Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học Hình học ở trường THPT

tích, xét khi M là trực tâm tam giác, ta có: 
Bài toán 3.7. Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm tam giác. Chứng minh: 
 tan . tan . tan . 0A HA B HB C HC+ + = 
Từ bài toán 3.7, hướng dẫn học sinh biến đổi tan , tan , tanA B C kết hợp sử 
dụng định lí sin, ta có: 
Bài toán 3.8. Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm tam giác. Chứng minh: 
 . . . 0
cos cos cos
a b c
HA HB HC
A B C
+ + = 
Bây giờ ta xét M trùng với trọng tâm G của tam giác. Gợi ý cho học sinh: 
1
3
ahGG = Các diện tích tam giác trong hệ thức (1) đều bằng 
3
ABCS . Từ đó dẫn đến 
biểu thức quen thuộc về trọng tâm G. 
55 
Với hướng biến đổi theo các công thức về tam giác, các công thức về lượng 
giác, ta sẽ có nhiều bài toán khác nữa. 
Ngoài ra, bài toán 1 còn khái quát lên trong không gian cho tứ diện và gợi ý 
cho học sinh tìm tòi các hệ thức khi điểm M nằm ngoài tam giác. 
Ví dụ 2: Chủ đề hệ thức lượng trong tam giác 
Bài toán 1. (Định lí Stewart) 
Cho tam giác ABC. Gọi a , b , c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB. D 
là một điểm trên cạnh BC. Đặt AD d= ; BD m= ; CD n= . Khi đó ta có: 
 2 2 2ad mb nc amn= + − 
Hướng dẫn: Sử dụng định lí Cosin cho các tam giác ADC và ADB. 
Đặc biệt hoá điểm D thành trung điểm của BC, ta có định lí về đường trung 
tuyến trong tam giác. 
Bài toán 1.1. Trong tam giác ABC, gọi am là đường trung tuyến thuộc cạnh 
a . Ta có: 
2 2 2
2 2 2
4
a
b c a
m
+ −
= 
Đặc biệt hoá bài toán 1.1 cho tam giác vuông, ta có: 
Bài toán 1.2. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc 
cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 
Đặc biệt hoá bài toán 1.2 cho tam giác đều, suy ra: 
Bài toán 1.3. Chứng minh rằng, trong tam giác đều cạnh a, ta có: 
3
2
a
h = 
Từ bài toán 1, đặc biệt hoá đường AD là đường phân giác, hướng dẫn học 
sinh sử dụng tính chất trong biến đổi hệ thức (1), ta có: 
Bài toán 1.4. Cho tam giác ABC có aAD l= là đường phân giác trong của 
góc A. Chứng minh: 
2 2
2
2
( )
( )
a
bc b c a
l
b c
 + − =
+
Lại yêu cầu học sinh đặc biệt hoá bài toán 1.4 cho tam giác ABC vuông tại 
A. Ta có: 
Bài toán 1.5. Cho tam giác ABC vuông tại A. al là độ dài đường phân giác 
trong của góc A. Chứng minh: 
2
a
bc
l
b c
=
+
56 
Bây giờ, lại tổng quát bài toán 1.5 với AD không phải là phân giác mà là 
một đường thẳng tạo với cạnh AB một góc . Ta có bài toán: 
Bài toán 1.6. Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh góc vuông là b, c. 
M là một điểm trên BC sao cho góc MAB  = . Chứng minh: 
.cos .sin
bc
AM
b c 
=
+
. 
 Ví dụ 3: Quan hệ vuông góc trong không gian 
 Bài toán 1. (SGK Hình học lớp 11) 
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh: 
a. H là trực tâm tam giác ABC 
 b. 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + + 
 Đây là bài toán cơ bản trong SGK Hình học lớp 11. Sau khi học sinh giải 
xong bài toán này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát hiện các kiến thức 
trong không gian tương tự như trong hình học phẳng. Qua đó, làm cho các em yêu 
thích môn toán, đồng thời, thấy được cái hay, cái đẹp của toán học. 
 Các kiến thức đã có trong hình học phẳng: Cho tam giác ABC vuông tại A. 
Gọi H là chân đường cao của tam giác kẻ từ A. 
Ta có: 
 1. 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + 
 2. 2 'b ab= ; 2 'c ac= 
 3. 2 2 2a b c= + (Định lý Pitago) 
 Tương tự bài toán trong hình học phẳng, ta có bài toán trong không gian: 
 Bài toán 1.1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H 
là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh: 
a. H là trực tâm tam giác ABC 
 b. 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + + 
 c. 2 .OAB SAB HABS S S= ; 
2 .OBC ABC HBCS S S= ; 
2 .OAC ABC HACS S S= 
 d. 2 2 2 2ABC OAB OAC OBCS S S S= + + 
57 
 Bài toán 2. (SGK Hình học lớp 11) 
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và 
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các 
cạnh AC, CB, BC’, C’A. Chứng minh rằng: 
 a. 'AB CC⊥ 
 b. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật 
 Hướng dẫn: Ta có: ' 'CC AC AC= − 
 . ' .( ' ) . ' .AB CC AB AC AC AB AC AB AC= − = − 
 . '.cos( , ') . .cos( , ) 0AB AC AB AC AB AC AB AC= − = 'AB CC⊥ 
 Đây là một bài tập trong SGK Hình học lớp 11 (Trang 98). Với bài toán 
này, chúng ta lại khai thác, hướng dẫn để học sinh thấy được sự tương tự trong 
cách giải của bài toán này với các bài toán khác trong SGK. 
 Bài toán 2.1. (Bài tập số 5 - SGK Hình học 11 - Trang 98) Cho hình chóp 
tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có ASB BSC CSA = = . Chứng minh: 
SA BC⊥ , SB AC⊥ , SC AB⊥ 
 Hướng dẫn: Để chứng minh SA BC⊥ ta chứng minh . 0SA BC = 
 Sử dụng công thức BC SC SB= − , định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ và 
các giả thiết của bài toán ta có đpcm. 
 Bài toán 2.2. (Bài tập số 8 - SGK Hình học 11 - Trang 98) Cho tứ diện 
ABCD có AB = AC = AD và 060BAC BAD = = . Chứng minh rằng: 
58 
 a. AB CD⊥ 
 b. Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN AB⊥ và MN CD⊥ 
 Hướng dẫn: Để chứng minh AB CD⊥ ta chứng minh . 0AB CD = 
 Sử dụng công thức CD AD AC= − , định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ 
và các giả thiết của bài toán ta có đpcm. 
Biện pháp 6. Hướng dẫn học sinh đánh giá lời giải bài toán để phát hiện 
sai lầm và sửa chữa sai lầm cho học sinh. 
1. Cơ sở xây dựng biện pháp 
Cho học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm là một cách tốt nhất để học sinh 
có thể tự kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu kiến thức của mình. Nội dung hình 
học chứa rất nhiều công thức quy tắc dễ gây nhầm lẫn cho học sinh trong quá trình 
học tập. Do đó việc giúp học sinh nhận biết và sửa chữa sai lầm là điều rất quan 
trọng trong việc dạy học nội dung này. Điều này giúp cho học sinh hoạt động độc 
lập và linh hoạt trong suy nghĩ, giúp học sinh khắc sâu hơn nội dung bài học và 
hạn chế được những sai lầm đáng tiếc. 
2. Nội dung và thực hiện biện pháp 
- Việc sửa chữa sai lầm cho học sinh là một hoạt động quan trọng, G. Pôlya 
cho rằng: “con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”. 
A.A.Stoliar phát biểu: “không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai 
lầm của học sinh”, còn J.A. Komenxkee thì cho rằng: “bất kì một sai lầm nào cũng 
có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó 
và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm. 
- Khi học sinh đứng trước yêu cầu tìm sai lầm trong một lời giải do thầy đưa 
ra thì tức là tình huống bao hàm một vấn đề, vì nói chung không có thuật giải để 
phát hiện sai lầm. Tình huống này gợi nhu cầu phát hiện và giải quyết vấn đề cho 
học sinh vì bản thân học sinh cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể 
chấp nhận một lời giải sai. Việc cho học sinh tìm ra chỗ sai của bài toán cũng là 
cách giúp học sinh huy động những kiến thức mà mình đã được học, những kĩ 
năng sẵn có của bản thân mình để làm được điều này. 
- Sau khi phát hiện thấy một sai lầm khi giải một bài toán nào đó, học sinh 
đứng trước một nhiệm vụ nhận thức là tìm ra nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai 
lầm. 
Ta xét một số ví dụ sau đây: 
Bài 1. Nhận xét xem cách viết sau đây đúng hay sai ? Vì sao ? 
 ( . ) ( . ).a b c a b c= 
59 
Bài 2. Tam giác ABC có các cạnh là 5AB = cm; 3AC = cm; 060BAC = . 
Ta có: 0 2
15
. 5( ).3( ).cos60 ( )
2
AB AC cm cm cm= = 
 Cách trình bày như trên có đúng không ? Vì sao ? 
 Bài 3. Hãy đánh giá lời giải bài toán: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính 
.AB BC 
 Lời giải: 
2
0. . .cos( , ) . .cos60
2
a
AB BC a a AB BC a a= = = 
 Bài 4. Hãy đánh giá lập luận sau, giải thích ? 
Xét tam giác ABC có góc A tù. Khi đó ta có góc A > B + C (*). Theo định 
lý sin ta có sin của các góc trong tam giác tỉ lệ thuận với các cạnh đối diện: 
sin :sin :sin : :A B C a b c= . Theo (*) a b c + . Vậy trong tam giác tù, cạnh đối diện 
với góc tù lớn hơn tổng hai cạnh còn lại. 
Bài 5. Hãy đánh giá lời giải bài toán: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm 
M sao cho 2 .MA MB MC= 
 Lời giải: Gọi I là trung điểm của BC và O là trung điểm của AI. Ta có: 
 2 . ( )( ) ( )( )MA MB MC MI IB MI IC MI IB MI IB= = + + = + − 
 2 2 2MA MI IB = − 2 2 2MI MA IB − = 
 2( )( )MI MA MI MA IB + − = 22 .MO AI IB = 
2
.
4
BC
OM IA = 
 Gọi H là hình chiếu của M lên IA, theo công thức hình chiếu và (1), ta có: 
2
. . 0
4
BC
OM IA OH IA= = 
2
.
4
BC
OH IA = 
2
2
4.
BC
OH a
IA
 = = 
 H cách O một khoảng bằng 2a . Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng 
vuông góc với AI và cách O một khoảng bằng 2a . 
Chúng ta có thể đưa ra nhiều lời giải cho cùng một bài toán mà các lời giải 
này, lời giải nào cũng cảm thấy “có lý”, các kết quả có thể như nhau để học sinh 
“khó” nhận ra sai lầm trong lời giải. Qua kinh nghiệm giảng dạy, chúng tôi thấy 
60 
rằng các em rất thú vị khi phát hiện ra điều sai lầm mà nếu kiến thức không vững, 
không sâu sắc thì vẫn cho là “có lý”. Chẳng hạn: 
 Bài 6. Cho hai điểm phân biệt O, A. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 
2
.OAOM OA= 
 Hãy đánh giá các lời giải sau: 
 Lời giải 1: Ta có 
2 22
2. . .cos( , )OAOM OA OA OM OA OM OA= = 
cos( , ) 1
OA OM
OA OM
= 
= 
 OA không đổi, O cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán 
kính OA. 
 Lời giải 2: Ta có:
2 22
2. . .cos( , )OAOM OA OA OM OA OM OA= = 
cos( , ) 1
OA OM
OA OM
= 
= 
( , ) 0
OA OM
OA OM
= 
= 
 M A  
 Vậy tập hợp điểm M là một điểm A 
 Lời giải 3: Ta có: 
2 2
. 0 .( ) 0OM OA OAOM OA OA OM OA= − = − = 
 Do 0 0OA OM OA OM OA M A − = =  
 Vậy tập hợp điểm M là một điểm A. 
 Lời giải 4: Ta có: 
2 2
. 0 .( ) 0OM OA OAOM OA OA OM OA= − = − = 
 . 0OA AM MA OA = ⊥ 
 O, A cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với OA tại A 
 Lời giải 5: Ta có: 
2 2
. 0 .( ) 0OM OA OAOM OA OA OM OA= − = − = 
 Do
2 2
0 0 2. . 0OA OM OA OM OA OM OA − = + − =
2 2
.
2
OM OA
OM OA
+
 = 
2 2
2 2 2
2
OM OA
OA OM OA
+
 = = 
 O cố định, OA không đổi. Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán 
kính OA. 
61 
CHƯƠNG IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 
1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm 
Việc tổ chức thực nghiệm sư phạm về phương pháp dạy học “phát triển năng 
lực phát hiện và giải quyết vấn đề” cho học sinh thông qua dạy học Hình học 
là nhằm các mục đích sau: 
- Thứ nhất, kiểm tra lại giả thiết khoa học về dạy học phát hiện và giải quyết 
vấn đề cho học sinh. 
- Thứ hai, kiểm tra lại tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm nhằm phát 
triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong việc dạy học Hình học cho học 
sinh. 
 - Thứ ba, kiểm tra chất lượng của học sinh trong việc phát triển năng lực. 
 - Thứ tư, giúp giáo viên nhận thức được tầm quan trọng của việc tổ chức 
dạy học theo định hướng phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học 
sinh. 
 2. Tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm 
 2.1. Tổ chức thực nghiệm 
- Thực nghiệm sư phạm được tiến hành ở lớp 11A2 và lớp 11A3 của trường 
THPT Diễn Châu 5, huyện Diễn Châu, tỉnh Nghệ An. Trong đó, lớp 11A2 là lớp 
thực nghiệm, lớp 11A3 là lớp đối chứng. Theo sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên ở 
trường thì hai lớp này là tương đương nhau. 
 - Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ năm học 2019 - 2020 đến năm 
học 2021 - 2022 
 - GV dạy lớp thực nghiệm: Nguyễn Thị Hương Giang 
 - GV dạy lớp đối chứng: Đinh Thị Thương 
 2.2. Nội dung thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành trong chương trình Hình học lớp 10, 
lớp 11. Phương pháp thực nghiệm là tổ chức dạy học theo hướng phát triển năng 
lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh. Sau khi dạy thực nghiệm tôi cũng 
đã tiến hành đối chiếu kết quả đánh giá học sinh tại các lớp này để xem xét hiệu 
quả của phương pháp dạy học này. 
 3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 
 3.1. Kết quả định tính 
 Thông qua các giờ dạy nội dung Hình học theo hướng phát triển năng lực phát 
hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh cho ta thấy: 
 - Việc áp dụng các biện pháp sư phạm cũng đã đem lại một kết quả nhất định. 
 - Trong quá trình học tập học sinh đã tích cực suy nghĩ, tham gia xây dựng bài, 
phát hiện và giải quyết vấn đề, tích cực tham gia phát biểu ý kiến làm cho các giờ 
học sôi nổi hơn. 
62 
 - Các em dần dần nắm được các kiến thức cơ bản của chương trình một cách 
vững chắc hơn. 
 - Thông qua các hoạt động học sinh cảm thấy thích thú hơn với việc học tập 
theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh bị cuốn hút vào các 
công việc học tập, tạo cho học sinh sự ham học, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, khơi 
dậy khả năng tìm ẩn của mỗi học sinh. Đồng thời, giúp cho học sinh cảm thấy 
thêm yêu môn toán hơn. 
 3.2. Kết quả định lượng 
 Kết quả đánh giá kết quả của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng được thống kê 
và tính toán thông qua bảng dưới đây: 
 - Lớp thực nghiệm: Lớp 11A2 
Lớp/Sĩ 
số 
Giỏi 
(8 – 10 điểm) 
Khá 
(6,5 – 7,9 đ) 
Trung bình 
(5 – 6,4 đ) 
Yếu 
(3,5 – 4,9 đ) 
Kém 
Dưới 3,5 đ 
SL % SL % SL % SL % SL % 
42 14 33,33 19 45,23 8 19,04 1 2,38 0 0 
 - Lớp đối chứng : Lớp 11A3 
Lớp/Sĩ 
số 
Giỏi 
(8 – 10 điểm) 
Khá 
(6,5 – 7,9 đ) 
Trung bình 
(5 – 6,4 đ) 
Yếu 
(3,5 – 4,9 đ) 
Kém 
Dưới 3,5 đ 
SL % SL % SL % SL % SL % 
43 7 16,27 12 27,90 18 41,86 6 13,95 0 0 
Nhận xét: Qua kết quả thống kê trên ta thấy bước đầu thực hiện việc dạy học 
theo hướng phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh là thành 
công. Các biện pháp sư phạm được đề ra là khả thi và hợp lí. 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
Đề tài nghiên cứu đã đạt được một số vấn đề sau: 
- Nghiên cứu về năng lực nói chung, năng lực toán học nói riêng và năng lực 
phát hiện và giải quyết vấn đề cũng như nghiên cứu về cơ sở lí luận của phương 
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. 
- Nêu lên thực trạng dạy học Hình học ở trường THPT. 
- Dựa vào các cơ sở lí luận và thực tiễn, đề tài đã đề ra các biện pháp 
nhằm phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh. 
Đề tài cũng cho chúng ta thấy được rằng trong quá trình dạy học, giáo viên 
nên áp dụng phương pháp dạy học nhằm phát triển năng lực phát hiện và giải quyết 
vấn đề cho học sinh để góp phần làm phong phú thêm các phương pháp dạy học 
63 
mà giáo viên áp dụng khi đứng lớp cũng như góp phần nâng cao chất lượng học 
tập của học sinh. 
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của 
các biện pháp sư phạm được đưa ra trong chương III của đề tài. 
 Đề tài có thể nghiên cứu theo hướng: 
- Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề bằng phương pháp dạy 
học kiến tạo. 
 - Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy các khái niệm 
ở trường THPT. 
 - Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học định lí ở 
trường THPT theo con đường có khâu suy đoán, con đường suy diễn. 
Đề tài chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận 
được sự góp ý chân tình của quý thầy cô và các bạn để đề tài tiếp tục được nghiên 
cứu và hoàn thiện hơn. 
Xin chân thành cảm ơn! 
 Diễn Châu, tháng 4 năm 2022 
 Người viết