Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay

t cắt của máng Parabol là: 
1,2 1
2 2 2
0 0
25 1 3 3 2
2 ( ). ( ). ( )
72 2 10 10 5
S x dx x dx m
Vậy thể tích của khối silic làm 90 mặt máng là: 3
2
90. .3 108
5
m 
48 
Chương 3: 
Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất trong đề tài 
3.1. Mục đích khảo sát 
Thông qua việc giảng dạy của một số GV Toán nhiều kinh nghiệm tại các trường 
THPT để có thể đánh giá một cách thiết thực và khách quan về sự cấp thiết và tính 
khả thi của những giải pháp trong đề tài đưa ra. 
3.2. Nội dung và phương pháp khảo sát 
3.2.1. Nội dung khảo sát 
Nội dung khảo sát tập trung vào 02 vấn đề chính sau: 
 Các giải pháp được đề xuất có thực sự cấp thiết đối với vấn đề nghiên cứu 
hiện nay không? 
 Các giải pháp được đề xuất có thực sự khả thi đối với vấn đề nghiên cứu 
hiện nay không? 
 Theo tinh thần của nội dung trên, chúng tôi xây dựng phiếu điều tra gồm 2 câu 
hỏi ( xem phụ lục 3), phân tích bộ câu hỏi của phiếu điều tra như sau: 
 Câu 1: Nhằm khảo sát về tính cấp thiết của các giải pháp trong đề tài đối với 
thực trạng hiện nay mà đề tài đưa ra. 
 Câu 2: Nhằm khảo sát về tính khả thi của các giải pháp trong đề tài đối với thực 
trạng hiện nay mà đề tài đưa ra. 
3.2.2 Phương pháp khảo sát và thang đánh giá 
Phương pháp được sử dụng để khảo sát là trao đổi bằng bảng biểu mẫu của google 
form; với thang đánh giá 04 mức như sau: 
- Rất cấp thiết, rất khả thi: 4 điểm 
- Cấp thiết, khả thi: 3,5 điểm 
- Ít cấp thiết, ít khả thi: 2 điểm 
- Không cấp thiết, không khả thi: 1 điểm 
Sau đó dùng Microsoft Excel để tính tổng điểm của các mức và xếp thứ hạng mỗi 
biện pháp. 
3.3. Đối tượng khảo sát 
Nhằm khẳng định tính cấp thiết và khả thi của các giải pháp đề xuất trên, chúng 
tôi đã thực hiện lấy phiếu trưng cầu ý kiến về các giải pháp của đề tài với các đối 
tượng là học sinh lớp 12 , những giáo viên giảng dạy bộ môn Toán THPT trong 
khu vực huyện Tân kỳ và lân cận. 
49 
 Tổng hợp các đối tượng được khảo sát 
TT Đối tượng được khảo sát Số 
lượng 
1 GV trường THPT Lê Lợi 13 
 2 GV trường THPT Tân kỳ 6/16 
3 GV trường THPT Tân kỳ 3 5/9 
4 GV trường THPT Khác 6 
5 HS 12 trường THPT Lê Lợi 32 
3.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề 
xuất 
3.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
 Kết quả đánh giá tính cấp thiết của các giải pháp 
Giải 
pháp 
Mức độ cấp thiết 
Tổng điểm 
Xếp 
thứ 
 Rất 
cấp 
thiết 
Cấp 
thiết 
 Ít 
cấp 
thiết 
Không 
cấp 
thiết 
1 151 128 2 1 282(TB3,62) 3 
2 140 140 5 1 286(TB3,66) 2 
3 144 145 2 0 291(TB3,73) 1 
4 116 102 6 1 225(TB3,15) 4 
3.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
Kết quả đánh giá tính khả thi của các giải pháp 
Giải 
pháp 
Mức độ khả thi 
Tổng điểm 
Xếp 
thứ 
 Rất 
khả 
thi 
Khả 
thi 
Ít khả 
thi 
Không 
khả thi 
1 132 147 4 1 284(TB3,64) 1 
2 136 140 4 1 281(TB3,60) 2 
3 112 161 2 0 275(TB3,52) 3 
4 120 105 2 1 228(TB3,25) 4 
50 
 Minh chứng khảo sát trên 
QIImNBOC9rOA/edit#responses 
Kết quả khảo sát tính cấp thiết của các giải pháp 
Kết quả khảo sát tính khả thi của các giải pháp 
51 
Qua kết quả khảo nghiệm ta thấy các biện pháp nghiên cứu đề xuất đều 
cần thiết và có khả năng thực hiện được. Tuy nhiên, nếu xếp theo thứ tự tổng 
điểm từ cao đến thấp, ta có thể rút ra những nhận xét sau: 
Về mức độ cần thiết: “Phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán thực tế 
về khối cầu tròn xoay” là cần thiết nhất . 
Về tính khả thi: “Phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán thực tế về 
khối nón tròn xoay”. 
Các biện pháp nghiên cứu còn lại cũng đều cần thiết và có khả năng thực 
hiện được trong giáo dục phổ thông như hiện nay. 
Các biện pháp nêu trên tồn tại trong mối quan hệ biện chứng với nhau, có 
tác động chi phối, hỗ trợ lẫn nhau trong một hệ thống. Vì vậy có thực hiện đồng 
bộ các biện pháp thì mới có thể phát triển được năng lực toán học cho học sinh.
52 
Chương 4 
Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu 
 4.1. Mục đích thực nghiệm. 
 Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. 
4.2. Nội dung thực nghiệm 
 Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm. 
4.3. Tổ chức thực nghiệm 
4.3.1. Địa điểm và đối tượng thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Lê Lợi, huyện Tân 
kỳ, tỉnh Nghệ An. 
 + Lớp thực nghiệm: 12A1, 12A2 sĩ số 40 học sinh (năm học 2022 - 2023). 
 + Lớp đối chứng: 12A5 sĩ số 39 học sinh (năm học 2022 - 2023). 
 Tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán tương ứng 
của các lớp12A2, 12A5 là tương đương nhau. Đối với 12A1 khá hơn nhưng 
không đáng kể. 
 Trên cơ sở đó, tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại lớp 12A1, 12A2 và lấy 
12A5 làm lớp đối chứng. 
4.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm 
 Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 05/10/2022 đến 15/04/2023. Phần lớn 
số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các tiết luyện tập, tự chọn, ôn thi 
THPT quốc gia. 
4.3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện 
 + Công tác chuẩn bị: 
 - Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm 
 - Soạn bài giảng dạy, đánh giá theo nội dung của sáng kiến. 
 + Tổ chức thực hiện: 
 * Ở lớp dạy thực nghiệm: 
 - Dạy theo nội dung sáng kiến trong các giờ luyện tập, ôn thi THPT quốc gia. 
 - Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có phát huy được tính 
tích cực, tự giác và có phát triển được tư duy sáng tạo hay không. 
 - Tiến hành bài kiểm tra (90 phút) sau khi thực nghiệm. 
 - Cho các em giải các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay trong các đề thi thử. 
53 
 * Ở lớp đối chứng: 
 - Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng 
được giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong SKKN nhưng không 
theo hướng đi của sáng kiến. 
 - Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm. 
4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 
 Thực tế cho thấy, nhìn chung có khá nhiều em học sinh học tập bị động, máy 
móc, thiếu tính linh hoạt và sáng tạo, không có nhiều tìm tòi để sáng tạo ra bài 
toán khác, học tập không thật sự tích cực. 
 Nhưng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực 
hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Đa số các học sinh khá – giỏi 
môn Toán rất hứng thú trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. Các em 
không chỉ nắm được cốt lõi cách giải các bài toán mà còn tự xây dựng được các bài 
toán mới. 
 Các giờ học đã phát huy được tính độc lập, phát triển tư duy sáng tạo cho các 
em học sinh. Còn ở lớp đối chứng, hoạt động học tập còn khiên cư ng, các em 
chủ yếu giải toán một cách thụ động, hoặc chỉ giải được bài toán mà không khai 
thác được bài toán đó, ít có khả năng sáng tạo ra cái mới. 
 Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán thực 
tiễn trong các kỳ thi THPT quốc gia, kỳ thi thử THPT quốc gia và các đề thi chọn 
học sinh giỏi 12 các tỉnh thành phố trên cả nước sau khi các em đã được giảng dạy 
theo nội dung của sáng kiến. 
 Tôi áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12A1, 12A2 và 12A5 ở năm học 
trước 2022-2023 đã thu được kết quả bài kiểm tra như sau: 
Khi chưa áp dụng sáng kiến: 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12A1 40 2 2.5% 20 50% 16 40% 2 5% 
12A2 40 0 0% 16 40% 20 50% 4 10% 
12A5 39 0 0% 15 38.5% 21 53.8% 3 7.7% 
54 
Năm học 2022-2023 áp dụng sáng kiến với lớp 12A1, 12A2 và kết quả bài kiểm 
tra 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12A1 40 8 20% 30 75% 2 4% 0 0% 
12A2 40 5 12.5% 25 38.5% 10 25% 0 0% 
 Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc rèn 
luyện tư duy phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông bài toán thực tiễn 
mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực nghiệm. 
55 
Phần III. KẾT LUẬN 
1. Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau: 
 - Học sinh biết sử dụng công cụ toán học để thể hiện vấn đề thực tiễn dưới dạng 
của ngôn ngữ toán học. Giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh 
từ thực tiễn bằng công cụ toán học. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác 
tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. 
Cách tiếp cận này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động 
cơ và niềm say mê toán học đặc biệt là trong chủ đề khối tròn xoay. Ngoài ra còn 
phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh. 
 - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính cần thiết , khả thi và 
hiệu quả của SKKN. 
2. Hướng phát triển của đề tài: 
Đề tài có thể phát triển lên theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa trong các 
bài toán về khối đa diện, phương trình và hệ phương trình,trong các đề thi học 
sinh giỏi các cấp trên cả nước và đề THPT Quốc Gia. 
3. Một số kinh nghiệm rút ra: 
3.1. Đối với giáo viên 
Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính 
tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn 
học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn 
và người học thấy được ý nghĩa của môn học. 
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri thức của 
học sinh, giúp các em học sinh có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt 
tri thức trong tình huống đa dạng. 
Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy 
học phù hợp. 
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đ các em để các em 
không cảm thấy áp lực trong học tập. 
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học 
sinh. 
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh. 
 Rèn luyện tư duy tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa cho học sinh, giúp 
các em có cách nhìn nhận vấn đề một cách bao quát, cụ thể, có tính hệ thống, và 
giải quyết vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic cao hơn... 
56 
3.2. Đối với học sinh 
 Việc học tập theo định hướng trên giúp học sinh: 
 - Không còn b ng , có cách tiếp cận và có kỹ năng tốt hơn trong việc giải các 
bài toán về đồ thị hàm số. 
 - Có được cách học, cách thức khai thác kiến thức mới từ những kiến thức đã 
biết, dù có thể rất cơ bản. 
 - Học tập tích cực, chủ động, linh hoạt hơn và đặc biệt đã rèn luyện, bồi dư ng 
tư duy sáng tạo cho các em, đây là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của 
việc dạy học môn toán ở trường phổ thông. 
4. Kiến nghị: 
Đề tài có thể đưa vào giảng dạy lồng ghép trong tiết tự chọn khi luyện tập về khối 
tròn xoay hay ứng dụng của nguyên hàm tích phân, phù hợp với đối tượng học sinh 
khá giỏi; góp phần nâng cao chất lượng kết quả bộ môn, đặc biệt là kết quả thi 
THPT Quốc gia sắp tới. 
 Tuy đã cố gắng nỗ lực, song do năng lực chuyên môn và thời gian thực hiện 
có hạn nên đề tài chỉ đạt được một số kết quả mang tính minh họa, các ví dụ còn 
chưa đa dạng. Bên cạnh đó, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, lỗi đánh máy, 
mong quý thầy cô, đồng nghiệp góp ý. 
Tôi xin chân thành cảm ơn 
 Tân kỳ, ngày 22 tháng 4 năm 2023 
 Người thực hiện: 
 Bùi Văn Đức 
 Nguyễn Thị Thúy Nga 
57 
PHỤ LỤC 
ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM (90 phút) 
I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
Bài 1. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Với 
chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất. 
 A. 
6
4
2
3
2
 r
 B. 
8
6
2
3
2
 r
 C. 
8
4
2
3
2
 r
 D. 
6
6
2
3
2
 r
Bài 2. Người ta muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là 
mảnh tôn hình tam giác vuông cân ABC tại A có 10 2 ( )AB cm . Người ta muốn 
cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn trên ( với ,M N thuộc cạnh BC ; P 
và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng 
MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà người ta có thể làm được là 
A. 
4001
27 
. B. 
4003
9 
. C. 
1994
9 
. D. 
4000
27 
. 
Bài 3. Người ta cần chế tạo một cái ấm pha trà dạng hình cầu tâm O, đường kính 
2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu làm bằng chất 
liệu innox. Trà chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ 
để ấm chứa được nhiều trà nhất.
 A.
R 6
r
3
 B. 
2R
r
3
 C. 
2R
r
3
 D. 
R
r
3
Bài 4. Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy 2R m , chiều cao 
6h m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối 
trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. 
Tính V . 
 A. 3
32
9
V m
 .
B. 3
32
3
V m 
. C. 3
32
27
V m 
. D. 3
32
5
V m 
. 
A 
B C 
M N 
P Q 
58 
Bài 5. Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu 
sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt tây) được dùng 
là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản 
xuất muốn thể tích của hộp là 3V cm 
 A. 
2
33
4
tp
V
S
 B. 
2
36
4
tp
V
S
 C. 
2
3
4
tp
V
S
 D. 
2
6
4
tp
V
S
Bài 6. Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính 3a , người thợ thợ thủ công 
mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một 
khối nón (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau 
khi đã hoàn thiện. 
A. 39 a . B. 336 a . C. 312 2 a . D. 3
32
3
a . 
Bài 7. Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R =10cm, đặt trong 
một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình 
chỏm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng 
kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi 
gần số nguyên nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm cầu là 2
3
h
V h R ) 
 A. 2. B. 4. C. 7. D. 10. 
II. PHẦN TỰ LUẬN 
Bài 8. Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao 
cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 
1
3
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt 
kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu? 
Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm. 
Bài 9: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể 
tích 316 m . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn 
nguyên vật liệu nhất. 
Bài 10: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng 
vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà 
chiếc lu chứa được. 
59 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên, Hình học 
12, NXB Giáo dục. 
[2]. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan 
Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục. 
[3]. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên, Hình học 
10, NXB Giáo dục. 
[4]. Đề thi thử THPTQG, TNTHPT của các trường trên toàn quốc qua các năm. 
[5]. Nhóm toán Diễn đàn GV Toán, VDC Strong. 
[6]. Đề và đáp án THPTQG môn toán các năm của Bộ Giáo dục & Đào tạo.