Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực khai thác sâu một bài toán gốc trong hình học tọa độ phẳng cho học sinh THPT

4B a b do đó 
35 13 5 6
;
02 2
aa b
M
b
Vậy: 3;0 , 1;4 , 3;2A B C 
Bài toán 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên 
đường chéo AC . Các điểm ,M K lần lượt là trung điểm của ,AH DC . Chứng minh 
rằng: MB MK 
Chứng minh: 
Gọi E là trung điểm của BH 
Ta có ME song song và bằng một nửa AB 
Suy ra MECK là hình bình hành 
AB BC nên ME BC hay E là trực tâm tam giác 
MBC . CE BM KM BM  . 
Vận dụng vào bài toán sau: 
Bài toán 2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó đỉnh 
B thuộc đường thẳng 1 : 2 2 0d x y , đỉnh C thuộc đường thẳng 2 : 5 0d x y . 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B xuống AC . Biết điểm 
9 2
;
5 5
M
, 9;2K lần 
18 
A
D
B
CK
H
M
A
D C
B
H
M
E
lượt là trung điểm của AH và CD . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 
ABCD , biết điểm C có tung độ dương. 
Định hướng bài toán: 
- Trước tiên chứng minh BM KM 
- Lập phương trình đường thẳng BM suy ra tọa độ 
điểm B 
- Tham số hóa điểm C suy ra điểm C 
- Lập phương trình đường thẳng BH , MC , tìm tọa độ điểm H , D . 
Hướng dẫn giải: 
- Chứng minh BM KM 
- Phương trình đường thẳng BM : 9 2 85 0x y 
- Tọa độ điểm 
9 2 85 0
1;4
2 2 0
x y
B B
x y
- Giả sử ; 5C a a . Từ 9;4BC CK C 
- Phương trình đường thẳng : 2 6 0BH x y 
- Phương trình đường thẳng : 2 1 0AC x y suy ra 
13 4
; 1;0 9;0
5 5
H A D
Bài toán 3. Cho hình thang vuông ABCD có 2DC AB . Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của D lên AC . M là trung điểm HC . Chứng minh: DM BM . 
Chứng minh: 
Gọi E là trung điểm DH , ta có ME là đường 
trung bình tam giác DHB suy ra ME AB 
Hay ABME là hình bình hành. 
AB AD ME AD  do đó E là trực tâm tam 
giác ADM nên AE DM suy ra BM DM . 
Bài toán áp dụng: 
Bài toán 3.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD ( 
vuông tại A và D ) có đỉnh 2;2D và 2CD AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc 
19 
của D lên đường chéo AC . Điểm 
22 14
;
5 5
M
 là trung điểm HC . Xác định tọa độ 
các đỉnh , ,A B C biết đỉnh B thuộc đường thẳng : 2 4 0d x y . 
Định hướng bài toán: 
- Trước tiên chứng minh BM DM 
- lập phương trình đường thẳng BM từ đó có 
tọa độ điểm B . 
- Gọi I là giao điểm của AC và BD suy ra I 
- Lập phương trình đường thẳng ,AC DH suy ra 
tọa độ ,A C . 
Hướng dẫn giải: 
- Áp dụng tính chất ta có BM DM 
- Phương trình đường thẳng : 3 16 0BM x y 
- Tọa độ điểm 
3 16 0
4;4
2 4 0
x y
B B
x y
- Gọi I là giao điểm của AC và BD , ta có 
1 10 10
2 ;
2 3 3
IB AB
DI IB I
ID CD
- Phương trình đường thẳng : 2 10 0AC x y 
- Phương trình đường thẳng : 2 2 0DH x y 
- Tọa độ điểm 
2 10 0 14 18
; 6;2
2 2 0 5 5
x y
H H C
x y
; 
- Ta có 2 2;4CI IA A 
Bài toán 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 
3AB AD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD . M là trung điểm đoạn 
 CH . Chứng minh: AM BM . 
Chứng minh: 
Từ B kẻ Bx BC , qua A kẻ một đường thẳng song 
song BC đường thẳng này cắt Bx tại E ( Hình vẽ) 
DEA DCB suy ra 
1
2
2
DA DE AE
BC EA
DB DC BC
I
A
D C
B
H
M
A
B C
E
D
H
MK
20 
Gọi K là trung điểm BH , ta có: 
KM là đường trung bình BHC KM song song và bằng EA 
Tứ giác AMKE là hình bình hành AM EK 
Mặt khác: KM EB ( ;KM EA EA AB ) hay K là trực tâm tam giác EBM 
EK BM AM BM  . 
Bài toán áp dụng: 
Bài toán 4.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại 
 1;3A . Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho 3AB AD và H là hình chiếu 
vuông góc của B lên CD . Điểm 
1 3
;
2 2
M
 là trung điềm đoạn HC . Xác định tọa 
độ điểm C , biết điểm B nằm trên đường thẳng 7 0x y 
Định hướng bài toán: 
- Trước tiên chứng minh AM BM 
- Lập phương trình đường thẳng BM suy ra tọa độ 
điểm B 
- 3AB AD từ đó suy ra điểm D 
- Lập phương trình ,CD BH H C 
Hướng dẫn giải: 
- Theo tính chất thì ta có AM BM 
- Phương trình : 3 5 0BM x y tọa độ điểm 
7 0
4; 3
3 5 0
x y
B B
x y
- Giả sử ;D a b , từ 3AB AD suy ra 2;1D 
- Phương trình : 1 0CD x y , : 1 0BH x y 
- Tọa độ điểm 
1 0
1;0 2; 3
1 0
x y
H H C
x y
Bài tập áp dụng: 
Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD . Gọi 
 1;4M là trung điểm cạnh BC . 0;1N là điểm trên cạnh AC sao cho 
1
4
AN AC 
A
B C
E
D
H
MK
21 
.Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm D nằm trên đường 
thẳng 3 0x y . 
Bài toán 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó đỉnh 
B thuộc đường thẳng 1 : 3 0d x y , đỉnh C thuộc đường thẳng 2 : 1 0d x y . Gọi 
H là hình chiếu vuông góc của B xuống AC . Biết điểm 
23 27
;
68 68
M
, 
3
4;
2
K
lần 
lượt là trung điểm của AH và CD . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 
ABCD , biết điểm C có tung độ dương. 
Bài toán 3.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD ( 
vuông tại A và D ) có đỉnh 1; 1D và 2CD AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc 
của D lên đường chéo AC . Điểm 
38 5
;
13 13
M
 là trung điểm HC . Xác định tọa độ 
các đỉnh , ,A B C biết đỉnh B thuộc đường thẳng : 2 1 0d x y . 
Bài toán 4.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại 
 2;9A . Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho 3AB AD và H là hình chiếu 
vuông góc của B lên CD . Điểm 
53 18
;
13 13
M
 là trung điềm đoạn HC . Xác định tọa 
độ điểm C , biết điểm B nằm trên đường thẳng 1 0x y 
22 
 PHẦN III: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 
 1.Mục đích thực nghiệm 
 Thực nghiệm được tiến hành để kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc 
khai thác tích chất vuông góc trong việc xây dựng bài toán hình học phẳng cũng 
như tìm định hướng bài toán hình học phẳng cho học sinh. 
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài 
 2.Nội dung thực nghiệm 
Thực nghiệm được tiến hành trong chương 7 sách Toán 10 kết nối tri thức về 
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, cụ thể: 
 “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” sách Toán 10 kết nối tri thức bao gồm:
- Phương trình đường thẳng 
- Vị trí tương đối giũa hai đường thẳng,Góc và Khoảng cách 
- Ôn tập 
 Thực nghiệm còn được tiến hành khi dạy khi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 . 
Ngoài ra thực nghiệm còn dự kiến tiến hành khi ôn luyên thi TN THPT. 
Nếu quá trình thực nghiệm thành công thì đây tài liệu tham khảo cho các bạn 
HS ôn thi học sinh giỏi cũng như chuẩn bị thi TN THPT năm tới. 
 3.Hình thức tổ chức thực nghiệm 
- Đưa ra nội dung giảng dạy cho các em. 
- Tổ chức cho cá em làm bài tập nhóm thu thập dữ liệu, lấy thông tin phục 
vụ cho quá trình thống kê và phân tích dữ liệu của đề tài. 
-Bài tập nhóm “ Tìm các bài toán tương tự được xây dựng từ bài toán gốc ” 
 4. Đánh giá thực nghiệm 
- Ban đầu khi đưa các bài toán nhiều em học sinh vẫn không nhận ra dạng 
toán và không biết vận dụng tính chất nào. 
- Khi giáo viên đưa ra bài toán gốc phân tích các tính chất học sinh dần quen 
với tính chất được sử dụng, học sinh tự khám phá được tri thức và bắt đầu biết vận 
dụng các tính chất đó vào từng bài toán cụ thể. 
- Trong tiết dạy mà có vận dung những phương pháp đặc biết hóa, khái quát 
hóa và mở rộng bài toán đẫn tới học sinh biết nhìn nhận vấn đề linh hoạt hơn, sâu 
sắc hơn 
23 
 5. Kết quả thực nghiệm 
 Tôi đã triển khai đề tài này đối với hai lớp là 10A2 và 10B năm học 2022-
2023. Tùy theo mức độ ,đối tượng học sinh từng lớp ,tôi đã đưa ra hệ thống bài tập 
phù hợp nên đã làm các em có say mê và hứng thú khi tiếp nhận chuyên đề .Đa số 
các em tiếp cận nhanh vấn đề và giải quyết tốt các bài tập tương tự . 
 Trước khi dạy theo phương pháp trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra 
thường xuyên, kết quả như sau: 
 Điểm 
Lớp 
Điểm dưới 5 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 
10A2 
(38 học sinh) 
7 em 
(18,5% ) 
14 em 
( 36,8%) 
14 em 
( 36,8% 
3 em 
(7,9% ) 
10B 
(39 học sinh) 
12 em 
(30,8% ) 
17 em 
( 43,6%) 
8 em 
 ( 20,5%) 
2 em 
(5,1% ) 
 Sau khi giảng dạy các phương pháp này tôi tiếp tục khảo sát được kết quả như 
sau: 
 Điểm 
Lớp 
Điểm dưới 5 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 
10A2 
(38 học sinh) 
3 em 
(7,9% ) 
12em 
( 31,6%) 
15 em 
( 39,5%) 
8 em 
(21 % ) 
10B 
(39 học sinh) 
6 em 
(15,4% ) 
13 em 
( 33,3%) 
15 em 
 ( 38,5% 
5 em 
(12,8% ) 
 Kết quả trên cho thấy: với lớp sử dụng phương pháp phát huy tính tư duy sáng 
tạo của học sinh thì là có hiệu quả rõ rệt. 
24 
PHẦN IV 
KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP 
4.1. Mục đích khảo sát. 
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các giải pháp đề xuất trong đề tài : “ Phát 
triển năng lực khai thác sâu một bài toán gốc trong hình học tọa độ phẳng cho 
học sinh THPT”.Từ cơ sở đó điều chỉnh giải pháp để phù hợp hơn với đối tượng 
giáo viên và học sinh trong thực tiễn dạy và học môn Toán với các trường THPT 
trên địa bàn Huyện Nghi Lộc và Thị Xã Cửa Lò. 
4.2. Nội dung và phương pháp khảo sát. 
4.2.1. Nội dung khảo sát. 
Nội dung khảo sát tập trung vào 02 vấn đề chính sau: 
Thứ nhất là, khảo sát việc dạy học phát triển năng lực tư duy cũng như năng lực 
đặt vấn đề và giải quyết vấn đề thông qua việc phát triển năng lực khai thác sâu 
bài toán gốc trong hình học tọa độ phẳng có thực sự cấp thiết hay không? 
Thứ hai là, khảo sát việc dạy học các phát triển năng lực khai thác sâu bài toán gốc 
trong hình học tọa độ phẳng nhằm phát triển năng lực tự đặt vấn đề và giải quyết 
vấn đề cho học sinh có khả thi hay không? 
4.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá. 
 Để tiến hành khảo sát thực tiễn nhằm khẳng định tính cấp thiết và tính khả thi 
của đề tài: “ Phát triển năng lực khai thác sâu một bài toán gốc trong hình học 
tọa độ phẳng cho học sinh THPT”. Tác giả đã sử dụng phương pháp Trao đổi 
bằng bảng hỏi, với thang điểm đánh giá 04 mức (từ thấp đến cao) thông qua các 
phiếu khảo sát gồm 02 nội dung tính cấp thiết và tính khả thi. 
 - Tính cấp thiết: 
Phiếu 1: Theo quý Thầy Cô giải pháp “ Phát triển năng lực khai thác sâu một 
bài toán gốc trong hình học tọa độ phẳng cho học sinh THPT”. do Tôi đề xuất 
có cấp thiết trong dạy và học hiện nay không? 
TT Mức độ Lựa chọn ( Đánh dấu x vào cấp độ lựa chọn) 
1 Không cấp thiết 
2 Ít cấp thiết 
3 Cấp thiết 
25 
4 Rất cấp thiết 
Các cấp độ được mã hóa thành điểm như sau: 
+) Không cấp thiết: 01 điểm +) Ít cấp thiết: 02 điểm 
+) Cấp thiết: 03 điểm +) Rất khả cấp thiết: 04 điểm. 
 - Tính khả thi: 
Phiếu số 2: Theo quý Thầy Cô giải pháp “ Phát triển năng lực khai thác sâu 
một bài toán gốc trong hình học tọa độ phẳng cho học sinh THPT”.do Tôi đề 
xuất có khả thi trong yêu cầu dạy và học hiện nay không? 
TT Mức độ Lựa chọn ( Đánh dấu x vào cấp độ lựa chọn) 
1 Không khả thi 
2 Ít khả thi 
3 Khả thi 
4 Rất khả thi 
Các cấp độ được mã hóa thành điểm như sau: 
+) Không khả thi: 01 điểm +) Ít khả thi: 02 điểm 
+) Khả thi: 03 điểm +) Rất khả thi: 04 điểm. 
Chúng tôi đã tiến hành khảo sát trong trời gian từ 15/3/2023 đến 8/4/2023 bằng 
hình thức trực tuyến thông qua google form. Sau khi khảo sát Tôi đã phân tích số 
liệu , tính X , EX và rút ra kết luận. 
4.2.3. Đối tượng khảo sát. 
Các giáo viên bộ môn Toán THPT trên địa bàn Huyện Nghi Lộc,Thị Xã Cửa Lò. 
TT Đối Tượng Số lượng 
1 Giáo viên dạy môn Toán Trường THPT Nghi Lộc 3 12 
2 Giáo viên dạy môn Toán Trường THPT Nghi Lộc 4 12 
3 Giáo viên dạy môn Toán Trường THPT Nghi Lộc 5 9 
4 Giáo viên dạy môn Toán Trường THPT Cửa Lò 1 9 
26 
5 Giáo viên dạy môn Toán Trường THPT Cửa Lò 2 8 
 Tổng 50 
4.2.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề 
xuất. 
a) Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất. 
Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất 
TT 
 Các giải 
pháp 
Các thông số 
 X Mức 
 Không 
cấp 
thiết 
Ít 
cấp 
thiết 
 cấp thiết Rất cấp 
thiết 
1 Đề xuất 
phương 
pháp dạy 
học các 
phát triển 
năng lực 
khai thác 
sâu bài 
toán gốc 
trong hình 
học tọa độ 
phẳng. 
15.3 35.4
3,68
50
0 0 15(30%) 35( 
70%) 
Nhận xét: Qua số liệu trong bảng thống kê trên ta thấy, 3,68X rất gần với điểm 
tuyệt đối là 4. Từ đó một lần nữa khẳng định rằng giải pháp “ Phát triển năng lực 
khai thác sâu một bài toán gốc trong hình học tọa độ phẳng cho học sinh 
THPT” là cấp thiết trong yêu cầu dạy và học hiện nay. 
b) Tính khả thi của các giải pháp đề xuất. 
Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
27 
TT 
Các giải pháp Các thông số 
X Mức 
Không 
khả thi 
Ít 
khả 
thi 
 Khả thi Rất khả 
thi 
1 Đề xuất phương 
pháp dạy học 
các phát triển 
năng lực khai 
thác sâu bài 
toán gốc trong 
hình học tọa độ 
phẳng. 
14.3 36.4
3,72
50
0 0 15(28%) 35(72%) 
Nhận xét: Qua số liệu trong bảng thống kê trên ta thấy, 3,72X rất gần với điểm 
tuyệt đối là 4. Từ đó một lần nữa khẳng định rằng giải pháp “ Phát triển năng lực 
khai thác sâu một bài toán gốc trong hình học tọa độ phẳng cho học sinh 
THPT.” là rất khả thi trong dạy và học trong giai đoạn hiện nay. 
28 
 PHẦN V: KẾT LUẬN 
Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán hình 
học giải tích trong mặt phẳng nói riêng, việc giải các bài toán theo nhiều cách khác 
nhau không những gây sự hứng thú cho học sinh mà còn tạo sự tìm tòi, tư duy sáng 
tạo và hiểu vấn đề một cách sâu sắc nhất. 
- Đề tài giúp Giáo viên có thể định hướng các em học sinh từ các bài toán 
gốc nào đó, yêu cầu các em chứng minh tính chất của bài toán. Từ đó gợi ý các em 
sử dụng các phương pháp đặc biệt hóa, tương tự hóa để rồi tọa độ hóa các điểm, 
sáng tác ra các bài toán hình giải tích phẳng. Điều này giúp các em học sinh hình 
thành và phát triển các năng lực chung và năng lực chuyên biệt như năng lực tư 
duy, năng lực sáng tạo,  
- Trong đề tài này cũng đã hệ thống một số tính chất cơ bản của hình học 
phẳng thuần túy hay sử dụng, để rồi từ đó có một hệ thống các bài tập tương ứng, 
cơ bản. 
- Để tiếp tục phát triển đề tài, chúng ta có thể tiếp tục xây dựng dựa trên 
những mối quan hệ giữa các điểm, giữa điểm và đường thẳng, đường tròn,  
- Đề tài có thể vận dụng để dạy học các bài tập về hình giải tích trong mặt 
phẳng cho học sinh thuộc khối 10 THPT, ôn tập cho HSG khối 12 THPT, ôn tập 
cho học sinh thi TN THPT cũng như làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên toán khối 
THPT. 
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu 
sót, hạn chế. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp qúy báu của quý thầy cô 
và các thầy cô và các bạn để đề tài hoàn thiện hơn, tính khả thi cao hơn. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
29 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 Hình học 10 ( sách giáo khoa ) - NXB Giáo dục, 2006. 
 Ba cuốn sách của nhà toán học G. Polya 
+ Giải bài toán như thế nào ? 
+ Sáng tạo toán học. 
+ Toán học và những suy luận có lý. 
 Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ - Nguyễn Mộng 
Hy - NXB Giáo dục, 1998. 
 Phương pháp giải toán Hình học giải tích trong mặt phẳng – NXB Đại học 
Quốc gia Hà Nội. 
 10 bài toán trọng điểm hình học Oxy – Nguyễn Thanh Tùng- NXB tổng hợp 
thành phố Hồ Chí Minh. 
 Một số nguồn tư liệu của các bạn đồng nghiệp trên internet.