N lần lượt thay đổi trên 
các cạnh 'BB và 'D D sao cho 
 MAC NAC và BM x , DN y 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối 
tứ diện ACMN . 
Bài toán 12.4. Cho tứ diện ABCD có 
1AB AC BD CD . Khi thể tích 
của khối tứ diện ABCD lớn nhất thì 
khoảng cách giữa hai đường thẳng AD 
và BC bằng bao nhiêu ? 
B'A'
C'
A
D C
B
D'
F
E
D'C'
A'
C
B A
D
B'
x
I
D'A'
C'
A
B C
D
B'
M
N
y
1
1
1
1
x
K
H
B D
C
A
40 
Bài toán 13. Cho hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D có
, 2, 3AB a AD a AA a . Gọi G là trung điểm của BD , mặt phẳng P đi 
qua G và cắt các tia , ,AD CD D B tương ứng tại ba điểm phân biệt , ,H I K . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
1 1 1
' ' '
T
D H D K D I
 . 
Bước 1: Tham số hóa và chuyển yêu cầu bài toán qua biểu thức đại số (1 ẩn hoặc 
nhiều ẩn) 
Đặt , ,
D H D I D K
x y z
D A D C D B
. 
ta có 
1 1 1 1
2 2 2 2
D G D B D A D C D D 
Ta có D H xD A x D D D A 1 D H D D D A
x
 D I yD C y D D D C 
1
D I D D D C
y
 D K zD A z D A D C 1 D K D A D C
z
1 1 1
4 4 4
D G D H D I D K
x y z
 . Do , , ,G H I K đồng phẳng nên 
1 1 1
1
4 4 4x y z
 4
D A D C D B
D H D I D K
Bước 2: Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức giải quyết bài toán 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
4
D A D C D B
D A D C D B
D H D I D K D H D I D K
2 2 2 2 2
16 16 4
12 3
T
D A D C D B a a
. Vậy min 2
4
3
T
a
 . 
G
C'D'
B'
D
A B
C
A'
H
I
K
41 
Bước 3: Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học 
 Bất đẳng thức Bunhiacopski là một trong những công cụ phổ biến thường 
được dùng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay bài toán tìm giá trị lớn 
nhất, giá trị nhỏ nhất. Ta xét một số bài toán cực trị hình học khai thác bất đẳng thức 
này. 
Bài toán 13.1. Cho tứ diện ABCD . Gọi 
K là điểm thuộc cạnh CD sao cho 
2 3KD KC , và I là điểm thuộc đoạn 
thẳng BK sao cho 2IK IB . Mặt 
phẳng đi qua I và luôn cắt các tia 
, ,AB AC AD lần lượt tại các điểm 
 , ,M N P A . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 
2 2 2
2 2 2
4 9 16
AB AC AD
T
AM AN AP
Bài toán 13.2. Cho hình chóp .S ABCD 
có đáy ABCD là hình thang cân, AB 
song song với CD , 2AB CD , các 
cạnh bên có độ dài bằng 1. Gọi 
O AC BD  , I là trung điểm của SO
. Mặt phẳng thay đổi đi qua I và 
cắt các cạnh , , ,SA SB SC SD lần lượt tại 
, , ,M N P Q . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 
2 2 2 2
1 1 1 1
T
SM SN SP SQ
 . 
K
A
B
C D
M
C
D
I
O
A B
D C
S
M
P
N
Q
42 
13.3. (Đề HSG Nghệ An 2020 – 2021) 
Cho hình chóp .S ABC có , ,SA SB SC 
đôi một vuông góc và 1SA , 
2 2SB SC . Gọi I là tâm đường 
tròn nội tiếp tam giác ABC . Một mặt 
phẳng thay đổi đi qua I lần lượt cắt 
các tia , ,SA SB SC tại , ,M N P . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
P
SM SN SP
 . 
Sản phẩm tự học của học sinh 
13.1. 
13.2. 
S
A
B
C
N
M
P
I
43 
13.3. 
Cách 2: 
44 
Ta cũng có thể khai thác kết hợp các bất đẳng thức với nhau trong việc giải 
quyết một bài toán cực trị hình. 
Bài toán 13.4. Cho hình lập phương 
. ' ' ' 'ABCD A B C D . Điểm M nằm trên 
cạnh 'AA sao cho góc 'BMD lớn nhất, đặt 
góc lớn nhất đó là . Tính cos . 
Bài toán 13.5. Cho khối chóp .S ABC có 
SAvuông góc với đáy, tam giác ABC
vuông tại B . Biết rằng thể tích của khối 
chóp là 
5
24
. Tính giá trị nhỏ nhất diện tích 
toàn phần chóp .S ABC . 
Sản phẩm tự học của học sinh 
B'A'
C'
A
D C
B
D'
S
A
B
C
45 
13.4. 
13.5. 
Cách 2: 
46 
 Ngoài các bất đẳng thức quen thuộc thường được sử dụng như Cauchy, 
Bunhiacopski, ta có thể khai thác dạng toán này với một số bất đẳng thức khác. 
Bài toán 14. Cho hình lập phương .ABCD A B C D cạnh bằng 1. Trên đoạn AC 
lấy điểm E sao cho 
3
3
AE . Một mặt phẳng thay đổi đi qua E , cắt các tia 
, ,AB AD AA lần lượt tại , ,M N P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 4 9
AM AN AP
T
AM AN AP
47 
Bước 1: Tham số hóa chuyển yêu cầu bài toán qua biểu thức đại số 
Đặt , ,
AB AD AA
x y z
AM AN AP
 . 
Ta có 
1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
x y z
AE AC AB AD AA AM AN AP . 
Do 4 điểm , , ,E M N P đồng phẳng nên 1 3
3 3 3
x y z
x y z . 
Khi đó 
1 1 1
1 1 4 1 9
T
x y z
Bước 2: Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức giải quyết bài toán 
Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có: 
2 2 21 1 1 6 3 2
1 1 4 1 9 36 6 9 36 4 36
T
x y z x y z
2
6 3 2 121
49 36 157
T
x y z
Vậy min
121
157
T khi 
91 31 15
, ,
66 33 22
x y z . 
Bài toán 15. Cho tứ diện SABC có 1SA SB SC . Mặt phẳng thay đổi luôn 
đi qua trọng tâm của tứ diện và cắt , ,SA SB SC lần lượt tại 
1 1 1, ,A B C . Tìm giá trị lớn 
nhất của 
1 1 1 1 1 1
1 1 1
. . .SA SB SB SC SC SA
 . 
48 
Bước 1: Tham số hóa chuyển yêu cầu bài toán qua biểu thức đại số 
Từ yêu cầu bài toán, đặt 
1 1 1
1 1 1
, ,a b c
SA SB SC
 . Khi đó ta cần tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức T ab bc ca . 
Bước 2: Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức giải quyết bài toán 
 Ta có G là trọng tâm tứ diện nên 0GA GB GC GS từ đó dẫn đến 
1 1 1
1 1 1
4 . . .
SA SB SC
SG SA SB SC SA SB SC
SA SB SC
1 1 14 . . .SG a SA b SB c SC 1 1 1. . .
4 4 4
a b c
SG SA SB SC . 
Do 4 điểm 
1 1 1, , ,A B C G đồng phẳng nên 4a b c . 
Sử dụng bất đẳng thức 
2
3
a b c
ab bc ca
 ta thu được: 
2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 16
. . . 3 3
SA SB SC
SA SB SB SC SC SA
Dấu “=” xảy ra 1 1 1
3
4
SA SB SC 1 1 1 / /A B C ABC 
Vậy giá trị lớn nhất của 
1 1 1 1 1 1
1 1 1
. . .SA SB SB SC SC SA
 là 
16
3
. 
Bước 3: Khai thác bài toán tương tự và hướng dẫn cho học sinh tự học 
Bài toán 15.1. Cho hình chóp .S ABC có các cạnh bên bằng 1. Mặt phẳng thay 
đổi luôn đi qua trọng tâm của hình chóp, cắt ba cạnh bên , ,SA SB SC lần lượt tại 
, ,D E F . Tìm giá trị lớn nhất 
maxP của 
1 1 1
. . .
P
SD SE SE SF SF SD
 . 
S
A
B
C
G
C1A1
B1
49 
Hướng dẫn giải 
Gọi I là trọng tâm ABC . Ta có: 
Ta có: 
3
; . ; .
SA SB SC SI
SA SB SC
SA SD SB SE SC SF
SD SE SF
. 
Mà ta có 3 1
4 4
SG SI SA SB SC 
4SG SA SB SC . .
SA SB SC
SD SE SF
SD SE SF
. .
4 4 4
SA SB SC
SG SD SE SF
SD SE SF
1 1 1
. .
4 4 4
SD SE SF
SD SE SF
 . 
Do , , ,D E F G đồng phẳng nên 
1 1 1
1
4 4 4SD SE SF
1 1 1
4 
SD SE SF
Ta lại có 
2
1 1 1 1 1 1 1
. . . 3
P
SD SE SE SF SF SD SD SE SF
. 
Vậy 
2
1 1 1 1 1 1 1 16
. . . 3 3
P
SD SE SE SF SF SD SD SE SF
Dấu " " xảy ra khi 
3
4
SD SE SF SA . 
Vậy 
16
3
MaxP . 
2.3.4. Một số bài toán tìm cực trị hình học học sinh tự sưu tầm 
Các em học sinh đã tổ chức các buổi tự học theo nhóm với hình thức sưu tầm 
các bài toán và cùng nhau giải quyết. Trích 1 phần bài các em sưu tầm về các bài 
toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện như sau: 
G
K
S
A
B
C
FD
E I
50 
Câu 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên 
 SA b và vuông góc với ABCD . Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H 
là hình chiếu vuông góc của S trên BM . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích 
khối chóp .S ABH theo ,a b . 
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại ,A 3 , . AB a AC a 
Mặt phẳng , ,DBC DAC DAB lần lượt tạo với mặt phẳng ABC 
các góc 90 , , trong đó 90 .  Thể tích khối tứ diện ABCD có 
giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? 
Câu 3: Trong mặt phẳng cho đường tròn T đường kính 2 AB R . Gọi C 
là một điểm di động trên T . Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc 
với mặt phẳng lấy điểm S sao cho SA R . Hạ AH SB và 
AK SC . Tìm giá trị lớn nhất 
maxV của thể tích tứ diện SAHK . 
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có 6 DA DB DC và đôi một vuông góc với 
nhau. Điểm M thay đổi trong tam giác ABC . Các đường thẳng đi qua M 
song song , ,DA DB DC theo thứ tự cắt các mặt phẳng 
 , ,DBC DCA DAB lần lượt tại 1 1 1; ;A B C . Tìm thể tích lớn nhất của 
khối tự diện 
1 1 1MABC khi M thay đổi. 
Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 3 SA a 
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N là hai điểm thay đổi lần 
lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho 045 MAN . Tính tỉ số giữa giá 
trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp .S AMN . 
Câu 6: Cho hình lăng trụ . ' ' ' 'ABCDA B C D . Lấy các điểm ,E F lần lượt trên các 
đoạn , 'AB DA thỏa mãn 
3 7 '
. . 6.
7 27
DA DA
DE DF
 Gọi V , 'V lần lượt là thể 
tích của khối lăng trụ . ' ' ' 'ABCDA B C D và khối tứ diện .BDEF Tìm 
GTNN của tỉ số 
'V
V
. 
Câu 7: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D cạnh a . M thuộc đoạn thẳng
' : ' . ' AC C M xC A , N thuộc đoạn thẳng ' : ' 2 . ' CD D N xCD . Giá trị của 
x để tứ diện 'CC NM có thể tích lớn nhất là: 
Câu 8: Cho hình hộp đứng . ' ' ' '.ABCDA B C D có cạnh bên ' a 3 AA , đáy là hình 
thoi cạnh 0, 60 a BAD .Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B . Gọi 
(P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( ').ACD Khi thiết 
diện của hình hộp và mặt phẳng (P) có diện tích lớn nhất, tính diện tích của 
'ACD . 
Câu 9: Một người thợ gò làm một cái thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có 
nắp bằng tôn. Biết rằng đường chéo hình hộp bằng 6dm và chỉ được sử 
dụng vừa đủ 236dm tôn.Với yêu cầu như trên người thợ làm được cái thùng 
có thể tích lớn nhất là 3Vdm . Giá trị của V gần giá trị nào nhất trong các 
giá trị sau? 
51 
Câu 10: Cho hình lăng trụ đều . ' ' ' 'ABCDA B C D cạnh bằng a . Điểm M và N lần 
lượt thay đổi trên các cạnh 'BB và 'DD sao cho MAC NAC và 
 BM x , DN y . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ACMN . 
Phần III. KẾT LUẬN 
Tóm lại, đề tài đã góp phần phát triển được năng lực tư duy cho học sinh thông 
qua việc trình bày ý tưởng, lựa chọn phương pháp giải quyết một bài toán liên quan 
đến cực trị hình học và xây dựng hệ thống bài tập hỗ trợ các em trong quá trình tự 
học với dạng toán này. 
Đề tài cũng đưa ra được một số hướng mở để có thể tiếp tục hoàn thiện và 
phát triển. Chẳng hạn: 
+ Tiếp tục khai thác cực trị hình học không gian xoáy vào các chủ đề hẹp 
nhưng sâu hơn như xét riêng các dạng hình tứ diện, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ, 
+ Khai thác cực trị hình học không gian theo mảng thuần các ứng dụng thực 
tế. 
+ Khai thác độc lập hình học giải tích và hình học không gian tổng hợp. 
 Chuyên đề cực trị hình học hình học không gian tương đối rộng đòi hỏi nhiều 
kiến thức, bao gồm cả kiến thức Hình học thuần túy và kiến thức Đại số. Vì vậy để 
giải tốt các bài toán thuộc chuyên đề này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức 
ở trên. Đề tài này đã hệ thống một cách cô đọng kiến thức của các phần đó và xây 
dựng được một hệ thống các bài toán đa dạng, minh họa cho các tình huống thường 
gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp THPT. Qua thực tế giảng dạy, và 
cho học sinh rèn luyện tự học, nhiều em đã nắm chắc kiến thức, không còn tâm lý e 
ngại khi giải các bài toán thuộc chuyên đề này, đại bộ phận học sinh khá đã làm 
được và có nhiều ý tưởng giải quyết trước một bài toán cực trị hình học. 
 Chuyên đề được áp dụng khá rộng rãi, đặc biệt là học sinh khối 11 và 12. Áp 
dụng cho các đối tượng học sinh khá giỏi. Tuy nhiên căn cứ vào trình độ học sinh 
trong lớp mà người sử dụng có thể khai thác, mở rộng, tăng độ khó, dễ cho phù hợp. 
Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo, các 
học sinh, những ai quan tâm đến đề tài để đề tài được hoàn thiện hơn. 
Xin chân thành cảm ơn. 
52 
Phụ lục 
Một số hình ảnh học sinh tổ chức tự học theo nhóm ngoài giờ học chính khóa 
53 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. G. Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, 
Bản dịch của Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD. 
2. Sách giáo khoa Hình học 11; Hình học 12 THPT hiện hành. 
3. Sách bài tập Hình học 11 và 12 THPT hiện hành 
4. Đề thi THPT quốc gia và đề thi thử THPT quốc gia môn Toán. 
5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố lớp 11, 12. 
6. Trang wed, nhóm Facebook về Toán học THPT.