Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán về giới hạn dãy số và đạo hàm

 của giới 
hạn dãy số. Điều này gợi cho ta liên hệ đến định nghĩa giới hạn của dãy số, kết 
hợp với giả thiết dãy số nu nguyên đã gợi ý cho chúng ta đưa bài toán về 
chứng minh lim 0nn u . Từ nhận xét trên ta có lời giải bài toán. 
Lời giải. Với mỗi k ta đặt min :k nx u n k và max :k ny u n k . 
Khi đó, ta xác định được các dãy số ,n nx y thỏa mãn điều kiện nx là dãy số 
tăng , ny là dãy số giảm và n nx y n  . Mặt khác, do giả thiết của dãy số 
 nu nên cả hai dãy số nx và ny đều bị chặn, suy ra tồn tại lim nn x x và 
lim nn y y . Lại có ,n nx y  nên tồn tại 0n để nx x , ny y 0n n . 
Mà min :k nx u n k và max :k ny u n k nên tồn tại 0n n để 2nu y 
và 1,n nu u x , suy ra 8 10 9x y . (4.1.1) 
và cũng tồn tại 0m n để 2mu x và 1,m mu u y ,suy ra 10 8 0x y . (4.1.2) 
Từ (4.1.1), (4.1.2) và ,x y ta có 0x y hay lim lim 0n nn nx y , suy ra 
lim 0nn u . Do đó tồn tại 0n để 00 :nu n n n  . 
 
Bài toán 4.2 Cho dãy số nu thỏa mãn: 
1
*
1
1
1
2n n n
u
u u n
u 
  
39 
Chứng minh rằng  819 81x ( kí hiệu  x là phần nguyên của số thực x ). 
Lời giải. Trước hết ta chứng minh *1
6n n
n u n n H n  ,với 
1
1n
n
k
H
k 
  . 
Thật vậy, do 1
1
2n n n
u u
u 
 nên 2 21 2
1 1
4n n n
u u
u 
 và 21 1u . 
+) Với 1n ta có 21 1u , giả sử sử đúng đến n , nghĩa là 
2
nu n , suy ra: 
2
1 2
11 1
4n n
u n n
u 
 . 
Theo nguyên lý quy nạp ta có 2 *nu n n  hay *nnu n n  . (4.2.1) 
Lại có 
1
2 2 2
1 12 2
11
1 11 1
4 4
n
n n
kn k
u u u n
u u
 
1
2
1
1 1
4
n
n
k
u n
k
 
2
2 1 1
4 6n n n
u n H n H
n
*1
6n n
nu n H n  . (4.2.2) 
Từ (4.2.1) và (4.2.2) ta có: *1
6n n
n n u n H n  . 
Tiếp theo ta sẽ chứng minh 81 6H . Xét hàm số : 
 1ln 1 ln
1
f x x x
x
 0;x ; 
Do 2
1 1 0 0;
1 1
f x x
x x x
  
 nên hàm số f x nghịch biến 
trên khoảng 0; 0 0;f x x  hay ta có: 
 1 ln 1 ln 0;
1
x x x
x
  
1 1
1 1
1 ln 1 ln ln
1
n n
k k
k k n
k
   81 1 ln81 6H . 
Khi đó, ta có 81 81
181 81 81 82
6
u H , suy ra  819 81x  
40 
Bài toán 4.3 Cho dãy số ( )na xác định bởi:
1
2
*
1
2020 ,
2019
2 ,n n n
n
a
na a a n
a 
. 
a) Chứng minh rằng dãy số ( )nb xác định bởi 
*
1
1n
n
i i
b n
a 
   có giới 
hạn hữu hạn khi .n 
b) Cho dãy số ( )nc xác định bởi 
*
1
n
n
i i
ic n
a 
  
 . Chứng minh rằng 
mỗi số nguyên dương đều có xuất hiện trong dãy ( )nc , ở đây, kí hiệu [ ]x là phần 
nguyên của số thực x 
Lời giải. a) Ta có 
2
2 2
1 ( 1) 2( ) 1n n n
n
na n a n a n
a 
 2 1 2( ) nn
n n
aa n
a a n
Mặt khác, từ 21 1a bằng quy nạp ta chứng minh được 
2 *
na n n  , suy ra 
1 2 1n n na a a . Điều này kéo theo 1 1n na a . 
Lại do 21
2020 2
2019
a nên cũng bằng quy nạp, ta có: 2 *( 1)na n n  . 
Điều này chứng tỏ 2 2 *( 1)nn a n n  , suy ra 
*
2 2 2
1 1 1 1 1 1 11 2 2
1 2 1 2 2 3 ( 1)n
b n
n n n n
  
  
  . 
Do đó ta có dãy số ( )nb bị chặn trên, mà dãy số ( )nb tăng thực sự nên nó có giới 
hạn hữu hạn. 
b) Vì 2 2 *( 1)nn a n n  nên *2
1 1
( 1) 4n
n n n
n a n n
  
 . Do đó : 
*
1 2 3
1 2 3 1 1 1 1 1
4 1 2 3n n
ns n
a a a a n
  
  . 
41 
Mà 1 0xe x x  nên ln( 1), 0x x x  . Thay x bởi 
1
i
 , ta được 
1 1ln ln( 1) lni i i
i i
 
1 1
1 ln( 1) ln ln( 1)
n n
i i
i i n
i 
   khi 
n , suy ra ns khi n . Do đó, với mỗi số nguyên dương m 
luôn tồn tại n để ns m . Gọi 0n là chỉ số đầu tiên để 0s m , suy ra 0 1ns m . 
Do đó 
0
1ns m vì nếu ngược lại thì 0 0
0
0
1 1n n
n
n s s
u 
 , mâu thuẫn. Điều này 
cho thấy rằng 
0 0
[ ]n nc s m hay mỗi số nguyên dương đều có xuất hiện trong 
dãy ( )nc .  
Bài toán 4.4 Với mỗi số thực 1 ;1
2
x 
, các số nguyên dương n sao cho  nx là số 
chẵn được viết thành một dãy số tăng 1 2 3 ...u u u . 
a) Có tồn tại số nguyên dương m để , 1, 2m m m đều không thuộc dãy số 
( )nu hay không? 
b) Dãy số ( )nv xác định bởi: 
*
2 2
1 1
1n
n
k k k
v n
u u 
  
  . Chứng minh rằng 
lim nn v . 
Lời giải. a) Câu trả lời là không tồn tại. Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại số nguyên 
dương m để      , ( 1) , ( 2)mx m x m x đều là các số lẻ. Khi đó ta xét hai trường 
hợp: 
-Nếu  1
2
mx thì 1 2mx x , suy ra  1mx x . Mặt khác, do 
       ( 1)m x mx mx x mx mx x nên ta có  ( 1)m x là số chẵn, 
mâu thuẫn. 
-Nếu  1
2
mx , để có    ( 1) ,m x mx đều là lẻ ta phải có    ( 1)m x mx , 
nghĩa là  0mx x , suy ra 
         ( 2) ( 1) ( 1)m x m x mx x m x mx . 
42 
Mà        ( 2) 2 2m x mx mx x mx mx x nên  2 0mx x , 
điều này không thể xảy ra vì 1 ;1
2
x 
. Do đó không tồn tại số *m thỏa mãn 
, 1, 2m m m đều không thuộc dãy số ( )nu . 
b) Với ba số nguyên dương bất kỳ liên tiếp, luôn có ít nhất một số thuộc dãy số 
( )nu nên 
*
1 3n nu u n  . Lại có   0x là số chẵn nên 1 1u , suy ra 
*1 3( 1) 3 2nu n n n  . Do đó ta có: 
 2 2 *1 1 1 3 3( 1) 2 3 2 18n n n n n nu u u u u u n n n n  . 
Suy ra *2 2
1 11
1 1 1
18
n n
n
k kk k
v n
u u k 
  
  . 
Mà 
1
1lim
n
n k k 
 nên ta có lim nn v . 
  
Bài toán 4.5 Cho ,a b là hai số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Gọi nu là số 
cách viết các số nguyên dương n ab thành dạng n au bv với ,u v . Chứng 
minh rằng: 1lim n
n
u
n ab 
 . 
Lời giải. Với mỗi số nguyên dương n , luôn tồn tại duy nhất số nguyên dương k sao 
cho ( 1) ( 1)nkab n k ab kb k b
a
 . 
Mặt khác, để có cặp ( ; )u v thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phải tồn tại u sao cho: 
( 1)
(mod ) (mod )
au n u k b
au n b au n b
   
. (4.5.1) 
Số lượng các số u thỏa mãn (4.5.1) cũng chính là giá trị nu . 
Với mỗi số nguyên dương m , do , ( 1) ,( 2) ,..., ( 1)ma m a m a m b a 
là hệ thặng dư đầy đủ modulo b nên nó chưa đúng một số đồng dư với n theo 
modulob . Kết hợp với ( 1) 1u k b ta có 0 ( 1) 1ua k b a . Ta tiến hành 
chia các bội của a trong nửa khoảng 0; ( 1) 1k b a thành 1k các nửa 
43 
khoảng là 0; 1b a , 1 ;(2 1) ,..., ; ( 1) 1b a b a kba k b a . Do trong 
mỗi nửa khoảng, có đúng một số đồng dư với n theo modulob nên trong k nửa 
khoảng cuối, sẽ có đúng k số ua , nửa khoảng đầu chưa chắc đã có nên 
*11 nn
k u kk u k n
n n n
  . Kết hợp với ( 1)kab n k ab ta có: 
*1 1 1 1 1nk u k n
ab n n n n ab n
  
Cho n ta suy ra được 1lim n
n
u
n ab 
 .  
Bài toán 4.6 Cho dãy số nu có công thức 
*3 1nu n n n  . Chứng 
minh rằng với mỗi số nguyên dương d tồn tại số nguyên dương m để mm du . 
(P55-Tạp chí Pi-Tập 1 số 8 tháng 8 năm 2017) 
Lời giải. Với mỗi số nguyên dương d tùy ý, đặt *n nv n du n  , suy ra dãy 
số ( )nv là dãy số nguyên. 
Do 
3 1
lim lim 0n
n n
n nu
n n 
 nên lim 1 lim 1n n
n n
v ud
n n 
 . Suy ra, tồn 
tại *k sao cho 0k kv k du . Như thế, tập hợp * : 0nS n v khác 
rỗng nên trong S tồn tại số nguyên dương m nhỏ nhất để 0mv . Giả sử 0mv , do 
mv là số nguyên nên 1mv . Mặt khác, do 1 1 3 0v d nên 1m , suy ra 
 1 11 1m m m mv v d u u , kéo theo 1 0mv , điều này mâu thuẫn với tính nhỏ 
nhất của m trong S . Như vậy 0mv hay mm du . 
Bài tập 4.1 Cho dãy số nguyên nu thỏa mãn :
1 2
2
*1
1
1, 7
1 1
2 2
n
n
n
u u
uu n
u
  
. 
Chứng minh rằng 2018 7(mod9)u  . 
(P159-Tạp chí Pi, Tập 2, số 6 tháng 6 năm 2018) 
Bài tập 4.2 Tìm tất cả các dãy số *nu  bị chặn thỏa mãn điều kiện: 
44 
1 2
*1
2
1
,
gcd ,
n n
n
n n
u u
u uu n
u u
  
. ( All Rusian M.O 1999) 
45 
C. KẾT LUẬN 
Qua bài viết sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển năng lực toán học cho học 
sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán về giới 
hạn dãy số và đạo hàm” chúng tôi đã giải quyết được những vấn đề sau: 
1. Bồi dưỡng cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề , giúp 
học sinh tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những 
tri thức được sắp đặt sẵn, chủ động học tập phát hiện kiến thức mới, vận dụng 
sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình huống cụ thể trong học tập cũng như 
trong thực tiễn. 
 2. Rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa và các tài liệu 
học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát 
hiện kiến thức mới. Định hướng cho học sinh cách tư duy như phân tích, tổng 
hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa,...để dần hình thành và phát triển 
năng lực tư duy sáng tạo cho các em. Đáp ứng yêu cầu, mục tiêu đáp ứng các 
yêu cầu trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa 
XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW) nói chung, chương trình giáo dục phổ thông 
môn Toán năm 2018 (được ban hành theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT) 
nói riêng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu 
công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã 
hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. 
3. Tạo cho các em nền tảng kiến thức vững vàng và thống nhất, suy nghĩ 
và tư duy lôgic, sự tự tin khi gặp các vấn đề khó, góp phần nâng cao hiệu quả 
học tập và giảng dạy, đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy môn 
Toán từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của 
người học trong giai đoạn hiện nay. 
4. Rèn luyện cho các em học sinh THPT có năng khiếu Toán , có tham gia 
vào các kỳ thi học sinh Toán các cấp như học sinh giỏi Tỉnh, học sinh giỏi quốc 
gia môn Toán lớp 12 (VMO), chọn đội tuyển dự thi Toán quốc tế (Viet Nam 
TST), học sinh giỏi Toán quốc tế (IMO) hàng năm biết cách phát hiện và giải 
quyết vấn đề nảy sinh trong quá trình học tập. 
Nghệ An, ngày 20 tháng 4 năm 2023 
Đậu Hoàng Hưng 
46 
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Đảng Cộng sản Việt Nam: Nghị quyết 29-NQ/TW của Ban chấp hành Trung 
ương Đảng khóa XI. 
[2] Quốc hội Nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam: Nghị quyết số 88-
NQ/QH13. 
[3] Ủy ban Nhân dân tỉnh Nghệ An: Kế hoạch số 306/KH-UBND ngày 23 tháng 
5 năm 2019 về triển khai thí điểm xây dựng các trường trung học trọng điểm 
chất lượng cao trên địa bàn tỉnh Nghệ An giai đoạn 2019-2023. 
[4] Luật Giáo dục 2019 và các văn bản hướng dẫn thi hành-Nhà xuất bản chính 
trị quốc gia. 
 [5] Đ.H.Hưng (2015), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh có năng khiếu 
Toán thông qua việc tổng quát hóa, đặc biệt hóa một số bài toán về tổng lũy 
thừa., Sáng kiến kinh nghiệm cấp Tỉnh(Loại A), Giải Khuyến khích Sáng tạo 
KH-KT tỉnh Nghệ An 2016. 
[6] Đ.H.Hưng (2016), Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh chuyên Toán 
thông qua việc ứng dụng một số tính chất Giải tích vào các bài toán Số học và 
Đại số, Sáng kiến kinh nghiệm cấp Tỉnh (Loại A). 
 [7] Đ.Đ.Thái, Đ.T.Đạt, P.X.Chung, N.S.Hà, P.S.Nam, V.Đ.Phượng, N.T.K.Sơn, 
V.P.Thúy, T.Q.Vinh (2018), Dạy học phát triển năng lực môn Toán, NXB Đại 
học sư phạm. 
[8]. L.X.Sơn, V.T.H.Thanh (2019), Một số trao đổi về dạy học môn Toán THPT 
theo định hướng phát triển năng lực, Báo cáo hội thỏa khoa học Nghiên cứu và 
dạy học Toán đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay-Đại học Vinh. 
[9] Tuyển tập các đề thi HSGQG môn Toán ( Từ năm 2005 đến năm 2023). 
[10] Tạp chí Pi (Số ra hàng kỳ) 
PHỤ LỤC: MẪU PHIẾU KHẢO SÁT GIÁO VIÊN BỒI DƯỠNG VÀ 
HỌC SINH ĐỘI DỰ TUYỂN, ĐỘI TUYỂN HÀNG NĂM 
Để kiểm tra tính hiệu quả thiết thực của đề tài; chúng tôi đã tiến hành 
khảo sát, điều tra bằng phiếu điều tra theo Mẫu 1.1 đối với học sinh đội dự 
tuyển, đội tuyển và Mẫu 2.1 đối với giáo viên Toán tham gia bồi dưỡng HSG 
hàng năm của một số đơn vị trên địa bàn thành phố Vinh như sau: 
PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH ( Mẫu 1.1) 
TT Câu hỏi Phương án trả lời Ghi chú 
1. Mức độ hứng thú của em sau khi học 
xong các chuyên đề này? 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
2. Mức độ nhận dạng của em khi gặp 
những bài toán về giới hạn dãy số? 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
3. Mức độ nhận dạng của em khi gặp 
những bài toán về ứng dụng đạo hàm? 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
4. Năng lực khai thác các công cụ, phương 
tiện toán học vào giải quyết các bài toán 
cụ thể. 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
5. Mức độ phát hiện vấn đề và giải quyết 
vấn đề các em sau khi học xong chuyên 
đề này? 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
6. Năng lực bao quát, xử lý yêu cầu bài 
toán sau khi học chuyên đề này? 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
Sau khi thu thập, tổng hợp, xử lý số liệu, chúng tôi có kết quả khảo sát 
thông qua bảng sau: 
Bảng 1.2: Tự đánh giá năng lực học sinh sau khi được định hướng tìm lời 
giải của chuyên đề 
Tham số Tổng Mức độ đánh giá 
Rất tốt Tốt Khá Trung bình 
Số lượng 108 05 63 36 4 
Tỷ lệ % 100 4,6 58,9 33,3 3,2 
Trung bình 3,65 
Phương sai 0,00 
Kết quả xử lý số liệu thu được từ Bảng 1.2 cho thấy năng lực Toán học của 
các em học sinh sau khi được hướng dẫn giá trị trung bình là 3,65 và sự khác nhau 
ở các mức độ đánh giá có ý nghĩa thống kê với phương sai < 0,05. Kết quả này 
phản ánh rằng, năng lực Toán học của các em ở mức tốt. Tuy nhiên, chiếm tỷ lệ 
không nhỏ ở mức khá là 33,3%. Từ thực trạng này cho thấy, phương án này sẽ 
hiệu quả hơn khi áp dụng cho các học sinh tham gia đội tuyển chính thức và cần 
điều chỉnh hệ thống ví dụ để mở rộng đối tượng tham gia học tập hơn. 
PHIẾU KHẢO SÁT GIÁO VIÊN THAM GIA THỰC NGHIỆM ( Mẫu 2.1) 
TT Câu hỏi Phương án trả lời Ghi chú 
1. Mục tiêu, nội dung chuyên đề A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
E. Yếu 
2. Hình thức, phương pháp tổ chức triển 
khai 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
E. Yếu 
3. Năng lực khai thác các công cụ, phương 
tiện toán học vào giải quyết các bài toán 
cụ thể. 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
E. Yếu 
4. Mức độ tư duy sáng tạo của các em sau 
khi học xong chuyên đề này? 
A. Rất tốt 
B. Tốt 
C. Khá 
D. Trung bình 
E. Yếu 
Sau khi thu thập, tổng hợp, xử lý số liệu, chúng tôi có kết quả khảo sát 
thông qua bảng sau: 
Bảng 2.2 : Thực trạng kết quả hoạt động quản lý, dạy học trực tuyến cho 
học sinh nhà trường. 
TT Nội dung Tham số Mức độ đánh giá Trung 
bình 
cộng 
Độ lệch 
chuẩn Rất 
tốt 
Tốt Khá TB Yếu 
1. Mục tiêu, nội 
dung chuyên 
đề 
Số lượng 04 75 23 06 0 3,71 0,633 
Tỷ lệ % 3,7 69,4 21 5,9 0 
2. Hình thức, 
phương pháp 
tổ chức triển 
Số lượng 03 74 25 06 0 3,68 0,625 
Tỷ lệ % 2,7 68,9 22,4 5,9 0 
khai 
3. Năng lực khai 
thác các công 
cụ, phương tiện 
toán học vào 
giải quyết các 
bài toán cụ thể. 
Số lượng 02 51 48 7 0 3,44 0,635 
Tỷ lệ % 1,8 47,5 44,7 6,0 0 
4. Mức độ tư duy 
sáng tạo của các 
em sau khi học 
xong chuyên đề 
này? 
Số lượng 07 51 41 9 0 3,52 0,738 
Tỷ lệ % 6,4 47,0 38,4 8,2 0 
Từ Bảng 2.2 ta thấy, ý kiến đánh giá về kế quả hoạt động của giáo viên 
với các nội dung đều ở mức Tốt với điểm trung bình cộng từ 3.44 đến 3.71. 
Trong đó được đánh giá cao hơn cả là mục tiêu và nội dung dạy học trực tuyến 
với giá trị trung bình cao nhất 3.71 và đánh giá thấp nhất là năng lực khai thác 
các công cụ, phương tiện toán học vào giải quyết các bài toán cụ thể. Đây cũng 
là khó khăn chung đối với giáo viên tham gia bồi dưỡng HSG hàng năm.