Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối

m số thuộc đoạn để hàm số có điểm cực trị?
 A. . B. .	
 C. . D. .



Bài 8. Cho hàm số có đạo hàm trên và bảng biến thiên như sau 
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. . 
Bài 9. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tất cả các số thực của tham số để hàm số có điểm cực trị là
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Có ban nhiêu số nguyên dương để hàm số có 7 điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 11. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là:
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 12. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là:
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 13. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có đúng cực trị.
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 14. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 15. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 16. Cho hàm số liên tục trên biết và có đồ thị như hình vẽ dưới.
Bài 17. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khi hàm số có số điểm cực trị là ít nhất. Giá trị nhỏ nhất của tham số m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số sau đây có tất cả điểm cực trị .
A. 	B. 	C. 	D. 
Bây giờ khai thác từ “bài toán cơ bản 3” (ở mục 3.2.3) chúng tôi xây dựng hai dạng toán mở rộng sau
3.3.4.Dạng 4. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số dạng 
Phương pháp giải: 
Bước 1: Tính 
Bước 2. Tìm các giá trị x để y’=0 hoặc không xác định
Bước 3. Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên và hàm số . Biết đồ thị hàm số như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .

Lời giải
Cách 1. Giải trực tiếp
Ta có 
Xét pt(1): Đặt . Dựa vào tương giao hai đồ thì ta có
Như vậy, y’=0 có 5 nghiệm đơn 
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A
Cách 2: Dùng công thức 
Ta có , 
Đường thẳng đi qua các điểm , , 
Dựa vào tương giao của hai đồ thị trên hình vẽ ta suy ra có các nghiệm là -1; 1; 3 trong đó có 2 nghiệm dương x=1, x=3 
Vậy hàm số có 2.2+1=5 cực trị 
 Lời bình: Ta thấy với cách giải trên khá là dài dòng. Đặc biệt nếu làm trắc nghiệm thì mất rất nhiều thời gian. Còn nếu dùng công thức thì từ tương giao hai đồ thị ta thấy có hai nghiệm dương suy ra có 5 cực trị rất nhanh chóng!
Ví dụ 2. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số có đúng một điểm cực trị
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có: .
Để hàm số có đúng 1 điểm cực trị
 khi hàm số không có điểm cực trị nào thuộc khoảng .
Trường hợp 1: Phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
(*)
Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 
(**).
Từ (*) và (**) suy ra . Vì là số nguyên âm nên: Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Do hàm số có đạo hàm với mọi nên liên tục trên , do đó hàm số liên tục trên . Suy ra là một số hữu hạn.
Xét trên khoảng : 
- TH1: thì . Khi đó là nghiệm bội lẻ của nên đổi dấu một lần qua suy ra hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH2: thì vô nghiệm, suy ra với mọi 
Hàm số đồng biến trên khoảng .
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số có duy nhất một điểm cực trị là .
- TH 3: thì là nghiệm bội lẻ của 
Bảng biến thiên của hàm số :
- Lại có và nguyên nên .
Vậy có 5 giá trị nguyên của . Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hàm số . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. 	B. 	C. 	D. 
Ta có: 
TH1: 
 hoành độ của đỉnh là 1 số dương nên có điểm cực trị
Vậy thỏa mãn nhận .
TH2: 
 Để hàm số có điểm cực trị thì có nghiệm phân biệt và thỏa hoặc .
+) .
+) .
Kết hợp trường hợp ta được có giá trị nguyên của tham số . Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hàm số với là tham số thực. Biết rằng hàm số có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi . Tích bằng
A. .	B. .	C. 	D. .
Lời giải
Hàm số có số điểm cực trị lớn hơn 5 Hàm số có 3 điểm cực trị dương Phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.
Chọn D.
Ví dụ 7. (Đề thi TN THPT Quốc gia đợt 2 – 2021) 
Cho hàm số với là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số có đúng 7 điểm cực trị?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta thấy 
Hàm số có đúng 7 điểm cực trị khi và chỉ khi có ba nghiệm dương phân biệt.
Đặt , ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có ba nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi . Kết hợp giả thiết nguyên ta được . Vậy có 27 giá trị thỏa mãn. 
Bài tập tự luyện dạng 4:
Bài 1. Cho có đạo hàm số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên
Số điểm cực trị của hàm số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 3. Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có đúng 5 điểm cực trị.
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 4. Cho hàm số , với là các số thực thỏa mãn . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 5. Cho hàm số có đạo hàm liên tục và xác định trên toàn . Biết rằng biểu thức đạo hàm . Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị. Số phần tử của tập là
A. .	B. .	C. .	D. 
3.3.5.Dạng 5. Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng 
Phương pháp giải: 
Bước 1: Tính 
Bước 2. Tìm các giá trị x để y’=0 hoặc không xác định
Bước 3. Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số là một hàm đa thức có bảng xét dấu như sau
Số điểm cực trị của hàm số 
A. . B. .	 C. .	 D. .
Lời giải 
Cách 1. Tính đạo hàm trực tiếp để tìm số nghiệm đơn (bội lẻ)
Ta thấy có 3 nghiệm đơn và 2 nghiệm bội lẻ. 
Suy ra hàm số có 5 cực trị. Chọn A.
Cách 2. Dùng công thức trong đó là số nghiệm dương của đạo hàm.
Ta có .
Xét hàm số .
 có 2 điểm cực trị dương
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 	B. 	
C. 	D. 

Lời giải
Thông thường dạng này ta có 3 cách giải: 
Giải trực tiếp, tịnh tiến đồ thị, dùng công thức 
Cách1. Giải trực tiếp
Ta có 
Như vậy có 7 nghiệm đơn nên hàm số có 7 cực trị. Chọn C
Cách 2: Dùng công thức 
Xét hàm số với có 3 điểm cực trị là cả 3 nghiệm đều 
Vậy hàm số có 2.3+1=7 cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bbt như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số là
	A. 5.	B. 	C. 3. D. 4.
Lời giải 
Cách 1. Ta có 
Dựa vào bảng biến thiên 
Ta có:
+) 
+)
Như vậy có 11 nghiệm trong đó là nghiệm bội lẻ và không xác định. Ta có bảng xét dấu 
Vậy hàm số có 6 cực tiểu. Chọn B
Cách 2. Sử dụng công thức 
Tìm số nghiệm dương của 
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:
+) vô nghiệm
+) có 2 nghiệm dương
+) có 2 nghiệm dương
Như vậy, với hàm số có có 5 nghiệm dương phân biệt nên theo công thức trên ta có 11 cực trị 
Để tìm số cực tiểu ta phải lập thêm bảng biến thiên như cách 1 để suy ra 6 cực tiểu 
Lời bình: Như vậy, khi dạy học bài toán trên ta nên định hướng cho học sinh làm theo cách thứ 2 để các em giải đc kết quả nhanh hơn!
Ví dụ 4. Cho hàm số và có là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Xét hàm số Ta có 
Đặt . Khi đó trở thành: (2)
Vẽ đồ thị hàm số , trên cùng hệ trục tọa độ , ta được:
Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm và .
 có hai nghiệm và . Bảng biến thiên của , .
Vậy hàm số có điểm cực đại. Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Biết rằng hàm số có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ dưới đây 
	Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
; .
Đặt 
; .
Các nghiệm của đều là các nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị trong đó có 5 điểm cực trị dương. Do đó, hàm số có điểm cực trị. Chọn D.
Ví dụ 6: (Đề TNTHPT năm 2021 đợt 1) 
Cho hàm số có đạo hàm Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàmsố có ít nhất 3 điểm cực trị?
	A. 5	B. 8 .	C. 6 D. 7 .
Lời giải
Cách 1: 
Ta thấy là một điểm tới hạn của hàm số .
Mặt khác 
Xét hàm số , vì nên đồng biến trên . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình có ít nhất hai nghiệm khác 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi hay . Kết hợp điều kiện nguyên dương ta được . Vậy có 7 giá trị của thoả mãn. Chọn D.
Cách 2. Sử dụng công thức 
Hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị khi có ít nhất một điểm cực trị dương. Vì nên có ít nhất một nghiệm dương có ít nhất một nghiệm dương. có ít nhất một nghiệm dương.
Xét hàm số , vì nên đồng biến trên và suy ra . Kết hợp điều kiện nguyên dương ta được . Vậy có 7 giá trị của thoả mãn. 
	Lời bình: Như vậy, trong hai cách giải trên ta thấy ở cách 2 có phần ngắn gọn hơn, học sinh cũng dễ tiếp cận phương pháp hơn!
	Đối với hàm số dạng có chứa trị tuyệt đối ở trong thì ta nên dùng công thức 2a+1 với a là số nghiệm của với thỏa mãn 
Bài tập tự luyện dạng 5:
Bài 1. Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 2. Cho hàm số liên tục trên các khoảng và có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 3. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị.
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 4. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây. Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ
Xét hàm số . Số điểm cực trị của hàm sốlà:
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 6. Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực đại của hàm số là:
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 7. Cho hàm số có đồ thị đạo hàm như hình vẽ. Hàm số có số điểm cực trị là.
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 8. Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 9. Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Hàm số là hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ như dưới
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 10. Cho hàm sốthỏa mãn . Đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 11. Cho hàm số có biểu thức đạo hàm . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 9 điểm cực trị?
A. 3.	B. 1.	C. 2.	D. 31
Bài 12. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị. Số phần tử của tập là
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 13. Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị.
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 14. Cho hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 15. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hs có 7 điểm cực trị
A. 	B. C. 	D. 
Bài 16. Cho hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ
Tổng giá trị nguyên của để hàm số có 5 cực trị
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 17. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hs có điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. 
4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
a. Kết quả thực nghiệm
	Năm học 2021 – 2022, chúng tôi đã áp dụng đề tài ở một số lớp khối 12 Trường THPT Cửa Lò qua bài kiểm tra 90 phút thu được một số kết quả như sau:
Lớp
Số hs
Điểm 9 -10
Điểm 7 - 8
Điểm 5 - 6
Điểm <5
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
12A1
37
8
21,6%
20
54,4%
7
18,9%
2
5,5%
12T1
38
2
5,2%
19
50%
9
23,7%
8
21,1%
	Trong ôn thi học sinh giỏi lớp 12 chúng tôi có hỗ trợ bỗi dưỡng đội tuyển cũng đã tiến hành thực nghiệm với 3 học sinh thuộc đội tuyển môn Toán cấp tỉnh sử dụng phương pháp dạy học theo chủ đề này kết quả cho thấy các em nắm bắt và vận dụng rất nhanh các bài toán vận dụng cao về cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối. Góp phần vào thành tích 2 em đạt giải.
	Như vậy có thể nói đề tài “Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán cực trị của hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối” đã giúp các em học sinh lĩnh hội kiến thức tốt hơn, vận dụng kiến thức tốt hơn, nhanh hơn trong làm bài kiểm tra, bài thi, và gây được sự hứng thú học tập ở các em học sinh.
b. Những chuyển biến của học sinh
Thứ 1: Học sinh giải quyết rất nhanh các bài tập khó theo cách đơn giản nhất.
Thứ 2: Rèn kỹ năng tư duy, đưa ra được cách giải nhanh đó.
Thứ 3: Học sinh hứng thú, chủ động và tập trung hơn.
Thứ 4: Tạo cách học nhẹ nhàng, hiệu quả. Học sinh vận dụng tốt trong trong bài thi.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
 	Thông qua đề tài chúng tôi đã rút ra được một số kết luận sau đây:
 	Đề tài đã nêu ra được các phương pháp rèn luyện kỹ giải các dạng bài tập cực trị của hàm ẩn chứa trị tuyệt đối, giúp các em vận dụng linh hoạt vào các bài thi, với các cách giải ngắn gọn. Đề tài cũng đã chỉ ra các cách giải để các em có sự vận dụng vào từng câu hỏi một cách hiệu quả. Giúp học sinh tích cực, chủ động trong học tập, hình thành nhiều kỹ năng quan trọng trong học tập, hiểu rõ bản chất của các quá trình. Từ đó học sinh khái quát hóa một vấn đề phức tạp thành những vấn đề ngắn gọn, logic, dễ hiểu, các em tự tin chiếm lĩnh tri thức, hứng thú đối với môn học nhất.
	2. Kiến nghị
 	Qua quá trình tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi nhận thấy phương pháp này hiệu quả, dễ dạy học, nhất là trong ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông. Vì vậy, tôi mong rằng các thầy, cô giáo có thể nghiên cứu để phát triển thêm đề tài, mạnh dạn nhân rộng phương pháp, để những câu hỏi ở mức vận dụng cao tiến gần với nhiều học sinh hơn. 
	Đề tài này chắc chắn còn có những thiếu sót rất mong nhận được sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo để tôi hoàn thành tốt hơn cũng như rút kinh nghiệm khi áp dụng đề tài vào quá trình dạy học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Trần Phương (2007), Bài giảng trọng tâm Ôn luyện môn toán, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.
2. Phan Huy Khải (2009), Bài tập chọn lọc Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
3. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán11, Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Trần Phương (2002), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán- Hàm số, Nhà xuất bản Hà Nội.
5. PGS.TS Nguyễn Văn Lộc (Chủ biên) (2007), Các dạng bài tập và phương pháp giải Trắc nghiệm-tự luận Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh. 
6. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm. 
7. Tuyển tập các đề thi Đại học và Cao đẳng qua các năm, 
8. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),2007, Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục. 
9. Đề thi trung học phổ thông quốc gia, TNTHPT, đề thi thử THPT các năm 2016 – 2017, 2017 – 2018, 2018-2019, 2020-2021, 2021-2022. 
10. Sách giáo khoa Giải tích 12.