Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

i thầy (cô) cho là đúng nhất. 
Câu hỏi 1. Các thầy (cô) hãy đánh giá mức độ cần thiết của việc tăng cường 
liên hệ toán học với thực tiễn trong dạy học môn toán. 
A. Rất cần thiết B. Cần thiết C. Bình thường D. Không cần thiết 
Câu hỏi 2. Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của mình 
trong việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với 
kiến thức toán học ở trường phổ thông. 
A. Rất thường xuyên B. Thường xuyên C. Thỉnh thoảng D. Chưa bao giờ 
Câu hỏi 3. Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của mình 
trong việc dạy học thông qua MHH. 
A. Rất thường xuyên B. Thường xuyên C. Thỉnh thoảng D. Chưa bao giờ 
Câu hỏi 4. Các thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của việc phát triển 
năng lực MHH cho HS. 
A. Rất quan trọng B. Quan trọng C. Bình thường D. Không quan trọng 
Cảm ơn quý thầy (cô) giáo! 
 PHỤ LỤC 3. ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC THỰC NGHIỆM 
Câu 1. Một xưởng sản xuất có 12 tấn nguyên liệu A và 8 tấn nguyên liệu B 
để sản xuất hai loại sản phẩm ,X Y . Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng 6 
tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B , khi bán lãi được 10 triệu đồng. Để sản 
xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng 2 tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B , 
khi bán lãi được 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho xưởng nói trên sao 
cho có tổng số tiền lãi cao nhất. 
Câu 2. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 
140 kg chất A và 9 kg chất B . Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có 
thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B . Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II 
giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất A và c chất B . Hỏi phải dùng 
bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất? Biết rằng 
cở sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I 
và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II. 
Câu 3. Khẩu phần dinh dưỡng hàng ngày cho người ăn kiêng cần cung cấp 
ít nhất 300 calo, 36 đơn vị Vitamin A và 90 đơn vị vitamin C . Một ly nước 
uống loại 1 có giá 5 nghìn đồng và cung cấp 60 calo, 12 đơn vị Vitamin A và 10 
đơn vị vitamin C . Một ly nước uống loại 2 có giá 6 nghìn đồng và cung cấp 60 
calo, 6 đơn vị Vitamin A và 30 đơn vị vitamin C . Giả sử x là số ly nước loại 1, 
y là số ly nước loại 2 mà người đó uống mỗi ngày sao cho chi phí là thấp nhất và 
vẫn đảm bảo dinh dưỡng hàng ngày, tổng x y+ bằng 
A. 6 . B. 5 . C. 12 . D. 10 
 Câu 4. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g 
hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường đề pha chế hai loại nước A và B . Để pha 
chế 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít 
nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 
60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao 
nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là lớn nhất? 
 PHỤ LỤC 4. ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM 
 Câu 1. Bác Năm dự định trồng khoai lang và khoai mì trên mảnh đất có 
diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha khoai lang thì cần 10 ngày công và thu được 20 triệu 
đồng. Nếu trồng 1 ha khoai mì thì cần 15 ngày công và thu được 25 triệu đồng. 
Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? 
Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng được không quá 90 ngày công cho việc 
trồng khoai lang và khoai mì. 
Câu 2. Một người dùng ba loại nguyên liệu , ,A B C để sản xuất ra hai loại 
sản phẩm P và Q . Để sản xuất 1 kg mỗi loại sản phẩm P hoặc Q phải dùng một 
số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà 
người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản 
phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau: 
Loại nguyên liệu 
Số kilôgam 
nguyên liệu đang 
có 
Số kilôgam từng loại nguyên liệu cần 
để sản xuất 1 kg sản phẩm 
 P Q 
A 10 2 2 
B 4 0 2 
C 12 2 4 
 Biết 1 kg sản phẩm P lãi 3 triệu đồng và 1 kg sản phẩm Q lãi 5 triệu đồng. Hãy 
lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. 
Câu 3. Một bãi đậu xe ban đêm có diện tích đậu xe là 
2150 m (không tính lối 
đi cho xe ra vào). Cho biết xe du lịch cần diện tích 
23 m /chiếc và phải trả phí 40 
nghìn đồng, xe tải cần diện tích 
25 /m chiếc và phải trả phí 50 nghìn đồng. Nhân 
viên quản lí không thể phục vụ quá 40 xe một đêm. Hãy tính số lượng xe mỗi loại 
mà chủ bãi xe có thể cho đăng kí đậu xe để có doanh thu cao nhất. 
 Câu 4. Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức yêu cầu để 
đảm bảo lượng dinh dưỡng hằng ngày thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơn vị 
prôtêin và 400 đơn vị lipít trong thức ăn hằng ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị 
prôtêin và 200 đơn vị lipít, mỗi kg thịt heo chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị 
lipít. Biết rằng mẹ chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt heo. Mỗi kg thịt 
bò giá 100.000đ, mỗi kg thịt heo giá 70.000đ. Phần thắng sẽ thuộc về gia đình nào 
trong khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất. 
 Câu 5. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g 
hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha 
chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; Để pha chế 1 lít 
nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 
60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao 
nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? 
 Câu 6. Một công ty TNHH trong một đợt hỗ trợ xây dựng nông thôn mới 
cần thuê xe để chở ít nhất 120 người và 6,5 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A 
và B, trong đó loại xe A có 9 chiếc và loại xe B có 8 chiếc. Một chiếc xe loại A 
cho thuê với giá 6 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 4 triệu đồng. 
Biết rằng mỗi chiếc xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,5 tấn hàng; mỗi chiếc 
xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi 
loại để chi phí bỏ ra là thấp nhất? 
 PHỤ LỤC 5. KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CÙNG DẠNG VÀ HƯỚNG 
DẪN HỌC SINH TỰ HỌC 
3.1. Bài toán lập phương án sản xuất để có doanh thu (hay lãi) cao nhất. 
Bài toán 6. (Đề thi olimpic lớp 10 sở GD&ĐT tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu 
năm học 2022 – 2023) 
 Một nhà máy sử dụng ba dây chuyền để sản xuất bánh kẹo và cho ra thị 
trường hai sản phẩm: gồm loại 1 và loại 2 trong một chu trình sản xuất. Để sản 
xuất ra một sản phẩm loại 1 cần sử dụng dây chuyền I trong 1 giờ, dây chuyền II 
trong 2 giờ và dây chuyền III trong 3 giờ, đồng thời nhà máy thu về khoản lợi 
nhuận 40 triệu đồng. Để sản xuất ra một sản phẩm loại 2 cần sử dụng dây chuyền I 
trong 6 giờ, dây chuyền II trong 3 giờ và dây chuyền III trong 2 giờ, đồng thời nhà 
máy thu về khoản lợi nhuận 30 triệu đồng. Biết rằng dây chuyền I hoạt động không 
quá 36 giờ, dây chuyền II hoạt động không quá 23 giờ, dây chuyền III hoạt động 
không quá 27 giờ. Hãy lập phương án sản xuất cho nhà máy để tiền lãi thu được 
nhiều nhất? 
Bài toán 7. (Đề thi hsg lớp 10 tỉnh Hà Nam năm học 2022 – 2023) 
Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm, kí hiệu là I và II. Mỗi tấn sản 
phẩm I lãi 2 triệu đồng, mỗi tấn sản phẩm II lãi 2,2 triệu đồng. Để sản xuất 1 tấn 
sản phẩm I, thì phải dùng máy 
1
M liên tục trong 3 giờ và máy 
2
M liên tục trong 1 
giờ. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm II, thì dùng máy 
1
M liên tục trong 1 giờ và máy 
2
M liên tục trong 2 giờ. Biết rằng, một máy không thể sản xuất đồng thời 2 loại 
sản phẩm, các máy hoạt động bình thường và máy 
1
M làm việc không quá 9 giờ 
trong một ngày, máy 
2
M làm việc không quá 8 giờ trong một ngày. Hỏi trong một 
ngày, xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm I và sản phẩm II để thu được 
tổng số tiền lãi cao nhất? 
 Bài toán 8. (Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Thuận Thành I – Bắc Ninh 
năm học 2022 – 2023) 
 Gia đình nhà ông bà Thêu Lựu có làm nghề đậu phụ truyền thống nổi tiếng 
tại quê Trà Lâm – Trí Quả. Gia đình ông bà có làm hai loại đậu phụ to (loại 1) và 
loại nhỏ (loại 2). Thời gian để làm ra một cái đậu loại 1 gấp rưỡi thời gian làm một 
cái đậu loại 2. Nếu chỉ làm toàn kiểu loại 2 thì trong 1h nhà ông bà làm được 30 
cái. Để đảm bảo sức khỏe gia đình nhà ông bà làm việc không quá 7 tiếng mỗi 
ngày và nhà ông bán tối đa trong một ngày là 100 cái loại 1 và 120 cái loại 2. Tiền 
lãi khi bán một cái loại 1 là 2500 Việt Nam đồng, loại thứ 2 là 2000 Việt Nam 
đồng. Các bạn hãy tính giúp ông bà sản xuất bao nhiêu cái đậu loại 1 và loại 2 
trong một ngày để thu được tiền lãi là cao nhất. 
 Bài toán 9. Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có 
diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. 
Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm 
cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, 
 bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu 
xanh. 
Sản phẩm học sinh tự học 
Bài toán 6. 
' 
Bài toán 7. 
 Bài toán 8. 
Bài toán 9. 
 3.2. Bài toán lập phương án sản xuất, tiêu dùng để có chi phí thấp nhất. 
Bài toán 5. (Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo sở Bắc 
Ninh năm học 2022 – 2023) 
Một công ty vận tải nhận được đơn hàng chở 14 tấn hàng loại I và 9 tấn hàng 
loại II. Công ty chỉ có 2 loại xe A và B, trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B 
có 9 chiếc. Mỗi chiếc xe loại A chỉ chở được tối đa 2 tấn hàng loại I và 0,6 tấn 
hàng loại II, chi phí vận chuyển là 4 triệu đồng. Mỗi chiếc xe loại B chỉ chở được 
tối đa 1 tấn hàng loại I và 1,5 tấn hàng loại II, chi phí vận chuyển là 3 triệu đồng. 
Hỏi chi phí vận chuyển thấp nhất của đơn hàng này là bao nhiêu? 
Bài toán 6. Người ta định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 120 
kg hóa chất A và 9 kg hóa chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có 
thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II 
giá 3 triệu đồng có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B. Hỏi phải 
dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất. Biết 
rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu 
loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II. 
Bài toán 7. Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi 
hàng hóa, cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có 
hai loại xe A và B . Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một 
chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao 
nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 
20 người và 0,6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. 
Sản phẩm học sinh tự học 
 Bài toán 5. 
 Bài toán 6. 
Bài toán 7. 
 3.3. Bài toán khẩu phần thức ăn 
Bài toán 5. Cho biết mỗi kilôgam thịt bò giá 250 nghìn đồng, trong đó có 
chứa khoảng 800 đơn vị protein và 100 đơn vị lipit, mỗi kilôgam thịt heo có giá 200 
nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng 600 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Một gia 
đình cần ít nhất 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit trong khẩu phần thức ăn mỗi 
ngày và họ chỉ có thể mua một ngày không quá 1 kg thịt bò và 1,5 kg thịt heo. Hỏi gia 
đình này phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí là ít nhất? 
Bài toán 6. Bác Ngọc thực hiện chế độ ăn kiêng với nhu cầu tối thiểu hàng 
ngày qua thức uống là 300 calo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin. Một 
cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất giá 20 nghìn đồng có dung tích 200ml cung cấp 60 
calo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ hai 
giá 25 nghìn đồng có dung tích 200ml cung cấp 60 calo, 6 đơn vị vitamin A và 30 
đơn vị vitamin. Biết rằng bác Ngọc không thể uống quá 2 lít thức uống mỗi ngày. 
Hãy cho biết bác Ngọc cần uống mỗi loại thức uống bao nhiêu cốc để tiết kiệm chi 
phí nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu tối thiểu trên. 
Bài toán 7. (Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Bình Sơn – Tỉnh Vĩnh 
Phúc năm học 2022 – 2023) 
Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin 
A và B đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 
1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin 
A và không quá 500 đơn vị vitamin B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin 
trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số 
đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Tính số đơn vị 
vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết 
rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng. 
Sản phẩm học sinh tự học 
 Bài toán 5 
 Bài toán 6. 
Bài toán 7. 
 3.4. Bài toán thực tiễn khác 
Bài toán 5. (Bài 2.16 – Bài tập cuối chương II SGK lớp 10 bộ kết nối tri 
thức với cuộc sống). Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo 
một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết 
cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền 
hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả 
gấp 8 lần trên đài phát thanh. Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời 
lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài 
truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 
360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây. Công ty cần đặt thời gian quảng cáo 
trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất? 
Bài toán 6. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt 
khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của 
công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên 
sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát 
thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu 
quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình 
dài tối đa là 4 phút. Theo các phân 
tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả 
gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho 
quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và trên 
truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất? 
Bài toán 7 . Hình 13 mô tả sơ đồ một sân khấu gắn với hệ trục tọa độ Oxy 
(đơn vị trên các trục tọa độ là 1 mét). Phần tính phòng giới hạn bởi hai đường 
thẳng 
1 2
,d d là vị trí ngồi của khán giả có thể nhìn thấy dàn hợp xướng. Gọi ( );x y 
là tọa độ ngồi của khán giả ở thính phòng. Viết hệ BPT bậc nhất hai ẩn ,x y mà 
khán giả có thể nhìn thấy dàn hợp xướng. 
 Sản phẩm học sinh tự học 
 Bài toán 5. 
Bài toán 6. 
 Bài toán 7. 
 PHỤ LỤC 6. MỘT SỐ HÌNH ẢNH GIÁO VIÊN TỔ CHỨC DẠY THỰC 
NGHIỆM VÀ HỌC SINH TỔ CHỨC TỰ HỌC THEO NHÓM