Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp

 đó có 1 nghiệm bằng 0 và (2) có 4 nghiệm phân biệt. Do đó dựa vào 
bảng biến thiên của hàm số 4 28g x x x ta có 
0 10 16 10 6
10 0
0 0
m m
m
m m
. Vì m 
nên 9; 8; ; 1;0m . 
Vậy có 10 giá trị nguyên m. 
37 
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 
- Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và hiệu 
quả của đề tài. 
3.2. Đối tượng thực nghiệm: Tại trường THPT Diễn Châu 4, huyện Diễn Châu, 
tỉnh Nghệ An tôi chọn lớp 12A4 làm lớp thực nghiệm và 12A10 làm lớp đối chứng. 
3.3. Tiến hành thực nghiệm: Chúng tôi tiến hành dạy thực nghiệm dạy học theo 
chủ đề: cực trị của hàm số - tiết 5; 6 PPCT giải tích 12. 
Lớp 12A4 - Trường THPT Diễn Châu 4. 
I. Mục tiêu bài học 
1. Về kiến thức 
 Hs nắm vững các công thức và quy tắc tính đạo hàm. 
Khảo sát sự biến thiên của hàm số, chỉ ra các điểm cực trị của hàm số 
2. Về kỹ năng : 
 Học sinh lập được bảng biến thiên của hàm hợp. 
 Biết cách đọc bảng biến thiên, đồ thị, tìm ra được cực trị của hàm hợp 
 Viết báo cáo và trình bày trước đám đông 
3. Thái độ : 
- Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập tư duy 
- Say sưa, hứng thú học tập, tìm tòi 
- Bồi dưỡng tinh thần trách nhiệm, kiên trì, vượt khó 
4. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh : 
- Phát triển năng lực hoạt động nhóm, khả năng diễn thuyết độc lập 
- Phát triển tư duy hàm 
- Năng lực giải quyết vấn đề 
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin 
II. Chuẩn bị các phương tiện dạy học. 
Thực tiễn: Học sinh chuẩn bị bút, sách vở. 
Phương tiện: Chuẩn bị dụng cụ dạy học như thước kẻ, phấn màu, ti vi, bảng phụ. 
38 
III. Phương pháp dạy học: Chủ yếu vận dụng phương pháp dạy học vấn đáp gợi 
mở, đan xen hoạt động nhóm. 
(GV chia lớp thành 4 nhóm cố định theo vị trí từng cặp 3 bàn một liên tục theo 
dãy) 
IV. Tiến trình bài dạy và các hoạt động 
Tiết 1. 
1. Mục tiêu: 
Về kiến thức: Học sinh nắm được quy tắc tính cực trị của hàm số, tính cực trị của 
hàm hợp f(u(x)) khi cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y= f’(x). 
Về kỹ năng: Học sinh biết cách đọc bảng biến thiên, đồ thị hàm số. Từ đó lập 
được bảng biến thiên của hàm số f(u(x)). 
Về thái độ: Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc. 
Về năng lực: Phát triển năng lực tư duy, hợp tác, giải quyết vấn đề. 
2. Tiến trình 
- Ổn định tổ chức lớp: Kiểm tra sỹ số. 
- Bài cũ: Nêu quy tắc tìm cực trị của hàm số f(x). 
3. Bài mới 
Hoạt động khởi động: 
Hoạt động khởi động: 
- Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận các kiến thức, biết cách lập bảng 
biến thiên của hàm số khi biết đồ thị của hàm số 'y f x . 
- Nội dung, phương thức tổ chức: 
 Chuyển giao: Thông qua câu hỏi 1. 
Câu hỏi 1. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm 'y f x trên . Biết 
đồ thị của hàm số 'y f x như hình vẽ dưới. Hãy lập bảng biến thiên của hàm số 
 'y f x ? 
39 
+ Thực hiện: Học sinh nhớ lại kiến thức và trả lời câu hỏi. 
- Từ nội dung câu hỏi 1, GV nhận xét, từ đó đặt vấn đề vào bài mới: Nghiên cứu 
các vấn đề đã đặt ra đối với tìm cực trị của hàm hợp f(u(x)) khi biết cho bảng biến 
thiên hoặc đồ thị của hàm số 'y f x 
Hoạt động 2: Hình thành kiến thức 
a) Mục tiêu: Học sinh biết cách đọc đồ thị hàm số y=f’(x), lập được bảng biến 
thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên của y=f’(x), tìm được cực trị của hàm f(u(x)). 
b)Nội dung: GV yêu cầu học sinh nhớ lại kiến thức đã học, tiếp cận kiến thức mới 
và áp dụng kiến thức mới vào hoàn thành bài tập. 
Tổ chức thực hiện 
Bài 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như 
hình bên. Số điểm cực trị của hàm số 3 23g x f x x là 
A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 11. 
Hoạt động của GV và 
HS 
Nội dung 
GV: chuyển giao nhiệm 
vụ cho các nhóm 
40 
+ Nhóm 1, 2: Lập bảng 
biến thiên của hàm số 
f(x). 
- Tính g(x)’ và và giải 
phương trình g(x)’=0 
+ Nhóm 3, 4: Lập bảng 
biến thiên và vẽ đồ thị 
hàm số 3 23h x x x 
+ Các nhóm trình bày sản 
phẩm. 
+Gv: Dựa vào đồ thị hàm 
số 3 23h x x x . Gọi học 
sinh đứng tại chỗ, trình 
bày sự tương giao của đồ 
thị hàm số 3 23h x x x 
với đường thẳng y = a.
+ GV: Nhận xét, đánh giá 
và kết luận bài toán. 
GV lưu ý học sinh: Số 
cực trị của hàm số y=g(x) 
là số nghiệm bội lẻ phân 
biệt của pt g’(x) = 0 và 
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y=f(x) như sau 
x a b c 
 f x 0 0 0 
 f x 
Ta có 3 23g x f x x 2 3 23 6 . 3g x x x f x x 
Cho 0g x 
2
3 2
3 6 0
3 0
x x
f x x
 3 2
3 2
3 2
0
2
3 ; 0
3 ; 0 4
3 ; 4
x
x
x x a a
x x b b
x x c c
Xét hàm số 3 23h x x x 23 6h x x x . 
Cho 0h x 
0
2
x
x
Bảng biến thiên 
Ta có đồ thị của hàm 3 23h x x x như sau 
Từ đồ thị ta thấy: 
Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. 
Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x tại 3 điểm. 
Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. 
Như vậy phương trình 0g x có tất cả 7 nghiệm đơn phân 
biệt. 
41 
qua mỗi nghiệm đó g’(x) 
đổi dấu.
Vậy hàm số 3 23g x f x x có 7 cực trị. 
Bài 2. Cho hàm số bậc bốn 'y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của 
hàm số 3 23g x f x x là 
A. 4. B. 6. C. 7. D. 11. 
Hoạt động của GV và HS Nội dung 
GV: Hướng dẫn học sinh thực 
hiện nhiệm vụ. 
- Dựa vào bảng biến thiên của 
hàm số f x tìm nghiệm của 
phương trình 0.f x 
- Tính đạo hàm của hàm số
 3 23g x f x x , giải pt ' 0g 
.
Để tìm số nghiệm của pt. 
+ HS: Suy nghĩ, giải quyết vấn 
đề. 
+ GV: Nhận xét, đánh giá và 
kết luận bài toán. 
+ GV: Ngoài cách giải trên, 
các e có cách giải quyết nào 
nữa không 
Ta có 3 23g x f x x 2 3 23 6 . 3g x x x f x x 
 0g x 
2
3 2
3 6 0
3 0
x x
f x x
Phương trình 23 6 0x x 
0
2
x
x
Phương trình 3 23 0f x x 
3 2
3 2
3 2
3 2
3 ; 0
3 0;
3 4;
3 ; 4
x x a a
x x
x x
x x b b
Ta thấy: 3 2
0
3 0
3
x
x x
x
Và 3 2
1
3 4
2
x
x x
x
Xét hàm số 3 23h x x x 23 6h x x x . 
Cho 0h x 
0
2
x
x
Cách 1: 
Bảng biến thiên 
42 
Với dạng bài tập này, khi 
trong đề có chứa tham số thì 
hướng làm cũng tương tự như 
các bài toán trên. Các e về 
nhà làm bài tập sau: . Cho 
hàm số y f x có đạo hàm 
'( )y f x với mọi .x và có 
đồ thị như hình vẽ. 
Có bao nhiêu giá trị nguyên 
dương của tham số m để hàm 
số 2( ) ( )8g x f x x m có 5 
điểm cực trị? 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số h(x)ta thấy: 
Phương trình 3 23 ; 0x x a a có duy nhất một nghiệm 
x1 <-3. 
Phương trình 3 23 ; 4x x b b có duy nhất một nghiệm 
x2 >1. 
 Do đó phương trình 0g x có bốn nghiệm đơn phân 
biệt và hai nghiệm bội nên hàm số 3 23g x f x x có 
6 điểm cực trị. 
Cách 2: 
Ta có đồ thị của hàm 3 23h x x x như sau 
Từ đồ thị ta thấy: 
Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. 
Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. 
Vậy hàm số 3 23g x f x x có 6 điểm cực trị. 
Hoạt động củng cố luyện tập: 
Cho hàm số y f x (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của 
 , 'f x f x ). Tìm số điểm cực trị của hàm số y f u trong đó u là một hàm số 
đối với x 
Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số y f x 
Bước 1. Tính đạo hàm ' '. 'y u f u 
O 
43 
Bước 2. Giải phương trình 
' 0
' 0
' 0
u
y
f u
Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà 'y không xác định. 
Kết luận. 
Tiết 2. 
1. Mục tiêu: 
Về kiến thức: Học sinh nắm được quy tắc tính cực trị của hàm số, tìm cực trị của 
hàm hợp f(u(x))+v(x) khi cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số 
 y= f’(x). 
Về kỹ năng: Học sinh biết cách đọc bảng biến thiên, đồ thị hàm số. Từ đó lập 
được bảng biến thiên của hàm số f(u(x)) +v(x). 
Về thái độ: Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc. 
Về năng lực: Phát triển năng lực tư duy, hợp tác, giải quyết vấn đề. 
2. Tiến trình 
 Ổn định tổ chức lớp: Kiểm tra sỹ số. 
Bài cũ: Nêu cách tìm cực trị của hàm số f(u(x)) khi cho đồ thị hoặc bảng biến thiên 
của hàm số y= f’(x). 
3. Bài mới 
Hoạt động khởi động: 
- Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận các kiến thức, biết cách lập bảng 
biến thiên của hàm số khi biết đồ thị của hàm số 'y f x . 
- Nội dung, phương thức tổ chức: 
 Chuyển giao: Thông qua các bài toán sau. 
Bài 1. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số f x có đạo hàm liên 
tục trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Hàm số 
 2 24 4y f x x x x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng 5;1 ? 
44 
A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 . 
Hoạt động của GV và HS Nội dung 
GV: Hướng dẫn học sinh 
thực hiện nhiệm vụ. 
- Dựa vào bảng biến thiên 
của hàm số f x tìm 
nghiệm của phương trình 
 0.f x 
- Tính đạo hàm của hàm số
 2 24 4g x f x x x x , 
giải pt 
 ' 2 2 '[ 4 4 4 ] 0y f x x x x 
.
Để tìm số nghiệm của pt. 
+ HS: Suy nghĩ, giải quyết 
vấn đề. 
+ GV: Nhận xét, đánh giá 
và kết luận bài toán. 
+ GV: Ngoài cách giải trên, 
các e có cách giải quyết 
nào nữa không 
Đặt 2 24 4g x f x x x x 
2
2
2 4 4 2 4
2 4 4 1
g x x f x x x
x f x x
. 
Ta có 
2
2
2
2 4 0
4 4 (1)
0
4 0 (2)
4 1;5 (3)
x
x x
g x
x x
x x a
. 
Xét phương trình 2 4 1;5x x a , ta có BBT của hàm số 
2 4y x x trên 5;1 như sau: 
Suy ra (1) có nghiệm kép 2x , (2) có 2 nghiệm phân 
biệt 4; 0x x , (3) có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x x x 
khác 2; 0; 4 . Do đó phương trình 0g x có 5 nghiệm 
trong đó có 2x là nghiệm bội ba, các nghiệm 
4; 0x x ; 1 2;x x x x là các nghiệm đơn. 
Vậy g x có 5 điểm cực trị. 
Bài 2. (THPT Minh Khai) Cho hàm số Cho hàm số y f x liên tục trên và 
hàm số 22 2 2019g x f x x x . Biết đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. a. 
Tìm Số điểm cực trị của hàm số y g x 
45 
b. Tìm Số điểm cực trị của hàm số y g x 
Hoạt động của GV và HS Nội dung 
GV: phân tích bài toán: 
 - Bài toán cực trị của hàm 
ẩn thông qua đồ thị của đạo 
hàm. 
- Tính đạo hàm của hàm 
ẩn. Tìm nghiệm của đạo 
hàm. 
- Lập bảng biến thiên của 
hàm số g x . Kết luận về 
số điểm cực trị. 
GV: Hướng dẫn học sinh 
thực hiện nhiệm vụ. 
+ HS: Suy nghĩ, giải quyết 
vấn đề. 
+ GV: Nhận xét, đánh giá 
và kết luận bài toán. 
GV: Yêu cầu HS nhắc lại 
cách vẽ đồ thị hàm số
 y f x 
a. 2 2 2g x f x x , 0 1g x f x x 
Đường thẳng 1y x đi qua các điểm 1 ; 2 , 1 ; 0 , 
 3 ; 2 
Quan sát vào vị trí tương đối của hai đồ thị trên hình vẽ, ta 
có BBT của hàm số y g x như sau 
Vậy hàm số y g x có 3 điểm cực trị 
b. Đồ thị hàm số y g x nhận trục Oy làm trục đối xứng 
nên từ BBT trên ta suy ra BBT của hàm số y g x như 
sau 
Vậy hàm số y g x có 5 điểm cực trị. 
Hoạt động củng cố luyện tập: Học sinh nắm được quy trình tìm cực trị của hàm 
số y= f(u(x))+v(x). 
Xét dấu g’(x) dựa vào đồ thị hàm số y= u’(x).f’(u(x)); y=v’(x). 
x – ∞ -1 1 3 + ∞ 
g'(x) – 0 + 0 – 0 + 
g(x) 
+ ∞ 
+ ∞ 
46 
+ Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y= u’(x).f’(u(x)) và đồ thị hàm số '( )y v x 
+ Xét dấu của hàm số y=g’(x). 
3.4. Kết quả thực nghiệm: 
Trước khi dạy thực nghiệm chúng tôi tiến hành kiểm tra 15 phút và sau khi dạy 
thực nghiệm chúng tôi cũng tiến hành kiểm tra 15 phút. Dưới đây là đề kiểm tra và 
kết quả kiểm tra. 
Đề kiểm tra 15 phút trước khi dạy thực nghiệm 
Bài 1: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Hàm 
số 2 2 4g x f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu? 
Đề kiểm tra 15 phút sau khi dạy thực nghiệm 
Bài 1: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm y f x như hình bên. Tìm điểm cực 
đại của hàm số: 2y f x x x . 
Kết quả kiểm tra ở lớp 12A4 và lớp 12A10 
Lớp Sĩ 
số 
Đề Giỏi Khá TB Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12A4 44 1 10 22,7 22 50 12 27,3 0 0 0 0 
2 15 34,1 26 59,1 3 6,8 0 0 0 0 
12A10 42 1 5 11,9 23 54,8 14 33,3 0 0 0 0 
2 8 19 25 59,6 9 21,4 0 0 0 0 
Nhận xét: 
47 
 - Qua kết quả thực nghiệm chúng tôi nhận thấy sau khi học xong hai tiết luyện tập, 
kết quả kiểm tra lại của hai lớp đều cao hơn . 
- Với lớp được thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực hoạt động, học tập sôi 
nổi và có sự linh hoạt hơn. Đa số các học sinh khá, giỏi môn Toán rất hứng thú 
trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. 
- Nếu có thời gian và được thực hành một cách bài bản theo nội dung mà sáng kiến 
đưa ra có thể tạo cho các em một logic sáng tạo hiệu quả, phát triển tư duy cho học 
sinh khi làm các bài tập liên quan đến hàm hợp. 
- Đối với giáo viên nếu tiếp cận được hệ thống kiến thức này có thể có thêm hướng 
dạy mới và phương pháp dạy hiệu quả hơn. 
48 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận: 
Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy 
chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm như sau: 
- Trong các nhiệm vụ môn Toán ở trường THPT thì nhiệm vụ phát triển tư duy cho 
học sinh là một nhiệm vụ quan trọng. Để phát triển tư duy cho học sinh cần có một 
hệ bài tập được phân dạng, đưa ra phương pháp chung, khai thác, định hướng cách 
giải cụ thể cho từng dạng toán. . 
 - Giáo viên cần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là dạy 
học theo chủ đề trong đó kiến thức được tạo thành một khối và được sắp xếp từ dễ 
đến khó, tạo hưng phấn cho người học qua mỗi nhiệm vụ học tập. 
- Đề tài đã xây dựng được một hệ thống bài tập được trích từ các kì thi THPT quốc 
gia và đề thi thử THPTQG của các trường trên cả nước . Hệ thống bài tập được nâng 
dần cho các đối tượng học sinh vận dụng và vận dụng cao và có thể áp dụng được 
cho giáo viên ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. 
 - Tính hiệu quả của đề tài đã được kiểm chứng ở phần thực nghiệm sư phạm . 
 - Đề tài tiếp cận được với nội dung chương trình thi tốt nghiệp của Bộ Giáo Dục - 
Đề tài góp phần vào sự phát triển chung của xu thế toán học, đưa nội dung kiến 
thức toán đến gần gũi hơn với người học và người dạy. 
Trên thực tế đề tài đã được chính tác giả áp dụng cho học sinh tại trường THPT nơi 
công tác lớp 12 năm học 2020-2021 và đạt kết quả cao ở kì thi THPT Quốc gia. 
- Chúng tôi cũng đã cố gắng tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm nhưng cũng không 
tránh khỏi thiếu sót, để đề tài ngày càng hoàn thiện và vận dụng dạy học có hiệu quả 
hơn, rất mong được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và bạn bè đồng 
nghiệp. Xin chân thành cảm ơn. 
2. Kiến nghị: 
- Tổ bộ môn nên đưa chủ đề đã xây dựng trong đề tài này vào sinh hoạt 
chuyên môn để nâng cao hiệu quả quá trình giảng dạy của các thành viên. 
- Giáo viên cần quan tâm hơn đến phương pháp đã nêu trong đề tài để vào 
phục vụ trong quá trình dạy học, đáp ứng được các yêu cầu đổi mới phương pháp 
theo hướng tiếp cận và phát triển năng lực tư duy người học. 
49 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. SGK giải tích 12. 
[2]. Phương pháp giải các dạng toán THPT, hàm số đạo hàm và ứng dụng, Lê 
Hồng Đức (chủ biên) – Đỗ Hoàng Hà – Lê Hoàng Nam – Đoàn Minh Châu – Đào 
Thị Ngọc Hà, nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội. 
[3]. Chuyên đề bám sát đề thi trung học phổ thông quốc gia hàm số đồ thị và ứng 
dụng, Lê Hồ Quý – Nguyễn Tài Chung, nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội. 
[4]. Đề thi THPT quốc gia từ năm 2018 đến nay. 
[5]. Tuyển tập các đề thi thử THPT quốc gia của các trường trên cả nước. 
[6]. Các trang mạng: Google.com.vn; ; tạp chí giáo dục; toán học và tuổi 
trẻ 
50 
MỘT SỐ HÌNH ẢNH MINH HỌA
51