Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học thông qua các bài toán số phức

n z z R 
+ Cho hai số phức 0;z z thỏa mãn 0z z R . Khi đó : 
1 0 1max z z z z R ; 1 0 1min z z z z R . 
+ Sử dụng table của máy tính cầm tay: 
Ta biểu diễn số phức cos sinz a r t i b r t . Khi đó ta dùng Table với hàm 
số f t . 
Bắt đầu: 0. Kết thúc 2 . Bước: 
10
. 
3.3.1. Bài toán 1. Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho 
biểu thức 1 1 7P z z i đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. 1 3i . B. 1 3i . C. 3 i . D. 3 i . 
Phân tích bài toán: 
Dùng máy tính cầm tay: Casio fx570, fx580,  
+ Chuyển chế độ máy tính qua chế độ số phức: bằng cách ấn liên tiếp mode 2(đối 
với fx570), menu 2 (đối với fx580). 
+ Nhập biểu thức P : 
Màn hình hiển thị: 
+ Gán X cho từng đáp án A, B, C, D. 
+ So sánh kết quả và ta tìm được giá trị nhỏ nhất là 7 
Bài toán này chuyển qua bài toán máy tính cầm tay: Sử dụng máy tính cầm tay 
tính giá trị của biểu thức 1 1 7P z z i khi 1 3z i , 1 3z i , 
3z i , 3z i . Từ đó suy ra min P ? 
Lời giải 
Bước 1: Chuyển chế độ máy tính qua chế độ số phức: bằng cách ấn liên tiếp mode 
2(đối với fx570), menu 2 (đối với fx580). 
Bước 2: Nhập biểu thức P : 
Màn hình hiển thị: 
31 
Bước 3: Gán X cho từng giá trị của z bằng cách ấn phím Calc, ta được các kết 
quả: 
1 3 7
1 3 7 2 3
3 9.273
3 7.284
X i P
X i P
X i P
X i P
Vậy min 7P . 
3.3.2. Bài toán 2. (Đề tham khảo BGD năm 2018) Xét các số phức z a bi 
 ,a b ℝ thỏa mãn 4 3 5z i . Tính P a b khi 1 3 1z i z i đạt giá 
trị lớn nhất. 
A. 10P . B. 4P . C. 6P . D. 8P . 
Phân tích bài toán: 
 2 2 2 24 3 5 4 3 5 4 3 5z i x y x y 
Do đó z thuộc đường tròn tâm 4;3I , bán kính 5R nên 
 4 5 cos 3 5 sinz t i t . 
Suy ra 1 3 1z i z i 
 2 2 225 5 cos 5sin 3 5 cos 4 5sint t t t 
Bài toán này chuyển qua bài toán máy tính cầm tay: Sử dụng máy tính cầm tay 
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 2 2 22( ) 5 5 cos 5sin 3 5 cos 4 5 sinf x x x x x xảy ra tại x
bằng bao nhiêu ? 
Lời giải 
Ta dùng chức năng Table của máy tính : 
Menu 8 (đối với Casio fx580) hoặc mode 7 (đỗi với Casio fx570), nhập hàm f x 
vào máy. 
Bắt đầu : 0 
Kết thúc : 2 
Bước : 
10
. 
Ta nhận thấy f x đạt GTLN tại 0,3141x . 
Khi đó 4 5 cos0,3141 3 5 sin0,3141z i 
6,13 3,69i . Suy ra 9.82a b . Nên ta chọn A. 
32 
3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diển số phức z là đường elip. Tìm Max, Min 
của ( )f z 
+ Cho số thực 0a và hai số phức 0,z z thỏa mãn 0 0 2z z z z a . Khi đó: 
max z a ; 
22
0min z a z 
+ Cho số thực , 0a c và các số phức 1 2, ,z z z thỏa mãn 1 2 2z z z z a với 
1 22 2c z z a và 1;2 ;z c ic . Giả sử 0P z z , 1 20 2
z z
k z
 , 
2 2b a c , ta có: 
Nếu 0k thì max ;minP a P b 
 Nếu 
2c
k
a
 và 0 1 0 2z z l z z thì max ; minP k a P k a 
Nếu 
2c
k
a
 và 0 1 0 2z z l z z thì 2 2max ;min
b
P k a P k c
c
Nếu 
2c
k
b
 và 0 1 0 2z z z z thì max ; minP k b P k b 
Nếu 
2c
k
b
 và 0 1 0 2z z z z thì 
2 2max ; min
a
P k c P k b
c
+ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả 2z c z c a hoặc 
2z ci z ci a là đường elip có phương trình: 
2 2
2 2
1
x y
a b
 . Và khi đó 
cos sinz a t ib t . 
Sử dụng table. 
 Ta biểu diễn số phức cos . sinz a t i b t . Khi đó ta dùng Table với hàm số f t . 
Bắt đầu: 0. Kết thúc 2 . Bước: 
10
. 
3.4.1. Bài toán 1. Cho số phức z thỏa mãn 2 2 5z z . Gọi ,M m lần lượt là 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M m . 
A. 
17
2
M m . B. 8M m . C. 1M m D. 4M m . 
Phân tích bài toán: 
 + Ta có 0
5
; 2
2
a z 
+ Áp dụng công thức: Cho số thực 0a và hai số phức 0,z z thoả mãn 
0 0 2z z z z a . Khi đó: 
max z a ; 
22
0min z a z 
33 
Bài toán này chuyển qua bài toán máy tính cầm tay: Cho số phức z thỏa mãn 
2 2 5z z . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . 
Lời giải 
Bước 1: Xác định 0
5
; 2
2
a z . 
Bước 2: Bấm máy tính 
22
0a z . 
Bước 3: Kết luận 
3 5
min ; max
2 2
z z . 
3.4.2. Bài toán 2. Cho số phức z thỏa mãn 1 3 1 3 10z i z i . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của mô đun z 
A. 15 . B. 35 . C. 5. D. 10 . 
Phân tích bài toán: 
Ta có: 
+ 0 0z z z z 1 3 1 3 10z i z i 1 3 1 3 10z i z i 
+ 05; 1 3a z i . 
+ Áp dụng công thức: Cho số thực 0a và hai số phức 0,z z thoả mãn 
0 0 2z z z z a . Khi đó: 
max z a ; 
22
0min z a z 
Bài toán này chuyển qua bài toán máy tính cầm tay: Cho số phức z thỏa 
mãn 1 3 1 3 10z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . 
Lời giải 
Bước 1: Xác định 05; 1 3a z i . 
Bước 2: Bấm máy tính 
22
0a z . 
Bước 3: Kết luận min 15z . 
Nhận xét: Việc chuyển đổi ngôn ngữ bài toán từ số phức sang ngôn ngữ bài 
toán máy tính cầm tay làm cho bài toán dễ giải hơn. Qua đó phát triển năng lực ngôn 
ngữ toán học cho học sinh và năng lực giao tiếp toán học cho học sinh. 
Bài tập tương tự: 
Bài 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3 2 .z i z i Tìm số phức có 
môđun nhỏ nhất ? 
 A. 1 2z i B.
1 2
5 5
z i C.
1 2
5 5
z i D. 1 2z i 
 Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn 2 3 4 10z i . Gọi M và m lần lượt là giá 
 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M m bằng 
A. 5. B. 15 . C. 10 . D. 20 . 
34 
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn z z i , tìm số phức zđể môđun của số phức 
w 2z i nhỏ nhất. 
 A. 
1
2
z i B.
1
1
2
z i C. 
1 3
2 2
z i D. 
3
1
2
z i 
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn 6 6 20z z . Gọi M , m lần lượt là 
 môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M m . 
 A. 2M m . B. 4M m . C. 7M m . D. 14M m . 
Bài 5. Xét các số phức z thỏa mãn 2 1z i . Gọi ,m M là giá trị nhỏ nhất và 
 lớn nhất của z . Giá trị M m bằng: 
 A. 3 . B. 2 . C. 1 2 5 . D. 2 5 . 
Câu 6. (Đề thi thử SGD&ĐT Bình Phước – lần 1- Mã đề 178). Cho các số phức 
,z w thỏa mãn 3 3 2w i− + = và 1
2
w
i
z
= +
−
. Giá trị lớn nhất của biểu thức 
 1 2 5 2P z i z i= − − + − − bằng 
 A. 2 53 . B. 52 55+ . C. 3 134+ . D. 
29
2
. 
Câu 7. (Đề thi thử SGD&ĐT Sơn La – Lần 1 – Mã đề 101). Xét số phức z thỏa 
mãn 2z i . Biết rằng biểu thức 3 2 5P z i z i đạt giá trị nhỏ nhất khi 
( , )z x yi x y ℝ . Khi đó giá trị của tổng x y bằng 
 A. 
3 3 79
13
 B. 
3 3 79
13
. C. 
3 3 79
13
. D. 
3 3 79
13
. 
III. Thực nghiệm sư phạm 
1. Mục đích thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc lựa 
chọn một số dạng toán về cực trị số phức để phát triển năng lực chuyển đổi ngôn 
ngữ toán học cho học sinh, đồng thời cũng nhằm kiểm nghiệm tính đúng đắn của đề 
tài. 
2. Nội dung thực nghiệm 
 + Thực nghiệm sử dụng hệ thống bài tập cực trị số phức có tập hợp điểm biểu 
diễn số phức z là đường thẳng, đường tròn và đường elip. 
 + Đưa vào những bài toán với số lượng và mức độ phù hợp với bài dạy, quỹ 
thời gian thực hiện, phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh. 
3. Tổ chức thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại Trường THPT Nghi Lộc 4 năm học 
2022 – 2023. 
 Thực nghiệm tại các lớp: 12A2, 12A3, 12A4, 12C2, 12C3, 12C4. 
35 
Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào khoảng thời gian từ nữa sau tháng 
3 và nữa đầu tháng 04 năm 2023. 
 Giáo viên dạy lớp 12A2, 12C2: Phạm Hoàng Quyền. 
 Giáo viên dạy lớp 12A3, 12C3: Lê Thị Thu Hương. 
 Giáo viên dạy lớp: 12A4, 12C4: Nguyễn Ngọc Hoàng 
 Kết quả học tập của các lớp thực nghiệm là tương đương. 
 Thực nghiệm được tiến hành sau khi học xong Chương 4: Số phức (Sách giáo 
khoa Giải tích 12 – Ban cơ Bản). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm 
bài kiểm tra. 
Đề kiểm tra (thời gian làm bài 35 phút) 
 A. Phần trắc nghiệm khách quan (7 điểm). 
Câu 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3 2 .z i z i Tìm số phức có 
môđun nhỏ nhất ? 
 A. 1 2z i B.
1 2
5 5
z i C.
1 2
5 5
z i D. 1 2z i 
 Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn 2 3 4 10z i . Gọi M và m lần lượt là giá 
 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M m bằng 
A. 5. B. 15 . C. 10 . D. 20 . 
Câu 3. Trong các số phức z thỏa mãn 1 1 2z i z i , số phức z có mô đun 
nhỏ nhất là 
A. 
3 5
10
. B. 
5 3
10
. C. 
3
10
. D. 
5
10
. 
Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn 6 6 20z z . Gọi M , m lần lượt là 
môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M m . 
A. 2M m . B. 4M m . C. 7M m . D. 14M m . 
B. Phần tự luận (3 điểm). 
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 1 7 2i z i . Tìm max z . 
Kết quả: 
Lớp 
Điểm từ 9 đến 
10 
Điểm từ 7 đến 
dưới 9 
Điểm từ 5 đến 
dưới 7 
Điểm dưới 5 
12A2 13% 70% 17% 0% 
12A3 11% 67% 15% 7% 
12A4 10% 65% 17% 8% 
36 
12C2 7% 50% 33% 10% 
12C3 4% 45% 36% 15% 
12C4 6% 41% 37% 16% 
 Trong các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đánh giá năng lực khi gặp 
các bài toán cực tri số phức các em sẽ biết giải quyết bài toán một các đơn giản hơn. 
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 
 Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thấy rằng: Nhìn chung đa 
số học sinh học tập tích cực, sôi nổi hơn, thích thú với những bài toán tìm cực trị số 
phức. Điều đó kích thích hứng thú của cả thầy lẫn trò trong thời gian thực nghiệm. 
Nhận định chung cho rằng, điều khó khăn nhất cần và có thể vượt qua - nếu ý tưởng 
này được triển khai về sau - là lựa chọn được một hệ thống bài tập cực trị số phức 
thích hợp cho một số tiết học để phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học 
cho học sinh. 
Sau khi thực nghiệm xong, chúng tôi tổ chức khảo sát ý kiến về sự cấp thiết và tính 
khả thi cho học sinh và giáo viên thông qua googlefrom: 
 + Về Sự cấp thiết: 
lgWea33SDgyWK37efhuGMw/viewform?usp=sf_link 
 + Về Tính khả thi: 
He9Oq0wCzXAhotI_j5vilXGR1FNyFfXrrA-5MWcg/viewform?usp=sf_link 
Phần III. KẾT LUẬN 
1. Quá trình thực hiện 
 + Từ 06/ 09/ 2022 đến 15/ 10/ 2022: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu. 
 + Từ 16/ 10/ 2022 đến 02/ 12/ 2022: Đọc tài liệu lý thuyết, viết cơ sở lý luận. 
 + Từ 03/ 12/ 2022 đến 16/ 01/ 2023: Hoàn thành các giải pháp. 
 + Từ 17/ 01/ 2023 đến 15/ 03/ 2023: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổ 
chuyên môn và xin ý kiến đóng góp. 
 + Từ 16/ 03/ 2023 đến 14/ 04/ 2023: Áp dụng vào thực tiễn. 
 + Từ 15/ 04/ 2023 đến 22/ 04/ 2023: Hoàn thiện đề tài. 
37 
2. Ý nghĩa của đề tài 
 + Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh năng lực 
chuyển đổi ngôn ngữ toán học cho học sinh. 
 + Xây được một số bài toán cực trị số phức chuyển đổi được sang bài toán 
hình học, đại số và máy tính cầm tay nhằm phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ 
toán học cho học sinh. 
 + Đề tài có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo, kĩ năng 
làm toán cũng như kỹ năng sống cho các em học sinh. Bước đầu đã hình thành cho 
các em một thói quen tự học, tự nghiên cứu, tự khám phá, đồng thời giúp các em 
linh hoạt hơn, chủ động hơn và không rập khuôn máy móc trong việc giải toán. Mặt 
khác, qua nội dung của đề tài sẽ góp phần vào việc giáo dục các em yêu toán học, 
biết áp dụng vào thực tiễn để giải quyết nhiều tình huống trong cuộc sống bằng cách 
chuyển đổi ngôn ngữ linh hoạt. 
 + Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của 
những giải pháp đã đề xuất. 
3. Kiến nghị, đề xuất 
 Đối với nhà trường: Triển khai, áp dụng đề tài vào các năm học tiếp theo. 
 Mặc dù tác giả cũng đã cố gắng tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm, trao đổi đồng 
nghiệp nhưng chắc chắn đề tài còn nhiều chỗ thiếu sót. Để đề tài có tác dụng tích 
cực trong việc dạy học phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học cho học 
sinh đáp ứng đòi hỏi dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh, kính mong 
hội đồng khoa học và quý thầy (cô) góp ý bổ sung để đề tài ngày một hoàn thiện 
hơn, có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy học ở Trường THPT. 
4. Kết luận khoa học 
 Quá trình nghiên cứu được thực hiện nghiêm túc, đảm bảo cơ sở khoa học, 
mang tính khách quan, huy động được nguồn lực về tài liệu, con người đảm bảo tính 
pháp lý và độ tin cậy cao. 
 Đề tài được vận dụng có hiệu quả tại Trường THPT Nghi Lộc 4 trong học kỳ 
2 năm học 2022 – 2023 và được chỉnh sữa, bổ sung thêm phù hợp với thực tiễn để 
áp dụng có hiệu quả cao hơn đối với năm học 2023 – 2024 tại Trường THPT Nghi 
Lộc 4 nói riêng và các trường THPT nói chung./. 
Nghi Lộc, tháng 4 năm 2023 
Tác giả 
38 
Phụ lục 1: KHẢO SÁT TÍNH CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA 
CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT 
1. Mục đích khảo sát 
Thông qua khảo sát để biết được: 
- Tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất. 
- Cảm nhận của giáo viên về việc thực hiện chuyển đổi ngôn ngữ bài toán cực 
trị số phức sang ngôn ngữ bài toán cực trị hình học Oxy , ngôn ngữ cực trị đại số và 
ngôn ngữ máy tính cầm tay. 
- Cảm nhận của học sinh sau khi học chuyển đổi ngôn ngữ bài toán cực trị số 
phức sang ngôn ngữ bài toán cực trị hình học Oxy , ngôn ngữ cực trị đại số và ngôn 
ngữ máy tính cầm tay. 
- Mức độ thu hoạch các kĩ năng của học sinh sau khi học tập. 
2. Nội dung và phương pháp khảo sát 
2.1. Nội dung khảo sát 
Nội dung khảo sát tập trung vào các vấn đề sau: 
- Các giải pháp được đề xuất có thực sự cấp thiết đối với vấn đề đang nghiên 
cứu không ? 
- Các giải pháp được đề xuất có khả thi đối với vấn đề đang nghiên cứu hay 
không ? 
- Cảm nhận của giáo viên và học sinh về quá trình thực nghiệm của đề tài. 
- Khảo sát mức độ thu hoạch các năng lực, kĩ năng của học sinh sau khi học 
chuyển đổi ngôn ngữ bài toán cực trị số phức sang ngôn ngữ bài toán cực trị hình 
học Oxy , ngôn ngữ cực trị đại số và ngôn ngữ máy tính cầm tay. 
2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá 
+ Phương pháp được sử dụng để khải sát là Trao đổi bằng bảng hỏi; với thang 
đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ 1 đến 4) bằng googlefrom: 
Không cấp thiết; Ít cấp thiết; Cấp thiết và Rất cấp thiết. 
Không khả thi; Ít khả thi; Khả thi và Rất khả thi. 
+ Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel. 
39 
3. Đối tượng khảo sát: Tổng hợp các đối tượng khảo sát 
TT Đối tượng Số lượng 
1 Giáo viên 10 
2 Học sinh 300 
4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các gải pháp đã đề 
xuất 
4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất 
 TT Các giải pháp Các thông số 
Điểm 
trung 
bình 
Mức 
1 Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị 
Oxy 
3.57 4 
2 Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị 
đại số 
3.55 4 
3 Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang sử dụng máy 
tính cầm tay 
3.59 4 
4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất 
 TT Các giải pháp Các thông số 
Điểm 
trung 
bình 
Mức 
1 Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị 
Oxy 
3.45 3 
2 Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị 
đại số 
3.48 3 
3 Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang sử dụng máy 
tính cầm tay 
3.5 4 
Nhận xét: 
+ Giáo viên và học sinh đều nhận thấy được tính cấp thiết của đề tài là “rất cấp 
thiết” của các giải pháp thực hiện. 
+ Giá viên và học sinh nhận thấy được tính khả thi của đề tài là “khả thi” khi thực 
hiện các giải pháp để thực hiện đề tài có hiệu quả. 
 Tổng cộng 310 
40 
Phụ luc 2. MỘT SỐ HÌNH ẢNH THỰC NGHIỆM 
41 
42 
 Phục lục 3. KẾT QUẢ KHẢO SÁT TÍNH CẤP THIẾT 
VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT THÔNG QUA 
GOOGLE FROM 
1. Về tính cấp thiết của đề tài: 
43 
2. Về tính khả thi của đề tài 
44