Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh trong dạy học khám phá thông qua chủ đề giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

; 0), 
/
/ /
a 3 a a 3 a
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a 3 a a 3 a a 3 a a
B ; ; a , C ; ; a , I ; ;
2 2 2 2 2 2 2
/ a 3 a a 3 a a
AB ; ; a , AI ; ;
2 2 2 2 2
Ta có: 
2 2 2
/ a 3 a 3 a a a 3a a 2a
AB .AI . . a. 0
2 2 2 2 2 4 4 4
/
AB AI.  Vậy, tam giác AB
/I vuông tại A. 
Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ 
1
n (0; 0; 1) 
mp (AB
/I) có cặp vectơ chỉ phương 
/
AB , AI , nên có pháp vectơ: 
60o 
B
/ 
A
/ 
C
/ z 
a 
B 
C 
A 
H 
I 
y 
z 
42 
2 2 2 2 2
/
2
a 3a 3 2a 3 a a
[AB ; AI] ; ; (1; 3 3; 2 3) .n
4 4 4 4 4
với 
2
n (1; 3 3; 2 3) . 
Gọi là góc giữa (ABC) và (AB/I), ta có:
0 0 2 3
2 3 30
cos .
100 0 1. 1 27 12 40
Bài toán 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông 
cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, A’C’, C’B’. 
Tính khoảng cách giữa DE và A’F. 
Lời giải : Xét hệ trục Đề –các vuông góc A’xyz với tọa độ các điểm là : 
a 3 a 3 a a 3 a a 3
A'(0;0;0),F(0; ;0),D(0; ;a),E(( ; ;0) ED ( ; ;a),
2 2 4 4 4 4
a 3 a a 3 a 3 a 3
A'F (0; ;0), A'E ( ; ;0) ED,A'F ( ;0; )
2 4 4 2 8
Ta có : 
 
  17
64
3
0
4
3
8
3
',
'.',
)',(
22
2
a
aa
a
FAED
EAFAED
FADEd 
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A’F là a 17 /17 
Bài toán 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 
,AB a 2 2AD a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD 
trùng với trọng tâm tam giác .BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng ABCD 
một góc 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và AC SD theo a là: 
A. 
2 22
11
a
. B. 
22
11
a
. C. 
11
11
a
. D. 
2 11
11
a
. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
Gọi M là trung điểm của SB . 
Mặt phẳng ACM chứa AC và song song SD . 
Do đó ( , ) ( , ( )) ( , ( ))d SD AC d SD ACM d D ACM . 
43 
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. 
Khi đó 2 4 20;0;0 , ;0;0 , 0;2 2 ;0 , ; ;2 , ;2 2 ;0
3 3
a a
A B a D a S a C a a
5 2 2
; ;
6 3
a a
M a
. 5 2 2;2 2 ;0 , ; ;
6 3
a a
AC a a AM a
 2 2 22 2 ; ; 2AC AM a a a  
Mặt phẳng ACM đi qua điểm A và có vtpt 2 2; 1; 2n nên có phương trình 
là 
2 2 2 22
2 2 2 0 ( ;( )) .
118 1 2
a a
x y z d D ACM
Nhận x t về cách giải bài toán 5 và 6: 
o Lời giải theo phương pháp tọa độ: Học sinh chỉ cần nắm vững phương 
pháp xác định hệ trục tọa độ Oxyz và các công thức tính toán cơ bản là có 
thể giải chính xác bài toán. 
o Giải theo phương pháp hình học thuần túy: rất khó cho những học sinh 
trung bình, khá vì việc xác định và chứng minh các tính chất hình học, các 
phương pháp xác định góc, khoảng cách rất khó khăn vì vậy tỉ lệ học sinh 
giải theo phương pháp này có điểm là rất thấp. 
CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO 
Bài toán 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi 
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là 
trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng 
cách giữa hai đường thẳng MN và AC. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B 
năm 2007 ) 
Bài toán 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 
0ABC 30 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính 
theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) 
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A-A1 năm 2013 ) 
44 
Bài toán 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 3a 2 , 
hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính 
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). 
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A-A1 năm 2014 ) 
Bài toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , Sa vuông góc 
với mặt phẳng ABCD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, 
AC. (Trích đề thi tuyển sinh THPT quốc gia năm 2015 ) 
Bài toán 12: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A/B/C/D/ có cạnh đáy bằng 2a. Gọi 
M là trung điểm BC và N là trung điểm của CD. Mặt phẳng ( A/MN) chia khối lăng trụ 
thành hai phần. Tính thể tích khối chóp A/ABMND và khoảng cách từ B đến mặt phẳng 
(A
/MN) biết góc giữa mặt phẳng (A/MN) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. 
Bài toán 13: Cho hình lăng trụ / / /ABC.A B C có đay ABC là tam giác đều cạnh a, góc 
giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 045 , hình chiếu của A lên mặt phẳng ( / / /A B C ) 
là trung điểm của / /A B . Gọi M là trung điểm của / /B C . Tính thể tích khối lăng trụ 
/ / /ABC.A B C theo a và côsin của góc giữa hai đường thẳng / /A M, AB . 
45 
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 
Bảng số liệu học sinh thực nghiệm và đối chứng 
STT 
Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng 
Lớp Số lƣợng Lớp Số lƣợng 
1 12A2 43 12A5 44 
2 12A3 44 12A6 43 
Bảng thống kê kết quả khảo sát trƣớc khi thực hiện đề tài 
NHÓM LỚP 
SỐ 
LƢỢNG 
THỐNG KÊ ĐIỂM QUY RA THANH ĐIỂM 10 
TỪ 0 ĐẾN 
 DƢỚI 3,5 
TỪ 3.5 ĐẾN 
 DƢỚI 5.0 
TỪ 5.0 ĐẾN 
 DƢỚI 6,5 
TỪ 6.5 ĐẾN 
 DƢỚI 8.0 
TỪ 8.0 
ĐẾN 10.0 
SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ 
Nhóm 
 thực 
nghiệm 
12A2 43 10 23.26% 15 34.88% 13 30.23% 3 6.98% 2 4.65% 
12A3 44 9 20.45% 16 36.36% 13 29.55% 3 6.82% 3 6.82% 
TỔNG 87 19 21.84% 31 35.63% 26 29.89% 6 6.90% 5 5.75% 
Nhóm 
 đối 
chứng 
12A 44 9 20.45% 17 38.64% 12 27.27% 4 9.09% 2 4.55% 
12A1 43 10 23.26% 16 37.21% 12 27.91% 5 11.63% 0 0.00% 
TỔNG 87 19 21.84% 33 37.93% 24 27.59% 9 10.34% 2 2.30% 
Bảng thống kê kết quả thực nghiệm lần thứ nhất 
NHÓM LỚP 
SỐ 
LƢỢNG 
THỐNG KÊ ĐIỂM QUY RA THANH ĐIỂM 10 
TỪ 0 ĐẾN 
 DƢỚI 3,5 
TỪ 3.5 ĐẾN 
 DƢỚI 5.0 
TỪ 5.0 ĐẾN 
 DƢỚI 6,5 
TỪ 6.5 ĐẾN 
 DƢỚI 8.0 
TỪ 8.0 
ĐẾN 10.0 
SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ 
Nhóm 
 thực 
nghiệm 
12A2 43 5 11.63% 8 18.60% 12 27.91% 7 16.28% 11 25.58% 
12A3 44 4 9.09% 10 22.73% 11 25.00% 8 18.18% 11 25.00% 
TỔNG 87 9 10.34% 18 20.69% 23 26.44% 15 17.24% 22 25.29% 
Nhóm 
 đối 
chứng 
12A5 44 7 15.91% 15 34.09% 10 22.73% 5 11.36% 7 15.91% 
12A6 43 8 18.60% 14 32.56% 11 25.58% 6 13.95% 4 9.30% 
TỔNG 87 15 17.24% 29 33.33% 21 24.14% 11 12.64% 11 12.64% 
46 
Bảng thống kê kết quả thực nghiệm lần thứ hai 
NHÓM LỚP 
SỐ 
LƢỢNG 
THỐNG KÊ ĐIỂM QUY RA THANH ĐIỂM 10 
TỪ 0 ĐẾN 
 DƢỚI 3,5 
TỪ 3.5 ĐẾN 
 DƢỚI 5.0 
TỪ 5.0 ĐẾN 
 DƢỚI 6,5 
TỪ 6.5 ĐẾN 
 DƢỚI 8.0 
TỪ 8.0 
ĐẾN 10.0 
SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ 
Nhóm 
 thực 
nghiệm 
12A2 43 4 9.30% 5 11.63% 10 23.26% 7 16.28% 17 39.53% 
12A3 44 5 11.36% 8 18.18% 11 25.00% 8 18.18% 12 27.27% 
TỔNG 87 9 10.34% 13 14.94% 21 24.14% 15 17.24% 29 33.33% 
Nhóm 
 đối 
chứng 
12A 44 8 18.18% 12 27.27% 11 25.00% 6 13.64% 7 15.91% 
12A1 43 7 16.28% 13 30.23% 10 23.26% 7 16.28% 6 13.95% 
TỔNG 87 15 17.24% 25 28.74% 21 24.14% 13 14.94% 13 14.94% 
Qua thực nghiệm dựa vào kết quả làm bài của các em chúng tôi có những 
nhận x t chung nhƣ sau: 
- Tỉ lệ học sinh đạt điểm cao trong khi làm bài khi áp dụng công cụ giải Hình 
học không gian bằng phương pháp tọa độ ngày càng nhích dần lên mặc dù 
điểm xuất phát của các em tương đối bằng nhau. 
- Số học sinh điểm kém (dưới 3,5 điểm) còn ít có sự thay đổi lý do là các em rất 
yếu hình học nên không thể áp dụng được các phương pháp để giải bài. 
- Qua kết quả làm bài của học sinh chúng ta có thể khẳng định rằng kết quả ở 
các lớp giải theo phương pháp tọa độ là cao hơn nhiều so với các lớp không 
áp dụng điều này chứng tỏ việc giải Hình học không gian bằng phương pháp 
tọa độ là phù hợp với đối tượng học sinh trong quá trình ôn thi THPT quốc 
gia. 
47 
PHẦN III: KẾT LUẬN 
 Khi vận dụng một số phương pháp sư phạm đã được xây dựng để phát triển 
năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, chúng tôi nhận thấy: 
- Học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động, tích cực hơn, không còn phụ 
thuộc nhiều vào giáo viên. Khả năng tư duy của học sinh được phát huy tối đa, đặc 
biệt là học sinh có học lực trung bình, yếu thì quá trình tư duy cũng được cải thiện 
đáng kể. Phần lớn nhờ vào sự nỗ lực trong học tập của các em. 
- Học sinh bắt đầu ý thức việc học toán và hiểu được ý nghĩa các bài toán có trong 
SGK đều chứa đựng nhiều vấn đề cần giải quyết. 
- Học sinh càng ngày càng yêu thích học toán. Khi gặp bài toán mới các em tự tin 
và mạnh dạn trình bày cách kiểu, cách giải của mình. Vì vậy kết quả học tập của 
học sinh ngày càng tăng lên rõ rệt. 
- Việc cho học sinh làm hai bài kiểm tra giữa đợt và cuối đợt là cách tốt nhất giúp 
các em phát triển năng lực giải quyết vấn đề. Vì trong thời gian có giới hạn quy 
định, học sinh bắt buộc phải tư duy tối đa để xác định đúng hướng giải quyết bài 
toán, phát hiện mấu chốt của bài toán và giải quyết bài toán. Hai bài kiểm tra được 
đưa ra dựa trên ba mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng kiến thức đã học của 
học sinh nhằm kiểm tra tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã xây dựng. Cụ 
thể: 
 Thực hiện các biện pháp sư phạm mà đề tài xây dựng sẽ góp phần bồi dưỡng, phát 
triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, đồng thời góp phần vào việc nâng 
cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT. 
- Góp phần làm rõ cơ sở lí luận và thực tiễn trong việc dạy học phát triển năng 
lực giải quyết vấn đề cho học sinh THPT. 
- Đã là rõ các thành tố trong năng lực giải quyết vấn đề và cách thức tổ chức 
các hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 
thông qua dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. SGK Hình học 11 
2. SGK Hình học 12 
3. Các phương pháp giải hình học không gian bằng phép tọa độ hóa – Lê Hồng 
Đức – NXB Hà Nội, 2007. 
4. Đề thi Đại học, cao đẳng các năm 
5. Báo Toán học và Tuổi trẻ 
6. Một số công thức về hệ trục tọa độ trong không gian 
PHỤ LỤC 
I. CÁC BÀI TẬP THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 
Bài 1 (Bài khảo sát trước khi thực nghiệm đề tài – ngày 02/11/2020) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu của S lên 
mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy 
bằng 060 . Gọi M là trung điểm của DC. Tính thể tích khối chóp S.ABM và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 
Bài 2 (Bài tập thực nghiệm lần 1 – ngày 20/3/2021) Cho hình chóp S.ABCD có 
ABCD là hình chữ nhật, AB 2a, AD a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 
a
AM
2
, H là giao điểm của AC và MD. Biết SH vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD) và SH=a. Tính thể tích khối chóp S.ADCM và khoảng cách giữa hai 
đường thẳng SD và AC theo a. 
Bài 3 (Bài tập thực nghiệm lần 2 – ngày 10/4/2021) Cho hình lăng trụ 
/ / /ABC.A B C có đay ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng 
đáy bằng 045 , hình chiếu của A lên mặt phẳng ( / / /A B C ) là trung điểm của / /A B . 
Gọi M là trung điểm của / /B C . Tính thể tích khối lăng trụ / / /ABC.A B C theo a và 
côsin của góc giữa hai đường thẳng / /A M, AB . 
II. KIẾN THỨC LIÊN QUAN 
1. Hệ tọa độ Đề các vuông góc trong không gian – Tọa độ của điểm và v ctơ 
1.1. Hệ toạ độ Đêcác vuông góc trong không gian: Ba trục tọa độ x’Ox, 
y’Oy và z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ tọa độ Oxyz với Ox là trục hoành, Oy 
là trục tung và Oz là trục cao. Trên Ox, Oy và Oz lần lượt có các vectơ đơn vị 
i (1;0;0), j (0;1;0) vaø k (0;0;1) . 
1.2.Tọa độ của v ctơ: u (x; y; z) u xi yj zk . 
1.3.Tọa độ của điểm: M(x; y; z) OM (x; y;z)
 x: hoành độ; y: tung độ; z: 
cao độ của M hoặc OM . 
1.4. Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(xA; yA; zA;) và (xB;yB; zB) và 
a
= (x1; y1; z1) và b
= (x2; y2; z2). Ta có: 
a 
b = (x1 x2; y1 y2; z1 z2) 
 k
a = (kx1; ky1; kz1) (k là số thực). 
 Tích vô hướng:
a .
b = x1 x2+ y1 y2+ z1z2. 
Hệ quả:
 | a| = 2 2 2
1 1 1
x y z . 
 cos(a;b)= 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
x x y y z z
x y z . x y z
a  
b x1 x2+ y1 y2+ z1z2. = 0 
a =
b x1=x2; y1=y2 và z1=z2 
a ,
b cùng phương 
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
a.kb:Rk  
 Tọa độ của vectơ: 
AB= (xB-xA; yB-yA; zB- zA). 
 Khoảng cách: 2 2 2
B A B A B A
AB (x -x ) (y -y ) (z -z ) 
 M là trung điểm AB 
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x 
2
y y
y 
2
z z
z 
2
2. Tích có hƣớng của hai v ctơ và áp dụng 
2.1. Tích có hƣớng của 2 v ctơ: 
Định nghĩa: Cho a
= (x1; y1; z1) và 
b = (x2; y2; z2) thì 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
a b
y z z x x y
Các tính chất: 
 a cùng phương b a,b 0 
 a,b a  
 và a,b b  
 a,b a . b .sin(a,b) 
2.2. Áp dụng 
 Diện tích tam giác: 
ABC
1
S AB,AC
2
 Thể tích hình hộp: 
ABCD.A 'B'C 'D '
V AB,AD .AA' 
 Thể tích tứ diện: 
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng: 
 , ,a b c đồng phẳng a,b .c 0 
 A, B, C, D đồng phẳng AB,AC .AD 0 
3. PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 
3.1. V ctơ pháp tuyến của m t phẳng: 
 Định nghĩa: 0n là VTPT của mặt phẳng ( ) ( )n  . 
 Chú ý: 2 véctơ 
1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; ) a x y z b x y z không cùng phương và cùng song 
song hoặc nằm trong ( ), gọi là cặp véctơ chỉ phương của ( ). Khi đó véctơ 
pháp tuyến của ( ): 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z z x x y
n a,b ; ;
y z z x x y
3.2. Phƣơng trình tổng quát của m t phẳng: 
 Định nghĩa: Phương trình dạng: 2 2 2Ax By Cz D 0,A B C 0 gọi là phương 
trình tổng quát của mặt phẳng có véctơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C . 
 Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và có véctơ pháp 
tuyến ( ; ; )n A B C là: 
0 0 0 0A(x - x ) B(y - y ) C(z - z ) 
4.PHƢƠNG TRÌNH CỦA ĐƢỜNG THẲNG: 
4.1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng: Véctơ chỉ phương của đường 
thẳng: Một véctơ ( ; ; )u a b c khác 
0 nằm trên 1 đường thẳng song song hay trùng 
với ( ), được gọi là VTCP của đường thẳng ( ). 
Phương trình tham số: của đường thẳng ( ) đi qua điểm M0(x0;y0; z0) và có 
VTCP ( ; ; )u a b c là: 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
4.2. Phƣơng trình chính tắc: của đường thẳng ( ) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và 
có VTCP ( ; ; )u a b c là: 0 0 0 (*)x x y y z z
a b c
 0abc 
5. KHOẢNG CÁCH 
5.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 m t phẳng: Khoảng cách từ điểm 
M0(x0; y0; z0) đến mp 0:)( DCzByAx là: 0 0 00
2 2 2
, ( )
Ax By Cz D
d M
A B C
5.2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đƣờng thẳng: Khoảng cách từ điểm M1 đến 
đường thẳng ( ) đi qua điểm M0 và có VTCP phương u là: 0 1
1
,
( , )
M M u
d M
u
5.3. Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng ch o nhau: 
( 1) đi qua M1 và có VTCP u và ( 2) đi qua M2 và có véctơ chỉ phương v . 
Khoảng cách giữa ( 1) và ( 2) là: 1 2
1 2
, .
( , )
,
u v M M
d
u v
6.GÓC: 
6.1.Góc giữa 2 đƣờng thẳng: Cho ( 1) có VTCP u =(a1; b1; c1) và ( 2) có 
VTCP v = (a2; b2; c2). Gọi là góc giữa ( 1) và ( 2) thì 
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
| | . | |
u v
a a b b c c
a b c a b cu v
6.2.Góc giữa đƣờng thẳng và m t phẳng: Cho đường thẳng ( ) có VTCP 
u
=(a; b; c) và ( ) có VTPT n
=(A; B; C). Nếu  là góc giữa ( ) và ( ) thì: 
2 2 2 2 2 2
.
sin
| | . | |
n u
Aa Bb Cc
A B C a b cn u

 (0
0
  900) 
6.3.Góc giữa 2 m t phẳng: Cho mp( 1) có VTPT n
1=(A1; B1; C1) và mp( 1) 
có VTPT n
2=(A2; B2; C2). Nếu  là góc giữa ( 1) và ( 2) thì: 
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 21 2
.
cos
| |. | |
n n
A A B B C C
A B C A B Cn n
