Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua hệ thống bài tập cực trị về khoảng cách trong hệ tọa độ không gian

n mp(P) lớn nhất khi và chỉ khi mp(P) đi qua 
M và vuông góc với MG (nhận MG làm vectơ pháp tuyến) 
I
A
C
B
A'
B'
C'
J
G
H
H 
B 
C 
P 
K 
N 
M 
A 
47 
Bài minh họa: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm (1;0;1), (3; 2;0), (1;2; 2)A B C . Gọi (P) 
là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mp(P) lớn nhất biết rằng 
không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mp(P)? 
A. B. C. D. . 
Tổng quát áp dụng kết quả bài 5.2 và 5.3 ta suy ra được bài 5.4: 
Bài 5.4. Cho n điểm phân biệt 1 2, ,..., nA A A và điểm M. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi 
qua M sao cho tổng khoảng cách từ n điểm 1 2, ,..., nA A A và đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, biết 
n điểm 1 2, ,..., nA A A nằm cùng phía với mp(P). 
Bài minh họa: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm 2;0;1A , 3;1;5B , 1;2;0C , 4;2;1D
. Gọi là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với và 
tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng là lớn nhất. Giả sử phương trình 
 có dạng: 2 0x my nz p . Khi đó, T m n p bằng: 
A. 9. B. 6. C. 8. D. 7. 
2) Mặt phẳng chứa một đường thẳng thỏa mãn điều kiện về khoảng cách. 
Bài 5.5. Cho điểm phân biệt A và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d 
sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất. 
Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Ta có ,( )d A P AH không đổi. 
Vậy khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất khi và chỉ khi mp(P) đi qua H và vuông góc 
với AH ( nhận AH làm vectơ pháp tuyến 
Bài minh họa 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:
. Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến (P) là lớn 
nhất. Khi đó (P) có một véctơ pháp tuyến là 
 A. B. C. D. 
Bài minh họa 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm 2;1;3A và mặt phẳng 
 : 2 1 2 0 P x my m z m , m là tham số thực. Gọi ; ;H a b c là hình chiếu vuông góc của 
điểm A trên P . Khi khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất, tính a b . 
A. 2 . B. 
1
2
. C. 
3
2
. D. 0 . 
Bài minh họa 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (3; 2;6), (0;1;0)A B và mặt cầu 
2 2 2( ) : ( 1) ( 2) ( 3) 25S x y z . Mặt phẳng ( ) : 2 0P ax by cz đi qua A, B và cắt (S) 
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c . 
A. 3T B. 5T C. 2T D. 4T 
Bài 5.6. Cho điểm A và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A song song 
với d sao cho khoảng cách giữa d và mp(P) là lớn nhất. 
 2; 0; 3 .G 3; 0; 2 .F 1;3;1 .E 0;3;1H
3 1
2 1 1
x y z
4 5 13( ; ; )n 4 5 13( ; ; )n 4 5 13( ; ; )n 4 5 13( ; ; )n 
48 
HD : Gọi là đường thẳng đi qua A và song song với d, suy ra mp(P) chứa . Đây là nội 
dung bài 5.5 
Bài minh họa. Trong không gian , cho điểm , đường thẳng . 
Biết mp có phương trình đi qua , song song với và khoảng cách 
từ tới mp lớn nhất. Biết là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. 
Hỏi tổng bằng bao nhiêu? 
A. . B. . C. . D. . 
Bài minh họa. Trong không gian , cho điểm 0;1;2A , mp : 4 0 x y z và mặt cầu 
2 2 2
: 3 1 2 16 S x y z . Gọi P là mặt phẳng đi qua A , vuông góc với và đồng 
thời P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao 
điểm M của P và trục 'x Ox là 
 A. 
1
;0;0
2
M . B. 
1
;0;0
3
M . C. 1;0;0M . D. 
1
;0;0
3
M . 
Thay khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng nhiều điểm đến mặt phẳng ta có: 
Bài 5.7. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) 
chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, biết 
mp(P) không cắt đoạn AB. 
 Bài minh họa. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3), B(2;1;1) và đường thẳng d:
. Lập phương trình mặt phằng (P) chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng 
cách từ hai điểm A, B đến (P) là lớn nhất. Biết A, B cùng phía với mp(P). 
Bài 5.8. Cho ba điểm phân biệt A, B, C và đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) 
chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ A, B và C đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, 
biết ba điểm A, B, C nằm cùng phía với mp(P). 
Tổng quát áp dụng kết quả bài 5.7 và 5.8 ta suy ra được bài 5.9: 
Bài 5.9. Trong không gian, cho n điểm phân biệt 1 2, ,..., nA A A và đường thẳng d. Lập phương 
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ n điểm 1 2, ,..., nA A A và 
đến mp(P) là lớn nhất, biết n điểm 1 2, ,..., nA A A nằm cùng phía với mp(P). 
Bài minh họa: Cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4). 
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox sao cho tổng khoảng cách từ bốn điểm A, 
B, C, D đến mp(P) là lớn nhất. 
b) Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B sao cho tổng khoảng cách từ hai 
điểm C, D đến mp(P) là lớn nhất. 
c) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? 
A. 1 mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. Có vô số mặt phẳng. 
Oxyz (2; 2;0) A
1 2
:
1 3 1
x y z
( )P 0 ax by cz d A 
 ( )P ,a b
 a b c d
3 0 1 1 
Oxyz
3 1
2 1 1
x y z
49 
Bài 5.10. Cho điểm A, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P). Mặt phẳng chứa đường thẳng 
d và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng ∆. Lập phương trình mp sao cho khoảng 
cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là lớn nhất, nhỏ nhất. 
Giải: Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) suy ra đường thẳng ∆ đi qua 
điểm B. Ta có ,( ) ,d A P d A AB . 
Do đó, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là lớn nhất bằng AB khi và chỉ đường 
thẳng ∆ đi qua B nằm trong mp(P) và vuông góc với AB ( , ,P du AB n n u u ). 
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là lớn nhất bằng AB khi và chỉ mp chứa 
đường thẳng d và hình chiếu của điểm A lên mp(P) 
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y z 6 0 và đường 
thẳng 
x 1 y 1 z 2
d : .
1 1 2
 Lập phương trình mp chứa đường thẳng d và cắt (P) theo 
giao tuyến là đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ đến ∆ là lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 5.11. Trong không gian, cho mặt cầu (S) và điểm A nằm ngoài (S). Viết phương trình 
mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất. 
Giải: Nối A với O cắt (S) tại hai điểm E, F trong đó F nằm giữa O và A. Mặt phẳng (P) tiếp 
xúc với (S) tại điểm H. Ta có ,( )d A P AH AE không đổi. 
Vậy khoảng cách từ A đến mp(P) lớn nhất bằng AE khi và chỉ khi mp(P) đi qua E và vuông 
góc với AE. 
Các bài minh họa 
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 
2 2 2
: 4 2 4 9S x y z . Mặt phẳng (P) 
tiếp xúc với mặt cầu S . Khi khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp P đạt giá trị lớn nhất. 
Viết phương trình mặt phẳng(P). 
Câu 2. (Đề thi thử lần 2 của sở GD Nghệ An năm 2021): 
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng 2 2 2: 2 4 1 2 3 1 1 0P m m x m m y m z m và mặt 
cầu 
2 2 2
: 3 2 1 75S x y z . Điểm A là thuộc mặt cầu S . Khi khoảng cách từ A 
đến mặt phẳng P đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là A , đường tròn đáy là giao tuyến 
của P và S có thể tích bằng bao nhiêu? 
A. 128 3 . B. 75 3 . C. 32 3 . D. 64 3 . 
Câu 3. Trong không gian Oxyz , Cho điểm và mặt cầu có phương trình 
 và điểm . Viết phương trình mp đi qua tiếp 
xúc với sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Giả sử là một vectơ 
pháp tuyến của . Lúc đó 
 A. B. C. D. 
(0;8;2)A ( )S
2 2 2( ) : ( 5) ( 3) ( 7) 72S x y z (9; 7;23)B ( )P A
( )S B ( )P (1; ; )n m n 
( )P
. 2.m n . 2.m n . 4.m n . 4.m n 
50 
D. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 
Khi áp dụng đề tài trên vào thực tế giảng dạy thì tuỳ từng lớp, từng đối tượng học sinh tôi 
phân ra nhiều dạng bài tập ở mức độ phù hợp. Tuy nhiên các bài tập trong đề tài ở mức vận 
dụng và vận dụng cao nên chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi 
+ Đối với học sinh khá thì việc giải các thành thạo các bài toán nền, bài toán đã có phương 
phấp giải để nắm kiến thức cơ bản, còn giải các bài tập mức vận dụng. Chẳng hạn: Bài toán 
về tìm hình chiếu của điểm lên một đường hay một mặt, bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
liên quan đến một điểm thay đổi, bài toán về lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng 
+ Đối với học sinh giỏi thì ngoài việc giải các bài dành cho học sinh trung bình và khá, còn 
giải các bài tập mức vận dụng cao. Chẳng hạn: Bài toán về giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất liên 
quan đến điểm thay đổi, tổng quát hoá bài toán. 
Trong quá trình dạy học trên lớp, mỗi bài tập tôi ra nhiều câu hỏi (thường từ 4 đến 5 câu). 
Học sinh khá làm 2, 3 câu đầu, còn học sinh giỏi làm tất các các câu. Học sinh giỏi phát huy 
được khả năng suy luận, tìm tòi, khám phá. Ngoài tiết dạy chính trên lớp tôi còn dạy chuyên 
đề này vào buổi chiều và giao nhiệm vụ về nhà gồm: giải các bài tập thầy ra, nghiên cứu PP 
giải sau đó tổng quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá bài toán, xây dựng bài toán mới 
Qua đó tôi thấy hệ thống bài tập trên có hiệu quả cao trong dạy học. Đề tài bắt đầu áp dụng 
từ năm học 2020-2021 cho đến nay ở những lớp tôi dạy. Trong năm học 2021 -2022 này, đề 
tài không chỉ được áp dụng cho các lớp 12 tôi dạy mà được đồng nghiệp tôi mở rộng thêm 
đến các đối tượng học lớp 12 khác của trường và bước đầu được đánh giá là có hiệu quả cao. 
- Năm học 2021-2022, tôi chọn và áp dụng đề tài đối với đối tượng học sinh khá. Hai lớp 
thực nghiệm là lớp 12A1 và 12A11 (trong đó 12A1 là lớp có học lực tốt hơn) và 2 lớp đối 
chứng là lớp 12A2 và 12A5 (trong đó 12A2 là lớp có học lực tốt hơn). Các lớp này có số 
lượng học sinh, chất lượng học tương đương nhau. Để khảo sát, mỗi lớp tôi ra 02 bài kiểm 
tra 45 phút trắc nghiệm và tự luận, mức độ đề bám vào chuẩn kiến thức kỹ năng và có một 
số bài trong kỳ thi những năm trước tôi thu được kết quả như sau: 
Bảng 1: Kết quả thực nghiệm 
Lớp Sĩ số Điểm dưới 3 Từ 3 đến < 5 Từ 5 đến <8 Từ 8 đến 10 
12A1 41 0 0 14 27 
12A11 45 0 5 23 18 
Bảng 2: So sánh kết quả thực nghiệm và đối chứng 
Lớp/Tiêu chí Lớp thực nghiệm (43 em) Lớp đối chứng (45 em) 
Điểm < 3 0.5% 4.5% 
Điểm từ 3 đến < 5 3.6% 10.7% 
Điểm từ 5 đến <8 51.3% 57.1% 
Điểm từ 8 đến 10 44.6% 27.7% 
Qua bảng kết quả thực nghiệm cho thấy việc áp dụng đã đem lại kết quả cao, nhất là đối với 
học sinh có học lực khá, giỏi. 
51 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
I. KẾT LUẬN: 
 1. Với hệ thống bài tập xây dựng ở trên, bước đầu tôi có thể kết luận rằng: 
 Đây là hệ thống bài tập đầy đủ, phong phú thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố trong 
không gian như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu, đường tròn 
 Các bài tập xây dựng theo trình tự lôgic giữa các phần với nhau, bài sau là sự kế thừa 
phát triển từ bài trước. Nhiều bài tập được phát triển lên từ bài tập trong mặt phẳng qua đó 
học sinh thấy được mối liên hệ kế thừa và phát triển giữa hình phẳng và hình không gian. 
 Hệ thống bài tập được xây dựng bằng cách nâng dần mức độ khó khăn (thêm, bớt điều 
kiện) hoặc thay đổi giả thiết, kết luận; tổng quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá. Nhiều 
bài tập có kết quả đẹp, có tính tổng quát và khi ứng dụng vào toạ độ sẽ có các bài toán ở mức 
vận dụng cao khá hay. 
 Hệ thống bài tập được xây dựng và giải trong hình không gian tổng hợp sau đó minh 
họa bằng các bài tập tương ứng trong toạ độ không gian. Các bài tập toạ độ mà phải chứng 
minh được tính chất hình học sau đó mới áp dụng toạ độ để giải thường là các bài tập khó. 
Trong đề tài đã minh hoạ một số bài trong các kỳ thi đại học và thi THPT QG những năm 
gần đây. 
 Do số lượng các dạng bài tập nhiều, phần nghiên cứu khá rộng nên có một số bài chưa 
trình bày lời giải, chưa dẫn dắt được cách xuất hiện bài toán, chưa nêu được qua bài toán học 
sinh phát triển phẩm chất, năng lực như thế nào. 
 Mỗi bài toán trong hình học không gian tổng hợp có thể coi như một bài toán gốc và 
xây dựng được một lớp các bài toán trong hệ tọa độ. Nhưng vì có nhiều dạng và do khuân 
khổ đề tài hạn chế nên chỉ xây dựng một vài bài minh họa cho từng dạng. 
 Đề tài được viết xuất phát từ thực tế giảng dạy và đúc rút kinh nghiệm của bản thân sau 
nhiều năm. Quá trình nghiên cứu được thực hiện nghiêm túc, khách quan, khoa học; tham 
khảo nguồn tư liệu có độ tin cậy cao. 
2. Đóng góp của đề tài: 
 Với học sinh: Giúp các em học sinh hiểu sâu hơn kiến thức, hình thành và phát triển 
khả năng tư duy, tưởng tượng hình không gian, vẽ hình, tính toán, chuyển đổi bài toán, xây 
dựng bài toán tương tự, . Qua đó giúp học sinh tư duy nhiều hơn, có cái nhìn hệ thống, 
phát triển năng lực, trí tuệ và học tích cực hơn. 
 Với giáo viên: Đây là một chuyên đề hay để tham khảo, nguồn tài liệu để ra đề thi và 
áp dụng trực tiếp trong quá trình giảng dạy. Giáo viên có thể lựa chọn cho phù hợp với đối 
tượng học sinh, đặc biệt trong dạy học sinh khá giỏi. 
 Với bộ môn toán: Góp phần phong phú thêm kho tàng toán học, thúc đẩy nghiên cứu 
toán phổ thông trong giảng dạy. 
52 
II. KIẾN NGHỊ: 
1. Kiến nghị. 
- Kết quả thực nghiệm cho thấy khi áp dụng đề tài vào dạy học cho kết quả cao. Do đó có 
thể áp dụng đề tài vào lớp 12 ở các trường phổ thông, đặc biệt là trường, lớp có nhiều học 
sinh khá giỏi. 
- Với hệ thống bài tập nhiều và ở cả hai phần hình học tổng hợp và toạ độ không gian nên 
để áp dụng được đề tài một cách hiệu quả đòi hỏi giáo viên biết cách chọn lọc cho phù hợp 
với đối tượng học sinh mình dạy. Khi dạy đến phần nào thì áp đến phần đó một cách linh 
hoạt và có thể sắp xếp lại tuỳ theo yêu cầu. Do đó mà cần sự chuẩn bị công phu, sự tận tâm, 
nỗ lực, của mỗi giáo viên. 
- Kỳ thi TN THPT năm 2022 đang đến gần nên có thể áp dụng ngay đề tài vào việc ôn thi 
cho học sinh lớp 12 trong tỉnh Nghệ An. 
2. Hướng phát triển của đề tài: 
1) Xây dựng hệ thống bài tập các bài toán chứa tham số liên quan đến khoảng cách. 
2) Xây dựng hệ thống bài tập thể tích các hình không gian. 
3) Xây dựng hệ thống bài tập max, min và ứng dụng thực tế của mặt cầu. 
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong thực hiện đề tài nhưng do cách trình bày vấn đề có thể 
chưa khoa học, trình độ lý luận và kiến thức về hình học chưa tốt nên chắc hẳn đề tài vẫn 
còn nhiều hạn chế. Rất kính mong được sự góp ý kiến, phê bình của các giáo viên để đề tài 
được hoàn thiện hơn và thực sự bổ ích góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học cũng như 
nghiên cứu toán học. 
Tôi xin chân thành cảm ơn. Diễn Châu, ngày 15 tháng 04 năm 2022 
 Tác giả 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 11, 12. 
2. Đề thi đại học, đề thi thử TN THPT QG của các trường . 
3. Chương trình bồi dưỡng giáo viên Modun 2. 
4. Tạp chí giáo dục. 
53 
MỤC LỤC 
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ .... trang 1. 
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.. trang 3 
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.trang 3 
B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ.. trang 4 
C. NỘI DUNG ĐỀ TÀI . trang 5 
I. Khoảng cách liên quan đến một điểm thay đổi thuộc một đường hoặc một mặt: trang 6 
II. Khoảng cách liên quan đến hai điểm thay đổi thuộc một đường hoặc một mặt: trang 19 
III. Khoảng cách liên quan đến hai điểm thay đổi thuộc hai đường hoặc hai mặt: trang 30 
IV. Lập phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách... trang 40 
V. Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách....trang 46 
D. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM.. trang 50 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.trang 51